גיאומטריה 481 מתמטיקה 4 יחידות

לדף זה שתי מטרות:

  1. לתת לכם קישורים מיהם תוכלו ללמוד את החומר.
  2. לתת לכם טיפים שאספתי מ 12 בחינות הבגרות האחרונות.

1.קישורים

משולש:

8 טיפים מ 12 בחינות הבגרות האחרונות

עברתי על 12 השאלות האחרונות בגיאומטריה 4 יחידות. משאלוני הבגרות של השנים 2016 – 2019 וחזרתי עם 8 מסקנות מועילות שיוכלו לעזור לכם לפתור תרגילים בבחינה.

4 הדברים החשובים ביותר שצריכים להיות לכם על מנת לפתור שאלות הם:

  1. לזהות את המשפט בגיאומטריה המתאים למצב, בעיקר בסעיף א של השאלה.
  2. להוכיח דמיון משולשים, לרוב הוכחות לא קשות.
  3. לבנות בעזרת דמיון המשולשים משוואה.
  4. להגדיר זווית כמשתנה ובעזרת משתנה זה להגדיר זוויות נוספות.

מצורפים כאן 8 הטיפים החשובים ביותר שמצאתי לפתרון שאלות.

1.סעיף א

ב 12 הבחינות שעברתי עליהן היו שתי דרכים בלבד לפתור את סעיף א.

  1. 8 פעמים סעיף זה נפתר באמצעות משפט. אתם צריכים לזהות משפט שמתאים לשרטוט והזיהוי הוא עיקר הפתרון.

2. 4 פעמים הסעיף נפתר על ידי הגדרת זווית כמשתנה (למשל גודל זווית A הוא x) ואז הגדרת זוויות אחרות בעזרת אותה זווית כאשר בסופו של דבר צריך להוכיח משהו הקשור לזוויות כמו: שוויון זוויות, משולש שווה שוקיים, ישרים מקבילים.
4 הבחינות שבהם הפתרון נפתר בעזרת הגדרת זווית הן: קייץ 2018, קיץ 2017, חורף 2017, קיץ 2016 ואני ממליץ לכם לפתור את סעיף א בכול הבחינות הללו.

2.סעיף ב והסעיפים הבאים אחריו

90% מסעיפי הבאים לאחר סעיף א נפתרים בעזרת הפתרון של הסעיף שקדם להם.
לכן כאשר אתם פותרים את סעיפי ב והלאה השאלה שצריכה לעבור לכם בראש היא:
"איך התשובה שמצאתי בסעיף הקודם עוזרת לי לפתור את הסעיף הזה?"

כאמור זה נכון ל 90% מהסעיפים שראיתי.
סעיפים בהם יש סיכוי שלא תצטרכו להשתמש במידע של הסעיף הקודם אלו הם סעיפים בהם מוסיפים לכם מידע בסעיף עצמו.
אם למשל בסעיף  ג כתוב: "ידוע כי AB = 10 מצאו את AC".
אז יתכן שבסעיף ג לא תדרשו להשתמש בסעיף ב. 

3.דמיון משולשים

בכול השאלות (!!) מופיע סעיף "הוכיחו כי המשלשים ABC ∼ DEF"
בכול השאלות (!!) חוץ משאלה אחת מופיע מיד לאחר הוכחת דמיון המשולשים סעיף האומר:
הוכיחו כי:
AB² = AC * AD
או 
ידוע כי AC = 8, AD = 5 מצאו את AB.

כלומר, עליכם לדעת לבנות משוואה בעזרת דמיון המשולשים.
הסבר מפורט לכיצד עושים זאת תמצאו בדף דמיון משולשים בניית משוואה.

4.משפט פיתגורס

שימו לב:
אם בסעיף הקודם מצאתם צלע במשולש ישר זווית. סיכוי טוב שבסעיף הנוכחי אתם צריכים לעשות שימוש במשפט פיתגורס על מנת למצוא צלע נוספת במשולש.

5.הערה טכנית: שם המשולש

כאשר אנו פותרים תרגילים לרוב יש בשרטוט כמה משולשים.
לכן כאשר אנו מבצעים פעולה או חישוב במשולש כלשהו, למשל:

  1. זווית A = 50 כי סכום זוויות במשולש הוא 180.
  2. AD = 4 כי BC הוא תיכון במשולש.

בכול המקרים הללו ורבים דומים אחרים עליכם לציין במפורש את שם המשולש אליו אתם מתייחסים, גם אם אתם חושבים שזה ברור לחלוטין לאיזה משולש אתם מתייחסים.
אם לא תרשמו את שם המשולש יורידו לכם נקודות.

דוגמה לרישום נכון:
AD = 4 כי BC הוא תיכון במשולש ADC.

6.קוטר

ברוב המוחלט של שאלות הכוללות עיגול יש קוטר.
משתמשים במשפט "גודל זווית היקפית הנשענת על קוטר הוא 90 מעלות".
בשאלה אחת היה צריך להוסיף בניית עזר בשביל המשפט.

משפטי קוטר:
זווית היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות.
אם זווית היקפית בת 90 מעלות משענת על מיתר אז מיתר זה הוא קוטר.

7.משפטים נוספים בהם נעשה שימוש

אתם צריכים לזכור את כל 104 המשפטים בגיאומטריה המאושרים לשימוש ללא הוכחה.
אבל על פי 12 הבגרויות שראיתי יש מספר משפטים שצריך לשים עליהם יותר דגש.

משפטי משיק:
המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
 זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

משפטי משולש שווה שוקיים:
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.
במשולש שווה שוקיים התיכון, חוצה הזווית והגובה לבסיס מתלכדים.

משפטי זוויות במעגל:
שתי זוויות היקפיות הנשענות מאותו צד על אותו מיתר שוות זו לזו.
שתי זוויות מרכזיות הנשענות על מיתרים שווים שוות זו לזו.

מרובע חסום במעגל:
סכום זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל הוא 180 מעלות.

הוכחת מרובעים:
מתוך 12 שאלות פעמיים היה צריך להוכיח שמרובע הוא מעוין ופעם אחת היה צריך להוכיח שמרובע הוא מקבילית.

בנוסף:
זוויות בין ישרים מקבילים, משפטי חפיפה, משפטי דמיון משולשים (בשאלות שאני ראיתי נעשה שימוש במשפט ז.ז בלבד)

8.רדיוסים היוצרים משולש שווה שוקיים

בהרבה מהשאלות עם המעגל נעשה שימוש בכך ששני רדיוסים יוצרים משולש שווה שוקיים.

שימו לב בחלק מהשאלות נוספת זווית של 60 מעלות ואז המשולש הוא שווה צלעות.

תרגיל 1
לקוח מתוך בגרות קיץ 2019 שאלון 481 שאלה 4

O מרכז המעגל ו BC קוטר המעגל.
זווית A = 90.
EO || AC
הוכיחו: ACE = OCE

פתרון
נגדיר את אחת הזוויות המבוקשות כ x וננסה להוכיח שהזווית השנייה שווה כן ל x.
נגדיר:

  1. OCE = x
  2.  OE = OC כי שניהם רדיוסים במעגל.
  3. OEC = x  במשולש שווה שוקיים OCE זוויות הבסיס שוות.
  4. OEC = ACE = x  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  5. ACE = OCE = x  נובע מ 3,4.

תרגיל 2
לקוח מתוך בגרות קיץ 2018 שאלון 481 שאלה 4

סעיף א:
על מנת להוכיח ש BA הוא חוצה זווית עלינו להוכיח כי:
ABD = CBA.
לכן נגדיר:
ABD = a∠
וננסה להוכיח כי גם CBA = a.

  1. AMC = 2a∠ כי AMC = 2ABD על פי הנתונים.
  2. BMA = 180 – 2a זוויות צמודות.
  3. MA = MB שניהם רדיוסים במעגל ולכן משולש MAB הוא שווה שוקיים.
  4. MBA = MAB = a במשולש MAB זוויות הבסיס שוות ומשלימות את זוויות BMA ל 180 מעלות.

ABD = ∠CBA = a∠   ולכן BA הוא חוצה זווית.

15 נתונים סמויים בשאלות בגיאומטריה

מצורפים כאן 15 נתונים סמויים נתונים שאם תדעו לזהות אותם זה יעזור לכם לפתור שאלות.

הנתונים הסמויים הם בנושאים:

  1. קוטר וזוויות במעגל.
  2. משיק למעגל.
  3. טרפז חסום במעגל, קווים מקבילים במעגל.
  4. מיתרים.

טיפים בנושא קוטר וזוויות במעגל

1. כאשר נתון קוטר עליכם לסמן אותו על ידי פעמיים R.
כי פעמים רבות נוצרים על ידי הרדיוסים משולשים שווה שוקיים.

משולש AOC הוא שווה שוקיים.

אם ידוע ש- AB הוא קוטר אז לזמן אותו כ- 2R.
אם ידוע ש- AB הוא קוטר אז לזמן אותו כ- 2R.

2. כשיש קוטר לחפש זווית זווית היקפית הנשענת עליו.
ואם אין יתכן שכדאי לעשות בניית עזר שתצור כזו.

3.
כשיש זווית היקפית של 90 מעלות במעגל.
לא רק לסמן את הזווית אלא גם לזכור שיש קוטר וצריך לסמן אותו כשני רדיוסים.

ברוב השאלות בהן מוזכרת המילה קוטר, יש גם זווית היקפית הנשענת על הקוטר. ואם לא כנראה שאנו צריכים לשרטט בניית עזר.
ברוב השאלות בהן מוזכרת המילה קוטר, יש גם זווית היקפית הנשענת על הקוטר. ואם לא כנראה שאנו צריכים לשרטט בניית עזר.

4. ישר העובר מנקודה על המעגל אל נקודה אחרת על המעגל דרך מרכז המעגל הוא קוטר.
אחת המיומנויות של כותבי שאלות היא לתת לכם נתון מבלי שתשימו לב שקיבלתם אותו.
כאשר אומרים לכם ש"מיתר עובר דרך מרכז המעגל" אז המיתר הזה הוא קוטר.
ועליכם לסמן אותו כ- R ו- R. ולחפש זוויות היקפית הנשענת עליו.

מיתר העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר
מיתר העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר

5. תמיד לחפש זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת.

נתון מעגל עם מיתרים רבים. צריך לסרוק את היקף המעגל ולנסות לזהות מקרים בהם זוויות היקפיות נשענות על אותה קשת
נתון מעגל עם מיתרים רבים. צריך לסרוק את היקף המעגל ולנסות לזהות מקרים בהם זוויות היקפיות נשענות על אותה קשת

6. שימו לב שנקודת מרכז המעגל היא אמצע הקוטר.
נקודה זו יכולה להשתלב עם קטע אמצעים במשולש.
או עם "במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר".
או ביצרת משולש שווה שוקיים על ידי העברת חוצה זווית / גובה אל נקודת מרכז המעגל.

לכן אם בשרטוט O היא נקודת מרכז המעגל.
ו AD = DC אז הישר OD הוא קטע אמצעים במשולש ABC.

מרכז מעגל היוצר קטע אמצעים במשולש

אם O היא נקודת מרכז המעגל.
וגם אם  CO הוא חוצה זווית
אז AC = BC.

חוצה זווית למרכז המעגל יוצר משולש שווה שוקיים

טיפים בנושא משיק למעגל

6. כאשר נתונה נקודת השקה. העברת רדיוס ממרכז המעגל לנקודת ההשקה היא פעולה שכיחה (בעיקר ל 5 יחידות, פחות ל 4).

אם נתון משיק למעגל ואין רדיוס המגיע אליו רוב הסיכויים שאתם צריכים להעביר אחד כזה. רדיוס יוצר עם המשיק זווית של 90 מעלות.
אם נתון משיק למעגל ואין רדיוס המגיע אליו רוב הסיכויים שאתם צריכים להעביר אחד כזה. רדיוס יוצר עם המשיק זווית של 90 מעלות.

7. אם יש שני מעגלים משיקים ולא משורטט משיק משותף סיכוי טוב שאתם צריכים להוסיף אותו על ידי בניית עזר.

שני מעגלים משיקים דורשים ישר המשיק לשניהם על מנת להתקדם בשאלה. אם אין אחד כזה אז זו בניית עזר שאתם צריכים לבנות.
שני מעגלים משיקים דורשים ישר המשיק לשניהם על מנת להתקדם בשאלה. אם אין אחד כזה אז זו בניית עזר שאתם צריכים לבנות.

לאחר הבנייה תוכלו להשתמש במשפט "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה".

8. צורה החוסמת מעגל היא צורה המשיקה למעגל.

צורה החוסמת מעגל היא צורה המשיקה למעגל

בשני המקרים נוכל להשתמש במשפט "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה".
כאשר מרובע חוסם את המעגל נוכל להשתמש גם במשפט "במרובע החוסם מעגל סכום הצלעות הנגדיות שווה זה לזה".

9. במשולש חוסם מעגל אם יודעים את הגודל של שלושת צלעות המשולש ניתן גם לדעת את אורך כל אחד מהקטעים המשיקים.

עושים זאת על ידי בחירת 3 משתנים (כמתואר בשרטוט) ופתרון של 3 משוואות עם 3 נעלמים.

טרפז וקווים מקבילים במעגל

10. טרפז חסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים.
זה משפט שאתם צריכים להוכיח על מנת להשתמש בו.
אבל כשאתם מכירים את ההוכחה היא קלה מאוד

טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים

ההוכחה מתבססת על כך שהזוויות a הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
ולכן המיתרים שעליהם הן נשענות שווים. הוכחה מפורטת יותר בדף טרפז חסום במעגל.

11. חיבור למרובע של מיתרים שווים במעגל יוצר טרפז
זה המשפט ההפוך למשפט הקודם.
כלומר אם AB = DC אז AD מקביל ל BC

אם AD מקביל ל- BC אז AB = CD
אם AD מקביל ל- BC אז AB = CD

מיתרים במעגל

12. שני מיתרים נחתכים במעגל תמיד יצרו משולשים דומים.

הזוויות הירוקות הן היקפיות הנשענות על אותה קשת. הזוויות האדומות קודקודיות שוות. לכן המשולשים דומים.
הזוויות הירוקות הן היקפיות הנשענות על אותה קשת. הזוויות האדומות קודקודיות שוות. לכן המשולשים דומים

13. מיתרים יכולים ליצור מרובע החסום במעגל מבלי שיגידו "מרובע חסום במעגל".

יתכן שבשאלה יתארו מיתרים ולא מרובע. אבל המיתרים הללו יצרו מרובע.
צריך לשים לב לכך כי במקרה של מרובע ניתן להשתמש במשפט "סכום זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל הוא 180 מעלות".

מרובע החסום במעגל

14. שני מיתרים צמודים ושווים באורכם יוצרים עם מרכז המעגל משולשים חופפים (צ.צ.צ) חפיפה זו יכולה לשמש אותנו למציאת גדלים של זוויות.

אם ידוע ש- AB = BC
אם ידוע ש- AB = BC
אז כאשר נחבר את קצוות המיתרים עם מרכז המעגל נקבל שני משולשים חופפים. OAB ו OCB
אז כאשר נחבר את קצוות המיתרים עם מרכז המעגל נקבל שני משולשים חופפים. OAB ו OCB

המשולשים חופפים על פי צ.צ.צ.
החפיפה תשמש אותנו לרוב למציאת גדלים של זוויות או הוכחה ששתי זוויות שוות זו לזו.

שני דברים לסיום:
אם אומרים מילה או נתון לא ניתן להתעלם ממנו וצריך לחפש משפטים הקשורים אליו.
אין נתונים מיותרים בשאלות.

דבר נוסף שקורה הרבה מאוד בשאלות בגיאומטריה הוא שהנתון שמצאתם בסעיף הקודם הכרחי על מנת לפתור את הסעיף הנוכחי. לכן אם אתם תקועים נסו לחשוב על "כיצד מה שמצאתי בסעיף הקודם עוזר לי לפתור את הסעיף הנוכחי".

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “גיאומטריה 481 מתמטיקה 4 יחידות”

  1. היי,
    שמתי לב שהרבה תרגולים בייחוד במשולש קיימים הרבה מצולעים ומעגל שלא נלמדו עדיין לפי סדר הלימוד, אולי כדאי להפריד? :)
    תודה!

      1. דמיון משולשים כיתה י' יש הכוונה לדמיון משולשים במרובעים ומעגלים… והם עדיין לא נלמדו לפי סדר החומר באתר

        1. לומדים מתמטיקה

          מרובעים נלמדים בכיתה ט.
          בנוגע למעגל זה מיועד לכך שתלמיד כיתה י יוכל למצוא את כל החומר שהוא צריך על דמיון משולשים במקום אחד.
          אני אוסיף הערה ליד הקישור בנושא מעגלים שהוא מיועד למי שלמד מעגל.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.