משפטים מעגל (עם וידאו ותמונות)

בדף זה נעבור על משפטי מעגל המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.

זווית היקפית וזווית מרכזית

על מנת להבין את המשפטים הללו עוזר לזכור את המשפט ” במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו”

המשפטים הם:

1.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להן שוות זו לזו.

2.במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות זו לזו אם ורק אם שני המיתרים המתאימים להן שווים זה לזה.

3.במעגל, זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת.

4.במעגל, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על מיתר מאותו צד של המיתר שוות זו לזו.

5.במעגל, לזוויות היקפיות שוות קשתות שוות ומיתרים שווים.

6.במעגל, לקשתות שוות מתאימות זוויות היקפיות שוות.

7.זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה (90).

8.זווית היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר.

שרטוט של המשפטים

 

 

 

 

משפטי משיק למעגל

1.זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

2.המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

3.ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.

4.שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

5.קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

כמו כן שימו לב שכאשר אומרים שיש צורה החוסמת מעגל בעצם אומרים שצלעות הצורה הם משיקים למעגל למעגל וכל משפטי המשיק חלקים עליהם.

וידאו ושרטוט של המשפטים

 

 

80.שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.

 

81.קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

 

 

משפטי מיתר במעגל

המשפטים הם בשני נושאים:

  1. גודלם של מיתרים – מתי הם שווים או גדולים אחד מהשני.
  2. אנך או תיכון ממרכז המעגל למיתר.

מתי מיתרים שווים?

  1.  במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו.
  2. מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל.
  3. מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.

בקצרה: כאשר הקשתות המתאימות להם או המרחקים שלהם ממרכז המעגל שווים. ולהפך אם המיתרים שווים אז המרחקים ממרכז המעגל שווים והקשתות שוות.

מתי מיתר ארוך או קצר ממיתר אחר?

  1.  במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

אנך או תיכון ממרכז המעגל למיתר

  1. האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
  2. קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

בקצרה: אם מעבירים אנך ממרכז המעגל הוא גם תיכון. אם מעבירים תיכון ממרכז המעגל הוא גם אנך.

שרטוטים של המשפטים

63 במעגל, מיתרים שווים זה לזה אם ורק אם שתי הקשתות המתאימות להם שוות זו לזו

64.מיתרים השווים זה לזה נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל. 65.מיתרים במעגל אחד הנמצאים במרחקים שווים ממרכזו שווים זה לזה.

66.במעגל, אם מרחקו של מיתר ממרכז המעגל קטן יותר ממרחקו של מיתר אחר, אז מיתר זה ארוך יותר מהמיתר האחר.

67.האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר. 68.קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר.

 

 

צורות חוסמות או חסומות במעגל

נזכיר:

  • צורה חסומה במעגל היא צורה שכל הקודקודים שלה נמצאים על היקף המעגל.
  • צורה חוסמת מעגל היא צורה שכל הצלעות שלה משיקות למעגל.

מרובע

מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180 מעלות.

משולש

מרכז מעגל החסום במשולש הוא נקודת מפגש חוצי הזווית של המשולש.

במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

נזכיר:
אנך אמצעי מגיע לאמצע צלע ומאונך לצלע (והוא לא צריך לצאת מקודקוד המשולש).

שרטוט של המשפטים

ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180 מעלות

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות שווה ל 180 מעלות

 

מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות

אם מרובע חוסם מעגל אז סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה
אם מרובע חוסם מעגל אז סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה

מרכז מעגל החסום במשולש הוא נקודת מפגש חוצי הזווית של המשולש.

מעגל חסום במשולש

במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

במשולש, שלושת האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החוסם את המשולש.

 

 

אחר

1.דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.

2.בכל משולש אפשר לחסום מעגל.

3.כל משולש ניתן לחסום במעגל.

4.כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.

5.בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.

6.סכום הזוויות הפנימיות של מצולע קמור הוא

180(n – 2)

שני מעגלים

קטע מרכזים בין שני מעגלים הוא ישר המחבר את שני המעגלים.

לקטע מרכזים יש 2 תכונות / משפטים:

  1. קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
  2. נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.
שרטוט של המשפטים

קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו

 

נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו

קודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.

כאשר מעגל משיק למעגל מבפנים נקודת ההשקה נמצאת בהמשכו של קטע המרכזים.

כאשר מעגל משיק למעגל מבפנים נקודת ההשקה נמצאת בהמשכו של קטע המרכזים.
כאשר מעגל משיק למעגל מבפנים נקודת ההשקה נמצאת בהמשכו של קטע המרכזים.

 

זווית פנימית זווית חיצונית במעגל

אלו שני משפטים שכמעט לא משתמשים בהם אבל הם קיימים.

ניתן להגיע אל המסקנות שלהם גם מבלי לזכור אותן כמוסבר בסרטון וגם בקישור.

1.במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

2.במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן.

וידאו ושרטוט של המשפטים

  1. D = 35 זווית היקפית הנשענת על הקשת ש A נשענת.
  2. DEC = 180 – 45 – 35 = 80  סכום הזוויות במשולש CED הוא 180 מעלות.
  3. BEC = 180 – 80 = 100  סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.

הזווית הפנימית היא הזווית האדומה (BEC) ועל פי המשפט גודלה הוא חצי מסכום הקשתות המסומנות באדום.
(הקשתות האדומות אלו הן הקשתות הנוצרות משוקי הזווית והמשכיהן).

 

הזווית החיצונית היא הזווית A (מסומנת באדום) והיא שווה לחצי מהפרש הקשתות המסומנות באדום (BD, CE).

דרך לחשב את הזווית A ללא שימוש במשפט.

  • אם נדע את הקשתות המסומנות באדום סביר שנדע את הזווית ההיקפיות הנשענות עליהן.
    זוויות BCD,  CBA (מסומנות בשחור).
  • מהזווית BCD ניתן למצוא את BCA (זוויות צמודות).
  • למצוא את A על פי סכום זוויות במשולש ABC.

כך מצאנו את A ללא שימוש במשפט.

 

עוד באתר:

52 מחשבות על “משפטים מעגל (עם וידאו ותמונות)”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. מה זה אומר לי שהישרים האלו חותכים את המעגל או המשולש בהתאמה? (בכללי מה זה נותן לי? בהתאמה..)
    תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בהתאמה זה על פי הסדר.
      הישר הראשון עם המשולש הראשון. הישר השני עם המשולש השני .

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין משפט אבל בגלל שהזווית בניהן 90 אורך הקשת יהיה רבע מהיקף המעגל.

  2. תסתכלו על האיור ב65, תמתחו את קו AD וBC, האם הם מקבילים? כי זה נראה ככה אבל אני לא מוצא אזכור למשפט הזה AB=BC

  3. שלום

    איך מוכיחים שקשטות שוות זו לזו?

    מה המאפיינים את הקשטות שעל ידי זה אפשר לזהות שהם שוות אחת לשנייה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      קשתות שוות אם מיתרים שווים או זוויות מרכזיות / היקפיות (מאותו צד) שוות נשענות עליהן.

  4. אם יש שני מיתרים שווים זה נכון להגיד ששתי הקשתות שלהם שוות? אם כן, מה המשפט שאני אמור לרשום בנימוק?

          1. מצאתי שהם כן תמיד שווים בגלל 2 סיבות:
            1. כשמזיזים מיתרים מקבילים, כל פעם שקשת אחד זזה השנייה זזה באותו גודל.
            2. אפשר להעביר Z ואפשר לראות שהזוויות ההיקפות בין המיתרים שוות כך שגם הקשתות שוות.

            1. לומדים מתמטיקה

              יכול להיות שיש כאן קצר בתקשורת אבל מיתרים מקבילים לא בהכרח שווים.
              לכל מיתר במעגל ניתן להעביר אינסוף מיתרים מקבילים.
              כאשר מזיזים מיתר מקביל אין הכרח להזיז את המיתר המקביל אליו.

              1. אני מדבר על הקשתות שבין המיתרים המקבילים האלה, סליחה על אי ההבנה

              2. לומדים מתמטיקה

                אם שלחת עם התגובה תמונה – אז התמונות לא עולות או מגיעות לאתר.

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי, האם יש לכם הסבר על המשפט הבא?:
    דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.
    מה זאת אומרת שלוש נקודות… על איזה ישר מדובר… אשמח לדוגמה :)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      שתי נקודות כלשהן, כל שתי נקודות שתבחר נמצאות על ישר.
      אם תוסיף להם עוד נקודה שהיא לא על הישר הזה אז דרך שלושת הנקודות יעבור מעגל יחיד.

      אם הנקודה השלישית תהיה על הישר של שתי הנקודות – אז שלושת הנקודות לא נמצאות על אותו מעגל.

  6. היי, רציתי להגיד תודה רבה, אני ב 5 יח”ל כיתה יא אבל לא ממש הבנתי את החומר הזה כי למדנו את רובו בזום, עכשיו יושב לי פיקס בראש בזכות ההסברים שלך. ישר כוח!

  7. היי רציתי לשאול אני בכיתה יא 4 יח כמה משפטים צריך לטריגו במעגל?? האם מה שיש באתר שלכם מספיק אשמח לתשובה כי יש לי מתכונת מחר ממש תודההה על האתר עזר לי מאדד

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נועה
      בהצלחה במבחן מחר.
      המשפטים הם משפטים בגיאומטריה ומשתמשים בהם גם לטריגונומטריה.
      המשפטים הם על פי פרסומי משרד החינוך אבל איני יכול להתחייב לבחינה ספציפית שאת עוברת.
      בהצלחה

  8. אנונימי

    וואו. אני משתמשת באתר שלך כבר ארבע שנים ובזכותך אני מצליחה להישאר בחמש יחידות! מלך!

    1. לומדים מתמטיקה

      כיף לשמוע ממכרה וותיקה :). וגם ברור לנו שהזכויות לא שלי, וברור שצריך להמשיך להתמיד בעבודה.

    1. לומדים מתמטיקה

      בזכותך כמובן.
      שמח מאוד לשמוע שהאתר הוא גלגל קטן שעוזר.
      ממליץ לך להתמיד, ללמוד באופן עקבי ולא רק לפני מבחן.
      אם יהיו שאלות יש לך (ולאחרים) כתובת כאן לתשובות.

    1. שאלה לגבי מעגל חוסם, לא בטוח שמהחומר של הבגרות.
      אם יש נקודה בתוך מצולע או מחוץ למצולע, שמרחקה מכל קודקוד המצולע שווה, אפשר להגיד שהנקודה היא מרכז המעגל החוסם את המצולע?
      אם כן, איך אפשר להוכיח את זה?

      **לא נתון שהמצולע בר חסימה במעגל ולכן אי אפשר להשתמש במשפט ששלוש נקודות יכולות ליצור מעגל אחד בלבד.

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום רות.
        לדעתי כן. משפט מספר 60 אומר שדרך כל 3 נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד ויחיד.
        לכן דרך 3 קודקודי המצולע עובר מעגל.
        ואם מרחק מרכז מעגל זה משאר הקודקודים הוא הרדיוס אז היקף המעגל עובר גם דרכם.
        מקווה שעזה עזר.