בבגרות יש שני משפטים בנוגע לזווית פנימית וזווית חיצונית במעגל.
נביא אותם בדף זה אבל הם לרוב קשים להבנה ולא שימושיים.
לכן נביא גם דרך אלטרנטיבית שדרכה ניתן להגיע (מהר) לאותה תוצאה תוך שימוש בכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות וללא שימוש במשפטים הללו.
כמה מושגים שימושיים לדף זה:
זווית פנימית – זוויות הנוצרת על ידי שני מיתרים נחתכים במעגל.
זוויות חיצונית – זווית הנוצרת על ידי שני חותכים למעגל.
ובנוסף:
גודל הקשת הוא גודל הזווית המרכזית הנשענת עליה. (גודל קשת
ולכן גודל זווית היקפית שווה למחצית מגודל הקשת עליה היא נשענת.
במעגל, זווית פנימית שווה למחצית סכום שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן
הזווית הפנימית היא הזווית האדומה (BEC) ועל פי המשפט גודלה הוא חצי מסכום הקשתות המסומנות באדום.
(הקשתות האדומות אלו הן הקשתות הנוצרות משוקי הזווית והמשכיהן).
איך ניתן למצוא את BEC ללא המשפט?
הזוויות ההיקפיות הנשענות אלו הן הזוויות המסומנות בשחור.
סביר להניח שנדע אותן. (נניח לשם הדוגמה A = 35, C = 45)
- D = 35 זווית היקפית הנשענת על הקשת ש A נשענת.
- DEC = 180 – 45 – 35 = 80 סכום הזוויות במשולש CED הוא 180 מעלות.
- BEC = 180 – 80 = 100 סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
וכך מצאנו את הזווית הפנימית ללא משפט.
במעגל, זווית חיצונית שווה למחצית הפרש שתי הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן
(שימו לב: זה משפט מבלבל מאוד. ממליץ לכם לקרוא את ההערה שלאחר השרטוט).
הזווית החיצונית היא הזווית A (מסומנת באדום) והיא שווה לחצי מהפרש הקשתות המסומנות באדום (BD, CE).
דרך לחשב את הזווית A ללא שימוש במשפט.
- אם נדע את הקשתות המסומנות באדום סביר שנדע את הזווית ההיקפיות הנשענות עליהן.
זוויות BCD, CBA (מסומנות בשחור). - מהזווית BCD ניתן למצוא את BCA (זוויות צמודות).
- למצוא את A על פי סכום זוויות במשולש ABC.
כך מצאנו את A ללא שימוש במשפט.
עוד באתר בנושאים דומים:
- זווית היקפית ומרכזית – משפטים נוספים ותרגילים פתורים.
- משפטים בגיאומטריה מעגל – קבוצה רחבה יותר של משפטים.
- משפטים בגיאומטריה – רשימת משפטים המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.
נספח: סרטוני וידאו בנושא זוויות במעגל
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
נפלא! באופן מובן! תודה!
תודה רבה.
יש לך טעות בניסוח ובסימון; ראשית כל, קשת לא מסומנת על ידי שלוש אותיות, אלא ע”י שתי אותיות, ומעליהן יש קשת (המבדילה בין הקשת AB ובין המיתר AB הנשען עליה).
שנית, לפי דבריך גודל הזווית המרכזית שווה לגודל הקשת עליה היא נשענת, יש בזה שני אי־דיוקים:
1. גם אם שני הגדלים זהים בערכם המספרי לא ניתן להשוות ביניהם, כי האחד מדבר על יחידות אורך (מ”מ, ס”מ, מ’, ק”מ וכן הלאה) והשני על מפתח הזווית (מעלה, דקה ושניה).
2. מהאופן בו ניסחת זאת משתמע שאם קשת AB גדולה מקשת CD אזי הזווית (המרכזית, ובהתאם גם ההיקפית) הנשענת על קשת AB גדולה מהזווית (המרכזית, ובהתאם גם ההיקפית) הנשענת על קשת CD. לצורך הפרכה אתייחס לשני מעגלים שונים, האחד בעל רדיוס בן 5 ס”מ, והשני בעל רדיוס בן 5 מ’. ברור כי שני המעגלים “דומים” וקיימת פרופורציה זהה בין כל קטעיהם. במעגל הקטן זווית מרכזית בת 45° נשענת על קשת בת 2.5π ס”מ. במעגל הגדול זווית בת 45° נשענת על קשת בת 2.5π מ’, אמיר זאת לס”מ ונקבל שאורכה של הקשת הוא 250π ס”מ. כלומר הקשת במעגל הגדול גדולה פי 100 מבקשת במעגל הקטן, ועם זאת, גודלן של הקשתות (המרכזיות וההיקפיות בהתאם) הנשענות עליה זהה. מכאן שהאופן הנכון להביע זאת הוא שגודל הזווית המרכזית חלקי 360 (סך הזוויות המרכזיות במעגל) שווה לגודל הקשת חלקי 2πR.
שלישית, אמנם עברו מספר שנים מאז ניגשתי לבגרות, ואמנם השתנתה מאז השיטה הלימודית, אך גם בבני גורן וגם בתוכנית של בר־אילן מלמדים זאת בניסוח “זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפית הנשענות על הקשתות הכלולות בין שוקי הזווית ובין המשכיהן”.
שלום טל ותודה לך על התגובה.
מדובר במשפט לא שגרתי הקושר בין הגודל של זוויות לגודל של קשתות.
המשפט עצמו הוא חלק מהמשפטים המאושרים לבגרות על ידי משרד החינוך ולכן כאשר אני כותב אותו אני מסתמך על הפרסום של משרד החינוך וכותב אותו כפי שמשרד החינוך כתב ולא בדומה לאוניברסיטת בר אילן. משרד החינוך מתייחס לקשר שבין קשת וזווית.
אבל גם כתוב בדף זה, שלא כדאי להשתמש במשפט כי הוא מסובך וכן כדאי להשתמש בגדלים של זוויות על מנת למצוא זוויות.
כלומר גם אני אומר: אל תתייחסו לקשתות, תתייחסו לזוויות ואל תשתמשו במשפט כמו שהוא.
אכן קשת מסומנת כפי שאתה אמרת, אבל אין סימון של קשת בדף.
קשת יכולה להימדד בס”מ או במעלות ובמשפט של משרד החינוך האמירה היא לגבי מדידת הקשת במעלות.
תודה על התגובה.
תכלס שני המשפטים הם זווית חיצונית למשולש (ככה אני הבנתי את זה בקלות )
אני חושב שזו הדרך הטובה על מנת להימנע מסיבוכים.
איך משווים זווית לקשת? הניסוח הנכון ‘זוויות היקפיות הנשענות על הקשתות’.
שלום אליעזר.
אכן מדובר במשפט מבלבל מאוד והוספתי הערה על כך שאני ממליץ לא להשתמש בו.
את הניסוחים של המשפטים משרד החינוך קובע.
הקשר שבין גודל קשת וגודל זווית הוא שזווית מרכזית שווה לגודל הקשת עליה היא נשענת. ולכן זווית היקפית שווה לחצי מהקשת עליה היא נשענת.