שני מעגלים, קטע מרכזים במעגל

בדף זה נדבר על תכונות קטע מרכזים.

חלקי הדף הם:

1. הסבר וידאו למשפטים.
2. הסבר כתוב למשפטים.
3. תרגילים.

1.הסבר וידאו למשפטים

2.הסבר כתוב למשפטים

הגדרה:
קטע מרכזים בין שני מעגלים הוא ישר המחבר את שני המעגלים.

לקטע מרכזים יש 2 תכונות / משפטים:

1. קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
2. נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו.

הסבר של התכונות הללו עם תמונות:

קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו

 

נקודת ההשקה של שני מעגלים המשיקים זה לזה, נמצאת על קטע המרכזים או על המשכו

כאשר מעגל משיק למעגל מבפנים נקודת ההשקה נמצאת בהמשכו של קטע המרכזים.

3.תרגילים

בחלק זה שני תרגילים.

תרגיל 1

שני מעגלים נחתכים בנקודת E ו F. מהנקודה A שעל מעגל 1 מעבירים ישר דרך הנקודה E אל הנקודה B שעל המעגל השני.
מהנקודה D שעל מעגל 1 מעבירים דרך הנקודה F ישר אל הנקודה C שעל המעגל השני.
הוכיחו כי הישר AD מקביל ל BC.

פתרון

1. נגדיר EBC=a∠
2. EFC = 180-a∠ במרובע BEFC החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
3. EFD = a∠ סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
4. EFD = 180-a∠  במרובע AEFD החסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180.
5. הישר AD מקביל ל BC – אם זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות אז הישרים מקבילים.
   (הזוויות החד צדדיות הן EAD = 180-a∠ ו EBC=a∠)

תרגיל 2

הישרים AD ו BC משיקים כל אחד לשני מעגלים. והם נחתכים בנקודה E.
הוכיחו כי AB מקביל ל CD.

1. הוכיחו כי AD=BC.
2. ידוע כי AD ו BC נחתכים בהמשכם. הוכיחו כי ABCD הוא טרפז שווה שוקיים.

פתרון

1. נגדיר EAB = a∠
2. ABE = a∠ בגלל ששני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה (EA=EB) ובמשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.
3. AEB = ∠DEC = 180- 2a∠  משלימה ל 180 מעלות במשולש AED + זוויות קודקודיות.
4. CDE = ∠DCE = a∠ משולש CDE הוא שווה שוקיים (שני משיקים היוצאים מאותה …) וגם סכום הזוויות במשולש הוא 180.
5. AB מקביל ל CD  – אם זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.

חלק שני: הוכחת טרפז שווה שוקיים
ABCD טרפז – כי מרובע המורכב משני ישרים מקבילים ושני ישרים שאינם מקבילים הוא טרפז.
עכשיו עלינו להוכיח כי הטרפז שווה שוקיים.
נוכיח זאת באמצעות המשפט “אם בטרפז האלכסונים שווים אז הטרפז שווה שוקיים”.

1. EA=EB שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
2. EC=ED   שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
3. AD = AE+ED
4. BC = BE + BC
5. AD = BC
6. ABCD הוא טרפז שווה שוקיים “אם בטרפז האלכסונים שווים אז הטרפז שווה שוקיים”.

חלק שלישי:

בסעיף א הוכחנו כי AB מקביל ל CD ולכן המרובע ABCD הוא טרפז.
בסעיף ב הוכחנו כי האלכסונים בטרפז שווים ולכן המרובע הוא טרפז שווה שוקיים (על פי המשפט: טרפז שהאלכסונים שלו שווים הוא טרפז שווה שוקיים).

עוד באתר בנושאים דומים:

•  זווית היקפית ומרכזית – משפטים נוספים ותרגילים פתורים.
• משפטים בגיאומטריה מעגל – קבוצה רחבה יותר של משפטים.
• משפטים בגיאומטריה – רשימת משפטים המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.
• מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.