דמיון משולשים שטח

באתר זה לימוד דמיון המשולשים מחולק ל 3 חלקים:

1. דמיון משולשים משפטים – ללמוד כיצד להוכיח דמיון משולשים.
2. דמיון משולשים ויחס הדמיון – דף מסכם לתלמידי כיתה ח.
3. דמיון משולשים כיתה י – נושאים מתקדמים יותר.

דף זה הוא הרחבה של הדף השני ומתמקד בקשק שבין שטח משולשים דומים ליחס הדמיון.
לדף 3 חלקים:

1. יחס השטחים ויחס הדמיון.
2. 6 שאלות הבנה קצרות.
3. 4 שאלות ארוכות יותר.

עוד באתר:

• דמיון משולשים שטח למתקדמים – כולל שאלות קשות יותר.
• דמיון משולשים
• דמיון משולשים – כולל נושאים נוספים.
• מתמטיקה לכיתה ח.
• מבחן בנושא יחסי שטחים בין משולשים דומים
• מבחן בנושא יחסי דימיון ויחסי שטחים

1. יחס השטחים ויחס הדמיון

שטחים של משולשים דומים מתייחסים אחד לשני כמו ריבוע יחס הדמיון.
זה אומר שאם יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 3, כלומר צלע במשולש אחד גדולה פי 3 מצלע במשולש שני אז יחס השטחים הוא 9 (כי 3² = 9).

מעבר מיחס הדמיון ליחס השטחים
לכן אם נקבל את יחס הדמיון של משולשים דומים נעלה בריבוע את שני המספרים המרכיבים את יחס הדמיון ונקבל את יחס השטחים.

דוגמאות
יחס דמיון  1:3   יחס שטחים 3² : 1² (שווה ל 1:9).

יחס דמיון 3:5  יחס שטחים  3²:5²  (שווה ל 9:25).

מעבר מיחס השטחים ליחס הדמיון
אם נקבל את יחס השטחים נוציא שורש לשני רכיבי היחס ונקבל את יחס הדמיון.

יחס שטחים  1:16   יחס דמיון  16√ : 1√  (שווה ל 1:4).

יחס שטחים 4:9  יחס דמיון   9√ : 4√  (שווה ל 2:3).

לפעמים יחס השטחים יהיה רשום בצורה הזו:

גם במקרה כזה נוציא שורש לשני הרכיבים ונקבל כי יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש DEF הוא 100√ : 4√.
כלומר יחס הדמיון הוא:
2:10.

מה ניתן ללמוד מכך?
אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 1:4 ושטח המשולש הקטן הוא 10 סמ"ר.
אז:
יחס השטחים הוא 1:16
ושטח המשולש הגדול הוא
160 = 16 * 10

אם יחס השטחים של משולשים דומים הוא 1:9.
ואורך צלע במשולש הגדול הוא 27 סנטימטר.
אז:
יחס הדמיון הוא 1:3.
ואורך הצלע המתאימה במשולש הקטן הוא:
9 = 27:3

דוגמאות נוספות לקשר שבין יחס הדמיון ליחס השטחים

2. שאלות קצרות להבנת החומר

שאלה 1
במשולש אחד הצלעות גדולות פי 4 מבמשולש אחר. מה הוא היחס בין השטחים?
אם שטח המשולש הקטן הוא 5. מה שטחו של המשולש הגדול?

תשובה
יחס שטחים שווה לריבוע יחס הדמיון ולכן יחס השטחים הוא  4²=16.

שטח המשולש הגדול הוא פי 16 משטח המשולש הקטן:
80 = 16 * 5

שאלה 2
נתון כי יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 0.5. מה היחס בין השטחים?

תשובה
היחס בין השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון 0.5²=0.25
כלומר שטח משולש אחד הוא רבע (0.25) משטח האחר.

שאלה 3
נתון כי יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 2. מה הוא היחס בין הצלעות?

תשובה
על מנת לעבור מיחס שטחים ליחס דמיון עושים את פעולת השורש.
לכן:
היחס בין הצלעות הוא 2√.
כלומר צלע אחת במשולש הגדול גדולה פי 2√ מהצלע במשולש הקטן.

שאלה 4
אם שטח משולש אחד הוא 20 סמ"ר ונתון כי יחס הדמיון בינו לבין משולש אחר הוא 4 (המשולש האחר הוא המשולש הקטן). מה הוא שטח המשולש האחר?

פתרון
היחס בין השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
לכן יחס השטחים הוא  4²=16.

שטח המשולש הגדול הוא 20.
לכן שטח המשולש הקטן הוא
1.25 = 20:16

שאלה 5
נתון כי אורך צלע משולש אחד היא 10 ס"מ ואורך הצלע המתאימה לה במשולש דומה היא 2 ס"מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ"ר. מה הוא שטח המשולש הגדול?

פתרון
יחס הדמיון הוא 5 = 10:2.
היחס בין השטחים הוא 25 =5².
שטח המשולש הגדול הוא:
150 = 25 * 6
150 סמ"ר.

שאלה 6
נתון כי במשולשים דומים  ABC ∼ DEF
מתקיים:

1. שטח משולש ABC הוא 3 סמ"ר מה שטחו של משולש DEF?
2. DF = 28 סנטימטר, חשבו את אורך הצלע המתאימה במשולש ABC.

פתרון
סעיף א דרך פתרון ראשונה
על פי היחס ניתן לראות ששטח משולש DEF גדול פי 49 משטח משולש ABC.
לכן:
S_DEF = 3 * 49 = 147

סעיף א דרך פתרון שנייה
נתון לנו כי:
S_ABC = 3
נציב זאת במשוואה שקיבלנו:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 49S_DEF 
ונקבל:
S_DEF = 3 * 49 = 147

סעיף ב
על מנת למצוא את יחס הדמיון נוציא שורש ליחס השטחים ונקבל שיחס הדמיון הוא:

כלומר צלע במשולש ABC קטנה פי 7 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.
נתון לנו כי:
DF = 28
ABC ∼ DEF

הצלע המתאימה ל DF הוא AC.
AC = 28 : 7 = 4

ניתן לכתוב גם:
"היחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון" ולכן:

ומכאן להמשיך ולמצוא את AC.

3.יחסי דמיון קשים

כאשר יחסי הדמיון פשוטים, למשל 1:4 קל לנו לעבור מגודל של צלע משולש אחד לצלע משולש שני.
כל שעלינו לעשות הוא להכפיל או לחלק פי 4.

אבל מה נעשה כאשר יחס הדמיון הוא 3:7?

תשובה
אם ידועה לנו הצלע הגדולה ואנו רוצים למצוא את הצלע המתאימה הקטנה נכפיל את הצלע הגדולה פי

אם ידועה הצלע הקטנה ואנו רוצים למצוא את הצלע המתאימה במשולש הגדול נכפיל את הצלע הקטנה פי:

יחס השטחים הוא:

ואם נקבל את שטח המשולש הגדול נכפיל ב 9/49 על מנת לקבל את שטח המשולש הקטן.
ואם נקבל את שטח המשולש הקטן נכפיל ב 49/9 על מנת לקבל את שטח המשולש הגדול.

דוגמה
ידוע כי ABC ∼ DEF.
יחס הדמיון הוא 5:9 כאשר DEF הוא המשולש הגדול יותר.
ידוע כי:
DF = 27
BC = 20
S_ABC = 50 סמ"ר.

1. חשבו את הצלעות המתאימות ל DF,BC.
2. חשבו את שטח משולש DEF.

פתרון
הצלע המתאימה ל DF היא AC כאשר DF היא הגדולה ביותר.
לכן ומכוון שיחס הדמיון שווה ליחס בין צלעות מתאימות ניתן לכתוב את המשוואה.

הצלע המתאימה ל BC היא EF כאשר BC היא הקטנה יותר.

חישוב השטחים:
S_ABC = 50 סמ"ר.
S_DEF גדול יותר.

4.תרגילים

1-4 הם תרגילים בסיסיים, לכל אחד מיהם יש גם פתרון וידאו.

תרגילים קשים יותר בדף דמיון משולשים שטח למתקדמים.

תרגיל 1
בטבלה הבאה נתון יחס הדמיון או יחס השטחים עבור משולשים דומים.
השלימו בטבלה את מה שחסר.

פתרון
אם קיבלנו את יחס הדמיון נעלה אותו בריבוע ונקבל את יחס השטחים.
אם קיבלנו את יחס השטחים נוציא לו שורש ונקבל את יחס הדמיון.
כך נקבל את הטבלה הבאה:

תרגיל 2: מציאת יחס הדמיון וחישוב השטחים
נתונים המשולשים הדומים ABC ∼ EDF.
AC = 12,  AB= 9, DF = 2, ED = 3

1. חשבו את יחס הדמיון בין המשולשים.
2. שטח משולש ABC הוא 24 סמ"ר. חשבו את שטח משולש DEF.

פתרון
(לתרגיל זה פתרון ודאו לאחר הפתרון הכתוב)
סעיף א: מציאת יחס הדמיון
ABC ∼ EDF
על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את אורכן.
במשולש ABC אנו יודעים: AC = 12,  AB= 9.
במשולש EDF אנו יודעים: DF = 2, ED = 3.

הצלעות המתאימות הן: AB= 9 ו- ED = 3.
יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש EDF הוא:
3 = 3 : 9

סעיף ב: חישוב שטח משולש EDF
נחשב את היחס בין השטחים
היחס בין השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון
9 = 3²

נחשב את שטח משולש EDF
שטח משולש ABC הוא 24 סמ"ר וגדול פי 9 משטח משולש EDF.
S_EDF = 24 : 9 = 2.666
תשובה: שטח משולש EDF הוא 2.666 סמ"ר.

תרגיל 3
נתון כי היחס בין שטחי משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF  הוא 1/4.

1. אם שטח ΔDEF הוא 8 סמ"ר מה הוא שטחו של ΔABC?
2. מה הוא יחס הדמיון בין המשולשים?
3. נתון כי אורך הצלע BC הוא 6 ס"מ. מצאו את אורך הצלע המתאימה במשולש ΔDEF.

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב)

מציאת שטח משולש ABC
נציב את המספר 8 במשוואה הרשומה למעלה:

S_ΔABC = 4 * 8 = 32

סעיף ב: מציאת יחס הדמיון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
לכן אם נוציא שורש ליחס בין שטחי המשולשים (1/4) נקבל את יחס הדמיון.
0.5 = 0.25√
תשובה יחס הדמיון הוא 1:2.
המשמעות היא שכל צלע במשולש ABC גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.

סעיף ג: מציאת אורך הצלע המתאימה ל- BC=6
הדמיון רשום כך:
ΔABC ∼ ΔDEF.
לכן הצלע המתאימה ל- BC היא EF. כמו כן המשולש ABC גדול יותר.
EF=BC/2
EF = 6 / 2 = 3

תרגיל 4
*תרגיל זה ניתן בכוונה ללא שרטוט על מנת לתרגל הסתכלות באופן רישום דמיון המשולשים*

נתון דמיון המשולשים   ΔABC ∼ ΔDEF  וכי יחס הדמיון הוא 3 (משולש ABC גדול יותר).
נתון כי:

1. צלע BC=6 ס"מ.
2. צלע FD=1 ס"מ.
3. D = 50∠ מעלות.
4. שטח משולש ABC הוא 18 סמ"ר.

1.מצאו את גדלי הצלעות והזוויות המתאימות.
2. את שטח משולש DEF.
3. פי כמה גדול היקף ΔABC מ- ΔDEF ?
4. בכמה גדול היקף ΔABC מ- ΔDEFF ?

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב)

במשולשים דומים:

1. יחס הצלעות הוא כיחס הדמיון (בשאלה זו יחס הדמיון הוא 3).
2. הזוויות שוות זו לזו.
3. יחס שטחי המשולשים הוא כריבוע יחס הדמיון (בשאלה זו יחס השטחים הוא 3²=9).

סעיף א: מציאת גדלי הצלעות

1. הצלע הדומה ל- BC היא EF והיא קטנה ממנה פי 3.
   EF=6:3=22 ס"מ.
2. הצלע המתאימה לצלע FD היא CA והיא גדולה ממנה פי 3.
   CA=1*3=33 ס"מ.
3. הזווית המתאימה ל- D∠ היא A∠ והן שוות אחת לשנייה.
   A=50∠ מעלות.

סעיף ב: מציאת שטח משולש DEF
יחס הדמיון הוא 3.
לכן יחס השטחים הוא  9=3². (שטח משולש DEF קטן יותר)

2 = 9 : 18
שטח משולש DEF הוא 2 סמ"ר.

סעיף ג + ד: יחס היקפי המשולשים

1. בנוגע ליחס היקפי המשולשים:
   מכוון שכל צלע במשולש ABC גדולה פי 3 מהצלע המתאימה במשולש DEF אז גם היקף משולש ABC גדול פי 3 מהיקף משולש DEF.
   ניתן לדעת זאת גם מבלי לדעת את הגודל המדויק של צלעות המשולשים.
2. אבל לא ניתן ב כמה גדול היקף משולש אחד מהיקף משולש אחר – משום שאנו יודעים רק את יחס הצלעות ולא את הפרש הגדלים של הצלעות.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.