דמיון משולשים שטח

דף זה מלמד על הקשר שבין יחס הדמיון לשטחי משולשים דומים.

החלקים של דף זה הם:

  1. סיכום וידאו
  2. יחס השטחים ויחס הדמיון.
  3. דוגמאות לבניית משוואות.
  4. 6 שאלות הבנה קצרות.
  5. 4 שאלות ארוכות יותר.

עוד באתר:

1.סיכום וידאו

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.יחס השטחים ויחס הדמיון

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

הכלל אומר:

שטחים של משולשים דומים מתייחסים אחד לשני כמו ריבוע יחס הדמיון.

באופן מעשי זה אומר:

זה אומר שאם יחס הדמיון הוא 3. אז יחס השטחים יהיה

3² = 9.

כלומר, שטח המשולש הגדול הוא פי 9 משטח המשולש הקטן.

וזה עובד גם הפוך;

אם בין שני משולשים דומים שטח משולש אחד גדול פי 25 משטח משולש אחר אז יחס הדמיון (יחס הצלעות) בין אותן משולשים הוא:

√25 = 5

כלומר צלע במשולש הגדול גדולה פי 5 מהצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

יחס השטחים במשולשים דומים
יחס השטחים במשולשים דומים

מעבר מיחס הדמיון ליחס השטחים
לכן אם נקבל את יחס הדמיון של משולשים דומים נעלה בריבוע את שני המספרים המרכיבים את יחס הדמיון ונקבל את יחס השטחים.

דוגמה 1

יחס דמיון  1:4 מה הוא יחס השטחים?

פתרון התרגיל

נעלה בריבוע את יחס הדמיון כדי למצוא את יחס השטחים:

4² : 1² (שווה ל 1:16).

שטח המשולש הגדול גדול פי 16 משטח המשולש הקטן.

דוגמה 2

יחס דמיון 3:5 מה הוא יחס השטחים?

פתרון התרגיל

נעלה בריבוע את שני המספרים כדי למצוא את יחס השטחים.

3²:5²  (שווה ל 9:25).

מעבר מיחס השטחים ליחס הדמיון

אם נקבל את יחס השטחים נוציא שורש לשני רכיבי היחס ונקבל את יחס הדמיון.

דוגמה 1

יחס שטחים  1:16 מה יחס הדמיון?

פתרון התרגיל

נוציא שורש לשני המספרים:

√1 : √16 = 1 : 4

כלומר צלע במשולש הגדול גדולה פי 4 מצלע במשולש הקטן

דוגמה 2

יחס שטחים 4:9 מה הוא יחס הדמיון?

פתרון התרגיל

נוציא שורש לשני המספרים:

√4 : √9 = 2 : 3

דוגמה 3

לפעמים יחס השטחים יהיה רשום בצורה הזו:

גם במקרה כזה נוציא שורש לשני הרכיבים ונקבל כי יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש DEF הוא 100√ : 4√.
כלומר יחס הדמיון הוא:
2:10.

מה ניתן ללמוד מכך?
אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 1:4 ושטח המשולש הקטן הוא 10 סמ”ר.
אז:
יחס השטחים הוא 1:16
ושטח המשולש הגדול הוא
160 = 16 * 10

אם יחס השטחים של משולשים דומים הוא 1:9.
ואורך צלע במשולש הגדול הוא 27 סנטימטר.
אז:
יחס הדמיון הוא 1:3.
ואורך הצלע המתאימה במשולש הקטן הוא:
9 = 27:3

דוגמאות נוספות לקשר שבין יחס הדמיון ליחס השטחים

3.דוגמאות לבניית משוואות

כאשר נתן לנו יחס השטחים ושטח משולש אחד, כיצד נמצא את שטח המשולש השני?

דוגמה 1 (ניתן גם ללא משוואה)

יש מקרים שניתן להסביר במילים.

יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 1:5.

ושטח המשולש המשולש הגדול הוא 30 סמ”ר.

מה הוא שטח המשולש הקטן?

פתרון התרגיל

לפי היחס שטח המשולש הגדול גדול פי 5, לכן שטח המשולש הקטן יהיה:

30 : 5 = 6

תשובה: שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ”ר.

דוגמה 2 (משוואה נדרשת)

נתון דמיון המשולשים:

ABC ∼ DEF

יחס השטחים בין המשולשים הוא 3:11.

DEF הוא המשולש הקטן יותר ושטחו 8 סמ”ר.

מה הוא שטח משולש ABC?

פתרון התרגיל

המשמעות של יחס 3:11 כאשר DEF הוא המשולש הקטן היא המשוואה הבאה:

(ובמילים, מחלקים את שטח DEF בשטח ABC ומקבלים 3:11).

אנו יודעים כי:

SDEF = 8

נציב זאת במשוואה ונוכל למצוא את SABC

תשובה: SABC = 29.333 סמ”ר.

 

4.שאלות קצרות להבנת החומר

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

שאלה 1
במשולש אחד הצלעות גדולות פי 4 מבמשולש אחר. מה הוא היחס בין השטחים?

אם שטח המשולש הקטן הוא 5. מה שטחו של המשולש הגדול?

פתרון התרגיל

יחס שטחים שווה לריבוע יחס הדמיון ולכן יחס השטחים הוא  4²=16.

שטח המשולש הגדול הוא פי 16 משטח המשולש הקטן:

80 = 16 * 5

שאלה 2
נתון כי יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 0.5. מה היחס בין השטחים?

פתרון התרגיל

היחס בין השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון 0.5²=0.25

כלומר שטח משולש אחד הוא רבע (0.25) משטח האחר.

שאלה 3
נתון כי יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 2. מה הוא היחס בין הצלעות?

פתרון התרגיל

על מנת לעבור מיחס שטחים ליחס דמיון עושים את פעולת השורש.

לכן:
היחס בין הצלעות הוא 2√.

כלומר צלע אחת במשולש הגדול גדולה פי 2√ מהצלע במשולש הקטן.

שאלה 4
אם שטח משולש אחד הוא 20 סמ”ר ונתון כי יחס הדמיון בינו לבין משולש אחר הוא 4 (המשולש האחר הוא המשולש הקטן). מה הוא שטח המשולש האחר?

פתרון התרגיל

היחס בין השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
לכן יחס השטחים הוא  4²=16.

שטח המשולש הגדול הוא 20.

לכן שטח המשולש הקטן הוא

1.25 = 20:16

שאלה 5
נתון כי אורך צלע משולש אחד היא 10 ס”מ ואורך הצלע המתאימה לה במשולש דומה היא 2 ס”מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ”ר. מה הוא שטח המשולש הגדול?

פתרון התרגיל

יחס הדמיון הוא 5 = 10:2.
היחס בין השטחים הוא 25 =5².
שטח המשולש הגדול הוא:
150 = 25 * 6
150 סמ”ר.

שאלה 6
נתון כי במשולשים דומים  ABC ∼ DEF
מתקיים:

  1. שטח משולש ABC הוא 3 סמ”ר מה שטחו של משולש DEF?
  2. DF = 28 סנטימטר, חשבו את אורך הצלע המתאימה במשולש ABC.
פתרון התרגיל

סעיף א דרך פתרון ראשונה
על פי היחס ניתן לראות ששטח משולש DEF גדול פי 49 משטח משולש ABC.
לכן:
SDEF = 3 * 49 = 147

סעיף א דרך פתרון שנייה
נתון לנו כי:
SABC = 3
נציב זאת במשוואה שקיבלנו:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 49SDEF 
ונקבל:
SDEF = 3 * 49 = 147

סעיף ב
על מנת למצוא את יחס הדמיון נוציא שורש ליחס השטחים ונקבל שיחס הדמיון הוא:

כלומר צלע במשולש ABC קטנה פי 7 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.
נתון לנו כי:
DF = 28
ABC ∼ DEF

הצלע המתאימה ל DF הוא AC.
AC = 28 : 7 = 4

ניתן לכתוב גם:
“היחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון” ולכן:

ומכאן להמשיך ולמצוא את AC.

בהמשך הדף:

  1. יחסי דמיון קשים.
  2. תרגילים.

החלקים הללו מיועדים למנויים באתר.

5.תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

1-4 הם תרגילים בסיסיים, לכל אחד מיהם יש גם פתרון וידאו.

תרגילים קשים יותר בדף דמיון משולשים שטח למתקדמים.

תרגיל 1
בטבלה הבאה נתון יחס הדמיון או יחס השטחים עבור משולשים דומים.
השלימו בטבלה את מה שחסר.

יחס דמיון 3:4 1:4
יחס שטחים 16:25 1:36
פתרון התרגיל

אם קיבלנו את יחס הדמיון נעלה אותו בריבוע ונקבל את יחס השטחים.
אם קיבלנו את יחס השטחים נוציא לו שורש ונקבל את יחס הדמיון.
כך נקבל את הטבלה הבאה:

יחס דמיון 4:5 1:6 3:4 1:4
יחס שטחים 16:25 1:36 9:16 1:16

תרגיל 2: מציאת יחס הדמיון וחישוב השטחים
נתונים המשולשים הדומים ABC ∼ EDF.
AC = 12,  AB= 9, DF = 2, ED = 3

  1. חשבו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. שטח משולש ABC הוא 24 סמ”ר. חשבו את שטח משולש DEF.

דמיון משולשים שטח

פתרון התרגיל

סעיף א: מציאת יחס הדמיון
ABC ∼ EDF
על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את אורכן.
במשולש ABC אנו יודעים: AC = 12,  AB= 9.
במשולש EDF אנו יודעים: DF = 2, ED = 3.

הצלעות המתאימות הן: AB= 9 ו- ED = 3.
יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש EDF הוא:
3 = 3 : 9

סעיף ב: חישוב שטח משולש EDF
נחשב את היחס בין השטחים
היחס בין השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון
9 = 3²

נחשב את שטח משולש EDF
שטח משולש
ABC הוא 24 סמ”ר וגדול פי 9 משטח משולש EDF.
SEDF = 24 : 9 = 2.666
תשובה: שטח משולש EDF הוא 2.666 סמ”ר.

סרטון הסבר

תרגיל 3
נתון כי היחס בין שטחי משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF  הוא 1/4.

 היחס בין שטחי משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF הוא 1/4.

  1. אם שטח ΔDEF הוא 8 סמ”ר מה הוא שטחו של ΔABC?
  2. מה הוא יחס הדמיון בין המשולשים?
  3. נתון כי אורך הצלע BC הוא 6 ס”מ. מצאו את אורך הצלע המתאימה במשולש ΔDEF.
פתרון התרגיל

מציאת שטח משולש ABC
נציב את המספר 8 במשוואה הרשומה למעלה:

היחס בין שטחי המשולשים הוא 1/4

SΔABC = 4 * 8 = 32

סעיף ב: מציאת יחס הדמיון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
לכן אם נוציא שורש ליחס בין שטחי המשולשים (1/4) נקבל את יחס הדמיון.
0.5 = 0.25√
תשובה יחס הדמיון הוא 1:2.
המשמעות היא שכל צלע במשולש ABC גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.

סעיף ג: מציאת אורך הצלע המתאימה ל- BC=6
הדמיון רשום כך:
ΔABC ∼ ΔDEF.
לכן הצלע המתאימה ל- BC היא EF. כמו כן המשולש ABC גדול יותר.
EF=BC/2
EF = 6 / 2 = 3

סרטון הסבר

תרגיל 4
*תרגיל זה ניתן בכוונה ללא שרטוט על מנת לתרגל הסתכלות באופן רישום דמיון המשולשים*

נתון דמיון המשולשים   ΔABC ∼ ΔDEF  וכי יחס הדמיון הוא 3 (משולש ABC גדול יותר).
נתון כי:

  1. צלע BC=6 ס”מ.
  2. צלע FD=1 ס”מ.
  3. D = 50∠ מעלות.
  4. שטח משולש ABC הוא 18 סמ”ר.

1.מצאו את גדלי הצלעות והזוויות המתאימות.
2. את שטח משולש DEF.
3. פי כמה גדול היקף ΔABC מ- ΔDEF ?
4. בכמה גדול היקף ΔABC מ- ΔDEFF ?

פתרון התרגיל

במשולשים דומים:

  1. יחס הצלעות הוא כיחס הדמיון (בשאלה זו יחס הדמיון הוא 3).
  2. הזוויות שוות זו לזו.
  3. יחס שטחי המשולשים הוא כריבוע יחס הדמיון (בשאלה זו יחס השטחים הוא 3²=9).

סעיף א: מציאת גדלי הצלעות

  1. הצלע הדומה ל- BC היא EF והיא קטנה ממנה פי 3.
    EF=6:3=2 ס”מ.
  2. הצלע המתאימה לצלע FD היא CA והיא גדולה ממנה פי 3.
    CA=1*3=3 ס”מ.
  3. הזווית המתאימה ל- D∠ היא A∠ והן שוות אחת לשנייה.
    A=50∠ מעלות.

סעיף ב: מציאת שטח משולש DEF
יחס הדמיון הוא 3.
לכן יחס השטחים הוא  9=3². (שטח משולש DEF קטן יותר)

2 = 9 : 18
שטח משולש DEF הוא 2 סמ”ר.

סעיף ג + ד: יחס היקפי המשולשים

  1. בנוגע ליחס היקפי המשולשים:
    מכוון שכל צלע במשולש ABC גדולה פי 3 מהצלע המתאימה במשולש DEF אז גם היקף משולש ABC גדול פי 3 מהיקף משולש DEF.
    ניתן לדעת זאת גם מבלי לדעת את הגודל המדויק של צלעות המשולשים.
  2. אבל לא ניתן ב כמה גדול היקף משולש אחד מהיקף משולש אחר – משום שאנו יודעים רק את יחס הצלעות ולא את הפרש הגדלים של הצלעות.
סרטון הסבר

[/mepr-show]

 

10 מחשבות על “דמיון משולשים שטח”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. נתנו לי משימה בה אומרים מספר נתונים,
    יש זוג צלעות מקבילות ואורך הצלע הקטנה יותר היא שש וצריך למצוא את אורך הצלע המקבילה לה
    ונתון גם ששטח משולש 1 שווה ל 9 חלקי 19 כפול שטח משולש 2
    אני יודעת שזה קשה יותר כשזה כתוב ולא מול העין אבל אשמח לעזרה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      שלבי הפתרון הם:
      1.הוכחת דמיון משולשים כנראה בעזרת תכונות של זוויות מקבילות.
      2.שימוש ביחס השטחים כדי למצוא את יחס הדמיון – כפי שמוסבר בדף זה.
      3.בעזרת יחס הדמיון מוצאים את הצלע החסרה.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היחס שאני מכירה זה מספר:מספר ואתה רשמת רק מספר אחד, מניחה שפשוט המספר השני הוא אחד. אבל במקרה והמספר השני הוא גדול מאחד וצריך לרשום אותו אז אפשר לצמצם את יחס הדימיון?
    לדוגמא: (המשולשים דומים) אורך צלע אחת שווה לשש ואורך הצלע המתאימה לה שווה לעשר יוצא לי 6:10 השאלה שלי אם יחס הדימיון הוא 6:10 או 3:5?
    כי לאחר מכן כדי למצוע את יחס השטחים צריך להעלות את היחס בריבוע אז כן משנה באיזה מהם משתמשים.
    אשמח לתשובה כמה שיותר מהם תודה:)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      שני היחסים נכונים והם בדיוק אותו יחס – רק שאחד מהיחסים הוא יחס מצומצם.
      אם תעלה אותם בריבוע תגיע לאותו יחס – כשאחד מצומצם והשני לא.
      בדיוק כמו שלכתוב 2 או לכתוב 10 חלקי 5 זה בדיוק אותו דבר.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מיכאל
      משלשים דומים אם אותו שטח לא חייבים להיות חופפים ואין משפט כזה.
      בהצלחה

  3. אהלן:) אני אשמח להסבר של המשפט : יחס שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.
    תודה רבה:) אשמח לתשובה כמה שיותר מהר

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שיראל
      יחס שטחי משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.
      זה אומר שאם אתה יודע את יחס הדמיון אתה מעלה אותו בריבוע ומקבל את יחס השטחים.
      אם יחס הדמיון הוא 5 אז יחס השטחים הוא 25.
      אם שטח המשולש הקטן הוא 10 אז שטח המשולש הגדול הוא 25.

      זה עובד גם הפוך.
      אם יחס השטחים של משולשים דומים הוא 16 אז יחס הדמיון הוא 4.
      אני זמין עכשיו בצאט, אם תרצה דבר איתי.
      בהצלחה