חישוב שטחים שיש להם גובה או בסיס משותף (לחטיבת הביניים)

בדף זה חישוב של שטחים עם גובה או בסיס משותף.

בחלק הראשון תרגילים המשלבים בין מרובע למשולש ובחלק השני בין שני משולשים.

תקציר והסבר

1.השוואת שטחים של שני משולשים

מכוון ששטח משולש מורכב ממכפלה של צלע וגובה אם אחד מיהם שווה בין שני משולשים אז הגורם השני לבדו גורם לשוני בין המשולשים.
כאשר נסתכל על המשוואות של שטחי משולשים:

נוכל לקבוע כי ההבדל בין S1, S2 נקבע אך ורק על ידי ההבדל בין AE ל DF.

כמו כן, אם AE גדול פי 2 מ DF, כלומר:
AE = 2DF
אז ניתן להסיק מכך ש:
S1 = 2S2

ניתן וצריך להוכיח זאת על ידי הצבה 2DF במקום AE.

להוכחה מפורטת יותר לחצו כאן

עכשיו ניתן להוציא את ה 2 לפני השבר ולקבל:

2.שרטוטים בולטים בין שני משולשים שכדאי להכיר

1.שני משולשים שיש להם צלע משותפת:

שלושה משולשים שיש להם גובה משותף.
שימו לב ש AE הוא גובה בשלושת המשולשים הבאים:
ABC
ABD
ADC

פתרו בעצמכם:

1.מצאו את הקשר בין המשולשים ABC ו DBC על פי הנתון שבשרטוט.

עבור שרטוט אחד נתון
AE = 2DF

עבור שרטוט 2 נתון:
AE = 3,  DF = 12

 

פתרון שרטוט ראשון

SABC = 0.5BC * AE

SBDC = 0.5BC * DF

נציב AE = 2DF במשוואה הראשונה.

SABC = 0.5BC * 2DF
(SABC = 2* (0.5BC * DF
SABC = 2SBDC

מצאנו כי שטח משולש ABC גדול פי 2 משטח משולש BDC.

פתרון שרטוט שני

SABC = 0.5BC * AE
SABC = 0.5BC * 3 = 1.5BC

SBDC = 0.5BC * DF
SBDC = 0.5BC * 12 = 6BC

מצאנו כי:
SABC  = 1.5BC
SBDC  = 6BC

מכוון ש:
6 : 1.5 = 4

אז SBDC  גדול פי 4 מ SABC.

ניתן להציג את דרך הפתרון גם כך:

3.השוואת שטחים של משולש עם צורה אחרת

כאשר משווים שטח משולש עם צורה אחרת נתייחס גם לכך שנוסחאות השטחים הם שונות.

לרוב מדובר בהשוואה בין שטח משולש לשטח מלבן.

שטח המלבן הוא:
S1 = AB * BC

שטח המשולש הוא:
S2 = 0.5FE * BC

ומכוון ש:
FE = BC
אז שטח המלבן גדול פי 2 משטח המשולש.

הוכחה מפורטת לכך ש EF = DC

כי:

  1. במרובע EFDC יש 3 זוויות השוות 90 מעלות.
  2. מרובע בו יש 3 זוויות שגודלן 90 מעלות הוא מלבן.
  3. במלבן צלעות נגדיות שוות ולכן EF = DC.

שתי הערות
הערה 1
שטח המשולש הוא חצי משטח המלבן ולכן השטח הנמצא מחוץ למשולש גם הוא חצי משטח המלבן.
כלומר השטח המקווקו בירוק שווה לשטח המשולש וגם שווה לחצי משטח המלבן.

הערה 2
כל מה שאמרנו על מלבן נכון גם למקבילית / ריבוע / מעוין.
גם עבור הצורות הללו אם יש משולש החסום בהם על שטח המשולש שווה למחצית משטח המרובע.

פתרו בעצמכם

בשרטוט משולש ישר זווית ומלבן
CE = 0.5BC
מה הקשר בין שטח המלבן לשטח המשולש?
אם שטח המשולש הוא 20 סמ"ר, מה שטח המלבן.

לצפייה בפתרון

שטח המלבן הוא:
SABCD = BC * DC

שטח המשולש הוא:
SDCE = 0.5CE * DC

נציב במשוואה של שטח המשולש את הנתון
CE = 0.5BC
ונקבל:
SDCE = 0.5* 0.5BC * DC
SDCE = 0.25 * BC * DC
SDCE = 0.25 * SABCD

תשובה: שטח המשולש הוא רבע משטח המלבן.

תרגילים נוספים

תרגיל 1

נתון מלבן ABCD שרוחבו 4 ס"מ ואורכו 10 ס"מ.
על צלע BC בנו משולש BCE כך שקודקוד E נמצא על צלע AD.
חשבו את שטח משולש BCE.

שרטוט התרגיל

פתרון

הגובה EF שווה לאורך המלבן 10 ס"מ.
(כי המרובע AEFB הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו, הסבר מפורט יותר בוידאו).
שטח משולש BEC הוא:
2 : (10*4)
20=40:2.
תשובה: שטח משולש BEC הוא 20 סמ"ר.

שימו לב לדברים הבאים:

  1. שטח המלבן הוא 40 סמ"ר. ובכול התרגילים מהסוג הזה שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.
  2. זה לא משנה איפה הנקודה E נמצאת על צלע AD.

*תרגיל 2: כמו תרגיל 1 אבל עם משתנים ולא מספרים

נתון מלבן שאורך צלעותיו הם a,b.
המשולש EAD חסום במלבן.
הוכיחו כי שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.

שרטוט התרגיל

פתרון
נחשב את שטח המלבן ושטח המשולש ואז נראה מה הקשר בניהם.
שטח המלבן
S = a * b

שטח המשולש
גובה המשולש EF=b.
(כי המרובע EFDC הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו. הסבר מפורט יותר בוידאו).
לכן שטח המשולש הוא:
S = (a * b) : 2 = 0.5ab

תשובה: שטח המלבן הוא a*b  שטח המשולש הוא 0.5a*b.
לכן שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.

תרגיל 3

בשרטוטים הבאים נתונים מלבן ומשולש ישר זווית הבנוי על צלע המלבן.
קבעו על פי הנתונים בשרטוט האם שטח המלבן שווה / קטן / גדול לשטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
הנוסחה לשטח המלבן היא:
שטח = מכפלת הצלעות.
הנוסחה לשטח משולש ישר זווית היא:
שטח = מכפלת הניצבים לחלק ב- 2.

כלומר אם צלעות המלבן שוות לניצבי המשולש אז שטח המשולש שווה למחצית משטח המלבן.

בנוסף בשלושת המקרים הפתרון מבוסס על כך שצלע המלבן שווה לגובה המשולש.

הפתרון של שרטוט 1.
x  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
4x
שטח המשולש הוא:
4x : 2 = 2x
תשובה: שטח המשולש קטן משטח המלבן, שטח המשולש הוא מחצית משטח המלבן.

הפתרון של שרטוט 2.
y  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
y * 4
שטח המשולש הוא:
y * 6) : 2 = 3y)
תשובה: שטח המלבן גדול משטח המשולש.

הפתרון של שרטוט 3.
z  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
z * x
שטח המשולש הוא:
z * 2x) : 2 = zx)
שטח ומלבן ושטח המשולש שווים, שניהם שווים ל- zx.

תרגיל 4

אורך הניצבים של משולש ישר זווית הוא 5 ו 2 סנטימטר.
בטרפז ישר זווית אורך הבסיס הקטן הוא 20 סנטימטר ואורך הבסיס הגדול 25 סנטימטר.
גובה הטרפז שווה ל- 2 סנטימטר.
חשבו כמה משולשים יכולים להיכנס בטרפז.
(הערה, ניסוח אחר לאותה שאלה יכול להיות: פי כמה גדול שטח הטרפז משטח המשולש).

שרטוט התרגיל

פתרון
משני משולשים ישרי זווית ניתן ליצור מלבן שאורך צלעותיו 5 ו- 2.

מלבן שנוצר משני משולשים ישרי זווית
מלבן שנוצר משני משולשים ישרי זווית

מלבן זה נכנס 4 פעמים עד קצה הבסיס הקטן של הטרפז.
(כי 4 = 5 : 20).

לאחר מיכן יש מקום לעוד משולש אחד.
סך הכל משולשים שנכנסו:
8 = 2 * 4 ( כי בכול מלבן שהכנסנו יש 2 משולשים).
1 שנכנס בסוף
תשובה: 9 משולשים נכנסים בתוך הטרפז.

תרגיל 5

בריבוע ABCD העבירו את הישרים CE ו- DF כך שנוצר טרפז.
אורך צלע הריבוע 10 סנטימטר.
AF = 2,  BE = 6 סנטימטר.

  1. מבלי לבצע חישוב, הגידו האם שטח הטרפז גדול / קטן שווה לחצי שטח הריבוע.
  2. חשבו את שטח הטרפז מבלי להשתמש בנוסחה לשטח טרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

האם שטח הטרפז גדול / קטן / שווה לשטח הריבוע?
למדנו שכאשר משולש חסום בריבוע או מלבן הוא שווה למחצית משטחם. שטח טרפז חסום גדול יותר משטח משולש חסום כי אנו מרחבים את החלק העליון.
לכן שטח הטרפז גדול ממחצית שטח הריבוע.

למדנו קודם ששטח משולש FCD שווה למחצית שטח הריבוע. לכן שטח הטרפז גדול ממחצית שטח הריבוע

חלק שני: חישוב שטח הטרפז
נחשב את שטח הריבוע. נחסר ממנו את שטח שני המשולשים ישרי הזווית הנמצאים בצדדים וכך נמצא את שטח הטרפז.
SFECD = SABCD – SAFD – SEBC
שטח הריבוע:
100 = 10 * 10

שטח המשולשים
AD = BC = 10 צלעות המשולש שוות זו לזו.
SAFD = (10 * 2) : 2
SAFD = 20 : 2 = 10

SBEC = (6 * 10) : 2
SBEC = 60 :2 = 30

שטח הטרפז הוא:
SFECD = SABCD – SAFD – SEBC
SFECD = 100 – 30 – 10 = 60
תשובה: שטח הטרפז 60 סמ"ר.

שאלות יחס בין שטחים של שני משולשים

הסבר

בין שני משולשים יכול להיות גובה שווה או צלע שווה.
במקרה כזה היחס בין שטחי המשולשים הוא כמו היחס בין החלק שאינו שווה.

למשל:

למשולשים ABC ו- DBC יש צלע משותפת (BC) והגובה היוצא מהקודקוד A גדול פי 2.5 מהגובה היוצא מקודקוד B. לכן שטח משולש ABC גדול פי 2.5 משטח משולש DBC.
למשולשים ABC ו- DBC יש צלע משותפת (BC) והגובה היוצא מהקודקוד A גדול פי 2.5 מהגובה היוצא מקודקוד B. לכן שטח משולש ABC גדול פי 2.5 משטח משולש DBC.
למשולשים ABD ו- ACD יש גובה משותף AE. שטח משולש ABD גדול פי 5 משטח משולש CD.
למשולשים ABD ו- ACD יש גובה משותף AE.
שטח משולש ABD גדול פי 5 משטח משולש CD.

תרגיל 1: משולשים חסומים במלבן

המשולשים ECD ו- GCD חסומים במלבן.
האם ניתן לקבוע מי מבין המשולשים גדול יותר?

שרטוט התרגיל

פיתרון
למשולשים יש צלע משותפת ושווה (CD).
גם הגבהים של המשולשים שווים EF = GH.
לכן שטח המשולשים שווה.

שוויון בשטחי המשולשים
שוויון בשטחי המשולשים

תרגיל 2: משולשים עם צלע משותפת ומרובע הנוצר מיהם

למשולשים ABD ו- CBD יש צלע משותפת (BD)
משולש CDB הוא משולש ישר זווית שאורך הצלע שלו CD = 6.
אורך הגובה AE הוא 3.

  1. פי כמה גדול שטח משולש CDB משטח משולש ABD.
  2. **פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטחי המשולשים הוא:
SABD = 3BD : 2 = 1.5BD
SCDB = 6BD : 2 = 3BD

תשובה: שטח משולש CDB גדול פי 2 משטח משולש ABD.

פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.
נגדיר:
SABD = X
על פי מה שמצאנו בסעיף הקודם.
SCDB = 2X
שטח המרובע כולו הוא סכום שטחי המשולשים:
SABD + SCDB = 2X + X = 3X

שטח המרובע 3X, שטח המשולש SABD = X.
תשובה: שטח המרובע ABCD גדול פי 3 משטח המשולש ABD.

תרגיל 3

במשולש ABC מעבירים את הגובה AD אל הצלע BC.
נתון BD = 3, CD = 12.

  1. מה היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ACD.
  2. מה היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח משולש ABD הוא:
3AD : 2 = 1.5AD
שטח משולש ADC הוא:
12AD : 2 = 6AD.

4 = 1.5 : 6
תשובה: שטח משולש ACD גדול פי 4 משטח משולש ABD.

חלק שני: היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ABC.
נפתור את התרגיל בשני דרכים. בשתי הדרכים נצטרך לחשב את שטח משולש ABC אך בכול פעם נעשה זאת בדרך אחרת.
דרך ראשונה.
בדרך זו מחשבים את שטח משולש ABC בעזרת הנוסחה לשטח משולש.
BC = 3 + 12 = 15
נחשב את שטח משולש ABC:
15AD : 2 = 7.5AD
מצאנו קודם ששטח משולש ABD הוא 1.5AD.
5 = 1.5 : 7.5
תשובה: שטח משולש ABC גדול פי 5 משטח משולש ABD.

דרך פתרון שנייה.
בדרך זו מחשבים את שטח משולש ABC בעזרת חיבור שטחי המשולשים הקטנים.
נגדיר
SABD = X
SADC = 4X
השטח של המשולש הגדול (ABC) שווה לסכום שטחי המשולשים.
SABC = X + 4X  = 5X

שטח ABD הוא X, שטח ABC הוא 5X.
שטח משולש ABC גדול פי 5 משטח משולש ABD.

תרגיל 4

מגדילים את כל אחד מהניצבים של משולש ישר זווית פי 3.
פי כמה יגדל שטח המשולש החדש ביחס למשולש הראשון?

פתרון
נגדיר את הניצבים של המשולש הראשון כ- x ו y.
גודל הניצבים של המשולש הגדול הוא 3x, 3y.

שטח המשולש הקטן הוא:
שטח המשולש הקטן

שטח המשולש הגדול הוא:
שטח המשולש הגדול

ניתן לראות ששטח המשולש הגדול הוא פי 9 משטח המשולש הקטן.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.