מרובע חוסם מעגל

1.מרובע חוסם מעגל הגדרה ומשפטים

הגדרה:
מרובע חוסם מעגל הוא מרובע שארבע צלעותיו משיקות למעגל.

משפט:
מרובע חוסם מעגל אם ורק אם סכום אורכי צלעות נגדיות שווה לסכום הצלעות הנגדיות האחר.

אם מרובע חוסם מעגל אז סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה
אם מרובע חוסם מעגל אז סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה

משפטי משיק

בנוסף כאשר מרובע חוסם מעגל הצלעות שלו הן משיקים למעגל. לכן משתמשים הרבה במשפטי משיק.
אלו הם משפט המשיק הבולטים:

  1. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה עד לנקודת ההשקה.
  2. ישר המחבר את הנקודה ממנה יוצאים שני המשיקים עם מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים שני המשיקים.
  3. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  4. זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.

מרכז מעגל החסום במרובע הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית

אנו יודעים כי עבור משולש יש משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה בבגרות:
"מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת המפגש של חוצה הזווית".

בחלק זה נלמד להוכיח את הטענה:
"מרכז מעגל החסום במרובע הוא נקודת המפגש של חוצי הזווית".

ההוכחה מתבססת על שני דברים:

  1. צלעות מרובע החוסם מעגל הם משיקים למעגל.
  2. המשפט בגיאומטריה שניתן להשתמש בו ללא הוכחה "קטע המחבר מרכז מעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים".

הוכחה
O הוא מרכז המעגל החסום במרובע ABCD.
לכן על פי המשפט "קטע המחבר מרכז מעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים" הישרים AO,BO,CO,DO הם חוצה זווית.

לכן מרכז המעגל של המרובע ABCD נמצא בנקודת המפגש של חוצה הזווית.

תרגילים

מצורפים 4 תרגילים, לשלושה יש גם פתרון וידאו.
פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1
טרפז ABCD חוסם מעגל.
האלכסון AC הוא חוצה זווית.
ידוע כי CD = 1.5AB
הצלע AD גדולה מהצלע AB ב 4 סנטימטר.
חשבו את אורך צלעות הטרפז.

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון: עלינו להגדיר את הגודל של ארבעת הצלעות בעזרת משתנה אחד.
לאחר מיכן נבנה משוואה בעזרת המשפט "סכום צלעות נגדיות במרובע שווה לסכום הצלעות השני במרובע".

פתרון

שלב 1: הגדרת משתנה והגדרת צלעות באמצעותו
נגדיר AB = X.
הסיבה שבחרנו את AB היא בגלל שקל להגדיר באמצעותו צלעות אחרות.
לכן CD = 1.5X
AD = AB + 4 = X + 4

שלב 2: הגדרת הצלע DC
הגדרנו שלוש צלעות בעזרת המשתנה X.
הצלע החסרה לנו היא צלע DC.
נראה כיצד הנתון ש AC הוא חוצה זווית עוזר לנו לפתור את התרגיל.
נגדיר:
BCA = ∠DCA = a∠  בגלל ש AC הוא חוצה זווית.
CAB = ∠ DCA∠   זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
BC = AB = X  במשולש ADC זוויות הבסיס שוות לכן המשולש הוא משולש שווה שוקיים.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
נסכם את גדלי הצלעות:
AD = X + 4
BC = X
AB = X
CD = 1.5X
סכום זוג צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל שווה לסכום השני. לכן:
AD + BC = AB + DC
X+4 + X = X +1.5X
2X + 4 = 2.5X / -2X
0.5X = 4  / *2
X = 8

תשובה: גדלי הצלעות הם:
AD = X + 4 =12
BC = X = 8
AB = X  = 8
CD = 1.5X = 12

פתרון וידאו:

תרגיל 2
מרובע ABCD חוסם מעגל.
נקודות ההשקה של המעגל הן EFGH. ידוע כי:
A = 120,  ∠B = 110∠,  ∠C = 70,   ∠D = 60
חשבו את זוויות המרובע EFGH.

שרטוט התרגיל

פתרון

פתרון התרגיל מבוסס על  המשפט האומר "שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה"

  1. בגלל המשפט הזה המשולשים DHG, CFG, BFE, AEH הם משולשים שווי שוקיים.
  2. נשלים את הזוויות שלהם על פי סכום זוויות במשולש שווה ל 180 מעלות.
  3. עכשיו הזוויות של המרובע הפנימי הן זוויות צמודות המשלימות ל 180 מעלות שתי זוויות אחרות.
    כך למשל הזווית G משלימה את הזוויות 55 ו 60 ל 180 ולכן G=65∠.
  4. בצורה זו ניתן לקבל למצוא את כל ארבעת הזוויות:
    H=90, E=115, F=90, G=65

שרטוט התרגל והזוויות

דרך פתרון נוספת
דרך נוספת וקצרה יותר היא לחשב בצורה שתוארה שתי זוויות סמוכות ( למשל E ו H או H  ו G).
ואז להשלים את השתיים האחרות בעזרת המשפט "במרובע החסום במעגל זוג זוויות נגדיות שווה ל- 180 מעלות".

פתרון וידאו.

תרגיל 3
טרפז ABCD חוסם מעגל.
מעבירים את הישרים AO,BO  אל מרכז המעגל O.
הוכיחו כי:
AOB = 90.

פתרון
שני דברים הכרחיים על מנת לפתור את התרגיל:

  1. לשים לב למילה "טרפז" ולהשתמש בתכונות הטרפז.
  2. להכיר את המשפט "ישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים עם מרכז המעגל חוצה את הזווית שיוצרים המשיקים".

ולפתרון עצמו.
נגדיר:
BAD = 2x
לכן:
BAO = x

כמו כן:
ABC = 180 – 2x  (זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים).
ABO = 90 – x  (כי BO חוצה זווית).

נסתכל על משולש AOB.
BAO + ABO = 90 – x + x = 90

לכן:
AOB = 90 משלימה ל 180 מעלות במשולש AOB.

תרגיל 4
מרובע ABCD חוסם מעגל שמרכזו O.
הוכיחו כי סכום הזוויות AOB+∠DOC=180∠.

שרטוט התרגיל

פתרון
בהתבסס על המשפט "הישר המחבר נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית ממנה יוצאים המשיקים". נסמן במספרים את 8 הזוויות שיוצרים הישרים הללו עם המשיקים. ונסמן גם את הזווית שיוצרים הישרים הללו במרכז המעגל.

שרטוט הזוויות בתרגיל

ניתן לראות כי:
AOB+∠DOC = 180-2-1 + 180-3-4 =360-1-2-3-4∠

כמו כן אנו יודעים כי סכום זוויות במרובע הוא 360.
לכן 1+2+3+4=180.
ולכן
AOB+∠DOC = 360 -180 -= 180∠

פתרון וידאו

עוד באתר:

  1. מרובע חסום במעגל.
  2. מעגל משפטים – המשפטים שיש לדעת לבגרות.
  3. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.

נספח: מציאת רדיוס מעגל חוסם או חסום במרובע

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.