משיק למעגל

בדף זה:

  1. הגדרת משיק למעגל.
  2. משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה.
  3. תרגילי חישוב זוויות בסיסיים.

1.הגדרת משיק למעגל

משיק למעגל הוא קו הנוגע במעגל בנקודה אחת.

2. משפטים שאושרו לשימוש בבגרות ללא הוכחה

אני ממליץ לכם לחלק את משפטי משיק למעגל על פי ראשי הפרקים הבאים:

  1. משיק ורדיוס (שני משפטים).
  2. זוויות בין משיק למיתר (משפט אחד).
  3. שני משיקים (שני משפטים ל 4 יחידות, 3 משפטים ל 5 יחידות).
  4. משולש ומרובע החוסמים מעגל גם הם משיקים למעגל וצריך לדעת את המשפטים הקשורים אליהם.

אם תזכרו את הראשי פרקים הללו יהיה לכם קל יותר לזכור את המשפטים.

משפטי משיק למעגל הם:

  1. המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
  2. ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
  3.  זווית בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה מצידו השני.
  4. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
  5. קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.

כמו כן שימו לב שהמשפטים על משולש ומרובע (או צורה אחרת) החוסמים מעגל אלו הם למעשה משפטים על משיקים:

  1.  שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.
  2. מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

עבור תלמידי 5 יחידות יש משפט נוסף (שהוצא מתוכנית הלימודים של 4 יחידות)

  • 101. אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע
    המשיק.

3.שרטוטים של המשפטים

הקשר שבין משיק לרדיוס

77.המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. 78.ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
77.המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
78.ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.

 

נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל

80.שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
80.שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה.
81.קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.
81.קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין המשיקים.
49.שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.
49.שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש.
57.מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.
57.מרובע קמור חוסם מעגל אם ורק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות.

4. תרגילי חישוב בסיסיים

בכול התרגילים הישרים הנמצאים מחוץ למעגל הם משיקים.

תרגיל 1
מצאו את גודל הזווית המסומנת באדום.

זווית בין משיק למיתר

פתרון
הזווית המסומנת באדום היא הזוויות בין המשיק למיתר שעליו נשענת זווית היקפית שגודלה 30 מעלות.
לכן גודל הזווית האדומה הוא 30 מעלות.

תרגיל 2
(קצת יותר קשה).
AB – קוטר מעגל.
חשבו את זווית 1.

זווית בין משיק למיתר

פתרון

  1. זווית C שווה 90 מעלות – זווית היקפית הנשענת על קוטר.
  2.  נגדיר זווית 1 שווה ל- a.
  3. CAB = 90 – a∠   סכום זוויות במשולש ABC הוא 180 מעלות.
  4. CAD = 90 + a∠  סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  5. ACD = 180 – 35 – 90 – a = 55 -a∠   סכום זוויות במשולש ACD הוא 180 מעלות.
  6. זווית ACD שווה ל- a – שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר AC.

לכן:
a = 55 – a  / + a
2a = 55  / :2
a = 27.5
תשובה: גודל זווית 1 הוא 27.5 מעלות.

עוד באתר:

  1. משפטים מעגל – רשימת המשפטים המאושרים לשימוש עבור צורה זו.
  2. זוויות במעגל, מיתרים במעגל – משפטים ותרגילים בנושאים הללו.
  3. מעגל – הדף המרכזי על הצורה, כולל קישורים רבים.
  4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

14 מחשבות על “משיק למעגל”

  1. לגבי המשפט על חותך ומשיק, כשאומרים ריבוע המשיק מתכוונים לכל הישר המשיק או רק עד לנקודת ההשקה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום זיו
      לא ברור לאיזו זווית אתה מתכוון.
      מה הקודקוד ממנו יוצא הישר ואלו שני רדיוסים נמצאים ממול.

    2. אם שני משיקים שיוצאים מאותה נקודה לאותו מעגל, נפגשים שניהם על האותה הצלע, אז מנקודת יציאתם עד לאותה הצלע, הם שווים? אם כן, יש משפט שאומר את זה?

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום זיו
        לא ברור על איזו צלע אתה מדבר.
        בכול אופן אני לא מכיר משפט שהולך בכיוון הזה.
        המשפט המוכר אומר שהמשיקים שווים מנקודת יציאתם ועד לנקודת ההשקה שלהם עם המעגל.
        בהצלחה

      1. לומדים מתמטיקה

        אחי, אם כל הדברים בעולם היו קלים לא היינו צריכים כוחות והיינו ממש חלשים.
        בגלל שיש דברים קשים אנו חזקים יותר.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יאיר.
      אם הישר משיק למעגלים באותה נקודה זה אומר שאתה יכול לבנות משוואה נוספת המבוססת על כך שהמרחק בין שני מרכזי המעגלים שווה לסכום הרדיוסים (אם המשיק עובר בין שני המעגלים) או להפרש הרדיוסים (אם המעגלים נמצאים באותו צד של המשיק).
      הדבר נובע מכך ששני הרדיוסים מאונכים לאותו ישר ולכן הזווית בין הרדיוסים היא של 180 מעלות.
      אם המשיק לא משיק למעגלים באותה נקודה אני צריך עוד פרטים על השאלה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.