משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים מתאר את הקשר בין גודל שלושת הצלעות במשולש וקוסינוס הזווית שבין שתיים מהן. משפט הקוסינוסים הוא למעשה הרחבה של משפט פיתגורס למשולשים שאינם משולשים ישרי זווית.

המשפט עצמו מתואר בשרטוט למטה ולאחר מיכן מופיעים תרגילים פתורים בנושא.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים אומר שצלע בריבוע שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות פחות פעמיים מכפלת הצלעות האחרות כפול קוסינוס הזוויות שבין הצלעות האחרות.
BC² = AB² + AC² – 2AB * AC * cos a

מתי משתמשים במשפט הקוסינוסים

  1. אם נתון לנו גודל של 3 צלעות ואנו מחפשים גודל של זווית.
  2. אם נתון לנו גודל של 2 צלעות והזווית בניהן.

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. משפט הסינוסים – תיאוריה ותרגילים.
  2. טריגונומטריה – הדף המרכזי בנושא הכולל קישורים לדפים נוספים.

תרגילים 

תרגיל 1: תרגיל בסיסי להכרת המשפט
אורכם של 3 צלעות במשולש הוא 6,8,12 ס"מ.
חשבו את גודל הזווית הקטנה במשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
הזווית הקטנה נמצאת מול הצלע הקטנה – 6 ס"מ.
על פי משפט הקוסינוסים נבנה את המשוואה:

192- :/ 172- = 192cos γ  –
0.89= cos γ
γ=27.126  מעלות.

תרגיל 2: משפט הקוסינוסים ומשפט חוצה הזווית
במשולש ABC מעבירים חוצה זווית BD.
AB= 10, BC= 14, CD=7.
חשבו את זווית C∠

משפט הקוסינוסים ומשפט חוצה הזווית

פתרון
שלב א: בעזרת משפט חוצה הזווית נחשב את AD
(אם נדע את AD נדע את כל צלעות משולש ABC ונוכל לחשב את זווית C).

על פי משפט חוצה הזווית נבנה את המשוואה:

נציב את המספרים שאנו יודעים ונקבל:

נכפיל פי 14 ונקבל:
2AD = 10
AD = 5

נחשב את זווית C∠ בעזרת משפט הקוסינוסים.
AB² = BC² + AC² – 2BC*AC*cos a

cos a  = 0.71
C = 44.765
תשובה: גודל זווית C הוא 44.765 מעלות.

תרגיל 3: עם שני נעלמים
נתון מרובע ABCD שבו אורכי הצלעות הם:
AB=6, BC=4,  CD=5, DA=8.
כמו כן A+∠C=180∠ מעלות.

חשבו את גודל הזווית A.

הרעיון מאחרי הפתרון
בשאלה זו יש לנו הרבה נתונים על צלעות אבל אין לנו משולש שיאפשר לנו להשתמש בנתונים הללו.
לכן ניצור משולשים בעזרת אלכסון.
יש לנו משתנה x שהוא גודל זווית A. על מנת למצוא אותו צריך משוואה.
המשוואה שלנו תהיה הגדרת צלע BD פעמיים בשני משולשים שונים.

פתרון
נעביר את האלכסון BD כבניית עזר.

במשולש BCD על פי משפט הקוסינוסים מתקיים:
(BD² = BC² + CD² – 2*BC*CD* cos(180-x
(BD² = 16 + 25 – 2*4*5*cos(180-x
(BD² = 41 – 40cos(180-x

במשולש ABD על פי משפט הקוסינוסים:
BD² = AD² + AB² – 2AD*AB*cos x
BD²=64 +36-2*8*6*cos x
BD² = 100 – 96cos x

נשווה בין שתי המשוואות שמצאנו להגדרת BD².
(100-96cos x=41-40cos(180-x

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:
cos (180-x) = -cos x
100-96cos x=41 + 40cos x
59 = 136cos x
cos x = 0.433
x = 64.289 מעלות.
תשובה: זווית A שווה ל- 64.289 מעלות.

הערה:
על בסיס תרגיל זה אתם יכולים לחשב את הזוויות של כל מרובע החסום במעגל שאתם יודעים את 4 צלעותיו.
עבור מרובע החסום במעגל יש משפט האומר שזוויות נגדיות משלימות ל 180.
לכן אם אתם יודעים את 4 הצלעות העבירו בניית עזר את אחד האלכסונים ופתרו כפי שפתרנו את תרגיל זה.

במרובע החסום במעגל אם זווית B היא x אז זווית D חייבת להיות 180 מינוס איקס
במרובע החסום במעגל אם זווית B היא x אז זווית D חייבת להיות 180 מינוס איקס

תרגילים מבחינות בגרות

4 יחידות קיץ 2017 שאלה 5
התרגיל לקוח מבחינת הבגרות של משרד החינוך. שאלון 481.

נתונים:

  1. ABC משולש.
  2. P נקודה על צלע AB. הנקודה M על הצלע AC.
  3. AP=X, PM = 0.6X, AM = 4, MC=12
  4. B =120, ∠PMA =100∠

שאלות

א) חשבו PAM∠.
א2) חשבו BC.
ב) חשבו BM.
ג) חישוב יחס שטחי המשולשים SAMB / SBMC.

שרטוט התרגיל טריגונומטריה קיץ 2017

א. חישוב זווית PAM.
על פי משפט הסינוסים במשולש PAM.
sin MAP / 0.6x = sin MPA / X
sin MAP = 0.6 sin 100 = 0.59
MAP = 36.15∠
האפשרות MAP=180-36.15=143.85∠ אינה אפשרית משום שזווית AMP =100∠ וביחד סכומן במשולש PAM עולה על 180 מעלות.

חישוב BC.
על פי משפט הסינוסים במשולש ABC.
sin BAC / BC = sin ABC / AC
BC = sin BAC *AC / sin ABC
BC = sin 36.15 * 16 / sin 120 = 10.9
תשובה: BC = 10.9 ס"מ.

ב. חישוב BM.

  1. נמצא את זווית BCM
    במשולש ABC:
    BCM = 180 -120- 36.15 = 23.85
  2. על פי משפט הקוסינוסים במשולש BMC.
    BM² = BC² + CM² – 2BC*MC cos BCM
    BM² = 10.9² + 12² – 2*12*10.9 cos 23.85
    BM² = 118.81 + 144 -239.261 = 23.549
    BM = 4.85
    תשובה: BM=4.85 ס"מ.

ג. מציאת היחס בין שטחי משולשים.
הגובה לצלע AM ולצלע MC  הוא אותו גובה.
לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא היחס בין הבסיסים AM / MC
AM / MC = 4/12 = 1/3
תשובה: היחס הוא 1:3.

5 יחידות קיץ 2016 שאלה 5 מועד א
התרגיל לקוח מבחינת הבגרות של משרד החינוך. שאלון 581.
נתונים:

  1. ABC משולש שווה שוקיים.
  2. TAC = a, ∠ACB = β∠
  3. BT תיכון ל AC.
  4. BC = 2K

שאלות:

א) הביעו את TC באמצעות K ו β.
א2) הוכיחו sin (a+β) = 4sin a cos β

ב) נתון TE=5, K=4.
מצאו את β ומצאו את a.

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

  1. EC= 0.5BC=K – נתון.
  2. cos β = EC / AC
    AC = EC / cos β
  3. TC = 0.5AC = K / 2cos βחלק שני של סעיף א.
  4. נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ΔBTC
    sin (180-a-β) / 2k = sin a / TC
    sin (180-a-β) * K / 2cos β = 2K sin a
    sin (180-a-β) = 4 sin a cos β
    נשתמש בזהות (sin (180-a-β) =sin (a+β ונקבל:
    sin (a+β) = 4 sin a cos β

סעיף ב.

נסתכל על משולש ΔETC ונשתמש במשפט הקוסינוסים:

TE² = TC² + EC² – 2TC*ECcos β
לצערי בגלל מגבלות של כתיבה באתר איני יכול לכתוב את הפתרון המלא.
פתרון המשוואה נותן:
β = 66.42
את a ניתן למצוא על ידי הצבה ב sin (a+β) = 4 sin a cos β.

תרגיל 6: קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

טרפז חסום במעגל. גדלי הזוויות כמפורט בשרטוט.

שרטוט התרגיל קיץ 2016 טריגונומטריה 5 יחידות

 

סעיף א. DAB∠=?
בסעיף זה יש הרבה עבודה של השלמת זוויות.

  1. BO=AO=R
  2. משולש ΔBOA הוא משולש שווה שוקיים – נובע מ 1.
  3.  OBA=∠OAB=(180-3a) /2= 90-1.5a∠עכשיו נוכיח כי ΔODA≅ ΔOCB
  4. אם נעביר בטרפז אלכסון AC אז:
    ACD=∠CAB∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
    AD=CB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    (זו ההוכחה כי כל טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים).
  5. BO=AO=OC=OD=R
  6.  ΔODA≅ ΔOCB חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.
  7. DOA=∠COB∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  8. DOA=∠COB= (360-4a) / 2=180-2a∠  – סכום זווית מרכזיות במעגל הוא 360 מעלות.
  9. OAD= ∠ODA=a∠ – סכום זוויות במשולש OAD שווה ל 180 מעלות.
  10. DAB = ∠OAD + ∠OAB= a + 90-1.5a =90-0.5a∠

סעיף ב. הבע את אורך שוק הטרפז באמצעות R ו a.

  1. במשולש ΔAOD על פי משפט הסינוסים:
    AD / sin 180-2a = R / sin a
    AD = R sin 180-2a / sina=rsin 2a / sina
    AD= R 2sin a cos a / sina
    AD = 2R cos a

סעיף ג. לבטא את AD באמצעות h.
נשרטט את הגובה:

שרטוט הגובה בטרפז

במשולש ΔAED:
sin 90-0.5a = h / AD
AD = h / sin 90-0.5a= h / cos 0.5a

סעיף ד.

שטח משולש ΔCOD שווה ל S=R² sin a / 2  – על פי נוסחת שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן.
בעזרת סעיפים ב ו ג נבטא את R באמצעות h.
AD =  h / cos 0.5a = 2R cos a
R = h / 2cos a cos 0,5 a
נציב זאת בנוסחת שטח המשולש שמצאנו:
2* S=sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²
על פי הנתון מתקיים השוויון:
sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²*2 = h² / 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a cos² 0.5a = 1/ 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a  = 1/ 12
12sin a    = 8cos ² a
3sin a    = 2cos ² a
(3sin a = 2(1-sin ²a
2sin ²a +3sin a-2=0
sin a =-2 או sin a = 0.5
sin a =-2 – אינו אפשרי.
sin a =0.5
a=30, 150
האפשרות של a=150 נפסלת בגלל BOA=3a∠ וזווית במשולש לא יכולה להיות שווה 450 מעלות.
תשובה: a=30 מעלות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “משפט הקוסינוסים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.