משפט הסינוסים

לדף זה 5 חלקים:

  1. הסבר למשפט הסינוסים.
  2. מספר הפתרונות של משוואה טריגונומטרית.
  3. תרגילים.
  4. תרגילים עם יחס בין צלעות או מכשול אחר.
  5. תרגילים עם שני נעלמים.
  6. תרגילים מהבגרות.

1.הסבר למשפט הסינוסים

משפט הסינוסים הוא משפט המאפשר לנו להשתמש בפונקציית הסינוס גם במשולשים שאינם ישרי זווית.

משפט הסינוסים אומר שצלע במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה שווה לצלע אחרת במשולש לחלק בסינוס הזווית שמולה.
וזה גם שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

מתי משתמשים במשפט הסינוסים?

משתמשים במשפט הסינוסים כאשר נתונים לנו במשולש :

  1. שתי זוויות וצלע
  2. שתי צלעות וזווית
  3. זווית ורדיוס המעגל החוסם או צלע ורדיוס המעגל החוסם.

2.מספר הפתרונות של משוואה טריגונומטרית

כאשר אנו משתמשים במשפט הסינוסים אנו יכולים לקבל משוואה טריגונומטרית הנראית כך:
sin x = 0.5
כאשר x היא זווית במשולש.
ומכוון שזווית במשולש נמצאת בתחום

זה גם התחום שבו נחפש את פתרונות המשוואה.
הפתרונות הם:
x = 30 או x = 150.
כיצד נדע אם שני הפתרונות נכונים? רק פתרון אחד נכון?

על כך הסבר בסרטון או בקישור: מספר הפתרונות של משפט הסינוסים.

עוד באתר:

  1. משפט הקוסינוסים – תיאוריה ותרגילים.
  2. טריגונומטריה – הדף המרכזי בנושא הכולל קישורים לדפים נוספים.
  3. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  4. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

3. תרגילים 

תרגילים 1-6 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 7-8 משלבים את תכונות המרובעים.
תרגילים 9-11 הם תרגילים הכוללים מכשולים שונים.

לאחר מיכן 3 תרגילים הדורשים שימוש בשני משתנים. תרגילים אלו מיועדים לתלמיד 5 יחידות.

תרגיל 1: בסיסי, מציאת זווית
נתון משולש שאחת הזוויות בו היא 40 מעלות ומולה צלע באורך 9 ס"מ.
צלע אחרת במשולש היא 5 ס"מ.
חשבו את זוויות המשולש.

הנחייה: הגדירו את הזווית שמול הצלע שאורכה 5 ס"מ כ x והשתמשו במשפט הסינוסים.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון
על פי משפט הסינוסים:

אנו מעוניינים לבודד את sin x בצד אחד של המשוואה.
לכן נכפיל במכנה המשותף sin x * sin 40.
ונחלק ב 9.
נקבל:

sin x = 0.357
למשוואה זו יש שני פתרונות
x=20.9
x = 180 – 20.9 = 159.1

הזווית x נמצאת מול צלע שגודלה 5 ויש במשולש צלע שגודלה 9.
לכן הזווית x לא יכולה להיות הזווית הגדולה במשולש.
לכן הפתרון x = 159.1 נפסל.

הזווית השלישית היא:
119.1 = 180-40-20.9
תשובה: זוויות המשולש הן 20.9, 40, 119.1

תרגיל 2 (בסיסי, מציאת זווית)
במשולש  BC = 10, AB = 6
זווית C = 35

  1. חשבו את זווית A.
  2. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

פתרון
סעיף א: חישוב זווית A
על פי משפט הסינוסים ניתן לבנות את המשוואה

נכפיל במכנה המשותף sin x* sin 35
וגם נחלק ב 6 ונקבל:

sin x = 0.955
לכן
x = 72.9
או
x = 107.1

האם שתי התשובות יכולות להיות נכונות?
כן. הזווית x נמצאת מול הצלע הגדולה, לכן זו גם יכולה להיות הזווית הגדולה במשולש.
תשובה: x = 72.9  או  x = 107.1

סעיף ב: רדיוס המעגל החוסם
על פי משפט הסינוסים ניתן לבנות את המשוואה

R = 5.23

תרגיל 3: מציאת צלע ורדיוס המעגל החוסם
במשולש ABC נתון
BC = 15
CBA = 60,  BCA = 40

  1. חשבו את הצלע AB.
  2. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

פתרון
סעיף א
על מנת להשתמש במשפט הסינוסים עלינו למצוא את הזווית שמול הצלע שאנו יודעים.
A = 180 – 60 – 40  = 80

נשתמש במשפט הסינוסים:

תשובה: AB = 9.79

סעיף ב: מציאת רדיוס המעגל החוסם
על פי משפט הסינוסים:

תשובה: רדיוס המעגל החוסם הוא 7.615.

תרגיל 4
נתון משולש שווה שוקיים שבו אורך השוק הוא 20 ס"מ ואורך הבסיס הוא 15 ס"מ.
חשבו את זוויות המשולש.

פתרון
נגדיר
x גודל זווית הבסיס
A = 180- 2x  על פי סכום זוויות במשולש.

עבור פונקציית הסינוס מתקיים:
sin (180 -2x) = sin 2x
לכן על פי משפט הסינוסים:

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:
sin 2x = 2sin x cos x
נכפיל את המשוואה במכנה המשותף
sin x * sin 2x
ונקבל:

2sin x cos x * 20= 15 sin x
מכוון שבמשולש sin x≠0 (משום שזוויות 0,180 לא קיימות במשולש), ניתן לחלק ב- sin x.

40cos x = 15 / :40
cosx=0.375
x=68
תשובה: זווית הבסיס היא 68 מעלות. זווית הראש 44 מעלות.

תרגיל 5
במשולש ABC העבירו את הישר AD כך שהוא יוצר שתי זוויות המקיימות
BAD = 2∠CAD.
כמו כן ידוע:
BD = 8,  ∠ABD = 15,  ∠ACD = 45
(היחידות בסנטימטר).

  1. מצאו את הזוויות A.
  2. מצאו את הצלע AD.
  3. מצאו את הצלע DC.

פתרון
סעיף א: מציאת הזווית A ושתי הזוויות המרכיבות אותה
נגדיר את זוויות CAD = a.
לכן
BAD = 2a
סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180 מעלות. לכן:
a + 2a + 45 + 15 = 180
3a + 60 = 180
3a = 120
a = 40

זוויות A גודלה 3a לכן גודלה 120 מעלות.

סעיף ב:מציאת AD.
במשולש ADB על פי משפט הסינוסים:

עלינו לבודד את AD.
נכפיל ב sin 15.

AD  = 2.1
סנטימטר.

סעיף ג: מצאו את הצלע DC
במשולש ADC על פי משפט הסינוסים

נבודד את DC.

DC = 1.908
סנטימטר.

תרגיל 6 (שילוב עם שטח משולש)
במשולש ABC
AB = 7 סנטימטר.
B = 60, ∠C = 40
חשבו את שטח המשולש

פתרון
יש נוסחה טריגונומטרית לחישוב שטח משולש.
שטח משולש שווה למכפלת צלעות כפול מחצית סינוס הזווית שביניהן.
במשולש זה ניתן לכתוב זאת כך:
S = AB * AC *0.5sin A

שלב א: נמצא את הצלע AC והזווית A
על פי משפט הסינוסים:

כמו כן על פי סכום זוויות במשולש
A = 80

שלב ב: חישוב שטח המשולש
ועכשיו אנו יכולים לחשב את שטח המשולש על פי הנוסחה:
S = AB * AC * 0.5sin 80
S = 7* 9.43 * 0.492 = 30.1
תשובה: שטח המשולש הוא 30.1 סמ"ר.

תרגיל 7: משפט הסינוסים בטרפז
נתון טרפז שווה שוקיים AB=DC ו- AD║BC.
אלכסון הטרפז BD חוצה את הזווית B לזוויות של 40 ו- 30 מעלות.
אורך האלכסון BD הוא 15 ס"מ.

  1. חשבו את אורך שוק הטרפז DC.
  2. חשבו את אורכי בסיסי הטרפז.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון

1. c=70 – בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.
2. במשולש BDC על פי משפט הסינוסים

תשובה: אורך שוק הטרפז היא 10.26 ס"מ.

סעיף ב: בסיסי הטרפז
1. זווית ∠BDC =180-70-40=70 – משלימה ל- 180 מעלות במשולש BDC.
2. BC=BD=15 – מול זוויות שוות במשולש מונחות צלעות שוות.
תשובה: אורך הבסיס הגדול 15 ס"מ.

אם הייתם רוצים דרך מסובכת יותר :) ניתן להגיע ל- BC על ידי משפט הסינוסים גם כך:

נחשב את הבסיס הקטן:
A=180-70=110 – זווית חד צדדית לזווית B ומשלימה אותה ל- 180 מעלות.
על פי משפט הסינוסים:

תשובה: אורך הבסיס הקטן הוא 7.98 ס"מ.

תרגיל 8: משפט הסינוסים והקוסינוסים בטרפז שווה שוקיים
נתון טרפז שווה שוקיים AB=CD AD║BC.
האלכסון BD יוצר זוויות של 30 ו- 20 מעלות עם בסיס הטרפז והשוק – כמפורט בשרטוט.
נתון כי אורך השוק הוא 12 ס"מ ואורך הבסיס הקטן (AD) הוא 6 ס"מ.
חשבו את אורך הבסיס הגדול (BC) של הטרפז.

פתרון
הרעיון שמאחורי הפתרון;
שואלים אותנו על צלע במשולש BCD ובו אין לנו מספיק נתונים על מנת לפתור את השאלה.
לעומת זאת במשולש BAD יש לנו מספיק נתונים והצלע BD משותפת לשני המשולשים, כך שאם נמצא את BD נוכל לענות על השאלה.

  1. ∠A=180-50=130 – זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל- 180 מעלות.
  2. במשולש ABD על פי משפט הקוסינוסים
    BD²=12²+6²-2*6*12* cos 50
    BD²=144+36-92.561=87.438
    BD=9.35
  3. C=50∠  בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.
  4. BDC=180-30-50=100∠ – משלימה ל – 180 מעלות במשולש BDC.
  5. במשולש BDC על פי משפט הסינוסים (במשולש זה יש מספיק נתונים על מנת להשתמש גם במשפט הקוסינוסים).

תשובה: אורך הבסיס הגדול הוא 23.635 ס"מ.

הערה על התרגיל
בתרגיל זה לא היו חייבים להגיד שהאלכסון חוצה את הזוויות ל- 30 ו- 20 מעלות, מספיק שהיו אומרים שזווית הבסיס הייתה 50 מעלות. במקרה זה היינו צריכים להשתמש פעם נוספת במשפט הסינוסים במשולש BDC בשלב 4.
בדקו אם אתם יודעים כיצד לעשות זאת.

4.תרגילים עם יחסים או מכשול אחר

תרגיל 9
במשולש ABC
R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
ידוע כי AB = R

  1. חשבו את זווית C אם ידוע כי זו הזווית הקטנה במשולש.
  2. אם ידוע כי היחס בין שתי הזוויות הנותרות הוא 1:2 חשבו את זוויות המשולש (הזווית A היא הזווית הגדולה במשולש).
  3. הביעו את אורך BC באמצעות R.

פתרון
על פי משפט הסינוסים נכתוב:

למשוואה:  sin c = 0.5
יש שני פתרונות
c = 30   או c = 150.
אך מכוון שאמרו לנו ש C היא הזווית הקטנה במשולש הפתרון היחיד הוא:
C = 30

סעיף ב
סכום שתי הזוויות הנותרות הוא 150.
נגדיר:
x  גודל הזווית הקטנה במעלות.
2x  גודל הזווית הגדולה במעלות.
המשוואה היא:
x + 2x = 150
3x = 150
x = 50

זווית A היא הזווית הגדולה ולכן גודלה 2x = 100.
זווית B היא הזווית הקטנה ולכן גודלה x = 50.

סעיף ג
בעזרת משפט הסינוסים נכתוב:

BC = 2R * sin 100
BC = 2R * 0.984 = 1.969R

תרגיל 10
במשולש ABC מעבירים את הישר AD כך ש:
BD = x,  AC = 2x,  AB = 1.5x
BAD = 50

  1. חשבו את זווית ADB אם ידוע שהיא קטנה מ 100.
  2. חשבו את זווית C

פתרון
סעיף א
במשולש ADB על פי משפט הסינוסים נכתוב.

מכוון ש ADB זו הזווית מול הצלע הגדולה מהשתיים אז למשוואה הזו יש שתי פתרונות.
ADB = 66.817  או  ADB = 113.182
מכוון שנתון שהזווית קטנה מ 100 הזווית שנותרנו איתה היא:
ADB = 66.817

סעיף ב
נחשוב: כיצד זה שמצאנו את זווית ADB בסעיף הקודם עוזר לנו לפתור את השאלה.
נשים לב שעכשיו אנו יכולים למצוא את זווית B במשולש ADB.
ואז במשולש ABC למצוא את זווית C.

ABD = 180 – 50 – 66.817 = 63.183
במשולש ABC נכתוב על פי משפט הסינוסים:

מכוון שזווית C נמצאת מול הצלע הקטנה למשוואה זו יש פתרון יחיד:
C = 40.879

תרגיל 11
על פי הנתונים שבשרטוט.
חשבו את אורך הצלע CD.

פתרון
הצלע CD נמצאת במשולש ACD ובו אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים.

תחילה נמצא את זוויות משולש ACD

  1. ACD = 180 – 100 = 80  זוויות משלימות ל 180 מעלות.
  2. ACB = 180 -80 – 30 = 70 סכום הזוויות במשולש ACD הוא 180 מעלות.

עכשיו חסרה לנו צלע אחת במשולש ACD על מנת שנוכל להשתמש במשולש זה במשפט הסינוסים.

אנו יכולים למצוא את הצלע AC במשולש ABC על ידי המשוואה:

ועכשיו ניתן למצוא את CD על ידי משפט הסינוסים במשולש ADC.

תשובה: 5.012 סנטימטר.

5.תרגילים עם שני משתנים

חלק זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.
בשלושת התרגילים הבאים נצטרך להגדיר שני משתנים על מנת לפתור את התרגיל.

תרגיל 1: משפט הסינוסים ושטח משולש
שטח משולש ABC הוא 80 סמ"ר.
B= 30, ∠C=40∠
חשבו את אורכי הצלעות AC, AB.

שרטוט התרגיל, משפט הסינוסים

פתרון
על פי הנוסחה לחישוב שטח משולש על פי 2 צלעות והזווית בניהן:
0.5ab sin 40 = 80.
(משוואה ראשונה).

כרגע יש לנו משוואה עם שני נעלמים (a,b).
נעבור למשוואה עם נעלם אחד על ידי מציאת הקשר בין צלע a לצלע b.

על פי משפט הסינוסים:

b = 1.88a
(משוואה 2).

נציב b = 1.88a במשוואה הראשונה:
0.5a*1.88a sin 40 = 80.
0.6a² = 80 / :0.6
a²=133.33
a= 11.5

מצאנו את הצלע AC ועכשיו נמצא את הצלע AB בעזרת משפט הסינוסים:
AB / sin 40 = AC / sin 30
AB = 11.5 * sin 40 / sin 30
AB=14.6

תרגיל 2
במשולשים ABC ו DEF ידוע כי B = ∠E∠. וגם DF = 1.5AB.
AC = 6, ∠C = 40, DE = 8, ∠F = 60
חשבו את זווית B ואת הצלע AB.

פתרון
נגדיר
AB = x, ∠B = β

נבנה משוואה אחת בעזרת משפט הסינוסים בכול אחד מהמשולשים.
כך יהיו לנו שתי משוואות עם שני נעלמים.

במשולש ABC על פי משפט הסינוסים:


(זו המשוואה הראשונה)

במשולש DEF על פי משפט הסינוסים.

בנתונים אמרו לנו כי:
DF = 1.5AB
לכן אנו יכולים לכתוב:

קודם לכו קיבלנו:

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה.

נכפיל במכנה המשותך שהוא
sin ß * sin 60
ונקבל:

8sin ²β = 9 * sin 40 * sin 60
sin²β = 1.125 * 0.64 * 0.866 = 0.623
sin β = 0.79
β = 52.18
או
β = 127.82
מכוון שבאחד המשולשים יש זווית של 60 מעלות ומכוון שאם β = 127.82 אז סכום הזוויות עולה על 180 מעלות אז הפתרון היחיד הוא
β = 52.18

נציב β = 52.18 במשוואה אחת על מנת למצוא את AB.

תשובה: β = 52.18 , AB = 4.88

תרגיל 3
בטרפז ישר זווית (C = 90) האלכסון BD הוא חוצה זווית.
DC = 7 סנטימטר.
חשבו את זווית B ואת הצלע BC בהנחה שזווית B היא זווית חדה.

פתרון
נגדיר שני משתנים:
B = 2β∠
BD = X
למה בחרתי את המשתנים האלו?
כי באמצעות הזוויות B ניתן להגדיר כל זווית שנרצה בטרפז.
והצלע BD שייכת לשני המשולשים.

שלב א: במשולש BDC נבנה את המשוואה:
sin β = 7/x
x = 7 / sinβ

שלב ב: במשולש BDA על פי משפט הסינוסים נבנה את המשוואה:

נשתמש בזהות
sin (180 – 2β) = sin 2β
לאחר מיכן נשתמש בזהות הטריגונומטרית:
sin 2β = 2sinβ cos β
ונקבל:

שלב ג: נבנה משוואה אחת עם נעלם אחד
משני המשוואות שקיבלנו נבנה את המשוואה:

20cos β = 7 / sin β
20sin β cos β = 7
10sin 2β = 7
sin 2β = 0.7
2β = 44.42
או
2β = 135.58
בנתונים אמרו לנו שזווית B היא זווית חדה ולכן B =2β = 44.42.
β = 22.21

סעיף ב: מציאת BC.
במשולש ישר זווית BCD.
tg 22.21 = 7 / BC
BC = 7 / tg 22.21 = 17.144

6.תרגילים מהבגרות

4 יחידות קיץ 2017 שאלה 5

התרגיל לקוח מבחינת הבגרות של משרד החינוך. שאלון 481.
נתונים:

  1. ABC משולש.
  2. P נקודה על צלע AB. הנקודה M על הצלע AC.
  3. AP=X, PM = 0.6X, AM = 4, MC=12
  4. B =120, ∠PMA =100∠

שאלות

א) חשבו PAM∠.
א2) חשבו BC.
ב) חשבו BM.
ג) חישוב יחס שטחי המשולשים SAMB / SBMC.

שרטוט התרגיל טריגונומטריה קיץ 2017

א. חישוב זווית PAM.
על פי משפט הסינוסים במשולש PAM.
sin MAP / 0.6x = sin MPA / X
sin MAP = 0.6 sin 100 = 0.59
MAP = 36.15∠
האפשרות MAP=180-36.15=143.85∠ אינה אפשרית משום שזווית AMP =100∠ וביחד סכומן במשולש PAM עולה על 180 מעלות.

חישוב BC.
על פי משפט הסינוסים במשולש ABC.
sin BAC / BC = sin ABC / AC
BC = sin BAC *AC / sin ABC
BC = sin 36.15 * 16 / sin 120 = 10.9
תשובה: BC = 10.9 ס"מ.

ב. חישוב BM.

  1. נמצא את זווית BCM
    במשולש ABC:
    BCM = 180 -120- 36.15 = 23.85
  2. על פי משפט הקוסינוסים במשולש BMC.
    BM² = BC² + CM² – 2BC*MC cos BCM
    BM² = 10.9² + 12² – 2*12*10.9 cos 23.85
    BM² = 118.81 + 144 -239.261 = 23.549
    BM = 4.85
    תשובה: BM=4.85 ס"מ.

ג. מציאת היחס בין שטחי משולשים.
הגובה לצלע AM ולצלע MC  הוא אותו גובה.
לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא היחס בין הבסיסים AM / MC
AM / MC = 4/12 = 1/3
תשובה: היחס הוא 1:3.

5 יחידות קיץ 2016 שאלה 5 מועד א

התרגיל לקוח מבחינת הבגרות של משרד החינוך. שאלון 581.
נתונים:

  1. ABC משולש שווה שוקיים.
  2. TAC = a, ∠ACB = β∠
  3. BT תיכון ל AC.
  4. BC = 2K

שאלות:

א) הביעו את TC באמצעות K ו β.
א2) הוכיחו sin (a+β) = 4sin a cos β

ב) נתון TE=5, K=4.
מצאו את β ומצאו את a.

קיץ 2016 מועד א טריגונומטריה שרטוט התרגיל

  1. EC= 0.5BC=K – נתון.
  2. cos β = EC / AC
    AC = EC / cos β
  3. TC = 0.5AC = K / 2cos βחלק שני של סעיף א.
  4. נשתמש במשפט הסינוסים במשולש ΔBTC
    sin (180-a-β) / 2k = sin a / TC
    sin (180-a-β) * K / 2cos β = 2K sin a
    sin (180-a-β) = 4 sin a cos β
    נשתמש בזהות (sin (180-a-β) =sin (a+β ונקבל:
    sin (a+β) = 4 sin a cos β

סעיף ב.
נסתכל על משולש ΔETC ונשתמש במשפט הקוסינוסים:

TE² = TC² + EC² – 2TC*ECcos β
לצערי בגלל מגבלות של כתיבה באתר איני יכול לכתוב את הפתרון המלא.
פתרון המשוואה נותן:
β = 66.42
את a ניתן למצוא על ידי הצבה ב sin (a+β) = 4 sin a cos β.

תרגיל 12: קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

טרפז חסום במעגל. גדלי הזוויות כמפורט בשרטוט.

שרטוט התרגיל קיץ 2016 טריגונומטריה 5 יחידות

 

סעיף א. DAB∠=?
בסעיף זה יש הרבה עבודה של השלמת זוויות.

  1. BO=AO=R
  2. משולש ΔBOA הוא משולש שווה שוקיים – נובע מ 1.
  3.  OBA=∠OAB=(180-3a) /2= 90-1.5a∠עכשיו נוכיח כי ΔODA≅ ΔOCB
  4. אם נעביר בטרפז אלכסון AC אז:
    ACD=∠CAB∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
    AD=CB – זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים.
    (זו ההוכחה כי כל טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים).
  5. BO=AO=OC=OD=R
  6.  ΔODA≅ ΔOCB חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה צ.צ.צ.
  7. DOA=∠COB∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  8. DOA=∠COB= (360-4a) / 2=180-2a∠  – סכום זווית מרכזיות במעגל הוא 360 מעלות.
  9. OAD= ∠ODA=a∠ – סכום זוויות במשולש OAD שווה ל 180 מעלות.
  10. DAB = ∠OAD + ∠OAB= a + 90-1.5a =90-0.5a∠

סעיף ב. הבע את אורך שוק הטרפז באמצעות R ו a.

  1. במשולש ΔAOD על פי משפט הסינוסים:
    AD / sin 180-2a = R / sin a
    AD = R sin 180-2a / sina=rsin 2a / sina
    AD= R 2sin a cos a / sina
    AD = 2R cos a

סעיף ג. לבטא את AD באמצעות h.
נשרטט את הגובה:

שרטוט הגובה בטרפז

במשולש ΔAED:
sin 90-0.5a = h / AD
AD = h / sin 90-0.5a= h / cos 0.5a

סעיף ד.

שטח משולש ΔCOD שווה ל S=R² sin a / 2  – על פי נוסחת שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן.
בעזרת סעיפים ב ו ג נבטא את R באמצעות h.
AD =  h / cos 0.5a = 2R cos a
R = h / 2cos a cos 0,5 a
נציב זאת בנוסחת שטח המשולש שמצאנו:
2* S=sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²
על פי הנתון מתקיים השוויון:
sin a * (h / 2cos a cos 0.5 a)²*2 = h² / 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a cos² 0.5a = 1/ 12cos ² 0.5a
sin a / 8cos ² a  = 1/ 12
12sin a    = 8cos ² a
3sin a    = 2cos ² a
(3sin a = 2(1-sin ²a
2sin ²a +3sin a-2=0
sin a =-2 או sin a = 0.5
sin a =-2 – אינו אפשרי.
sin a =0.5
a=30, 150
האפשרות של a=150 נפסלת בגלל BOA=3a∠ וזווית במשולש לא יכולה להיות שווה 450 מעלות.
תשובה: a=30 מעלות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “משפט הסינוסים”

  1. האתר הזה ישן כנראה לא יגיבו לי

    הפתרון של תרגיל 2 נראה לא נכון? למה לא שמים 180-2x בסינוס השני אלא 2X?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש זהות האומרת (sin 2x = sin (180 – 2x
      ונעשה בה שימוש בפתרון.
      הוספנו הסבר לזהות הזאת במהלך הפתרון.
      תודה על תשומת הלב.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.