אינטגרל חישוב שטחים

בבחינות הבגרות תשמשו בפעולת האינטגרל בעיקר על מנת לחשב שטח.

השטחים הללו יכולים להיווצר בין פונקציה לציר ה x או בין שתי פונקציות.
השטחים גם יכולים מעל או מתחת לציר ה x.

למיקום ולאופן שבו נוצר השטח יש משמעות לגבי הדרך שבה מחושב השטח.

בדף זה ובדפים המקושים אליו נלמד לחשב את השטחים השונים.

חלקי הדף הם:

1. קישורים – בהם יש הסבר ותרגילים על כל סוג שטח.
2. הסבר וידאו – וידאו העובר על כל סוגי השטחים ומסביר כיצד לחשב.
3. הסבר כתוב לסוגי השטחים.

1.קישורים

בקישורים הבאים יש הסברים ותרגילים עבור כל סוג שטח.

1. שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
2. שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
3. שטחים בין שתי פונקציות.
4. שטחים מורכבים.
5. אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.
6. חישוב שטחים בעזרת אינטגרל בפונקציית שורש.

2.הסבר וידאו לסוגי השטחים השונים

בסרטון זה נסביר כיצד לחשב שטחים מסוגים שונים (24 דקות).

3.הסבר כתוב לסוגי שטחים

בחלק זה יש שרטוטים של סוגי השטחים השונים ומשוואה בעזרתה ניתן לחשב את השטח.

חלק זה מסכם בצורה קצרה מאוד את החומר.

1. חישוב שטח שכולו מעל ציר ה x

2. כאשר הפונקציה כולה מתחת לציר ה X

במקרה זה שמים את האינטגרל כולו בסימן מינוס.

אפשרות אחרת היא לשים את האינטגרל כולו בסימן ערך מוחלט.

3.כאשר פונקציה מעל וגם מתחת לציר ה- X

כאשר החלק מהפונקציה מעל ציר ה X וחלק מתחת – מחשבים את השטח שמעל בנפרד ואת השטח שמתחת בנפרד עם סימן מינוס ומחברים בין השטחים.

סימן המינוס נוסע מכך שהשטח שנמצא מתחת לציר ה x הוא שלילי.

4.כאשר מחשבים שטח בין שתי פונקציות ואחת תמיד מעל האחרת

כאשר מחשבים שטח הנמצא בין שתי פונקציות שאחת מיהן תמיד גבוהה יותר מהשנייה – מחסרים את שתי הפונקציות ואז מחשבים את האינטגרל.

תמיד מחסרים את הפונקציה הנמוכה מהפונקציה הגבוהה.

הערה חשובה: גם אם אחת מהפונקציות נמצאת מתחת לציר ה x  לא מתייחסים לכך משום שבכול מקרה מבצעים חיסור על הפונקציה הנמוכה יותר.

y = -x² + 4

5.כאשר פונקציה אחת נמצאת למעלה בחלק מהטווח ופונקציה שנייה בחלק אחר מהטווח

כאשר מחשבים שטח המוגבל בין שני פונקציות אשר פעם אחת פונקציה A גבוהה יותר ופעם אחרת פונקציה B – אז צריך לפצל את השטח לשני שטחים ומחשבים בנפרד את השטחים.

לאחר שחישבנו כל שטח בנפרד מחברים את השטחים.

6. כאשר מבקשים שני שטחים הנוצרים על ידי שתי פונקציות שונות וציר ה- X

שטחים מפוצלים – כאשר מבקשים את שטח של שתי פונקציות בשתי טווחי X שונים מחשב את האינטגרל של כל פונקציה בנפרד.

שטחים מסוג זה נקראים גם שטחים מורכבים.

למשל בשרטוט שלמטה נחשב את השטח של הפרבולה מ 0 ועד 2.
וגם את השטח של הישר מ 2 ועד 6.