חקירת פונקציית פולינום שאלון 382 / 803

הסרטון שלמעלה הוא סרטון מסכם של החומר.
את הסרטון כשהוא מחולק לחלקים קצרים יותר תוכלו לפגוש בהמשך הדף.

 

בדף זה נעבור על הסעיפים השונים בחקירת פונקציית פולינום.

  1. תחום הגדרה.
  2. נגזרת פולינום.
  3. חיתוך עם הצירים.
  4. חיוביות ושליליות.
  5. נקודות קיצון.
  6. מינימום מקסימום מוחלטים.
  7. שרטוט פונקציה.
  8. משיק לפונקציית פולינום – כיצד מוצאים משוואת משיק לפונקציית פולינום.
  9. אינטגרלים של פונקציית פולינום.

סעיפים 8,9 לא נלמדים בדף זה ויש ללמוד אותם מהקישור.

1. תחום הגדרה

תחום ההגדרה עונה על השאלה "אלו Xים ניתן להציב במשוואת הפונקציה".
Xים שלא ניתן להציב בפונקציה אלו הם Xים אשר הופכים את המכנה ל- 0 או הופכים ביטוי בתוך שורש לשלילי. ויש דוגמאות נוספות.

בשורה התחתונה
בפונקציות פולינום אנו לא נתקל באפשרויות הללו וברוב המקרים פונקציית פולינום תהיה מוגדרת לכל X.
מקרים יוצאי דופן הן פונקציות פולינום אשר מראש יגידו לנו שהן מוגדרות לטווח מסוים של Xים.

2. נגזרת של פונקציית פולינום


כלל הגזירה של פונקציית פולינום אומר שאם הפונקציה היא:
f(x)=xn.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nxn-1.

כמו כן יש לזכור כי הנגזרת של כל מספר היא 0.
למשל הנגזרת של המספר 2 היא 0.

אתם יכולים להיתקל ב- 4 סוגים של פונקציות פולינום.
נעבור על ארבעת הסוגים כאן דרך 4 תרגילים שונים.

5 סוגי פונקציית פולינום

תרגיל 1 
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x³ ?

פתרון
f ' (x) = 3x²
(במקרה הזה הצבנו בנוסחה n=3).

תרגיל 2 (פולינום וחיבור / חיסור מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = x5 + 6 ?

פתרון
במקרה הזה אנו גוזרים את x5 בנפרד ואת המספר 6 בנפרד.

הנגזרת של 6 היא 0 (הנגזרת של כל מספר היא 0).
הנגזרת של x5 היא 5x4.

נחבר את הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 5x4 + 0 = 5x4

תרגיל 3 (פולינום כפול מספר)
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 4x³ ?

פתרון
במקרה זה אנו גוזרים את  x³ ללא התייחסות למספר 4 שנשאר כמו שהוא.
f ' (x) = 4 * 3x² = 12x²

איך הגענו לכך?
הנגזרת של x³  היא 3x².
ואז הכפלנו במספר 4.

תרגיל 4 (פולינום ועוד פולינום).
מה הנגזרת של הפונקציה f(x) = 0.5x4 – 3x² – 4 ?

פתרון
לביטוי הזה 3 חלקים ונגזור כל אחד מיהם בנפרד.
0.5x4 ⇒ 0.5 * 4x³ = 2x³
3x² ⇒ -6x-
0 ⇒ 4-

נחבר את כל הנגזרות ונקבל:
f ' (x) = 0.5 * 4x³ – 6x +0 = 2x³ – 6x
f ' (x) = 2x³ – 6x

תרגיל 5 (נגזרת עם סוגריים)
מה הנגזרת של הפונקציה (f (x) = x (2x² – 3

פתרון
כאשר יש לנו ביטוי עם סוגריים  נפתח את הסוגריים ולאחר מיכן נגזור.
f (x) = x (2x² – 3) = 2x³ – 3x
f (x)  = 2x³ – 3x
f ' (x) = 6x² – 3

3. נקודות חיתוך עם הצירים

כמו במשוואת ישר.
על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- X מציבים Y=0.
על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y מציבים X=0.

תרגיל 1
עבור הפונקציה y = x² – 6x.
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
מצאו את תחומי החיוביות והשליליות.

פתרון
נציב y=0 ונמצא נקודת חיתוך עם ציר ה x.
0 = x² -6x
x*(x-6) =0
x=0, x=6
נקודות החיתוך הם: (0,0), (6,0).

נציב x=0  ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה y.
y = 0² -6 * 0=0
נקודת החיתוך היא (0,0).

גרף הפונקציה y=x²-6x
גרף הפונקציה y=x²-6x

4. נקודות מינימום מקסימום מקומיים

נושא זה קצת יותר מורכב מהנושאים האחרים אך חשוב מאוד לדעת אותו היטב.

שלבי עבודה במציאת נקודות מינימום מקסימום:

  1. גוזרים את הפונקציה.
  2. משווים את הנגזרת ל- 0.
  3. הנקודות שבהם הנגזרת היא 0 חשודות כנקודות קיצון.
  4. מוצאים את הנגזרת השנייה ואם היא שונה מ 0 אז זו נקודות מינימום או מקסימום.
    נגזרת שנייה חיובית: אז זו נקודת מינימום.
    נגזרת שנייה שלילית: אז זו נקודת מקסימום.
  5. נציב את ערכי ה x של נקודות הקיצון במשוואת הפונקציה על מנת למצוא את ערכי ה – y.

תרגיל 1 (נקודת קיצון בעזרת הנגזרת השנייה)

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה:
f (x) = 2x³ – 6x

פתרון

הנגזרת הראשונה היא:
f ' (x) = 2 * 3x² – 6
f ' (x) = 6x² – 6

נבדוק מתי הנגזרת שווה ל- 0.
6x² – 6 = 0  / +6
6x² = 6  / :6
x² = 1
x = 1  או x = -1

אלו הערכים החשודים כקיצון.
נמצא את הנגזרת השנייה ונמצא מה הערכים שלה בנקודות הללו.
f ' (x) = 6x² – 6
f " (x) = 6 * 2x = 12x

נציב x= 1  בנגזרת השנייה ונקבל:
f " (1) = 12 * 1 =12
הנגזרת השנייה חיובית. לכן בנקודה x =1 יש נקודת מינימום.

נציב x = -1 בנגזרת השנייה ונקבל.
f " (-1) = 12 * -1 = -12
הנגזרת השנייה שלילית לכן זו נקודת מקסימום.

שלב 5 ואחרון.
נציב x = 1, x = -1 במשוואת הפונקציה ונמצא את ערכי ה y.
f (1) = 2 * 1³ – 6 * 1 = 2 – 6 = -4

f (-1) = 2 * (-1)³ – 6 * (-1) = -2 + 6 = 4
תשובה: נקודת המינימום היא (4-, 1).
נקודת המקסימום היא (4, 1-).

שרטוט גרף הפונקציה ונקודות הקיצון
שרטוט גרף הפונקציה ונקודות הקיצון

דרך נוספת למציאת נקודות קיצון היא בעזרת טבלה.
כמו בתרגיל מספר 2.

תרגיל 2 (מציאת נקודת קיצון בעזרת טבלה)

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) = x³-12x

שלב 1: גוזרים את הפונקציה
f(x)=x3-12x
f ' (x)=3x²-12  – זו הנגזרת.

שלב 2: משווים את הנגזרת ל-0
3x²-12=0  /+12
3x²=12  /:3
x²=4
x=2  או x=-2.

שלב 3: בודקים האם אלו נקודות מינימום או מקסימום בעזרת טבלה

עבור הנקודה x = 2 נבחר את הנקודות x = 0,  x = 3 כסביבת הנקודה.
עבור הנקודה x = -2 נבחר את הנקודות x = 0,  x = -3 כסביבת הנקודה.

נציב את הערכים הללו בנגזרת הפונקציה ונקבל:
X=-3      3*(-3)2-12=15>0 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
X=0      3*02-12 = -12 < 0 הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
X=3      3*32-12=15>0 הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

כאשר נציב את הנתונים הללו בטבלה נקבל:

ערך x3202-3-
ערך הנגזרתחיובי (15)0שלילי
(12-)
0חיובי
(15)
התנהגות הפונקציהעולהנקודת מינימוםיורדתנקודת מקסימוםעולה

שלב 4: מוצאים את ערך ה- Y של נקודות המינימום והמקסימום
לנקודה יש שני ערכים.
אל תשכחו למצוא גם את ערך ה- Y ולתת תשובה סופית בסוף.
f (-2) = x3-12x = -23 – 12*-2 = -8 + 24 =16
f(2) = x3-12x = 2³-12*2 = -16

תשובה: הנקודה (16, 2-) היא נקודת מקסימום.
הנקודה (16-, 2) היא נקודת מינימום.

כך נראה שרטוט הגרף:

גרף הפונקציה f(x)=x³-12x
גרף הפונקציה f(x)=x³-12x

5. תחומי עליה וירידה

תזכורת קטנה:
הפונקציה עולה אם כאשר ערכי X עולים גם ערכי Y עולים.
הפונקציה יורדת אם כאשר ערכי x עולים ערכי Y יורדים.

הכלל הוא שהפונקציה עולה כאשר הנגזרת חיובית ויורדת כאשר הנגזרת שלילית.

כיצד מוצאים תחומי עליה וירידה של פונקציה?
בודקים בטבלה את ערכי הנגזרת בסביבה של נקודות מינימום / מקסימום מקומי.
נוכל להשתמש בטבלה שדרכה מצאנו את נקודות המינימום והמקסימום.

הפונקציה עולה כאשר x>2 או x<-2. הפונקציה יורדת כאשר -2<x<2

הפונקציה עולה כאשר x>2 או x<-2.
הפונקציה יורדת כאשר x> -2 וגם x<2.

 6. מינימום מקסימום מוחלטים

מינימום מוחלט היא הנקודה בה ערך ה- Y של הפונקציה הוא הנמוך ביותר.
מקסימום מוחלט היא הנקודה בה ערך ה- Y של הפונקציה הוא הגבוה ביותר.

איך מוצאים?

  1. בודקים את ערכי הפונקציה (ערכי ה- Y) בנקודות מינימום / מקסימום מקומי.
  2. בודקים את ערכי הפונקציה בנקודות קצה ההגדרה.
  3. מבין אלו הנקודה עם ערך הפונקציה הקטן ביותר היא מינימום מוחלט.
    הנקודה עם ערך הפונקציה הגדול ביותר היא מקסימום מוחלט.

לדוגמה נמצא את ערכי הקיצון המוחלטים של הפונקציה f(x)=x³-12x עבור תחום ההגדרה x≥-5 וגם x ≤5.
פתרון
כפי שמצאנו למעלה (16, 2-) היא נקודת מקסימום מקומי והנקודה (16-, 2) היא מינימום מקומי.
נציב את ערכי הקצה בפונקציה.
כאשר x=5
f(5)=5³-12*5 = 125-60=65
f(-5)=(-5)³-12*-5 = -125 +60=-65
הנקודות שהתקבלו הן (65, 5) ו (65- , 5-). לכן (65, 5) היא נקודות מקסימום מוחלט ו (65- , 5-) היא מינימום מוחלט.

שימו לב: שאם לא היה תחום הגדרה מיוחד לפונקציה אז לא היה מינימום או מקסימום מוחלטים משום שפונקציות פולינום שואפות לאינסוף או מינוס אינסוף בקצוות ולכן אין להם מינימום או מקסימום מוחלטים.

7.שרטוט גרף הפונקציה

בשרטוט גרף הפונקציה אנו שמים לב לכל הסעיפים שביקשו מאתנו למצוא לפני כן:

  1. מה הוא תחום ההגדרה.
  2. מסמנים את נקודות המינימום / מקסימום.
  3. מסמנים את נקודות החיתוך עם הצירים.
  4. מעבירים את הקו בין הנקודות.
גרף הפונקציה f(x)=x³-12x
גרף הפונקציה f(x)=x³-12x

8. משיק לפונקציה

9.פתרון תרגילים מהבגרות

סעיף א
f (x) = 2x³ – 9x² +12x – 6
בנקודת החיתוך עם ציר ה y מתקיים x=0.
נציב זאת במשוואת הפונקציה
f (0) = 2* 0³ – 9 *0² + 12*0 – 6 = -6
נקודת החיתוך היא 6-, 0

הישר המקביל הוא בעל ערך y קבוע ועובר בנקודה שבה y = -6
לכן משוואת הישר היא:
y = -6

סעיף ב
על מנת למצוא נקודת קיצון נגזור את הפונקציה
f (x) = 2x³ – 9x² +12x – 6
f ' (x) = 6x² – 18x + 12

נשווה את הנגזרת ל 0
6x² – 18x + 12 = 0  / :6
x² – 3x + 2 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל:
x = 2  או x = 1.

נמצא את ערכי ה y של הנקודות על ידי הצבה בפונקציה
f (1) = 2*1³ – 9*1² +12*1 – 6 = -1
הנקודה היא 1-, 1

f (2) = 2*2³ – 9*2² +12*2 – 6 = 16 -36 + 24 – 6
f (2) = -2
הנקודה היא 2-, 2

בגרף רואים שלנקודה A ערך y גדול יותר מלנקודה B. לכן הנקודות הן:
(A (1, -1),  B (2, -2

סעיף ג
השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל

נציב באינטגרל ונקבל:

קיבלנו שהשטח שלילי כי השטח נמצא מתחת לציר ה x.
אבל שטח הוא גודל חיובי ולכן השטח הוא 4.5-.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

24 מחשבות על “חקירת פונקציית פולינום שאלון 382 / 803”

  1. קודם כל תודה על האתר הזה שמנגיש את כל החומר כל כך טוב וברור.
    אשמח אם יהיו הסברים תאורטיים, אני למשל לומדת לגמרי לבד ואין לי מושג מה הכוונה בנגזרת או משיק מעבר למשוואה ולכללים היבשים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אשתדל לשפר בהמשך.
      בינתיים:
      הנגזרת מתארת כיצד הפונקציה משתנה, מתארת את שיפוע הפונקציה.
      משיק הוא ישר שיש לו נקודה משותפת יחידה עם הפונקציה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא כתבת איזו נקודות אתה מחפש.
      אם זה חיתוך עם הצירים אז כאשר מכפלת שני ביטויים שווה ל 0 זה אומר שלפחות אחד הביטויים שווה ל 0.

  2. איך זה הגיוני שאחרי שגוזרים פעם שנייה ומשווים לאפס ומוצאים רק תאיקס אפשר לדעת עם זה מינימום או מקסימום?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אפשר.
      מציבים בנגזרת השנייה את ערך ה x של הנקודה החשודה כקיצון.
      אם מתקבל ביטוי חיובי זה מינימום ושלילי זה מקסימום.

      זה כך כי הנגזרת השנייה מודדת את השיפוע של הנגזרת הראשונה.

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי אני ממש נהנת מהאתר הזה הכל כל כך ברור! תודה
    רציתי לשאול איך אני עושה חקירה לפונקצית מכפלה כדוגמת: (5x+1)\3 (x-3)=f(x)
    (אני יודעת איך גוזרים) זה מסתבך לי ויוצא שאין נקודות קיצון
    וגם איך פותרים את הפונקציה הזו: fx=-9x\4 (זה נגזרת שאני צריכה להציב בה ערכים מהטבלה)עם סוגרים או בלי כי בלי סוגרים זה יוצא לא נכון בפיתרון ועם סוגרים זה לא נראה לי הגיוני כי זה פעולת כפל

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה.
      השאלות לא למרי ברורות.
      1.נראה שהפונקציה איבדה את הסדר שלה.
      אם יש אפשרות להכפיל לפני הגזירה תכפילי ואז תגזירי.
      בעיקרון או שיש טעות בגזירה או באלגברה שלאחר מיכן.
      2.השאלה הזו לא הייתה ברורה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יוסי
      תבדוק אם יש לך שם אפשרות להוציא גורם משותף x כך שמחוץ לסוגריים יהיה x ובתוך הסוגריים משוואה ריבועית.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום יצחק.
          על מנת לגזור פונקציה עם סוגריים פותחים את הסוגריים.
          לאחר הפתיחה תקבל פונקציה המורכבת ממספר ביטויים שאת כל אחד אפשר לגזור.
          בחלק מספר 2, של גזירת פונקציה הוספתי את תרגיל 5 שהוא דוגמה לגזירת פונקציה עם סוגריים.

          שים לב כאשר אתה חוקר פונקציה תידרש לעשות מספר דברים. את חלק מיהם קל יותר לעשות לאחר שפתחנו את הסוגריים של הפונקציה (גזירה, נקודות קיצון) אבל יתכן שיהיה חלק שקל יותר יהיה לעשות עם הפונקציה המקורית לפני פתיחת סוגריים. לרוב זה נקודות חיתוך עם ציר ה x ולפעמים גם עם ציר ה y.
          מקווה שעזרתי. בהצלחה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.