פונקציית ln תחום הגדרה

בדף זה נלמד:

  1. מתי פונקציית ln מוגדרת.
  2. נפתור תרגילים.

נושאים נוספים בחקירת פונקציית ln בקישור.

1.מתי פונקציית ln מוגדרת

פונקציית ln מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי.

למשל הפונקציה f(x) = ln x מוגדרת כאשר  x > 0.
הפונקציה (f(x) = ln (x + 2 מוגדרת כאשר x + 2 > 0.

מציאת תחום ההגדרה של ln דומה מאוד למציאת תחום ההגדרה של פונקציית שורש.

בפונקציית שורש היינו צריכים שהביטוי שבתוך השורש יהיה חיובי או שווה ל 0.
בפונקציית לן נדרש חיובי ללא האפשרות של שווה ל 0.

הקשיים מתחילים כאשר הביטוי שבתוך ה ln הוא ביטוי שקשה להגיד עליו מתי הוא חיובי.

בחלק זה של הדף נעבור על סוגים נפוצים של פונקציית ln ונסביר כיצד מוצאים את תחום ההגדרה שלהם.

בטבלה הבאה פונקציות לצד אי שוויון שפתרונו נותן את תחום ההגדרה.

שתי הפונקציות האחרונות הן ברמת 5 יחידות.

פונקציהאי שוויון נותן את תחום ההגדרה
(f (x) = ln (x – 4x – 4 > 0
(f (x) = ln (-x – 4) – ln (x + 2x + 2 > 0 וגם -x – 4 > 0
(f(x) = ln (x²-8x+12x²-8x+12>0
x – 2 ≠ 0  וגם  x + 8 > 0
  וגם  x – 1 ≠ 0
(f (x) = ln (√x – 1x ≥ 0 וגם x – 1 > 0√
פתרונות מלאים לששת הפונקציות הללו

סוג 1: פונקציית ln פשוטה
(f (x) = ln (x-4

תחום ההגדרה הוא כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי.
x – 4 > 0
x > 4

סוג 2: שילוב של שתי פונקציות ln
(f (x) = ln (-x – 4) – ln (x + 2

עלינו לבנות שני אי שוויונות ותחום ההגדרה יצטרך לקיים את שני התנאים.
x – 4 > 0-
x > 4-
x < – 4
וגם
x + 2 > 0
x > -2

קיבלנו
x < – 4
x > -2
לשני התחומים הללו אין תחום משותף ולכן הפונקציה הזו אינה מוגדרת

סוג 3: כאשר בתוך ה ln נמצאת משוואה ריבועית
(ln (x²-8x+12

במקרה זה עלינו לפתור אי שוויון ריבועי של:
x²-8x+12>0

ניתן לעשות זאת בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נפתור כאן בעזרת טרינום.
x²-8x+12=0
x² – 2x – 6x + 12 = 0
x (x – 2) -6 (x – 2) = 0
(x-6) (x-2)=0)
x= 6  או x=2.
2. זו פרבולת מינימום משום שהמקדם של x² הוא חיובי (1).
3. סקיצה של הפרבולה נראית כך:

ניתן לראות שהפרבולה חיובית כאשר x<2 או x>6.
וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה (ln (x²-8x+12.

סוג 4: שילוב בין ln לפונקציה רציונלית
כאשר הפונקציה כוללת מכנה עלינו לדאוג שהמכנה יהיה שונה מ 0.

במקרה זה עלינו לדאוג שהמכנה יהיה שונה מ 0.
x – 2 ≠ 0
x ≠ 2

וגם הביטוי שבתוך ה ln צריך להיות חיובי.
x + 8 > 0
x > -8
תשובה: x > -8 וגם x ≠ 2.

סוגים 5-6 מתאימים ל 5 יחידות

סוג 5: כאשר בתוך ה ln יש שבר

במקרה זה יש שני תנאים.
המכנה של השבר צריך להיות חיובי
x – 1 ≠ 0
x ≠ 1

וגם השבר שבתוך ה ln יהיה חיובי.

זה אי שוויון עם שברים, פותרים אותו על ידי הכפלה במכנה בריבוע (בריבוע כי רוצים להכפיל בוודאות במספר חיובי, על מנת לא להחליף את כיוון האי שיווין).
מכפילים ב x – 1)²)
נקבל:
x +2) (x – 1) > 0)
וזה אי שוויון ריבועי שאנו כבר יודעים לפתור ופתרונו:
x > 1   או  x < -2

סוג 6: כאשר בתוך ה ln יש שורש
במקרה זה נמצא את תחום ההגדרה של פונקציית השורש הפנימית ושל פונקציית ה ln.

(f (x) = ln (√x – 1

תנאי ראשון הוא שהביטוי שבתוך פונקציית השורש יהיה חיובי או שווה ל 0.
x ≥ 0

תנאי שני שהביטוי בתוך ה ln יהיה חיובי.
x – 1 > 0√
x > 1√
x > 1
או
x < -1

התחום המקיים את תנאים 1 ו 2 ביחד הוא
x > 1
וזה תחום ההגדרה של הפונקציה.

תרגילים: מצאו את תחום ההגדרה

התרגילים הם:

  1. (ln (3x – 6
  2. (ln ( x² – 5x – 24
  3. ( ln ( 1/x²

פתרונות

תרגיל 1
(ln (3x – 6

פתרון
תחום ההגדרה הוא כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי.
3x – 6 > 0
3x > 6
x > 2

תרגיל 2
(ln ( x² – 5x – 24

פתרון
תחום ההגדרה הוא כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי.
x² – 5x – 24 > 0
נפתור את אי השוויון :
זוהי פרבולה "מחייכת" (המקדם של x² חיובי).
לכן נצטרך למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר x,
ואז התחום בו הפונקציה חיובית יהיה כל x פרט לתחום בין נקודות החיתוך.
(מומלץ לשרטט סקיצה של הפונקציה על מנת לראות זאת).
נוסחת כפל מקוצר:
x – 8)(x + 3) = 0)
לכן, נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה – x הן :
x = 8 , x = -3.
לכן תחום ההגדרה הוא :
x > 8   או    x < -3.

כאשר הפרבולה נמצאת מתחת לציר ה- x הערך הפנימי ששל ה- ln שלילי ולכן הפונקציה אינה מוגדרת
כאשר הפרבולה נמצאת מתחת לציר ה- x הערך הפנימי ששל ה- ln שלילי ולכן הפונקציה אינה מוגדרת

תרגיל 3
( ln ( 1/x² 

פתרון
תחום ההגדרה הוא כאשר הביטוי שבתוך ה ln חיובי.
כמו כן המכנה לא יכול להתאפס.
f(x) = 1/x² > 0

מתי השבר הזה חיובי?
המונה חיובי תמיד.
המכנה חיובי תמיד מלבד x = 0

כמו כן הפונקציה f(x) = 1/x²  מוגדרת לכל x מלבד x = 0

לכן תחום ההגדרה הוא:
x ≠ 0.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

10 מחשבות על “פונקציית ln תחום הגדרה”

  1. האם נפתור את תחום ההגדרה שונה אם יש לנו ln^3 x או ln^4 x (החזקה היא לא על האיקס אלא על ה- לן)

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    צפיתי עכשיו בסרטון ואחלה הסבר. מתומצת, ברור ויעיל בזמן(בשבילי בזמן 1:25 ;))

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מוצאים תחום הגדרה של Ln.
      מוצאים תחום הגדרה של שבר.
      זו מערכת וגם – התשובה צריכה לכלול את שני התנאים.

  3. היי, לא הבנתי למה בדוגמה מסוג 2 הפונקציה אינה מוגדרת ובדוגמה מסוג 3 היא כן. בשניהם יוצאים שני פתרונות שאין להם תחום משותף..

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום חלי
      בדוגמה 3 נמצאו שני תחומים שבהם בפונקציה הריבועית x^2 – 8x + 12 חיובית.
      לתחומים הלל לא צריך להיות משהוא משותף כי המערכת שבין התחומים הללו היא מערכת או.
      לעומת זאת בתרגיל 2 המערכת בין התחומים היא וגם, ולכן אין פתרון לתרגיל זה.
      הסבר מפורט על פתרון אי שוויון ריבועי כאן
      http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/quadratic-inequalities/
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.