תחומי עלייה וירידה של פונקציה

בדף זה נסביר כיצד מזהים פונקציה עולה או יורדת כאשר אנו רואים גרף של פונקציה או כאשר אנו מקבלים משוואה של פונקציה.

חלקי הדף הם:

1. הסבר וידאו.
2. הסבר כתוב.
3. תרגילים.

1.הסבר וידאו

2.מתי פונקציה עולה ומתי יורדת?

פונקציה עולה
פונקציה עולה אם ערכי ה x וה y עולים בו זמנית.
כאשר פונקציה עולה הנגזרת של הפונקציה חיובית.
f ' (x) > 0

פונקציה יורדת
פונקציה יורדת אם ערכי ה x עולים וערכי ה y יורדים בו זמנית.
כאשר הפונקציה יורדת הנגזרת של הפונקציה שלילית.
f ' (x) < 0

פונקציה קבועה
כאשר ערכי ה X משתנים ואילו ערכי ה Y נשארים קבועים.
פונקציות אלו הם קווים ישרים מהצורה y = k.  למשל y = 5.
במקרה זה הנגזרת שווה ל 0.
f ' (x) = 0

זיהוי עלייה וירידה בגרף:

במבט על גרף הפונקציה, כאשר נסתכל על הגרף משמאל לימין אם נראה עליה אז הפונקציה עולה.

ואם נראה ירידה אז הפונקציה יורדת.

אם הפונקציה לא עולה ולא יורדת אז היא נקראת קבועה.

הערה
אין קשר בין תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה לבין תחומי עלייה וירידה.

פונקציה יכולה להיות:

עולה ושלילית.
עולה וחיובית.
יורדת ושלילית.
יורדת וחיובית.

דוגמה של זיהוי תחומי עליה וירידה בגרף

נתון גרף של פונקציה.
לפונקציה יש מקסימום ב x =0
מינימום ב x = 2
על פי הגרף זהו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

פתרון
בגרף רואים ש x = 0 זו נקודת מקסימום.
x = 2 זו מינימום.

לכן תחום העלייה הוא
x < 0,   x >2
תחום הירידה הוא

0 < x < 2

דוגמה של מציאת עליה וירידה בעזרת נגזרת

מצאו את תחומה העלייה והירידה של הפונקציה:
f(x) = 3x² – 9x + 1

פתרון
נגזור את הפונקציה.

f ' (x) = 6x – 9

הפונקציה עולה כאשר הנגזרת חיובית.

f ' (x) > 0

6x – 9 > 0
6x > 9
x > 1.5

הפונקציה יורדת כאשר הנגזרת שלילית:

f ' (x) < 0

6x – 9 < 0
6x < 9
x < 1.5

תשובה:
x > 1.5  עלייה.
x < 1.5  ירידה.

3.תרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילים ללא פרמטרים.
תרגילים 4-6 הם עם פרמטרים.

תרגיל 1
נתון גרף של פונקציה.
על פי הגרף זהו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

תרגיל 2
האם הפונקציה f(x) = x³ + 3x² עולה או יורדת כאשר x = 1.
2. מצאו את טווח ערכי ה x עבורו הפונקציה יורדת.