נגזרת מכפלה

כאשר יש לנו פונקציה (h (x שהיא מכפלה של שתי פונקציות.
(h (x) = f (x) * g (x
אז הנגזרת של מכפלת הפונקציות היא:
(h ' (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

דוגמה לפונקציית מכפלה יכולה להיות:
(h (x) = 3x (2x – 1

שימו לב שלרוב (f (x), g (x יהיו נתונים לנו והדברים היחידים שיהיו חסרים להצבה יהיו (f ' (x),  g ' (x .
לכן על מנת להשתמש בנוסחה נפעל לרוב בשני שלבים:

  1. חישוב (f ' (x),  g ' (x -אלו שני הדברים החסרים לנו.
  2. הצבת כל האיברים בנוסחה.

הערה
בהרבה מהמקרים שבדף זה לא חייבים להשתמש בנוסחה הזו.
אבל אנחנו כן נשתמש בה כי בעתיד נפגוש מקרים שבהם יש חובה להשתמש בנוסחה וזו ההזמנות להכיר את הנוסחה.

במקרים פשוטים, כיצד ניתן להימנע משימוש בנוסחה?
אם הפונקציה שלנו היא:
(h (x ) = 5x² (2x – 4

ניתן לפתוח סוגריים.
h (x) = 10x³ -20x²
ועכשיו יש לנו פונקציית פולינום רגילה שניתן לגזור:
h' (x) = 30x² – 40x

אבל במקרים אחרים כמו:
h (x) = (2x + 1)4 *(3x – 4
h (x) = √x * (2x +1)²

לא ניתן לבצע את הדרך הזו ולכן עלינו ללמוד את כלל נגזרת מכפלה.

דוגמאות מהירות לגזירה

בחלק זה נגזור פונקציות ללא הסברים.
כל הנגזרות הם על פי הנוסחה:
(h (x) = f (x) * g (x
(h ' (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

בכול תרגילים הללו הנגזרת מופיעה באדום.

דוגמה 1
2x (x³ + 1) ] ' = 2(x³ +1) + 3x² * 2x]

דוגמה 2
x³ (2x – x 4) ] ' = 3x²(2x – x 4) + (2 – 4x³) * x³]

דוגמה 3
(3x² – 6x)* (5x² – 12x³) ] ' = (6x – 6) *(5x² – 12x³) + (10x – 36x²) * (3x² – 6x)]

תרגילים

מצורפים 4 תרגילים.
בתרגילים 1-3 נוח יותר לגזור על ידי פתיחת סוגריים אבל אנחנו נגזור על פי הנוסחה של נגזרת מכפלה על מנת לתרגל.

תרגיל 1
(h (x) = 5x² (2x – 4

פתרון
f (x) = 5x²
f ' (x) = 10x
g (x) = 2x – 4
g ' (x ) = 2

נציב את הנתונים הללו בנוסחה.
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h (x) = 5x² (2x – 4
h ' (x) = 10x (2x – 4) + 2 * 5x²
20x² -40x + 10x² = 30x² – 40x

תרגיל 2
(h (x) = -3x (3x² + 2x -1

פתרון
f (x) = -3x
f ' (x) = -3
g (x) = 3x² + 2x -1
g ' (x ) = 6x  + 2

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h ' (x) = -3 (3x² + 2x -1) + (6x + 2) * (-3x
h ' (x) = -9x² -6x +3 -18x² -6x
h ' (x) = -27x² -12x + 3

תרגיל 3
(h (x) = (x² – 2x) * (-3x + 1

פתרון
f (x) = x² – 2x
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = -3x +1
g ' (x ) = -3

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h ' (x) = (2x – 2) (-3x +1) + -3 (x² – 2x
h ' (x) = -6x² +2x +6x -2 -3x² + 6x
h ' (x) = -9x² +14x -2

תרגיל 4
נתונה הפונקציה:
(h(x) = (ax+3) * (-2x + x²
ידוע כי בנקודה x = 1 ערך הנגזרת הוא 8.
מצאו את a.

דרך הפתרון
נגזור את הפונקציה על פי כללה המכפלה, נתייחס אל a כאל מספר.
נציב בנגזרת x = 1 ונבנה משוואה עם נעלם אחד שהוא a.

פתרון
f (x) = ax + 3
f ' (x) =a
g (x) = -2x + x²
g ' (x) = -2 + 2x

נציב בנוסחה:
(h ' (x) = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x
ונקבל:
(h ' (x) = a(-2x² +x²) + (-2 + 2x) (ax + 3

נציב x = 1 בנגזרת שקיבלנו ונקבל:
(h ' (1) = a (-2*1² + 1²) + (-2+2) (a+3
h ' (1) =  a (-2 + 1) = -a

אנו גם כי h ' (1) = 8
לכן
a =8-
a = -8
תשובה: a = -8.

תרגיל 5
הוכיחו בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות כי הנגזרת של הפונקציה h (x) = 2x היא 2.

פתרון
ניתן לראות את הפונקציה h (x) = 2x
כמורכבת משתי פונקציות:
f (x) =2
f ' ( x) = 0
g ( x) = x
g ' (x) = 1

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

h ' (x)  = 0 * x + 1 * 2 = 0 +2 = 2

תרגילים עם פונקציות שאינן פולינום

תרגיל 1
נגזרת מכפלה של פונקציית שורש

הנגזרת של x היא 1.
הנגזרת של (x + 2)√ היא

על פי כלל המכפלה הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

תרגיל 2
נגזרת של פונקציה טריגונומטרית
2x * cos x

פתרון
יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = 2x
u'(x) = 2

השנייה : v(x) = cosx
v'(x) = -sinx

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.
2x*cosx)' = 2 * cosx – 2x * sinx)

תרגיל 3
נגזרת של פונקציה מעריכית
(ex (2x + 4

פתרון:
יש לנו פונקציה שמורכבת ממכפלה של 2 פונקציות.
הראשונה :  u(x) = ex
u'(x) = ex
השנייה :  v(x) = 2x + 4
v'(x) = 2

נשתמש בנוסחה של גזירה של מכפלה.

= ex (2x + 4) ] ' =  ex (2x + 4) + 2ex ]
= 2x * ex + 4ex + 2ex   =
2x * ex + 6ex =

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות ? פנו אליי ואתקן

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.