נגזרת מכפלה

כאשר יש לנו מכפלה של שתי פונקציות.
(f (x) * g (x

הנגזרת של מכפלת הפונקציות היא:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

בהרבה מהמקרים שבדף זה לא חייבים להשתמש בנוסחה הזו.
אבל אנחנו כן נשתמש בה כי בעתיד נפגוש מקרים שבהם יש חובה להשתמש בנוסחה וזו ההזמנות להכיר את הנוסחה.

במקרים פשוטים, כיצד ניתן להימנע משימוש בנוסחה?
אם הפונקציה שלנו היא:
(h (x ) = 5x² (2x – 4

ניתן לפתוח סוגריים.
h (x) = 10x³ -20x²
ועכשיו יש לנו פונקציית פולינום רגילה שניתן לגזור:
h' (x) = 20x² – 40x

אבל במקרים אחרים כמו:
h (x) = (2x + 1)4 *3x
h (x) = √x * (2x +1)²

לא ניתן לבצע את הדרך הזו ולכן עלינו ללמוד את כלל נגזרת מכפלה.

תרגילים

תרגיל 1
(h (x) = 5x² (2x – 4

פתרון
f (x) = 5x²
f ' (x) = 10x
g (x) = 2x – 4
g ' (x ) = 2

נציב את הנתונים הללו בנוסחה.
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h (x) = 5x² (2x – 4
h ' (x) = 10x (2x – 4) + 2 * 5x²
20x² -40x + 10x² = 30x² – 40x

תרגיל 2
(h (x) = -3x (3x² + 2x -1

פתרון
f (x) = -3x
f ' (x) = -3
g (x) = 3x² + 2x -1
g ' (x ) = 6x  + 2

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h ' (x) = -3 (3x² + 2x -1) + (6x + 2) * (-3x
h ' (x) = -9x² -6x +3 -18x² -6x
h ' (x) = -27x² -12x + 3

תרגיל 3
(h (x) = (x² – 2x) * (-3x + 1

פתרון
f (x) = x² – 2x
f ' (x) = 2x – 2
g (x) = -3x +1
g ' (x ) = -3

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

(h ' (x) = (2x – 2) (-3x +1) + -3 (x² – 2x
h ' (x) = -6x² +2x +6x -2 -3x² + 6x
h ' (x) = -9x² +14x -2

תרגיל 4
הוכיחו בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות כי הנגזרת של הפונקציה h (x) = 2x היא 2.

פתרון
ניתן לראות את הפונקציה h (x) = 2x
כמורכבת משתי פונקציות:
f (x) =2
f ' ( x) = 0
g ( x) = x
g ' (x) = 1

נציב בנוסחה:
(f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x

h ' (x)  = 0 * x + 1 * 2 = 0 +2 = 2

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.