אסימפטוטה אופקית

לדף זה 4 חלקים:

  1. מה היא אסימפטוטה אופקית?
  2. כיצד מוצאים אסימפטוטה אופקית.
  3. 3 סוגים של פונקציות רציונליות והקשר שלהם לאסימפטוטה אופקית.
  4. תרגילים.

1.מה היא אסימפטוטה אופקית?

אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר ערכי הפונקציה שואפים למספר קבוע כאשר ערכי ה x שואפים לאינסוף או למינוס אינסוף.
אסימפטוטה אופקית היא מהצורה y=k (כאשר k הוא מספר כלשהו).

למשל הפונקציה

שואפת לערך 3 כאשר ערכי ה x שואפים לאינסוף או למינוס אינסוף.
לכן y= 3 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

גרף הפונקציה באדום, הגרף y= 3 בשחור
גרף הפונקציה באדום, הגרף y= 3 בשחור

2. כיצד מוצאים את האסימפטוטה האופקית של פונקציה רציונלית?

על מנת להבין כיצד מוצאים אסימפטוטה אופקית נסתכל על הפונקציה:
f (x)  = xn+1 + xn
כאשר x שואף לאינסוף, האם אחד הביטויים הופך לזניח?

כן.
כאשר x שואף לאינסוף xn זניח לעומת xn+1.
אם למשל ננסה לחלק את הביטויים הללו אחד בשני נקבל:

כלומר כאשר x שואף לאינסוף xn+1 גדול פי אינסוף מ xn.

ניתן להבין זאת גם דרך דוגמה מספרית.
נציב n = 2. ונקבל:
f (x) = x³ + x²
כאשר x שואף לאינסוף:
אינסוף * אינסוף * אינסוף = x³
אינסוף * אינסוף = x²
כלומר x³ גדול פי אינסוף מ x²

לסיכום: כאשר יש לנו ביטוי עם מספר איברים שאנו רוצים לחשב את ערכו כאשר x שואף לאינסוף ניתן להתייחס רק לאיברים הכוללים את x עם החזקה הגבוהה ביותר.

אם נחזור לפונקציה:

אז במונה האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר הוא 3x².
במכנה האיבר עם החזקה הגבוהה ביותר הוא x².

כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה הוא:

והאסימפטוטה תהיה y = 3.

ומה קורה לפונקציה אם מוסיפים לשבר מספר?
למשל:

במקרה זה ערך הפונקציה כש x שואף לאינסוף גדל ב 2.
ולכן האסימפטוטה תהיה y = 5.

דוגמה נוספת הכוללת שורש.
אם זו הפונקציה שלנו:

אז כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה אינה מוגדרת ואין לנו מה לבדוק במצב זה.
כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה הוא:

ולכן y = 0 זו אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

שרטוט הפונקציה והאסימפטוטה y = 0
שרטוט הפונקציה והאסימפטוטה y = 0

3.מדוע לפונקציית שורש יכולות להיות שתי אסימפטוטות אופקיות שונות

הדבר נובע מכך שאם יש שורש במונה או במכנה ובתוך השורש יש משתנה עם חזקה זוגית האז ביטוי בתוך השורש יהיה חיובי ומוגדר גם במינוס אינסוף.
לעומת זאת אם במכנה / מונה יהיה משתנה ללא שורש ובחזקה אי זוגית הוא יהיה שלילי במינוס אינסוף.

לכן במקרים אלו הפונקציה משנה אסימפטוטה אופקית.

כאשר x שואף לאינסוף נקבל:

כאשר x שואף למינוס אינסוף נקבל:

לסיכום:
באינסוף האסימפטוטה היא y = 1.
במינוס אינסוף האסימפטוטה y = -1.

שימו לב
לא תמיד האסימפטוטות יהיו מספרים נגדיים (כמו 1 ו 1-).
אם, למשל, הפונקציה שלנו הייתה

אז היינו מקבלים y = 3 אסימפטוטה באינסוף ו y = 1 אסימפטוטה במינוס אינסוף.

כך נראה גרף הפונקציה הראשונה.
ניתן לראות ש y = 1,  y = -1 הם אסימפטוטות.

4. 3 מצבים בפונקציה רציונלית והקשר שלהם לאסימפטוטה אופקית

בפונקציה רציונלית ניתן להבחין בין שלושה מצבים:

  1. החזקה הגדולה של הפונקציה נמצאת במונה.
  2. החזקות הגדולות של המונה והמכנה שוות.
  3. החזקה הגדולה של הפונקציה נמצאת במכנה.

כל אחד מהמצבים ההללו משפיע בצורה אחרת האם תהיה אסימפטוטה אופקית ואם כן מה תהיה משוואתה.

מצב 1
ערך החזקה הגדולה ביותר שבמונה גדול מערך החזקה הגדולה ביותר שבמכנה.
במקרה הזה לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כי הפונקציה אינה שואפת למספר קבוע כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

למשל הפונקציה

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף הערך המקורב של הפונקציה הוא:
f (x) = x³ / 2x
וערך זה שואף לאינסוף ולא למספר.
כך נראה הגרף.

ניתן לראות שהפונקציה עולה או יורדת בצורה חדה בקצוות שלה.
הפונקציה לא שואפת למספר ולכן אין לה אסימפטוטה.

מצב 2
החזקה הגבוהה ביותר במונה שווה לחזקה הגבוהה ביותר במכנה.
במקרה זה האסימפטוטה היא המספר שהוא המנה של חלוקת החזקות הגבוהות ביותר.

למשל הפונקציה:

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

לכן y = -0.333 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
כך זה נראה בגרף

הישר y = -0.333 הוא הישר השחור הנמצא ליד ציר ה x
הישר y = -0.333 הוא הישר השחור הנמצא ליד ציר ה x

מצב 3
החזקה הגבוהה ביותר במונה קטנה מהחזקה הגבוהה הגבוהה ביותר במכנה.
במקרה זה האסימפטוטה היא הישר y= 0.

למשל הפונקציה

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

לסיכום:

  1. כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במונה הפונקציה תשאף לאינסוף או מינוס אינסוף כאשר x שואף לאינסוף. לכן במקרה זה אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.
  2. כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במכנה האסימפטוטה תהיה y = 0.
  3. כאשר החזקה הגדולה ביותר שווה במונה ובמכנה האסימפטוטה תהיה המנה של שניהם.

דגש: בכול המקומות בהם כתוב "בחזקה הגדולה ביותר" הכוונה היא לחזקה הגדולה ביותר על המשתנה.

5. תרגילים

5 תרגילים.
תרגילים 4-5 הם תרגילים עם פרמטרים.
(בנוסף: אסימפטוטה אופקית עם פרמטרים).

תרגיל 1
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה

פתרון
כאשר ערכי ה x של הפונקציה שואפים לאינסוף / מינוס אינסוף במונה המספר 5 הופך להיות זניח ובמכנה x הופך זניח.
ערכה של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף הוא:

לכן y= 0 הוא האסימפטוטה של הפונקציה.

גרף הפונקציה. ניתן לראות שבאינסוף ובמינוס אינסוף הגרף שואף לאפס
גרף הפונקציה. ניתן לראות שבאינסוף ובמינוס אינסוף הגרף שואף לאפס

תרגיל 2
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף אז במכנה 6x + 9 זניחים.
לכן ערך הפונקציה באינסוף / מינוס אינסוף ישאף ל:

אנו רואים שכאשר x שואף לפלוס / מינוס אינסוף הפונקציה תשאף לפלוס / מינוס אינסוף ולא למספר קבוע.
לכן לפונקציה זו אין אסימפטוטה אופקית.

גרף הפונקציה שאינו שואף למספר קבוע
גרף הפונקציה שאינו שואף למספר קבוע

תרגיל 3
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף ה x במכנה זניח.
במקרה זה ערך הפונקציה שואף ל:

לכן y = 2/3 זו אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

גרף הפונקציה באדום, גרף האסימפטוטה האופקית בשחור
גרף הפונקציה באדום, גרף האסימפטוטה האופקית בשחור

תרגילים עם פרמטרים

תרגיל 4
הישר y = 4 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה הבאה.
מצאו את a

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל 4.
כמו כן ערך הפונקציה באינסוף / מינוס אינסוף שווה ל:

המשוואה שהגענו אליה בסוף השואה היא:
a / 3 = 4
a = 12
וזו התשובה.

תרגיל 5
עבור הפונקציה

  1. עבור אלו ערכי a הישר y= 0  הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.
  2. עבור אלו ערכי a אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.
  3. עבור אלו ערכי a הישר y = -1 הוא אסימפטוטה אופקית.
  4. האם הישר y = 2 יכול להיות אסימפטוטה אופקית?

פתרון

סעיף 1: הישר y= 0 הוא האסימפטוטה

  1. על מנת ש y= 0 יהיה אסימפטוטה הפונקציה צריכה לשאוף ל 0 כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.
  2. הפונקציה תשאף ל 0 אם החזקה הגדולה ביותר תהיה במכנה.
  3. לכן a < 5

סעיף 2: אין אסימפטוטה אופקית

  1. לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כאשר אם x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף הפונקציה כולה לא שואפת למספר.
  2. זה קורה כאשר החזקה הגדולה ביותר של x נמצאת במונה.
  3. לכן a > 5.

סעיף 3: הישר y = -1 אסימפטוטה אופקית

  1. על מנת שהפונקציה תשאף למספר החזקה הגדולה ביותר במונה ובמכנה צריכה להיות שווה.
  2. לכן a = 5 יתן לנו אסימפטוטה אופקית מהצורה y = k.

עלינו לבדוק האם אסימפטוטה אופקית זו היא y = -1.
אם a = 5 ערך הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף הוא:

מצאנו שכאשר a= 5 הישר y = -1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

סעיף ד: y = 2 אסימפטוטה?
כפי שראינו בסעיף הקודם המספר היחידי שיכול להתקבל כאשר a = 5 הוא 1-.
וגם כאשר a ≠ 5 לא מתקבלת אסימפטוטה של y = 2.
לכן אין שום ערך של a לא יוצר לפונקציה אסימפטוטה ב y = 2.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

10 מחשבות על “אסימפטוטה אופקית”

      1. לומדים מתמטיקה

        מתי יש חור בפונקציה?
        בפונקציה יש חור כאשר עבור ערך x מסוים גם המונה וגם המכנה מתאפסים.
        במצב זה עבור אותו x הפונקציה אינה מוגדרת, אבל ערך הפונקציה לא שואף לאינסוף.

        מה ההבדל בין חור לאסימפטוטה אנכית?
        באסימפטוטה אנכית עבור x מסוים רק המכנה מתאפס ואלו למונה יש ערך מספרי.
        לכן הפונקציה שואפת לאינסוף.

        הסבר ודוגמאות כאן
        https://www.m-math.co.il/mathematics-function/asymptote-hole/

  1. שלום,
    תודה רבה על ההסבר ,
    בסרטון כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במכנה
    בדקה 8:40 כתוב שאסימפטוטה היא x=0
    אבל זה אמור להיות y=0 , נכון?
    שוב תודה רבה זה היה הסבר מאד מפורט וברור

  2. אהלן!
    תודה על האתר, זה אחלה אתר בעולם!
    רציתי לשאול מה האסימפטוטה האופקית אם במכנה אין X, יש רק מספר, ואילו במכנה יש גם X בחזקת משהו.
    איך מוצאים את האס' האופקית?
    תודה רבה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום צחי
      תודה על המחמאות ואני שמח שהאתר תורם לך.
      נראה לי שיש שגיאה בכתיבת השאלה כי פעם אתה אומר שמכנה יש x ופעם במכנה אין x.
      בכל אופן אני מבין שאתה מתכוון למצב שבו יש x רק במונה או רק במכנה.
      אז:
      כאשר יש x רק במונה (x בצורה של פולינום) – כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף המונה ישאף לאינסוף ואילו המכנה יהיה מספר. לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.
      כאשר יש x רק במכנה (x בצורה של פולינום) – כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף המונה ישאף למספר ואילו המכנה ישאף לאינוסף / מינוס אינסוף . לכן לפונקציה הישר y = 0 תהיה פונקציה אופקית.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.