אסימפטוטה אופקית

בדף זה נלמד לחשב אסימפטוטה אופקית.

אסימפטוטה אופקית מתקבלת אם כאשר ערך ה x של הפונקציה שואף לאינסוף או למינוס אינסוף אז הפונקציה שואפת למספר.

חלקי הדף הם:

  1. הסבר וידאו.
  2. זיהוי אסימפטוטה אופקית בגרף.
  3. חישוב אסיפטוטה אופקית.
  4. חישוב אסימפטוטה אופקית כשיש שבר ומספר.
  5. פתרונות מהירים לתרגילים.
  6. אסימפטוטה אופקית עם פרמטרים.
  7. תרגילים.
  8. תרגילים עם פרמטרים.

1.הסבר וידאו

2.זיהוי אסימפטוטה אופקית בגרף

בחלק זה נדבר על הדברים הבאים:

  1. מה היא אסימפטוטה אופקית וכיצד מזהים אותה בגרף.
  2. פונקציות ללא אסימפטוטות אופקיות.
  3. סימנים שצריך להכיר.
  4. תרגיל.

א.מה היא אסימפטוטה אופקית

אסימפטוטה אופקית מתקבלת כאשר ערכי הפונקציה שואפים למספר קבוע כאשר ערכי ה x שואפים לאינסוף או למינוס אינסוף.
אסימפטוטה אופקית היא תמיד מהצורה y = k (כאשר k הוא מספר כלשהו).

למשל הפונקציה

שואפת לערך 3 כאשר ערכי ה x שואפים לאינסוף או למינוס אינסוף.
לכן y= 3 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

ב.יש פונקציות שאין להם אסימפטוטות אופקיות

יש פונקציות שאין להם אסימפטוטות אופקיות.

הפונקציות שאין להם אסימפטוטות אופקיות הן פונקציות שלא שואפות למספר כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

לדוגמה:

שהגרף שלה נראה כך:

ניתן לראות שכאשר x גדל (שואף לאינסוף) הפונקציה עולה בערכים שלה ולא שואפת למספר מסוים.

וכאשר x קטן (שואף למינוס אינסוף) הפונקציה יורדת ולא שואפת למספר מסוים. לכן לפונקציה אין אסימפטוטות.

ג. דרך רישום

לאורך כל הדף אנחנו כותבים "x שואף לאינסוף" או "x שואף למינוס אינסוף".

אבל ניתן להביע את המילים הללו גם על ידי סימנים מתמטיים.

1.סימן ראשון


זה סימן של אינסוף.

2.סימן שני ושלישי

הסימון העליון הוא של "כאשר x שואף לאינסוף".

הסימון התחתון הוא של "כאשר x שואף למינוס אינסוף".

האתיות lim הם קיצור של limit "גבול".
והמשמעות המילולית המלאה היא "הגבול של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף".

3.סימן רביעי

" 8 "

כאשר יש מספר בתוך מרכאות הכוונה היא שהתוצאה היא לא בדיוק המספר הזה אלא משהו השואף למספר.

ד.תרגיל

מצורפים גרפים.
נסו לזהות:

  1. איזה גרף מתאר פונקציה אופקית?
  2. במקרה ויש לפונקציה אסימפטוטה אופקית – מה המשוואה של האסימפטוטה האופקית?

גרף 1

 

לחצו לצפייה בפתרון

אנו רואים שבקצוות הפונקציה נצמדת אל ציר ה x .
כלומר כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף למספר 0.

לכן y = 0 היא אסימפטוטה אופקית.

 

גרף 2

לחצו לצפייה בפתרון

אנו רואים שכאשר x שואף לאינסוך או למינוס אינסוף הפונקציה משנה את ערך ה y ולא שואפת למספר קבוע.
לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.

 

גרף 3

לחצו לצפייה בפתרון

אנו רואים שכאשר הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף ערך ה y של הפונקציה שואף ל 2-.

לכן y = -2 היא האסימפטוטה ההאופקית של הפונקציה.

 

גרף 4

לחצו לצפייה בפתרון

אנו רואים שכאשר x שואף לאינסוך או למינוס אינסוף הפונקציה משנה את ערך ה y ולא שואפת למספר קבוע.
לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.

 

3.כיצד מחשבים את האסימפטוטה האופקית של פונקציה רציונלית?

בחלק זה נלמד:

1.ביטויים זניחים לעומת ביטויים לא זניחים כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף / מינוס אינסוף.

2.דוגמאות לחישוב אסימפטוטה אופקית.

א.זיהוי ביטויים זניחים ולא זניחים

כאשר יש לנו פונקציה f(x) = x³ – x².
ואנו רוצים לדעת מה הערך שלה כאשר x = 10 אנו פשוט מציבים:

f(1000) = 10³ – 10² = 1,000 – 100 = 900

אבל מה נעשה כאשר נרצה לדעת מה ערך הפונקציה כאשר x

על מנת להצליח לחשב אסימפטוטה אופקית עלינו לדעת לזהות ביטויים זניחים ולא זניחים כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף.

בקצרה נאמר כי כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף

1.מספרים זניחים לעומת משתנים.

למשל:
f(x) = x – 1,000,00012

כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף לערך ה x ואת המספר 1,000,00012 ניתן להזניח כאשר רוצים לדעת את ערך הפונקציה.

2.חזקה קטנה זניחה ביחס לחזקה גדולה

למשל:
f(x) = x5 – 20x4

כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל x5 ואת הביטוי 20x– ניתן להזניח.

שימו לב שהמספר 20- או כל מקדם אחר של המשתנה לא מעניין אותנו.
המשתנה עם החזקה הגדולה ביותר הוא האיבר המשמעותי כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

תרגיל
מוצגות פונקציות.
בחרו מתוך הפונקציה ביטוי המתאר בצורה הטובה ביותר את ערך הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.

f(x) = 2x³ – 0.5x4 + 107

לחצו לצפייה בפתרון

0.5x4
הוא הביטוי עם החזקה הגדולה ביותר.
לכן כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף הביטוי 0.5x4– מתאר את ערך הפונקציה.

107 הוא מספר והחזקה שעליו לא משנה.
כאשר אנו מחפשים את החזקה הגדולה ביותר מדובר על חזקה שנמצאת מעל משתנה.
חזקה שנמצאת מעל מספר היא מספר והיא זניחה ביחס למשתנה כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

ב.חישוב האסימפטוטה האופקית

חישוב של אסימפטוטה האופקית מורכב משני שלבים:

  1. זיהוי הרכיב שאינו זניח במונה וזיהוי הרכיב שאינו זניח במכנה.
  2. חילוק שני הרכיבים שאינם זניחים יתן לנו את האסימפטוטה האופקית אם ישנה.

נבין את דרך החישוב על ידי דוגמאות.

מצב 1

בדקו אם לפונקציה הבאה יש אסימפטוטה אופקית.
אם כן כתבו את משוואת האסימפטוטה האופקית.

פתרון
6x4  זו החזקה הגדולה במונה.
2x4 זו החזקה הגדולה ביותר במכנה.

לכן כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף ערך הפונקציה הוא חלוקה של מה שעיקרי במונה במה שעיקרי במכנה.

לכן כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף מתקיים:

הפונקציה שואפת ל 3.

לכן y = 3 היא האסימפטוטה האופקית.

ניתן לכתוב את התרגיל עבור x שואף לאינסוף כך:

ועבור x שואף למינוס אינסוף ניתן לכתוב:

 

מצב 2

בדקו אם לפונקציה הבאה יש אסימפטוטה אופקית.
אם כן כתבו את משוואת האסימפטוטה האופקית.

פתרון

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף:

x²- הוא האיבר עם החזקה הגדולה במונה. האיבר 3x זניח ביחס אליו.

x³ הוא אם האיבר עם החזקה הגדולה ביותר במכנה.

לכן ערך הפונקציה באינסוף ובמינוס אינסוף הוא תוצאת החילוק של שני האיברים הללו.

לכן כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ניתן לכתוב:

לכן y = 0 היא האסימפטוטה האופקית של פונקציה זו.

ניתן היה לכתוב את הפתרון גם כך:

מצב 3

בדקו אם לפונקציה הבאה יש אסימפטוטה אופקית.
אם כן כתבו את משוואת האסימפטוטה האופקית.

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף מתקיים:

x³ הוא החזקה הגדולה ביותר במונה וכל שאר האיברים במונה זניחים ביחס אליו.

2x  הוא החזקה הגדולה ביותר במכנה וכל שאר האיברים במכנה זניחים ביחס אליו.

לכן כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף מתקיים:

הפונקציה שואפת לאינסוף ולא שואפת למספר.
לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.

ניתן לכתוב את הפתרון גם כך:

לסיכום:

  1. כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במונה הפונקציה תשאף לאינסוף או מינוס אינסוף כאשר x שואף לאינסוף. לכן במקרה זה אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.
  2. כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במכנה האסימפטוטה תהיה y = 0.
  3. כאשר החזקה הגדולה ביותר שווה במונה ובמכנה האסימפטוטה תהיה המנה של שניהם.

דגש: בכול המקומות בהם כתוב "החזקה הגדולה ביותר" הכוונה היא לחזקה הגדולה ביותר על המשתנה.

4.פונקציה רציונלית הכוללת שבר ומספר

דוגמה 1
מצאו את האסימפטוטה האופקית (אם יש ) לפונקציה:

פתרון
כאשר אנו מחפשים אסימפטוטה אנו רוצים למצוא את ערך ה y של הפונקציה.
כאשר ערך הפונקציה מורכב משני דברים נמצא את הערך של כל אחד מהדברים ונחבר.

ערך השבר
כאשר x שואף לאינסוף הערך של השבר הוא:

ערך השבר הוא שואף ל 0.

ערך המספר
כאשר x שואף לאינסוף ערך המספר 4- נשאר 4-.

ערך הפונקציה כולה באינסוף
השבר שואף ל 0.
המספר הוא 4-.

לכן הפונקציה כולה שואפת ל:

0 – 4 = -4

y = -4
היא האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.

דוגמה 2
מצאו את האסימפטוטה האופקית (אם יש ) לפונקציה:

פתרון

ערך השבר כאשר x שואף לאינסוף

השבר שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.

ערך המספר כאשר x שואף לאינסוף

ערך המספר נשאר 1+.

ערך הפונקציה כולה

כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה כולה הוא סכום הערכים הללו:

∞ + 1 = ∞

הפונקציה שואפת לאינסוף ולא למספר לכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

5.דוגמאות מהירות לחישוב אסימפטוטות

בחלק זה נחשב במהירות וללא הרבה פירוט אסימפטוטה אופקית.

לפונקציה רציונלית יש תכונה:
האסימפטוטה ב x שואף לאינסוף היא אותה אסימפטוטה כמו ב x שואף למינוס אינסוף.

לכן בחישובים שלנו נחשב רק מה שקורה ב x שואף לאינסוף.

אבל עבור פונקציות אחרות כמו: שורש, מעריכית, לוגרתמית יש לחשב גם ב x שואף לאינסוף וגם ב x שואף למינוס אינסוף.
כמו כן גם אם דורשים ממכם בגוף בו אתם לומדים לחשב בשני הצדדים עליכם לעשות זאת.

דוגמה 1

פתרון
ב x שואף לאינסוף:
10x6 היא החזקה הגדולה במונה.
2x8 היא החזקה הגדולה במכנה.

לכן:

y = 0 היא האסימפטוטה האופקית.

 

דוגמה 2

פתרון
ב x שואף לאינסוף:
x4 היא החזקה הגדולה במונה.
6x4 היא החזקה הגדולה במכנה.

לכן:

y = -1/6 היא האסימפטוטה האופקית.

 

דוגמה 3

פתרון
ב x שואף לאינסוף:
x4 היא החזקה הגדולה במונה.
6x4 היא החזקה הגדולה במכנה.

לכן:

הפונקציה שואפת לאינסוף לען אין לה אסימפטוטה אופקית.

6.אסימפטוטות אופקיות עם פרמטרים

בחלק זה ניתן הסבר לתרגילים המשלבים אסימפטוטה אופקית ופרמטרים.

שאלות מסוג זה יכולות להיות:

  1. הביעו באמצעות a את האסימפטוטה האופקית.
  2. נתונה אסימפטוטה אופקית – מצאו את a.
  3. כאשר a נמצא במעריך החזקה ועלינו לקבוע עבור אלו ערכי a יש לפונקציה אסימפטוטה.

דוגמה 1: הביעו באמצעות a את האסימפטוטה האופקית

הביעו באמצעות a את האסימפטוטה האופקית בפונקציה הבאה:

פתרון
ב x שואף לאינסוף:
ax3 היא החזקה הגדולה במונה.
6x4– היא החזקה הגדולה במכנה.

לכן:

האסימפטוטה האופקית היא:

 

דוגמה 2: מצאו את a

מצאו את a אם ידוע כי הישר y = 4 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה:

פתרון
ב x שואף לאינסוף:
12x6– היא החזקה הגדולה במונה.
ax6 היא החזקה הגדולה במכנה.

לכן:

האסימפטוטה האופקית היא:

כמו כן האסימפטוטה האופקית היא y = 4.

לכן נוכל לבנות את המשוואה:

4a = -12
a = -3

תשובה: a = -3.

דוגמה 3: הפרמטר במערך החזקה
נתונה הפונקציה:

עבור אלו ערכי a :

  1. לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.
  2. לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית y = 0.
  3. לפונקציה יש  אסימפטוטה אופקית y = -2.

פתרון
נתייחס אל a כאל החזקה הגדולה ביותר במונה.
2x4 היא החזקה הגדולה ביותר במכנה.

לכן כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה הוא:

פתרון סעיף א
לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כאשר הפונקציה אינה שואפת למספר.
כאשר a > 4 הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף.

לכן עבור a > 4 אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.

כדוגמה נפתור עבור a = 5.

פתרון סעיף ב
y = 0 היא אסימפטוטה כאשר הפונקציה שואפת ל 0 כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.
הביטוי:

שואף ל 0 כאשר x שואף לאינסוף וגם a < 4.
לכן:

עבור a < 4 הישר y = 0  הוא אסימפטוטה אופקית.

כדוגמה נפתור עבור a = 3.

פתרון סעיף ג
הישר y = 1.5 הוא אסימפטוטה כאשר חזקת המונה שווה לחזקת המכנה.
לכן כאשר a = 4 הישר y = 1.5 הוא אסימפטוטה אופקית.

במקרה זה ניתן לכתוב:

 

7.תרגילים

5 תרגילים.
תרגילים 4-5 הם תרגילים עם פרמטרים.
(בנוסף: אסימפטוטה אופקית עם פרמטרים).

תרגיל 1
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה

פתרון
כאשר ערכי ה x של הפונקציה שואפים לאינסוף / מינוס אינסוף במונה המספר 5 הופך להיות זניח ובמכנה x הופך זניח.
ערכה של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף הוא:

לכן y= 0 הוא האסימפטוטה של הפונקציה.

גרף הפונקציה. ניתן לראות שבאינסוף ובמינוס אינסוף הגרף שואף לאפס
גרף הפונקציה. ניתן לראות שבאינסוף ובמינוס אינסוף הגרף שואף לאפס

תרגיל 2
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף אז במכנה 6x + 9 זניחים.
לכן ערך הפונקציה באינסוף / מינוס אינסוף ישאף ל:

אנו רואים שכאשר x שואף לפלוס / מינוס אינסוף הפונקציה תשאף לפלוס / מינוס אינסוף ולא למספר קבוע.
לכן לפונקציה זו אין אסימפטוטה אופקית.

גרף הפונקציה שאינו שואף למספר קבוע
גרף הפונקציה שאינו שואף למספר קבוע

תרגיל 3
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף ה x במכנה זניח.
במקרה זה ערך הפונקציה שואף ל:

לכן y = 2/3 זו אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

גרף הפונקציה באדום, גרף האסימפטוטה האופקית בשחור
גרף הפונקציה באדום, גרף האסימפטוטה האופקית בשחור

8.תרגילים עם פרמטרים

תרגיל 4
הישר y = 4 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה הבאה.
מצאו את a

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל 4.
כמו כן ערך הפונקציה באינסוף / מינוס אינסוף שווה ל:

המשוואה שהגענו אליה בסוף השואה היא:
a / 3 = 4
a = 12
וזו התשובה.

תרגיל 5
עבור הפונקציה

  1. עבור אלו ערכי a הישר y= 0  הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.
  2. עבור אלו ערכי a אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.
  3. עבור אלו ערכי a הישר y = -1 הוא אסימפטוטה אופקית.
  4. האם הישר y = 2 יכול להיות אסימפטוטה אופקית?

פתרון

סעיף 1: הישר y= 0 הוא האסימפטוטה

  1. על מנת ש y= 0 יהיה אסימפטוטה הפונקציה צריכה לשאוף ל 0 כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.
  2. הפונקציה תשאף ל 0 אם החזקה הגדולה ביותר תהיה במכנה.
  3. לכן a < 5

סעיף 2: אין אסימפטוטה אופקית

  1. לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כאשר אם x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף הפונקציה כולה לא שואפת למספר.
  2. זה קורה כאשר החזקה הגדולה ביותר של x נמצאת במונה.
  3. לכן a > 5.

סעיף 3: הישר y = -1 אסימפטוטה אופקית

  1. על מנת שהפונקציה תשאף למספר החזקה הגדולה ביותר במונה ובמכנה צריכה להיות שווה.
  2. לכן a = 5 יתן לנו אסימפטוטה אופקית מהצורה y = k.

עלינו לבדוק האם אסימפטוטה אופקית זו היא y = -1.
אם a = 5 ערך הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף הוא:

מצאנו שכאשר a= 5 הישר y = -1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

סעיף ד: y = 2 אסימפטוטה?
כפי שראינו בסעיף הקודם המספר היחידי שיכול להתקבל כאשר a = 5 הוא 1-.
וגם כאשר a ≠ 5 לא מתקבלת אסימפטוטה של y = 2.
לכן אין שום ערך של a לא יוצר לפונקציה אסימפטוטה ב y = 2.

9.אסימפטוטה אופקית: גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

נושא זה מיועד לתלמידי 5 יחידות.

  1. כאשר אנו רואים גרף פונקציה האם ניתן לדעת האם לגרף הנגזרת יש אסימפטוטה אופקית?
  2. כשרואים את גרף הנגזרת, האם ניתן לדעת אם לפונקציה יש אסימפטוטה?
  3. האם לגרף הפונקציה ולגרף הנגזרת יש את אותה אסימפטוטה אופקית?

התשובה לשתי השאלות הראשונות היא כן.
התשובה לשאלה השלישית לא בהכרח.

הקשר הבסיסי אומר כך:
כאשר לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית ערכה לא משתנה.
ולכן השיפוע שלה הוא 0.
ולכן לנגזרת יש אסימפטוטה אופקית y = 0.

קשר זה מתקיים גם הפוך.
אם הנגזרת שואפת ל 0 כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף. כלומר לנגזרת יש אסימפטוטה y = 0 אז לפונקציה יש אסימפטוטה שאת משוואתה המדויקת אנו לא יודעים.

בכל מקרה שלנגזרת אין אסימפטוטה y = 0 לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.

אם אנו רואים את גרף הפונקציה

אסימפטוטה אופקית בפונקציה היא מצב שבו הפונקציה בקצוות שלה שואפת למספר.
במצב זה הפונקציה כמעט ולא משנה את ערך ה y שלה ולכן השיפוע של הפונקציה שואף ל 0.

מה שאומר שהנגזרת שואפת ל 0.

לכן אם לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית אז לפונקציית הנגזרת תהיה אסימפטוטה y = 0.
(כי ערך הנגזרת שואף ל 0).

לדוגמה, זה גרף פונקציה עם אסימפטוטה y = 2.

  • בקצוות ניתן לראות כי הפונקציה כמעט ולא עולה / יורדת.
  • לכן הנגזרת בקצוות תשאף ל 0.
  • ו y = 0 היא אסימפטוטה אופקית של גרף הנגזרת.

כך נראה גרף הנגזרת:

לסיכום, כאשר אנו רואים את גרף הפונקציה יש שני מצבים:

  1. לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית ואז לגרף הנגזרת f ' (x) יש אסימפטוטה אופקית y = 0.
  2. לפונקציה f(x) אין אסימפטוטה אופקית ואז לגרף הנגזרת f ' (x) אין אסימפטוטה אופקית.

אם אנו רואים את גרף הנגזרת

על מנת שלפונקציה f(x) תהיה אסימפטוטה אופקית הנגזרת צריכה לשאוף ל 0.

1.כלומר רק במקרה ולגרף הנגזרת f ' (x) יש אסימפטוטה אופקית y = 0 אז לגרף הפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית (אבל לא יודעים את משוואת האסימפטוטה האופקית, והיא לא חייבת להיות y = 0 גם כן).

2.אם לנגזרת יש אסימפטוטה אופקית השונה מ y = 0 לגרף הפונקציה לא תהיה אסימפטוטה אופקית.

3.אם לנגזרת אין אסימפטוטה אופקית אז לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.

דוגמה 1
זה גרף הנגזרת f ' (x).
האם לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אופקית?

פתרון
לגרף הפונקציה f (x) לא יהיה קיצון.
אנו רואים שגרף הנגזרת שואף ל 1 בקצוות.
לכן גרף הפונקציה יעלה בשיפוע 1בקצוות ולא ישאף למספר.

דוגמה 2
זה גרף הנגזרת f ' (x).
האם לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אופקית?

פתרון
גרף הנגזרת שואף ל 0 בקצוות.
לכן גרף הפונקציה לא משנה את ערכו בקצוות והוא שואף למספר קבוע.

לכן לגרף הפונקציה f(x) תהיה אסימפטוטה אופקית.

דוגמה 3
זה גרף הנגזרת f ' (x).
האם לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אופקית?

פתרון

אנו רואים שגרף הנגזרת לא שואף ל 0.
לכן גרף הפונקציה משתנה ולא שואף למספר.
לכן לגרף הפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.

עוד באתר:

 

סיכום

כיצד נראית אסימפטוטה אופקית?

לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית אם כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף אז ערך ה y של הפונקציה שואף למספר.

האסימפטוטה האופקית היא יש מהצורה y = k כאשר k הוא המספר אליו הפונקציה שואפת.

בגרף זה נראה כך:
פונקציה שמתקרבת ומתקרבת אל ערך מסוים ככלך ש x גדל או קטן.

במקרה זה הפונקציה מתקרבת אל הערך y = 3.
ולכן y = 3 הוא האסימפטוטה האופקית.

יש כמובן פונקציות ללא אסימפטוטה אופקית, כמו למשל הגרף הבא שבו הפונקציה לא שואפת למספר כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

 

כיצד מחשבים אסימפטוטה אופקית?

המטרה שלנו היא לדעת את ערך הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

על מנת לעשות זאת עלינו להבין אלו ביטויים זניחים ואלו ביטויים לא זניחים כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

הכללים אומרים:

  1. מספר זניח ביחס למשתנה.
  2. משתנה עם חזקה זניח ביחס למשתנה עם חזקה גדולה יותר.

כאשר נחשב אסימפטוטה אופקית נמצא את הגורם העיקרי במונה בנפרד ובמכנה בנפרד ואז נבצע חילוק בין שני הגורמים הללו:

דוגמאות

מצב 1

פתרון
6x4  זו החזקה הגדולה במונה.
2x4 זו החזקה הגדולה ביותר במכנה.

לכן כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף מתקיים:

הפונקציה שואפת ל 3.

לכן y = 3 היא האסימפטוטה האופקית.

ניתן לכתוב את התרגיל עבור x שואף לאינסוף כך:

 

ועבור x שואף למינוס אינסוף ניתן לכתוב:

 

מצב 2

פתרון

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף:

x²- הוא האיבר עם החזקה הגדולה במונה. האיבר 3x זניח ביחס אליו.

x³ הוא אם האיבר עם החזקה הגדולה ביותר במכנה.

לכן כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ניתן לכתוב:

לכן y = 0 היא האסימפטוטה האופקית של פונקציה זו.

ניתן היה לכתוב את הפתרון גם כך:

מצב 3

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף מתקיים:

x³ הוא החזקה הגדולה ביותר במונה וכל שאר האיברים במונה זניחים ביחס אליו.

2x  הוא החזקה הגדולה ביותר במכנה וכל שאר האיברים במכנה זניחים ביחס אליו.

לכן כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף מתקיים:

לכן אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.

פונקציה עם שבר ומספר

דוגמה 1
מצאו את האסימפטוטה האופקית (אם יש ) לפונקציה:

פתרון
כאשר אנו מחפשים אסימפטוטה אנו רוצים למצוא את ערך ה y של הפונקציה.
כאשר ערך הפונקציה מורכב משני דברים נמצא את הערך של כל אחד מהדברים ונחבר.

ערך השבר
כאשר x שואף לאינסוף הערך של השבר הוא:

ערך השבר הוא שואף ל 0.

ערך המספר
כאשר x שואף לאינסוף ערך המספר 4- נשאר 4-.

ערך הפונקציה כולה באינסוף
השבר שואף ל 0.
המספר הוא 4-.

לכן הפונקציה כולה שואפת ל:

0 – 4 = -4

y = -4
היא האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

49 מחשבות על “אסימפטוטה אופקית”

  1. דבר ראשון רציתי להגיד לך תודה רבה, בכמה דקות הבנתי את כל החומר.
    דבר שני, יש דרך לדעת האם הפונקציה שואפת למספר מלמעלה או מלמטה?
    או שצריך להסתכל על כלל הסרטוט כמו קיצון ,חיתוך עם צירים וכו.. (?)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לרוב זה דבר שמסיקים מתכונות הפונקציה כפי שכתבת.
      במקרים מאוד פשוטים ניתן גם להבין זאת מהיחס מונה חלקי מכנה.

  2. שאלה אחרונה, הישר x = -1 הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. ( פונקציית מנה עם פרמטר a).
    א. מצא את a ואת תחום ההגדרה של הפונקציה. איך אני מוצא את a?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השאלה בנושא אסימפטוטה אנכית.
      אם x = -1 אסימפטוטה זה אומר שהמכנה שווה 0 ב x = -1.
      תציב את ערך זה במכנה ותקבל משוואה.

  3. נתון שהאסימפטוטה האופקית של הפונקציה חותכת את גרף הפונקציה על ציר הy. מצא את a.

    איך אני עושה את זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם במכנה יש רק מספרים.
      ובמכנה יש x בחזקות חיוביות (פונקציה רציונלית).
      אז המכנה ישאף לאינסוף או מינוס אינסוף והמונה יהיה מספר.
      מספר חלקי אינסוף שווה ל ….

  4. הי .
    האם זה נכון לרשום שאינסוף חלקי אינסוף זה 1 ?
    אני יודע שיש עוצמות של אינסוף איך זה הגיוני ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לגבי עוצמות של של אינסוף:
      הפונקציות ln x, x^2, e^x כולן שואפות לאינסוף עבור x שואף לאינסוף.
      אבל השיפוע שלהם לא שווה וקצב העליה שלהם לא שווה. e^x מגיעה למספרים גדולים הרבה יותר מהר מ lnx.

      לגבי פעולת החילוק זה תלוי מאיזה ביטוי נובע האינסוף.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יכולה להיות אסמפטוטה אופקית.
      אם במכנה יש x בחזקה חיובית אז האסימפטוטה תהיה y = 0.
      למשל:
      f(x) = 1/x

  5. היי תודה על האתר הוא ממש מצויין
    רציתי לדעת למה הרבה פעמים כשיש אסימפטוטה אופקית הפונקציה כן תחתוך אותה איפשהו
    הייתי שמח להבין למה זה קורה בשונה מאסימפטוטה אנכית . והאם יש לזה איזשהו סימן שאפשר לזהות בשאלה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יעקב
      באסימפטוטה אנכית הפונקציה לא מוגדרת.
      אם x = 1 היא אנכית אז הפונקציה לא יכולה לקבל ערך ב x =1 כי היא לא מוגדרת.

      לאסימפטוטה אופקית אין קשר לתחום הגדרה. וא האסימפטוטה היא y = 3 אז אין סיבה שערך הפונקציה לא יהיה 3 בנקודה אחרת על הפונקציה.

  6. היי,
    באסימפטוטות אופקיות, ישנם מקרים בהם מפצלים את השאיפה לפלוס אינסוף ולמינוס אינסוף. האם בכל תרגיל צריך לעשות זאת?

    בנוסף, משהו שלא הבנתי באחת הדוגמאות:

    אם זו הפונקציה שלנו:
    fx=שורש של (x^2+1) , כל זה חלקי (x-2)

    כתבת, שכאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה אינה מוגדרת ואין לנו מה לבדוק במצב זה.
    בתרגיל (שאני לא מצליחה להעתיק כמו שצריך), הימרת את איקס לאינסוף ולמינוס אינסוף, לפני שחילקת בחזקה הגבוהה ביותר, ולכן יצאו לך תוצאות שונות. למה לא צמצמת?

    תודה רבה על כל העזרה! אתר מצויין!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      בכל הפונקציות חוץ מפונקציה רציונלית יכולה לצאת אסימפטוטה אחרת בפלוס אינסוף לעומת במינוס אינסוף לכן חובה לבדוק בנפרד את שני התחומים הללו.
      להערכתי חובה לעשות זאת גם בפונקציה רציונלית.
      במקרה והפונקציה לא מוגדרת בפלוס אינסוף או במינוס אינסוף לא בודקים את התחום שאינו מוגדר.

      תוצאות שונות היו צריכות לצאת. ולא ברור מה ניתן היה לצמצם.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רז
      האתר עצמו לא נותן שיעורים פרטיים.
      אבל יש דף בסרגל העליון שבו יש מורים פרטיים שמפורסמים באתר אך לא קשורים לאתר.

  7. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום יש לי תרגיל שהמכנה יותר גדול אבל יש לי+2 אז האסי' האופקית היא Y=2?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם המכנה גדול יותר כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף אז התשובה כן.
      אסימפטוטה y = 2.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את צריכה להציב אינסוף ןמינוס אינסוף במקום x.
      כאשר מציבים אינסוף הפונקציה לא שואפת למספר ואין אסימפטוטה.
      כאשר מציבים מינוס אינסוף הביטוי עם ה e שואף ל 0 והפונקציה כולה ל 4.

    1. לומדים מתמטיקה

      כן, אם ללא המספר האסימפטוטה היא y = 0 אז כאשר מוסיפים מספר האסימפטוטה היא המספר.

        1. לומדים מתמטיקה

          המשפט הזה
          אם ללא המספר האסימפטוטה היא y = 0 אז כאשר מוסיפים מספר האסימפטוטה היא המספר.
          נכון לכל סוגי הפונקציות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      גם בפונקציות אחרות יש.
      אבל הפעם הראשונה שפוגשים אותן זה בפונקציית שבר – פונקציה רציונלית.

  8. אם אין לי איקס במונה אבל ליד השבר יש לי
    =2 זה קובע איכשהו אסימפטוטה אופקית.

      1. לומדים מתמטיקה

        מתי יש חור בפונקציה?
        בפונקציה יש חור כאשר עבור ערך x מסוים גם המונה וגם המכנה מתאפסים.
        במצב זה עבור אותו x הפונקציה אינה מוגדרת, אבל ערך הפונקציה לא שואף לאינסוף.

        מה ההבדל בין חור לאסימפטוטה אנכית?
        באסימפטוטה אנכית עבור x מסוים רק המכנה מתאפס ואלו למונה יש ערך מספרי.
        לכן הפונקציה שואפת לאינסוף.

        הסבר ודוגמאות כאן
        https://www.m-math.co.il/mathematics-function/asymptote-hole/

  9. שלום,
    תודה רבה על ההסבר ,
    בסרטון כאשר החזקה הגדולה ביותר נמצאת במכנה
    בדקה 8:40 כתוב שאסימפטוטה היא x=0
    אבל זה אמור להיות y=0 , נכון?
    שוב תודה רבה זה היה הסבר מאד מפורט וברור

  10. אהלן!
    תודה על האתר, זה אחלה אתר בעולם!
    רציתי לשאול מה האסימפטוטה האופקית אם במכנה אין X, יש רק מספר, ואילו במכנה יש גם X בחזקת משהו.
    איך מוצאים את האס' האופקית?
    תודה רבה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום צחי
      תודה על המחמאות ואני שמח שהאתר תורם לך.
      נראה לי שיש שגיאה בכתיבת השאלה כי פעם אתה אומר שמכנה יש x ופעם במכנה אין x.
      בכל אופן אני מבין שאתה מתכוון למצב שבו יש x רק במונה או רק במכנה.
      אז:
      כאשר יש x רק במונה (x בצורה של פולינום) – כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף המונה ישאף לאינסוף ואילו המכנה יהיה מספר. לכן לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית.
      כאשר יש x רק במכנה (x בצורה של פולינום) – כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף המונה ישאף למספר ואילו המכנה ישאף לאינוסף / מינוס אינסוף . לכן לפונקציה הישר y = 0 תהיה פונקציה אופקית.

    2. אפשר להתייחס למקרים כאלה כאילו קיים x בחזקת 0 איפה שאין איקסים כלל, כי זה שווה ל-1 ולא משפיע על הפונקציה..

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.