אסימפטוטה עם פרמטרים

האסימפטוטות האנכיות מתקבלות כאשר המכנה שווה ל 0.

נפתור את המשוואה המתאימה:

x² + ax  = 0

x(x + a) = 0

הפתרונות

x = 0  או   x = -a.

בדיקה שאלו אכן אסימפטוטות

כאשר נציב את x = 0  או   x = -a במונה הפונקציה המונה לא יתאפס.

לכן אלו שתי האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.

האסימפטוטות מתקבלות כאשר המכנה שווה 0.

על מנת מנת למצוא מתי המכנה שווה 0 נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר.
a² – b² = (a – b) (a + b)

נשווה את המכנה ל 0
4x² – 9a² = 0
(2x – 3a ) * (2x + 3a ) = 0

הפתרונות הם
2x – 3a = 0
2x = 3a
x = 1.5a

או
2x + 3a = 0
2x = -3a
x = -1.5a

על מנת להבדיל בין אסימפטוטה אנכית לבין “חור” נבדוק אם הפתרונות הללו מאפסים את המונה של הפונקציה.

הפתרונות הללו לא מאפסים את המונה.

לכן:
x = 1.5a ,  x = -1.5a
הם אסימפטוטת אנכיות של הפונקציה.

לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית ב x = 2.

אסימפטוטה אנכית בפונקציה רציונלית (וגם בפונקציית שורש) יכולה להתקבל רק כאשר המכנה שווה ל 0.
כי רק כאשר המכנה שואף ל – 0 עבור ערך x שהוא מספר הפונקציה כולה יכולה לשאוף לאינסוף או מינוס אינסוף עבור x שואף למספר.

לכן המכנה צריך להתאפס כאשר נציב בו x = 2.

נציב:
x² + ax + 8 = 0
2² + 2a + 8 = 0
2a  = -12
a = -6

תשובה: a = – 6.

סעיף ב: מציאת אסימפטוטה נוספת

אחרי שמצאנו a = -6 הפונקציה נראית כך:

נבדוק מתי המכנה מתאפס.

x² – 6x + 8 = 0
x² -2x – 4x + 8 = 0
x(x – 2) – 4(x – 2) = 0
x – 2) (x – 4) = 0)

x = 2  או  x = 4

x = 2 היה נתון כאסימפטוטה.
x = 4 זו האסימפטוטה הנוספת.

x = -3  ו  x = 4 הם אסימפטוטת אנכיות ולכן מאפסים את המכנה.

נציב x = -3 במכנה

x² + bx + c = 0
(-3)²  -3b + c = 0
9 – 3b + c = 0

נציב x = 4 במכנה

x² + bx + c = 0
4² + 4b + c = 0

קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים וכך נוכל למצוא את הפרמטרים.

ב x שואף לאינסוף:
ax³ היא החזקה הגדולה במונה.
6x⁴– היא החזקה הגדולה במכנה.

לכן:

האסימפטוטה האופקית היא:

ב x שואף לאינסוף:
12x⁶– היא החזקה הגדולה במונה.
ax⁶ היא החזקה הגדולה במכנה.

לכן:

האסימפטוטה האופקית היא:

כמו כן האסימפטוטה האופקית היא y = 4.

לכן נוכל לבנות את המשוואה:

4a = -12
a = -3

תשובה: a = -3.