פונקציית שורש אסימפטוטות

דף זה מחולך ל 3 חלקים:

  1. 3 השאלות והמכשולים הנפוצים ביותר בנושא פונקציית שורש.
  2.  דברים שצריך לשים אליהם לב במציאת אסימפטוטות בפונקציית שורש.
  3. 6 תרגילים.

החלק הראשון בדף והתרגילים הראשונים מיועדים ל 4-5 יחידות.
שאר הדף ל 5 יחידות בלבד.

תזכורת.

  1. אסימפטוטה אנכית – כאשר המכנה מתאפס והמונה לא. אסימפטוטה מהצורה x = k.
  2. אסימפטוטה אופקית – כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף והפונקציה למספר. נקבעת על פי האם החזקה הגדולה ביותר נמצאת במונה או במכנה. אסימפטוטה מהצורה y = k.

על פי חוקי חזקות מתקיימים השוויונות הבאים:

עוד באתר:

1.שלוש השאלות הנפוצות ביותר

1.עלינו לבדוק אם האסימפטוטות נמצאות בתחום ההגדרה

בשתי הדוגמ

x ≥ 0  הוא תחום ההגדרה.
x = -1 מאפס את המכנה.
הישר x = -1 הוא לא אסימפטוטה כי הוא לא משיק לפונקציה.
(צריך לזכור: אסימפטוטה היא משיק לפונקציה).

דוגמה 2

הפונקציה:

המכנה מתאפס עבור x = -2.
אבל הפונקציה מוגדרת עבור x ≥ 0 (בגלל השורש במונה) ואינה מתקיימת בסביבה של x = -2.
לכן x = -2 היא לא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה הזו.

כמו כן עבור x שואף למינוס אינסוף לא נבדוק אם יש אסימפטוטה אופקית כי הפונקציה לא מוגדרת בתחום זה.

עבור x שואף לאינסוף המונה שואף לאינסוף וגם המכנה שואף לאינסוף.

לכן y = 1 הוא אסימפטוטה בפלוס אינסוף.

יש כאלו השואלים:
הרי אף פעם הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה שבה עוברת האסימפטוטה האנכית שלה.
למשל:

x = 1 זו גם נקודת האי ההגדרה וגם הישר שהוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
אז למה עבור הפונקציה הקודמת x = -2 לא יכול להיות אסימפטוטה בגלל שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה?

תשובה
בגלל שהפונקציה הראשונה מוגדרת בסביבת הנקודה x = 1 והפונקציה משיקה לישר זה.
לעומת זאת הפונקציה השנייה לא מוגדרת בסביבת x = -2 ולכן x = -2 לא יכולה להשיק לפונקציה ולהיות אסימפטוטה.

גם אסימפטוטות אופקיות נפסלות בגלל תחום הגדרה.

פונקציה זו לא מוגדרת במינוס אינסוף, ולכן לא נבדוק אם יש לה אסימפטוטה אופקית בתחום זה.

2.לפונקציית שורש יכולות להיות שתי אסימפטוטות אופקיות שונות

טיפ זה בקשר למציאת אסימפטוטה אופקית.

במקרה זה יש להוציא שורש גם ל x שואף לאינסוף וגם ל x השואף למינוס אינסוף.

שימו לב שבחלק מהמקרים אחת מהאפשרויות הללו לא תהיה מוגדרת.

כאשר x שואף ל ∞.

כאשר x שואף ל ∞- נקבל:

לכן
y = 1
y = -1
אלו אסימפטוטות של הפונקציה.

דוגמה 2

נסתכל על הפונקציה:

כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

ולכן y = 2 היא אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

לעומת זאת כאשר x שואף למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

ולכן y = -2 היא אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

כך נראה גרף הפונקציה:

שתי אסימפטוטות אופקיות נפרדות לאותה פונקציה
שתי אסימפטוטות אופקיות נפרדות לאותה פונקציה

 

3.שימו לב אם יש מספר ליד האיבר שכולל שורש

הטיפ הזה נודע לאסימפטוטה אופקית.

הפונקציה הזו זהה לפונקציה שחישבנו את האסימפטוטה שלה בסעיף הקודם.
רק שיש לה 2+.
והפלוס 2 הזה משנה את האסימפטוטות האופקיות להיות:
 y = 3 וגם y = 1.

כך נראה ההסבר עבור y = 3.

 

4.מספר בתוך השורש

כמו בפונקציה שראינו למעלה לפעמים אנו צריכים להוציא שורש ל x ולמספר הצמוד אליו.
לפעמים אנו שקועים ב x ולכן שוכחים להוציא שורש גם למספר, זו טעות.

5. ביטוי שנמצא בתוך שורש הוא חיובי או שווה ל 0 בכול תחום ההגדרה שלו

לאחר שמצאנו אסימפטוטה אופקית ועל מנת לשרטט את גרף הפונקציה אנו נרצה לקבוע אם הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף בסמוך לאסימפטוטה.

דבר שיכול להקל על קביעת הסימן של ערך הפונקציה הוא ששורש הוא חיובי בכול תחום ההגדרה שלו. כלומר:

חיובי בכול תחום ההגדרה
חיובי בכול תחום ההגדרה

לכן הפונקציה הזו תהיה שלילית בכול תחום הגדרתה:

6. אלו תנאים ביטוי בתוך שורש צריך לקיים על מנת שיהיה חיובי תמיד

הכוונה היא למשוואה ריבועית בתוך שורש.

למשל, אלו ערכים צריכים להיות ל a על מנת שהמשוואה הריבועית תהיה חיובית תמיד?

יש שני תנאים:

1.מספר הפתרונות של המשוואה הוא 0.
כלומר לפרבולה המיוצגת על ידי המשוואה הריבועית לא יהיו נקודות חיתוך עם ציר ה x.
תנאי זה מתקיים כאשר:
b² – 4ac < 0

2. זו פרבולת מינימום
ותנאי זה מתקיים כאשר
a > 0
ולמה פרבולת מינימום?
כי אם זו הייתה פרבולת מקסימום ללא פתרונות היא הייתה שלילית תמיד.

פרבולת מינימום ללא פתרונות חיובית תמיד. פרבולת מקסימום ללא פתרונות שלילית תמיד
פרבולת מינימום ללא פתרונות חיובית תמיד. פרבולת מקסימום ללא פתרונות שלילית תמיד
7. לפונקציות שורש ללא מכנה אין אסימפטוטות

לא אסימפטוטה אנכית ולא אסימפטוטה אופקית.
כלומר לפונקציות הבאות אין אסימפטוטות.

3.תרגילים

6 תרגילים המיועדים בעיקר לתלמידי 5 יחידות.
אם זאת, את תרגילים 1-4 יכולים לפתור גם תלמידי 4 יחידות.

כל התרגילים כוללים מציאת תחום הגדרה, אסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית
אם אתם מרגישים מוכנים מבחינת מציאת תחום ההגדרה דלגו על החלק הזה של התרגיל, השתמשו בתוצאת הפתרון שכתבתי ועברו ישר אל מציאת האסימפטוטות.

תרגיל 1

פתרון
תחום ההגדרה
עלינו להתייחס אל הפונקציה כפונקציה רציונלית וכפונקציית שורש.
כפונקציה רציונלית המכנה צריך להיות שונה מ 0.
x ≠ -8

כפונקציית שורש הביטוי שבתוך השורשים צריך להיות גדול או שווה ל 0.
x ≥ 0
וגם
x + 8 ≥ 0
x ≥ -8

החיתוך של שלושת התנאים ותחום ההגדרה הוא:
x ≥ 0

מציאת אסימפטוטה אנכית
x = -8 הוא הנקודה היחידה המאפסת את המכנה.
אבל הפונקציה לא מוגדרת כלל בסמיכות.
תחום ההגדרה הוא:
x ≥ 0
לכן אין לפונקציה אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית
כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה אינה מוגדרת, לכן אין מה לבדוק שם.
כאשר x שואף לאינסוף ה 8+ שנמצא במכנה זניח וערך הפונקציה הוא:

לכן y = 3 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף.

כך נראה גרף הפונקציה:

גרף הפונקציה באדום וגרף האסימפטוטה האופקית בשחור
גרף הפונקציה באדום וגרף האסימפטוטה האופקית בשחור

תרגיל 2

פתרון
מציאת תחום ההגדרה
המכנה צריך להיות שונה מ 0 ולכן
x ≠ 2,  x≠ -2

הביטוי בתוך השורש צריך להיות חיובי או שווה ל 0 ולכן:
x ≤ -2  או   x ≥ 2

החיתוך של שני התנאים הוא:
x > 2  או   x < -2

אסימפטוטה אנכית
x = 2,  x = -2  מאפסים את המכנה ולא מאפסים את המונה לכן הם אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית
בחישוב האסימפטוטה האופקית חשוב לשים לב שיש ביטוי מרכזי שמושך את תשומת הלב אבל לידו יש את המספר 3, שמשפיע על האסימפטוטה האופקית.

כאשר x שואף לאינסוף זה הערך המקורב של הפונקציה:

לכן y = 7 זו אסימפטוטה של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף.

כאשר x שואף למינוס אינסוף הביטוי:
4x / √x² = -4
ולכן האסימפטוטה תהיה y = -1.

זו הכתיבה המפורטת של המצב x שואף למינוס אינסוף:

תרגיל 3

פתרון
תחום ההגדרה של הפונקציה
המכנה צריך להיות שונה מ 0 ולכן
x ≠ 0

הביטוי בתוך השורש צריך להיות חיובי או שווה ל 0 ולכן:

וגם
x ≠ 0
זה תחום ההגדרה.

אסימפטוטה אנכית
כאשר x שואף ל 0 המכנה שואף ל 0 והמונה לא.
לכן x= 0 אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקיות
הפונקציה אינה מוגדרת כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.
ולכן אין לפונקציה אסימפטוטות אופקיות.

תרגיל 4
הפונקציה הבאה מוגדרת לכל x.
מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.

פתרון
עבור x שואף לאינסוף ערך הפונקציה הוא:

לכן y = 2 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

עבור x שואף למינוס אינסוף ערך הפונקציה הוא:

לכן y = -4 היא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

הפונקציה באדום והאסימפטוטות בשחור
הפונקציה באדום והאסימפטוטות בשחור

תרגיל 5

פתרון
תחום הגדרה
המכנה צריך להיות שונה מ 0.
השורש מוגדר כאשר הביטוי שבתוכו שווה או גדול מ 0.
ולסיכום שני התנאים: הביטוי בתוך השורש צריך להיות חיובי.

הביטוי בתוך השורש הוא משוואה ריבועית ולכן יש לנו אי שוויון ריבועי.
2x² + 12x + 16 > 0
על ידי הוצאת גורם משותף ופירוק טרינום ניתן לכתוב גם כך:
x + 4) (x + 2) * 2 > 0)

זו פרבולה עם שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן 2-, 4-.
לפרבולה נקודת מינימום.
לכן הפרבולה חיובית כאשר:
x > -2  או   x < -4
זה תחום ההגדרה של הפונקציה.

זה גרף הפרבולה
זה גרף הפרבולה

אסימפטוטה אנכית
המכנה שווה ל:
x + 4) (x + 2) * 2 > 0)
ולכן מתאפס ב x = -4,  x = -2.
המספרים הללו לא מאפסים את המונה.
לכן:
x = -4,  x = -2 הם אסימפטוטות.

אסימפטוטה אופקית
כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף המספרים במכנה 12x + 16 זניחים ביחס ל 2x².

לכן כאשר x שואף לאינסוף ניתן לכתוב:

y = 4.24 היא אסימפטוטה של הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף.

כאשר x שואף למינוס אינסוף ניתן לכתוב:

y = – 4.24 היא אסימפטוטה של הפונקציה כאשר x שואף למינוס אינסוף.

גרף הפונקציה באדום, האסימפטוטות בשחור
גרף הפונקציה באדום, האסימפטוטות בשחור

תרגיל 6

פתרון
תחום הגדרה
x² + 2 ≠ 0 לכל x, לכן המכנה שונה מ 0.
הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השבר חיובי או שווה ל 0.

זה אי שוויון עם שברים שתלמידי 5 יחידות צריכים לדעת לפתור.
בדרך כלל עושים זאת על ידי הכפלה בריבוע של המכנה.
ואז מקבלים:
3x (2 + x²) ≥ 0

בתרגיל זה לא צריך לעשות את זה כי המכנה תמיד חיובי.
ולכן סימן השבר כולו נקבע על ידי סימן המונה.
3x ≥ 0
x ≥ 0
וזה תחום ההגדרה של הפונקציה.

פונקציה אנכית
המכנה של הפונקציה אינו מתאפס אף פעם, לכן אין אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית
הפונקציה לא מוגדרת במינוס אינסוף.
לכן נבדוק רק את פלוס אינסוף.

כאשר x שואף לאינסף המספר 2 במכנה זניח ביחס ל x² לכן ערכה של הפונקציה הוא:

לכן y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

גרף הפונקציה באדום, גרף האסימפטוטה בשחור
גרף הפונקציה באדום, גרף האסימפטוטה בשחור

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

23 מחשבות על “פונקציית שורש אסימפטוטות”

  1. שלום
    האם כשיש לי פונקציה עם שורש במונה או במכנה אני יכולה להעלות את השורש על כל הפונקציה בכדי לא להתבלבל במהו מעריך החזקה הגדול ביותר כשאני בודקת אסמפטוטה (כמובן אם אני מעלה גם את הצד שללא השורש בריבוע)?
    אם אני שמה את כל הפונקציה בתוך שורש, אז תיעלם לי תוצאה כשאני בודקת בנפרד פלוס ומינוס אינסוף, לא? הרי אם יש משהו בתוך שורש התוצאה שלו חייבת להיות חיובית או שווה לאפס.
    לדוגמא: שורש של x^2+3, כל זה חלקי x-1.
    כשאני משאירה את השורש:
    כשאיקס שואף לפלוס אינסוף x=1.
    כש x שואף למינוס אינסוף, x=-1.
    אבל, אם אני מעלה את הכל בתוך שורש, התוצאה היחידה המתקבלת היא 1. מה לעשות במקרה זה?

    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      לא שמים את כל הפונקציה בתוך שורש כדי למצוא אסימפטוטה.
      אם הצעת עוד דרך למצוא אסימפטוטה אז לא הבנתי אותה.

      הדרך שפתרת היא דרך נכונה.
      הדרך האלטרנטיבית לא ברורה לי אבל אם היא משנה את התוצאה אז היא לא נכונה.

      1. הבנתי, תודה:-)
        אז אם יש לי פונקציה עם שורש במונה או במכנה, ואני צריכה למצוא אסימפטוטה, להשאיר את השורש כמו שהוא? אם לדוגמא נותנים לי במונה 4^(X+1), ועל זה שורש, האם אני יכולה לבטל את השורש בתרגיל כך שזה יהיה בריבוע ולא ברביעית?
        מקווה שניסחתי נכון את השאלה,
        תודה!

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          יש מקרים בהם הצמצום יעבוד ויש כאלו שלא.
          אם את יודעת להבחין בין המקרים הללו צמצמי.
          אם את לא בטוחה שאת יודעת להבחין אל תצמצמי.
          כמו כן אשמח לדעת כמה יחידות את לומדת כי יש שאלות שהתשובה אליהן משתנה בהתאם למספר היחידות.

          1. אני בחמש יחידות
            האם ישנה דרך לדעת לפני פתרון התרגיל אם הצמצום יעבוד או לא?
            תודה:-)

            1. לומדים מתמטיקה

              הבעיה העיקרית היא שינוי הסימן.
              למשל אם הפונקציה היא שורש x בריבוע אז הצמצום משנה את הסימן בהצבה שלילית.
              בדוגמה שאת נתת לא משנה סימן.

  2. שלום,
    בדוגמא 2 נתת דוגמא לפונקציית שורש ואמרת: פונקציה זו לא מוגדרת במינוס אינסוף, ולכן לא נבדוק אם יש לה אסימפטוטה אופקית בתחום זה.
    אבל למה לא צריך לבדוק מה האסימפטוטה שלה כשאיקס שואף לפלוס אינסוף? הרי כשיש שורש ישנן שתי תשובות אפשריות.
    תודה:-)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השאלה לא לגמרי ברורה.
      אבל מספר ליד השבר משנה את האסימפטוטה האופקית (ולא את האנכית) כפי שמוסבר בחלק 3 בדף.

  3. היי, בדוגמה השניה בהתחלה כתבת שהפונציה אינה מוגדרת עבור מינוס אינסוף למה?
    תודה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זו הייתה טעות, הפונקציה מוגדרת במינוס אינסוף.
      סליחה על הטרחה ותודה על התיקון.

      1. היי, תודה על ההיתיחסות…. אחרי השאלה יש גם פלוס 2 זאת אומרת שצריך להוסיף 2 גם למינוס אחת נכון? ואז האסימטוטות הן 1 ושלוש נכון?

  4. תודה על הסיכומים המאלפים וההסברים.
    רציתי לברר לגבי פונקצית שורש מנה. מתי יש צורך לחלק את המונה והמכנה באיקסים עם מעריך החסקה הגבוה ביותר. וכן איך מותר לחלק באיקסים. וכן למה אי אפשר להשתמש לפי הכללים של פונקציות רציונליות.
    תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש כאן כמה שאלות, מקיפות מידי בשביל תגובה ולא ברורות לגמרי.
      אענה למה שלדעתי מטריד

      למה אי אפשר להשתמש לפי הכללים של פונקציות רציונליות.

      אז כן משתמשים בכללים של פונקציה רציונלית, רק צריך לשים לב שלפעמים פעולות שורש וחזקה יוצרות שתי אסימפטוטות אופקיות
      כפי שמוסבר בתחילת החלק השני של הדף בראש פרק הנקרא
      לפונקציית שורש יכולה להיות יותר מאסימפטוטה אופקית אחת

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    הי רציתי לשאול אם יש פונקציית שורש שהיא לא מנה אז אין לה אסימפטוטות אופקיות? לדוגמה 0.5שורש x

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לפונקציה הכתובה ולפונקציה הדומות לה אין אסימפטוטה אופקית כי היא לא שואפת למספר כאשר היא שואפת לאינסוף.

  6. לא הבנתי למה בתרגיל 2 כששואף למינוס אינסןף לא יוצא מינוס ארבע אינסוף חלקי מינוס אינסוף שזה יוצא בטוח חיובי… ואז מוסיפים לזה שלוש והאסימפטוטה שווה שוב שבע.
    השורש שהיה על הריבוע והתבטל מחייב שהx יהיה תמידי חיובי? הוא לא יכול להיות שלילי אם הוא מתבטל ממילא מהריבוע?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      במכנה זה שורש של מינוס אינסוף בריבוע.
      מינוס אינסוף ברבוע שווה לפלוס אינסוף בריבוע.
      וכאשר מוצאים שורש לאינסוף בריבוע נשארים עם אינסוף.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.