סכום זוויות במשולש (מציאת זווית ללא משתנים)

סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
משפט קצר ומאוד שימושי.

בדף זה נלמד כיצד למצוא זוויות חסרות כאשר הנתונים הם במספרים.
בדפים נוספים המיועדים לתלמידי חטיבה נלמד:

  1. מציאת זווית כאשר הנתונים הם במשתנים.
  2. הוכחות בעזרת הגדרת זווית.

בדף זה שני חלקים:

  1. תקציר.
  2. תרגילים.

1.תקציר

1.תמיד צריך לדעת שתי זוויות במשולש על מנת למצוא את הזווית השלישית.

למשל במשולש הזה נשתמש בכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות על מנת לחשב
180 – 80 – 60 = 40
גודל הזווית החסרה הוא 40

2.כאשר לא נדע 2 זוויות במשולש תהיה תכונה שבעזרתה נוכל למצוא את הזווית החסרה

כאשר לא נדע שתי זוויות תהיה תכונה שבעזרתה נוכל להשלים את הזווית השנייה.
ולאחר מיכן למצוא את הזווית השלישית בעזרת "סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות".

דוגמאות לתכונות יכולות להיות:

  1. משולש שווה שוקיים – ואז יש שתי זוויות שוות במשולש.
  2. העברת גובה – נוצרות שתי זוויות של 90 מעלות.
  3. העברת חוצה זווית – נוצרות שתי זוויות שוות.
  4. זוויות צמודות – ואז יש שתי זוויות המשלימות ל 180 מעלות.
  5. זוויות קודקודיות – ואז יש שתי זוויות שוות.

בהמשך תראו שרטוטים לפני ואחרי שימוש בתכונה.
לאחר השימוש בתכונה נגיע למצב שבו אנו יודעים שתי זוויות במשולש.

1.נתון שהמשולש הוא שווה שוקיים.

שימוש בתכונת משולש שווה שוקיים
שימוש בתכונת משולש שווה שוקיים

2.נתונה זווית צמודה במשולש.

שימוש בתכונת זוויות צמודות
שימוש בתכונת זוויות צמודות

3.נתון גובה העובר בתוך המשולש.

שימוש בתכונת הגובה
שימוש בתכונת הגובה

4.בתוך משולש עובר חוצה זווית
(בשרטוט זה נשתמש בשתי תכונות).

שימוש בתכונת חוצה הזווית וזוויות צמודות
שימוש בתכונת חוצה הזווית וזוויות צמודות

2.תרגילים

מצורפים 8 תרגילים

תרגיל 1: כאשר ידועות שתי זוויות במשולש
במשולש גודלן של שתי זוויות הוא 20,30. מה גודלה של הזוויות השלישית?

שרטוט התרגיל

פתרון
מכוון שסכום זוויות במשולש הוא 180 ניתן לכתוב:

180 = ___ + 30 + 20
180 = ___ + 50
מה המספר החסר?
130.
180 = 130 + 50

דרך אחרת לפתור את התרגיל היא:
= 180-20-30.
130 = 50 – 180

תשובה: גודל הזוויות השלישית הוא 130 מעלות.

תרגיל 2: ידועה זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים
במשולש שווה שוקיים ABC (צלע AB = AC).
גודל זווית הבסיס הוא 70 מעלות.
מה גודלן של שתי הזוויות הנוספות?

פתרון
שלב 1: מציאת זווית הבסיס הנוספת
זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
לכן זווית הבסיס הנוספת שווה 70.

שלב 2: מציאת זווית הראש
סכום זוויות הבסיס הוא  140 = 70 + 70.
לכן זווית הראש שווה ל:
40 = 140 – 180
זווית הראש שווה ל 40.

ניתן לפתור את התרגיל גם בצורה של טבלת טענה נימוק.

טענהנימוק
∠C = ∠B = 70זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
∠A = 180 – 140 = 40סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180.

תרגיל 3: ידועה זווית הראש במשולש שווה שוקיים
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הראש הוא 120 מעלות. מה גודלן של שתי הזוויות האחרות?

שרטוט התרגיל

פתרון
זו שאלה קצת יותר קשה שנפתרת בשני שלבים:

  1. מחשבים מה גודלן של סכום שתי זוויות הבסיס.
  2. מחלקים ב 2 ומוצאים מה גודלה של זווית אחת.

שלב 1: חישוב סכום זוויות הבסיס
סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
לכן סכום זוויות הבסיס הוא:
60 = 180-120

שלב 2: חישוב גודלה של זווית בסיס אחת
גודל שתי זוויות הבסיס הוא 60 ביחד.
זוויות הבסיס שוות זו לזו.
לכן גודלה של זווית אחת הוא:
30 = 60:2

ניתן לכתוב זאת גם בצורה הזו:
60 = ___ + ____
המספר החסר הוא 30.

ניתן לפתור את התרגיל גם בצורה של טבלת טענה נימוק.

טענהנימוק
∠C + ∠B = 180 – 120 = 60סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180.
∠C = ∠B = 60 : 2 = 30זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.

תרגיל 4: בעזרת זוויות צמודות
במשולש ABC המשך הצלע BC הוא הנקודות D ו E.
CAB = 50∠
ACE=100∠
מה גודלה של הזווית ABD∠ ?

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. ACB = 80∠  סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  2. ABC = 180-80-50 = 50∠ סכום זוויות במשולש הוא 180.
  3. ABD = 180-50=130∠  סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.

ניתן לפתור את התרגיל גם בצורה של טבלת טענה נימוק.

טענהנימוק
ACB = 80∠סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
ABC = 180-80-50 = 50∠סכום זוויות במשולש הוא 180.
ABD = 180-50=130∠סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.

 תרגיל 5: שילוב של חוצה זווית
נתון משולש ABC שבו CD הוא חוצה זווית ACB∠.
נתון: ACD=15∠ וזווית ABC=110∠.

חשבו את שאר הזוויות הנמצאות בשרטוט.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. DCB=∠DCA=15∠ – חוצה זוויות חוצה את הזווית לשני חלקים שווים.
  2. CDB=180-15-110=55∠ – סכום זוויות במשולש ΔCDB הוא 180 מעלות.
  3. ADC=180-55=125∠  – זווית צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
  4. 40=BAC=180-15-125∠  – סכום זוויות במשולש ΔDCA הוא 180 מעלות.
    (הערה- את סעיף 4 היה ניתן לחשב גם באמצעות סכום זוויות במשולש ΔABC).

ניתן לפתור את התרגיל גם בצורה של טבלת טענה נימוק.

טענהנימוק
DCB=∠DCA=15∠חוצה זוויות חוצה את הזווית לשני חלקים שווים.
CDB=180-15-110=55∠סכום זוויות במשולש ΔCDB הוא 180 מעלות.
ADC=180-55=125∠זווית צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
40=BAC=180-15-125∠סכום זוויות במשולש ΔDCA הוא 180 מעלות.

תרגיל 6
במשולש שווה שוקיים ΔABC  (שבו AB=AC) העבירו תיכון (ADׂׂׂ) לבסיס BC.
כמו כן העבירו גובה BE לשוק AC.
נתון CAD=20∠.
חשבו את זוויות המשולשים:
ΔABC
ΔBEC

שרטוט התרגיל

פתרון

עבור משולש ΔABC

  1. ABC=180-90-20=70∠  – זווית משלמות ל 180 מעלות ב ΔABC. (וגם בגלל שהתיכון AD הוא גם גובה במשולש שווה שוקיים ΔABC).
  2. BCA=∠ABC=70∠ – זוויות הבסיס במשולש ΔABC שווה שוקיים שוות.
  3. BAD=20*2=40∠ – תיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם חוצה זווית.
  4. EBC=180-90-70=20∠ – זוויות משלימות ל 180 ב ΔEBC.

תרגיל 7: כולל תכונות ישרים מקבילים
נתון כי AB ΙΙ CD.
BCD=40∠ וגם ADC=30∠.
חשבו את זוויות שני המשולשים.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. COD=180-30-40=110∠ – סכום זוויות במשולש ΔCOD שווה ל 180 מעלות.
  2. AOB=110∠ – זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
  3. OBA=∠OCD=40∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  4. ODC=∠OAB=30∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

תרגיל 8
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) שבו זווית הראש היא 80 מעבירים את חוצה הזווית BD.

  1. חשבו את זווית BDC.
  2. גודלה של צלע AB הוא 8 סנטימטר. האם ניתן לחשב את אורך הצלע AD?

פתרון
שלבי הפתרון הם:

  1. חישוב זוויות הבסיס.
  2. מציאת זווית BDC.

מציאת זווית הבסיס
שתי זווית הבסיס במשולש ABC  משלימות את זווית הראש ל 180 מעלות.
לכן סכומם הוא:
100 = 80 – 180

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ולכן גודל כל אחת מיהן:
B = C = 100 : 2 = 50

חישוב זווית BDC
BD הוא חוצה זווית ולכן גודל זווית DBC הוא חצי מזווית B.
DBC = 0.5 * 50 = 25

במשולש BDC אנו יודעים שתי זוויות
DBC = 25
C = 50
הזווית BDC משלימה את שתי הזוויות הללו ל 180 מעלות ולכן:
BDC = 180 – 50 – 25
BDC = 180 – 75 = 105
תשובה: BDC  = 105

 

עוד באתר:

  1. מבחן בנושא סכום זוויות במשולש.
  2. חשבון לבית הספר היסודי.
  3. מתמטיקה לחטיבת הביניים.
  4. משולש – מידע בסיסי ומקיף על תכונות המשולש.
  5. זווית – סוגים שונים של זוויות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “סכום זוויות במשולש (מציאת זווית ללא משתנים)”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כן, הוספתי פתרון על פי טענה ונימוק לתרגילים 2-5.
      כמו כן בדף חפיפת משולשים יש פתרון כזה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נריה.
      יש מספר דפים באתר בנושאים דומים:
      "זוויות במשולש כיתה ז"
      http://www.m-math.co.il/math-7th-grade/triangle-angles-7th/
      "שטח משולש כיתה ז"
      http://www.m-math.co.il/math-7th-grade/triangle-area-7/
      משולש ישר זווית
      http://www.m-math.co.il/geometry/triangle/right-triangle/
      תיבה ונפח תיבה
      http://www.m-math.co.il/3d-geometry/cuboid/

      אם יהיו שאלות על נושאים אחרים צור קשר.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נריה.
      האם אתה ידוע שבמשולש שווה שוקיים מספיק לדעת זווית אחת על מנת להשלים את כל שאר הזוויות?

      למשל אם זווית הבסיס היא 50.
      אז גם זווית הבסיס השנייה היא 50.
      וזווית הראש משלימה ל 180 מעלות וחייבת להיות 80.

      ואם זווית הראש היא 100. אז שתי הזוויות האחרות צריכות להיות שוות ביחד ל- 80. ומכוון שהן שוות כל אחת מיהן בגודל 40 מעלות.

      וזה דומה לשאלה כאן:
      1/2 מזווית הראש שווה 20. לכן זווית הראש כולה שווה ל- 40.
      שתי הזוויות האחרות צריכות להיות שוות ביחד ל 140. ולכן כל אחת מיהן שווה ל- 70.
      האם עזרתי, או שהפתרון לא ברור?

      תרגילים בנושא זוויות במשולש שווה שוקיים יש בדף משולש שווה שוקיים, שאלה מספר אחת.
      http://www.m-math.co.il/geometry/triangle/isosceles-triangle/

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.