לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

משולש שווה שוקיים סיכום ותרגילים

בדף זה נסכם את החומר בנושא משולש שווה שוקיים.
הסיכום כולל 4 חלקים:

  1. מונחים ותכונות במשולש שווה שוקיים.
  2. זוויות במשולש שווה שוקיים.
  3. איך מוכיחים שמשולש הוא שווה שוקיים.
  4. חפיפת משולשים ומשולש שווה שוקיים.

לאחר הסיכום יש 11 תרגילים עם פתרונות מלאים.
ניתן ללמוד את הנושאים בקישורים שלמעלה או בסיכום שלמטה.

בדף מתמטיקה לכיתה ח נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.

1.מונחים ותכונות במשולש שווה שוקיים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

מונחים במשולש שווה שוקיים:

  • שוקיים – שתי הצלעות השוות.
  • בסיס – הצלע השלישית.
  • זוויות הבסיס – שתי הזוויות שהבסיס יוצר עם השוקיים.
  • זוויות הראש – הזווית שנוצרת על ידי שתי השוקיים.

מונחים במשולש שווה שוקיים

תכונות משולש שווה שוקיים:

  1. השוקיים שוות זו לזו.
  2. זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. התיכון הגובה וחוצה זווית לבסיס המשולש מתלכדים.

דוגמה
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).

מעבירים את התיכון AD.
DC = 7.
CAD = 25.
חשבו את:

  1. צלע BD
  2. זווית BAD
  3. זווית ADB
    (החלקים המסומנים באדום בשרטוט).

פתרון סעיף א

מציאת BD
מכוון ש AD  הוא תיכון אז:
BD = CD = 7

פתרון סעיף ב

מציאת BAD
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא חוצה זווית ולכן:

∠BAD = ∠DAC = 25

פתרון סעיף ג

מציאת ADB
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא גובה ולכן:

∠ADB = 90

2.זוויות במשולש שווה שוקיים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

אם יודעים זווית אחת במשולש שווה שוקיים ניתן לדעת את כל השלושה.
עושים זאת בעזרת שתי תכונות:

  1. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  2. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

הטכניקה של השלמת זוויות היא טכניקה מאוד מאוד חשובה ומשתמשים בה הרבה הרבה פעמים בכול סוגי המשולשים והמרובעים.
לכן אני ממליץ לכם להשקיע מאמץ יתר על מנת להבין את מה שנלמד בחלק זה.

כאשר ידועה זווית שגודלה מספר

תרגיל
השלימו את הזוויות החסרות במשולשים שווה השוקיים הבאים:

בשרטוט 1 (זווית בסיס ידועה)

B = C = 70  (נימוק: זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו).

A = 180 – 70 – 70 = 40  (נימוק: סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות)

בשרטוט 2 (זווית ראש ידועה)

שתי הזוויות B,C גודלן ביחד 60 מעלות כי:

60 = 120 – 180 (נימוק: סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות).

B = C = 60 : 2

B = C = 30 (נימוק: זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו).

כאשר ידועה זווית שגודלה הוא משתנה

תרגיל 1
במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס היא x.
הגדירו באמצעות x את הזוויות הנוספת במשולש.

פתרון התרגיל

∠C = ∠B = x

(נימוק: זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו).

 ∠A = 180 – x – x = 180 – 2x

(נימוק: סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות).

תרגיל 2
במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא x.

הגדירו באמצעות x את הזוויות הנוספות במשולש.

פתרון התרגיל

∠B + ∠C = 180 – x

(נימוק: סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות).


(נימוק: זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו).

3.איך מוכיחים שמשולש הוא שווה שוקיים?

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.חפיפת משולשים

אתם תתקלו בתרגילי חפיפה הקשורים לתכונות משולש שווה שוקיים.
בדף זה ניתן דוגמה אחת ובקישור יש דוגמאות נוספות.

תרגיל 1
נתון משולש ABC שבו AB=AC.
נעביר את חוצה הזווית AD.
הוכיחו ללא שימוש במשפטים כלשהם (מלבד משפטי חפיפה) כי:

  1. B= ∠C∠  (זוויות הבסיס שוות).
  2. BD=CD (חוצה הזווית הוא תיכון).
  3. AD⊥BC  (חוצה הזווית הוא אנך).

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים

פתרון התרגיל

נוכיח ACD ≅ ABD

  1. AB=AC נתון.
  2. BAD = ∠CAD∠ נתון AD חוצה זווית.
  3. AD צלע משותפת.
  4. ACD ≅ ABD משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

הוכחה כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
B= ∠C∠  זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזוויות הוא גם תיכון
BD=CD  צלעות מתאימות שוות בן משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזווית הוא גובה

  1. BDA = ∠CDA∠ זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  2. BDA + ∠CDA = 180∠ (סכום זוויות צמודות)
  3. משתי עובדות אלו נובע כי כל אחת מהזוויות גודלם 90. רק במקרה הזה הזוויות יכולות להיות שוות זו לזו וסכומן 180.

את השורה האחרונה ניתן לכתוב במשוואה כך:
נגדיר:
BDA = ∠CDA = x
ומכוון שסכום הזוויות 180 אז המשוואה היא:
x + x = 180
2x = 180  / :2
x = 90

5.תרגילים עם פתרונות מלאים

בחלק זה 12 תרגילים עם פתרונות מלאים.

מנויים לאתר רואים כאן הסבר כתוב.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

73 מחשבות על “משולש שווה שוקיים סיכום ותרגילים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אם יש לי גובה שיוצא מקודקוד בסיס לאחת השוקיים אז המשפט של במשולש שש גובה לצלע הוא גם חוצה זווית וגם תיכון תקף??

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם זה גובה לבסיס אז הוא גם תיכון.
      אם זה גובה אל השוק – אז הוא לא תיכון.

  2. אם נתון לי במשולש שקו מסוים הוא גם תיכון וגם חוצה שווית, אני יכולה להסיק מזה שזה משולש שווה שוקייים?

  3. היי האם יש איזשהו משפט בנוגע לגובה במשולש שווה שוקיים שלא יוצא מהקודקוד אלא מאחת זוויות הבסיס?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לגבהים היוצאים מאחת מזוויות הבסיס יש תכונה שהם שווים אחד לשני.
      אבל זה לא משפט, אלא דבר שצריך להוכיח ומוכיחים זאת על ידי חפיפת משולשים.

  4. היי
    רציתי לשאול יתכן ויתנו לי במבחן למצוא שטח או מרובע כלשהוא והגובה לא יהיה נתון
    אני סיימתי ח
    תודה מראש

  5. היי, במשולש שווה שוקים התיכונים לשוקים מתלכדים עם חוצי הזויות?
    תודה רבה!

    1. לומדים מתמטיקה

      כן. רק המילה בסיס לא הכרחית כאן.
      ניתן לכתוב:
      כל מש' בעל 2 זויות שוות הוא משש

  6. היי אני תלמידה מכיתה ט
    עליתי הקבצה במתמטיקה ובול מיד אחכ טסנו לאיזה חודש עכשיו אני מפגרת בחומר ואני לוידעת כלום בגיאומטריה מאיפה כדי לי להתחיל?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כדאי לך להתחיל מהמקום שבו נפסק הידע.
      למשל תכונות המשולש כמו שכאן וסכום זוויות במשולש הוא 180 או אם את גבר יודעת את זה חפיפת משולשים.

  7. בחלק השלישי של ההוכחות בשאלה הראשונה רשום שAD הוא גובה לבסיס איך הגעת לזה שהוא גם תיכון?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם אנחנו מדברים על אותה שאלה עם משולש גדול שבתוכו משולש קטן.
      AD הוא גובה לצלע BC ולכן גם תיכון של BC.
      הנקודה D מחלקת של ל 2 את BC במשולש הגדול וגם הקטן.

  8. קודם כל תודה רבה !!
    השאלה שלי היא:
    אם במשולוש שווה שוקיים לא ידוע לי זוויות בכלל, אבל נתונות לי כל הצלעות, כך שאני יכולה לעשות משפט הקוסינוסים
    אבל אין לי את הזווית שביניהם ובגלל זה אני לא יכולה להשתמש בנוסחת הקוסיניוסים ( וגם אין לי איך למצוא את הזווית כי לא נתון לי אפילו זווית אחת.)
    מה אני עושה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זוויות הבסיס תמיד חדות במשולש שווה שוקיים.
      זווית הראש יכולה להיות קהה או ישרה.

  9. האם זה אפשרי שיצא שבסיס המשולש הוא 0?
    היה לי מערכת משוואות ובדקתי ויצא נכון אבל זה לא נשמע הגיוני..
    תודה

  10. בתרגיל 8 איך יכול להיות שהבסיס 14 סמ והשוק 2.מבחינה מציאותית זה נראה בלתי אפשרי

  11. יש לי משולש ונתון לי ששתי הצלעות שוות
    יש משפט שמוכיח את זה?
    לפי הציור רואים שהוא לא שווה צלעות

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        אם נתון שבמשולש צלעות שוות אז הוא אוטומטית שווה שוקיים כי שוק זו צלע. אין צורך לבצע הוכחה נוספת אלא רק להגיד שהמשולש שווה שוקיים.

  12. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אפ יש לי צלעות שוות ואני רוצה להוכיח שזה נשען על הזוויות וככה לעשות משולש משש מה המשפט שמוכיח את זה?

  13. אוראל הרוש

    הי, נתון לי משולש שווה שוקיים BAC∆
    חוצי זוויות הבסיס הם BD ( חוצה זוויות B)
    ו- CE ( חוצה זווית C ) ונפגשים בנקודה O
    האם ניתן להסיק שחוצה זויות BD הוא גם אמצע קטע BA?

  14. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    מה אם נתון שיש מש"ש וגם הקטע היוצא מזוית הראש תיכון לבסיס, אפשר להוכיח במשפט הזה שהקטע הוא גם גובה לבסיס?

  15. איתי זליאסניק

    שלום יש לי שאלה, ידוע לי שבמשולש שווה שוקיים dbc ידוע לי שdc וbc שוות 10 סמ איך אני מגלה את זווית bc (הבסיס) ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם מה שידוע לך זה רק הגודל של השוקיים לא ניתן לדעת את הזווית, צריך מידע נוסף.

      ואם bc היא הבסיס – כלומר שלושת צלעות המשולש שוות ל 10 אז זה משולש שווה צלעות שזוויותיו 60.

  16. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי אוכל לקבל הסבר על פתירת תרגיל של משולש שווה שוקיים ללא הוכחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא הבנתי.
      האם אתה לא מבין תרגיל הכתוב באתר? אם כן צריך להיות מדויק יותר.
      אם זה תרגיל מחוץ לאתר זו בעיה בתרגילים עם שרטוט שלא ניתן להעביר אותו.

  17. אם נתון משולש שווה שוקיים ונתונים תיכונים לצלעות . ניתן להגיד שהתיכונים שווים ולהשתמש בזה בחפיפת משולשים בשתי הצלעות השוות האלו?
    כלומר להשתמש בזה כמשפט? תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה לא משנה מה נקודת המוצא.
      מה שחשוב הוא שבסופו של דבר זה אותו ישר.
      חוצה הזווית והתיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים הם אותו ישר.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כן.
      במשולש שווה שוקיים התיכון, והגובה והחוצה זווית לבסיס מתלכדים – הם אותו ישר.

      לעומת זאת הישרים הללו לא מתלכדים כאשר מדובר באנך לשוק.

  18. לגבי שאלה 7.
    אם לא נתון לי BD ו CE הם חוצי זווית אז איך אני מוכיחה ש משולש DBC חופף למשולש ECB?

        1. לומדים מתמטיקה

          EB = CD שניהם חצאים של צלעות שוות AB= AC
          B= C זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
          BC צלע משותפת.
          צ.ז.צ

  19. ואוווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווו!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

    עזר לי נוראאאאא!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    תודה תודה תודה!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נריה
      בתרגיל 6 ידועה כי זווית C שווה 50.
      כמו שראינו בתרגילים הקודמים, אם יודעים זווית אחת במשולש שווה שוקיים אז יודעים את כל הזוויות.
      לכן אתה יכול לדעת את זוויות A שבמשולש.

      בנוסף הישרים AE ו- BC מקבילים.
      לכן הזוויות הללו שוות:
      DAE=∠C=50∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.

      את הזוויות האחרונה מחשבים בעזרת התכונה שזוויות צמודות שוות ל- 180 מעלות:
      BAE=180-80-50=50∠
      בהצלחה