תחום הגדרה פונקציית שורש עם פרמטרים

בדף זה 5 תרגילים בנושא מציאת תחום ההגדרה של פונקציית שורש עם פרמטר.
כל תרגיל קצת שונה מקודמו.

הרעיון המרכזי

בשאלות אנו נקבל פונקציה עם פרמטר.
עלינו להגדיר את תחום ההגדרה באמצעות הפרמטר.
להשוות את תחום ההגדרה שמצאנו לתחום ההגדרה
שמצאנו בנתוני השאלה וכך למצוא את הפרמטר.

תרגילים

תרגיל 1
הפונקציה
(f (x) = √(-x + a
מוגדרת עבור x ≤ – 2.
מצאו את a וכתבו את הפונקציה ללא פרמטר.

פתרון
הביטוי שבתוך השורש צריך להיות חיובי או שווה ל 0.

x + a  ≥  0-
x ≤ a
תחום ההגדרה הוא גם:
x ≤ – 2
לכן a = -2.

הפונקציה היא:
(f (x) = √(-x – 2

תרגיל 2
הפונקציה
(f (x) = √(ax² – 100
מוגדרת עבור
x ≥ 5 או x ≤ -5.
מצאו את a

פתרון
נבטא את תחום ההגדרה של הפונקציה בעזרת a
הביטוי שבתוך השורש צריך להיות חיובי או שווה ל 0.
ax² – 100 ≥ 0
ax² ≥ 100
x² ≥ 100/a

כמו כן אנו יודעים כי תחום ההגדרה הוא
x ≥ 5 או x ≤ -5
דבר זה מתקיים כאשר
x² ≥ 25

קיבלנו שתי אי שוויונות
x² ≥ 100/a
x² ≥ 25
הפתרון של שתי האי שוויונות הזה הוא a = 4.

תרגיל 3
הפונקציה
(f (x) = √(-x² + ax + 8
מוגדרת בתחום

מצאו את a.

פתרון
ידוע כי הפונקציה מוגדרת כאשר  x ≤ 2  וגם  x ≥ – 4.
לכן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x היא x = 2,  x = -4

כלומר כאשר נפתור את המשוואה הריבועית  x² + ax + 8 = 0-
הפתרונות שלה צריכים להיות: x = 2,  x = -4

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:


נדרוש שהשורש החיובי יהיה x1 = 2, לכן:

נכפול את שני אגפי המשוואה ב – 2-.

a + √(a² + 32) = -4-
a² + 32) = a – 4)√

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
a² + 32 = (a – 4)²

נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:
a² + 32 = a² – 8a + 16
נעביר אגפים ונכנס איברים:
8a = -16
a = -2.
מצאנו ערך אפשרי לפרמטר a.

נצטרך לבדוק אם הוא באמת מתאים גם לדרישה השנייה :
השורש השלילי צריך להיות x2 = -4. לכן:

נכפול את שני אגפי המשוואה ב 2-.
a – √(a² + 32) = 8-
a² + 32) = -a – 8)√

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
a² + 32 = (-a -8)²
נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:
a² + 32 = a² + 16a + 64
נעביר אגפים ונכנס איברים:
16a = -32
a = -2
גם כאן מתקיים כי a = -2.

לכן פתרון השאלה הוא a = -2.

תרגיל 4
עבור אלו ערכי a הפונקציה הבאה מוגדרת לכל x.

פתרון
הפונקציה מוגדרת תמיד אם מתקיים:
x² + ax + 16 > 0
וזה קורה אם למשוואה הריבועית אין פתרונות (תנאי נוסף הוא שזו תהיה פרבולת מינימום ומכוון שהמקדם של x² חיובי זו אכן פרבולת מינימום).

למשוואה הריבועית אין פתרונות עאשר
a² – 4*1*16 > 0
a² > 64
לאי שוויון זה שני פתרונות:
a > 8  או   a < -8.
בתחומים הללו הפרבולה מוגדרת לכל x.

תרגיל 5

  1. האם הפונקציה הבאה יכולה להיות מוגדרת תמיד עבור a < 0.
  2. עבור אלו ערכי a הפונקציה מוגדרת תמיד?

פתרון
על מנת שהפונקציה תהיה מוגדרת תמיד המשוואה הריבועית שבתוך השורש צריכה להיות גדולה מ 0 תמיד.
ax² + 6x + 2 > 0

תנאי ראשון על מנת שזה יקרה
פרבולת מקסימום היא אף פעם לא חיובית תמיד.
לכן a < 0 אינו אפשרי.
לכן זו פרבולת מינימום.
התנאי לפרבולת מינימום הוא:
a > 0

תנאי שני על מנת שזה יקרה
למשוואה הריבועית לא יכולים להיות פתרונות:

עבור טווח הערכים:

הפונקציה מוגדרת לכל x.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.