משוואת משיק לפונקציית שורש

בדף זה נפתור 3 תרגילים בנושא מציאת משיק לפונקציית שורש.

בדף פונקציית שורש תוכלו ללמוד על נושאים נוספים בחקירת פונקציית שורש.

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה (f(x) = x√(x+1 בנקודה (3,6) שעל הפונקציה.

פתרון:

על מנת למצוא את משוואת המשיק נחפש את שיפוע המשיק.
נעשה זאת על ידי גזירת הפונקציה, והצבת הנקודה x=3.

סעיף א: גזירת הפונקציה

הפונקציה (f(x) = x√(x+1 מורכב ממכפלת פונקציות

נסמן :

u=x

v=√(x+1)

u'=1

כעת נגזור על פי כללי מכפלת פונקציות :

סעיף ב: מציאת השיפוע בנקודה

הפונקציה עוברת דרך הנקודה (3,6)
נמצא את השיפוע בנקודה זאת.

נציב את x=3  בנגזרת:

סעיף ג': מציאת משוואת המשיק

עכשיו יש לנו שיפוע 2.75 ונקודת השקה (3,6) ואנחנו יכולים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע:
( y – y1=m ( x – x1

y -6=2.75 (x – 3)

y =2.75x-8.25+6

y =2.75x-2.25

 

תרגיל 2
מצאו את המשיק לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
בנקודה y = 4.

פתרון

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 4.

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
2x – 1 = 4²
2x – 1 = 16
2x = 17
x = 8.5
לכן נקודת ההשקה היא (4, 8.5).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 8.5.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 8.5.


לכן שיפוע המשיק הוא:  m = 1/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = 1/4*(x – 8.5
y  – 4  =  1/4*x – 17/8
y   =  1/4*x + 15/8

 

תרגיל 3
האם לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
יש משיק ששיפועו 8-?
אם לא הוכיחו שאין. אם כן מצאו אותו.

פתרון

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה.
לכן, על מנת לבדוק האם לפונקציה יש משיק ששיפועו  8- ,
נגזור את הפונקציה, ונבדוק האם יש x שנמצא בתחום ההגדרה ומקיים:
f ' (x) = -8.


כעת נשווה את הנגזרת ל 8- :

נכפול ב x3/2:
8x3/2  =  -1-
נחלק ב 8- :
x3/2 = 1/8
נעלה בחזקת 2/3:
(ואז , לפי חוקי חזקות, החזקה על ה – x תהיה שווה ל – 1)
x = (1/8)2/3
x = 1/4

מצאנו x המקיים f ' (x) = 8.
לכן לפונקציה שלנו אכן קיים משיק ששיפועי 8-.
נמצא אותו:

מצאנו כי שיעור ה – x של נקודת ההשקה הוא x = 1/4.
נמצא את שיעור ה- y של נקודת ההשקה.
נעשה זאת ע"י הצבת x = 1/4 בפונקציה.
כלומר , מציאת הערך של   (f(1/4.

f(1/4) = 2/√(1/4) = 2 / (1/2) = 4

לכן ערך ה – y של נקודת ההשקה הוא  y = 4.
לכן נקודת ההשקה היא : (4 , 1/4)

שיפוע המשיק נתון לנו כתנאי השאלה: m = -8.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4 = -8*(x – 1/4
y – 4 = -8x + 2
y = -8x + 6
זוהי משוואת הישר המשיק לפונקציה ששיפועו 8-.

תרגילים עם פרמטרים

תרגיל 4
לפונקציה
משיק לפונקציית שורש
יש בנקודה x = 9 משיק ששיפועו 0.5-.
מצאו את a.

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה.
נתון כי שיפוע המשיק בנקודה x = 9 הוא  m = -1/2.
לכן ערך הנגזרת, כאשר מציבים בה x = 9 , צריך להיות 1/2-.
לכן, על מנת למצוא את a, נגזור את הפונקציה, ונפתור את המשוואה : f ' (9) = -1/2.

המשוואה f ' (9) = -1/2 :

נקבל ממנה (לאחר הכפלה ב – 6 ) :
a = 6*-1/2

תשובה:
a = -3

גרף הפונקציה:
f(x) = -3√x

 

תרגיל 5
ידוע כי שיפוע המשיק לפונקציה f(x) = a√x כאשר x = 9 הוא 6.

  1. מצאו את a.
  2. מצאו את משוואת המשיק.

פתרון:

סעיף 1:
נגזור את הפונקציה f(x) = a√x.
על פי חוקי נגזרת שורש, הנגזרת תיהיה:

נציב במשוואת הנגזרת:
x=9, f '(x)=6

סעיף 2:
מצאנו a=36, נציב את a חזרה בפונקציה ונקבל:
f(x)=36√x

נמצא את ערך הפונקציה בנקודה x=9:
f(x)=36√9
f(x)=36*3=108

יש לנו שיפוע m=6 ונקודת השקה (9,108) ואנחנו יכולים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע:
( y – y1=m ( x – x1

y – 108=6(x -9)
y=6x-54+108
y=6x+54

לכן משוואת המשיק בנקודה (9,108) היא:
y=6x+54

סעיף 3- שרטוט הפונקציה

תרגיל 6
לפונקציה f(x) = a√x ולפונקציה g(x) = 10√x – 1.5x  יש שיפוע שווה כאשר x = 4.

  1. מצאו את a.
  2. האם לפונקציות יש משיק משותף כאשר x = 4 ?
  3. מצאו את משוואת המשיק ל2 הפונקציות כאשר x=4.

פתרון:

סעיף א- נגזור את הפונקציות

נתון ששיפועי הפונקציות שווה כאשר x=4,
נגזור את הפונקציות, ונשווה בניהן.

נציב x=4:

סעיף ב:

 : x=4 נמצא את ערך הפונקציות בנקודה
g(4)=10√4 – 1.5*4=14
f(4)=4√4=8

נמצא את השיפוע על ידי הצבת x=4 במשוואת הנגזרת :

f '(4)=4*(1 /2√2)=4/4=1

יש לנו שיפוע m=1 ונקודות השקה:
נקודת ההשקה של f:
(4,8)
נקודת ההשקה של g:
(4,14)

 

הנקודה (4,8) נמצאת על f והנקודה (4,14) נמצאת על g.
מכיוון שאלו 2 נקודות שונות עבור אותו ערך x לא יכול להיות להן משיק משותף.

סעיף ג': מציאת משוואת המשיק
ואנחנו יכולים למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע:
( y – y1=m ( x – x1

 : f(x) משוואת המשיק של

y-8=1(x-4)
y=x+4

 : g(x) משוואת המשיק של

y-14=1(x-4)
y=x+10

משוואות אלו שונות, ולכן לפונקציות אין משיק משותף כאשר x=4.

תרגילים ברמת 5 יחידות

תרגיל 7
ידוע כי שיפוע המשיק לפונקציה (f(x) = √(x²- 5x + 6 הוא  2√2 / 3-.
מצאו את נקודות ההשקה.

פתרון:

סעיף א- נגזור את הפונקציה

(f(x) = √(x²- 5x + 6

סעיף ב- נציב את ערך השיפוע בנגזרת

ידוע כי שיפוע המשיק לפונקציה הוא  2√2 / 3-.
נציב את הערך במשוואת הנגזרת:

ולכן נקודות ההשקה הן: x=4, x=1

תרגיל 8
ידוע כי שיפוע המאונך למשיק  לפונקציה  (f(x) = √(x² – ax + 3  ב x = 5 הוא

מצאו את a אם ידוע ש a חיובי.

פתרון:

נזכור: מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
נתון כי שיפוע המאונך למשיק הוא:

לכן שיפוע המשיק הוא:

סעיף א'- גזירת הפונקציה

נגזור את הפונקציה (f(x) = √(x² – ax + 3
על פי חוקי נגזרת שורש, הנגזרת תיהיה:

נציב במשוואת הנגזרת:  x=5, שיפוע :

 

שרטוט הפונקציה:

 

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.