בעיות תנועה עם עצירות, שינוי מהירות וטבלה

בעיות תנועה הנפתרות על ידי טבלה מבוססות לרוב על 3 עקרונות:

  1. כל פעם שגוף משנה מהירות זו שורה נפרדת בטבלה. מספר המהירויות המתוארות בתרגיל (כולל עצירה) זה מספר השורות שאנו צריכים שיהיו לנו בטבלה.
  2. ב 99% מהמקרים בעיות טבלה הן בעיות שוויון דרכים, לכן אנו צריכים לבחור משתנה אשר יאפשר לנו להגדיר את אורך הדרך שעבר אחד הגופים.
  3. לרוב יש שורה בטבלה שהיא קשה יותר, לרוב זו השורה האחרונה, הקפידו ללמוד אותה. בהרבה מקרים נסיק את אחד מהגדלים שבשורה זו משורות הקודמות.

הדף מחולק ל 3 חלקים:

  1. סרטוני וידאו.
  2. בעיות בסיסיות עם זמנים שווים.
  3. בעיות עם זמנים לא שווים.
  4. בעיות הדורשות פתרון משוואה ריבועית.

את חלקים 1-2 תלמידי כיתה ח ומעלה יכולים ללמוד.
את חלק 3 רק מי שכבר ללמוד לפתור משוואה ריבועית יכול לפתור.

1.סרטוני וידאו

שני סרטונים המסבירים בצורה יסודית כיצד פותרים בעיות עם טבלה.
לדעתי הסרטונים יכולים לסייע משמעותית בהבנת החומר.
שתי השאלות שנבחרו לסרטונים הן שאלות קשות יחסית. שאלות מספר 3 בחלק בשני והשלישי בדף זה.

2.בעיות בהם הזמנים שווים

בחלק זה 3 שאלות בסיסיות.
בבעיה הראשונה הזמנים אינם שווים, בשתי הבעיות שלאחר מיכן הזמנים שווים.

תרגיל 1
מכונית נסעה ליעד רחוק במהירות 80 קמ"ש.
בדרך חזרה היא נסעה במהירות 100 קמ"ש ולכן זמן הנסיעה חזור היה קצר ב 2.5 שעות מזמן הנסיעה הלוך.
חשבו את זמן הנסיעה הלוך.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
t  זמן הנסיעה הלוך בשעות.
t – 2.5 זמן הנסיעה חזור בשעות.

סך הכל יש לנו שתי מהירויות (מהירות הלוך, מהירות חזור) לכן לטבלה שלנו יהיו 2 שורות.
נציב את הנתונים בטבלה, כולל הזמנים שהגדרנו בעזרת המשתנה.

  מהירות זמן דרך
הלוך 80 t  
חזור 100 t – 2.5  

עכשיו ניתן בעזרת הנוסחה דרך = מהירות * זמן להשלים את הטור של ה"דרך".

  מהירות זמן דרך
הלוך 80 t  80t
חזור 100 t – 2.5  100t -250

שלב ב: בניית משוואה
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה תהיה:
100t – 250 = 80t
100t – 250 = 80t  / -80t + 250
20t = 250  /:20
t = 12.5

תשובה: זמן הנסיעה הלוך היה 12.5 שעות.

תרגיל 2
אדם הלך מתל אביב לירושלים ובחזרה.
בדרך הלוך האדם הלך במהירות קבועה של 7 קמ"ש.
בדרך חזור האדם רץ במהירות 12 קמ"ש 3 שעות ואז הלך עד היעד במהירות 4 קמ"ש.
הזמן ההליכה הלוך שווה לזמן ההליכה חזור.

  1. חשבו כמה שעות האדם הלך לכל כיוון?
  2. מה המרחק מתל אביב לירושלים?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה וזמנים
t  זמן ההליכה בשעות בדרך הלוך במהירות קבועה של 7 קמ"ש.
3 שעות הזמן של 12 קמ"ש.
t – 3 הזמן של 4 קמ"ש.

הסבר מדוע זמן ההליכה בקטע האחרון הוא t -3
הסבר מדוע זמן ההליכה בקטע האחרון הוא t -3

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בדרך הלוך מהירות אחת.
בדרך חזור 2 מהירויות.
לכן בטבלה 3 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של הזמן והמהירות אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

  מהירות זמן דרך
הדרך הלוך 7 t 7t
הדרך חזור בהתחלה 12 3 36
הדרך חזור בסוף 4 t-3 4t – 12

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה היא:
7t = 4t -12 + 36
7t = 4t +24  / -4t
3t =24  / :3
t = 8

תשובה: האדם הלך לכל כיוון 8 שעות.

חישוב המרחק 
בדרך הלוך המהירות הייתה 7 למשך 8 שעות.
לכן הדרך הייתה:
56 = 7 * 8
תשובה: אורך הדרך הוא 56 ק"מ.

תרגיל 3
שתי מכוניות נסעו מתל אביב לאילת.
מכונית אחת נסעה במהירות קבועה של 80 קמ"ש.
מכונית שנייה נסעה במהירות של 90 קמ"ש שעתיים.
עצרה לשעה ואז המשיכה במהירות של 100 קמ"ש.
שתי המכוניות הגיעו ליעדן באותו הזמן.
חשבו את זמן הנסיעה ואת המרחק מתל אביב לאילת.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה וזמני נסיעה בכול שלב
נגדיר
t  הזמן שלקח למכונית שנסעה במהירות קבועה לעבור את הדרך.

המכונית שנסעה במהירות משתנה:
2 שעה במהירות 80 קמ"ש.
1 שעה במהירות 0 קמ"ש.
t -3 שעות במהירות 100 קמ"ש.

הסיבה שמשך הזמן בקטע האחרון הוא t -3 היא שהמכונית נסעה בסך הכל t שעות.
מתוכם 1 שעות עצרה ו 2 שעות נסעה במהירות אחרת.

ההסבר לחישוב הזמן בקטע האחרון
ההסבר לחישוב הזמן בקטע האחרון

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
יש לנו 1 מהירויות של המכונית הראשונה ו 3 מהירויות של המכונית השנייה.
לכן בטבלה 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

  מהירות זמן דרך
מכונית ראשונה 80 t 80t
מכונית שנייה התחלה 90 2 180
מכונית שנייה עצירה 0 1 0
מכונית שנייה סוף 100 t – 3 100t – 300

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך שעברו שתי המכוניות שווה.
לכן המשוואה היא:
100t – 300 + 180 + 0 = 80t
100t -120 = 80t  / +120 – 80t
20t = 120  / :20
t = 6

תשובה: זמן הנסיעה מתל אביב לאילת הוא 6 שעות.

מציאת המרחק מתל אביב לאילת.
המכונית הראשונה נסעה 80 קמ"ש במשך 6 שעות.
לכן המרחק שעברה:
480 = 6 * 80

3.תרגילים בהם הזמנים אינם שווים

בתרגילים שפתרנו כלי רכב עברו את אותה דרך פעמיים ובסופו של דבר הזמן שבו הם עברו כל כיוון היה שווה.

בחלק זה נפתור שאלות בהם הזמנים אינם שווים.

שאלות קצרות

שאלה 1
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
שתי המכוניות יצאו באותו זמן.
המכונית הגיעה 1 שעה לפני המשאית.
זמן הנסיעה של המכונית הוא t.
לכן זמן הנסיעה של המשאית הוא:

  1.   t +1
  2.    t -1

פתרון
המכונית הצהובה הגיעה לפני ולכן נסעה פחות שעות.
לכן זמן הנסיעה של המכונית האדומה גדול יותר והוא
t +1

שאלה 2
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
שתי המכוניות יצאו באותו זמן.
המכונית הגיעה 2 שעות לפני המשאית.
זמן הנסיעה של המכונית הוא t.
המשאית נסעה 3 שעות במהירות של 80 קמ"ש ואת שאר הדרך במהירות 100 קמ"ש.
כמה זמן נסעה המשאית במהירות 100 קמ"ש?
רמז: חשבו קודם את הזמן שלקח למכונית הירוקה לעבור את הדרך כולה.

  1.   t – 2
  2.   t – 1
  3.   t – 3
  4.  t  +1

פתרון
המכונית הצהובה נסעה t.
המכונית הירוקה נסעה 2 שעות יותר, t +2.

המכונית הירוקה נסעה 3 שעות במהירות 80 קמ"ש.
לכן הזמן שנותר לה לקטע האחרון הוא
t +2 – 3
t -1
זו התשובה.

שאלה 3
מכונית ומשאית נסעו מירושלים לחיפה.
המכונית יצאה בשעה 7:00 ואילו המשאית יצאה בשעה 8:30.
המכונית הגיעה לחיפה 1 שעה לפני שהמשאית הגיעה לחיפה.
הזמן שנסעה המכונית הוא t.
מה הזמן שנסעה המשאית?

  1.   t + 1.5
  2.   t – 1
  3.   t – 0.5
  4.   t + 0.5

פתרון
המכונית יצאה 1.5 שעות לפני המשאית.
לכן יש לה "פור" של 1.5 שעות יותר על הכביש.
המכונית הגיעה 1 שעה לפני. לכן הייתה 1 שעות פחות.
סך הכול המכונית הייתה 0.5 שעות יותר על הכביש.
לכן המשאית הייתה 0.5 שעות פחות על הכביש.
t – 0.5

תרגילים מלאים

תרגיל 1
מכונית ומשאית יצאו בו זמנית מירושלים לקריית שמונה.
המכונית נסעה במהירות 100 קמ"ש זמן מסוים ולאחר מיכן נסעה במהירות 80 קמ"ש אותו פרק זמן.
המשאית נסעה במהירות 80 קמ"ש 5 שעות והמשיכה עד היעד במהירות 70 קמ"ש.
המכונית הגיעה ליעד שעה לפני המשאית.
חשבו את זמן הנסיעה של המכונית.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
נגדיר
t  הזמן בשעות שהמכונית נסעה במהירות 100 קמ"ש.
לכן
t הזמן שהמכונית נסעה 80 קמ"ש.
2t סך כל הזמן שהמכונית נסעה.

המשאית נסעה 1 שעה יותר.
2t +1 סך כל הזמן שנסעה המשאית.
5 שעות המשאית נסעה 80 קמ"ש.
לכן הזמן שנותר לה לנסוע במהירות 70 קמ"ש היא:
2t + 1 – 5
2t -4

הסבר לזמן הנסיעה של המשאית
הסבר לזמן הנסיעה של המשאית

שלב ב: הכנסת הנתונים לטבלה
מספר השורות
בבעיה יש 4 מהירויות, לכן צריך 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

  מהירות זמן דרך
מכונית בהתחלה 100 t 100t
מכונית בסוף 80 t 80t
משאית בהתחלה 80 5 400
משאית בסוף 70 2t – 4 140t – 280

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך של המשאית והדרך של המכונית שוות.
לכן המשוואה היא:
100t + 80t = 140t – 280 + 400
180t = 140t +120  / -140t
40t  = 120  / :40
t = 3

המכונית נסעה:
2t =6
תשובה: זמן הנסיעה של המכונית הוא 6 שעות.

תרגיל 2
מכונית לבנה ומכונית צהובה נוסעות ממטולה לאילת. המכונית הלבנה נסעה במהירות 70 קמ"ש כל הדרך. המכונית הצהובה נסעה 2 שעות במהירות 60 קמ"ש. עצרה במשך שעתיים והמשיכה עד סוף הדרך במהירות 90 קמ"ש.
המכונית הלבנה הגיעה שעה לפני המכונית הצהובה.
מה המרחק ממטולה לאילת?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
t זמן הנסיעה של המכונית הלבנה בשעות.

המכונית הצהובה הגיע 1 שעות אחרי. לכן נסעה 1 שעות יותר.
המכונית הצהובה נסעה את הדרך ב:
t +1 שעות.

כמו כן המכונית הצהובה:
2 שעות במהירות 60 קמ"ש.
2 שעות במהירות 0 קמ"ש.
זמן הנסיעה בקטע השלישי הוא:
t +1 – 2- 2 = t -3
t – 3

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בשאלה יש 4 מהירויות לכן יש 4 שורות.

מילוי הטורים.
אנו יודעים את הטורים של המהירות והזמן.
נשלים את הדרך בעזרת נוסחה.

  מהירות זמן דרך
לבנה 70 t 70t
צהובה שעתיים ראשונות 60 2 120
צהובה עצירה 0 2 0
צהובה סיום 90 t-3 90t – 270

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
70t  המרחק שהמכונית הלבנה עברה.
90t + 120 + 0  המרחק שהמכונית הצהובה עברה.

לכן המשוואה היא:
70t=120+90t-270
70t=120+90t-270  / -90t
20t=-150-  / : -20
t=7.5
נחשב את המרחק ע"פ הנתונים של המכונית הלבנה (70t):
7.5*70=525
תשובה: המרחק ממטולה לאילת הוא 525 ק"מ.

תרגיל 3
מכונית יצאה לדרך בין מטולה לאשדוד ונסעה כל הדרך במהירות קבועה של 90 קמ"ש.
שעה וחצי לאחר מיכן יצאה ממטולה לאשדוד משאית שנסעה 2 שעות במהירות 90 קמ"ש.
עצרה ל 30 דקות והמשיכה עד היעד במהירות 60 קמ"ש.
המשאית הגיע לאשדוד 4 שעות לאחר המכונית
חשבו את זמן נסיעתה של המשאית.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
t הזמן בשעות שהמכונית נסעה.
המשאית יצאה 1.5 שעות אחרי והגיע 4 שעות אחרי.
לכן נסעה 2.5 שעות יותר מהמכונית.
t + 2.5  זמן הנסיעה של המשאית בשעות.

2 שעות המשאית נסעה במהירות 90 קמ"ש.
1/2 שעה המשאית עצרה.
לכן בקטע האחרון המשאית נסעה:
t +2.5 – 2 – 1/2 = t

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בבעיה יש 4 מהירויות ולכן יש 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

  מהירות זמן דרך
מכונית 90 t 90t
משאית בהתחלה 90 2 180
משאית עצירה 0 1/2 0
משאית בסוף 60 t 60t

שלב ג: בניית משוואה
90t  הדרך שהמכונית עברה.
60t + 0 + 180  הדרך שהמשאית עברה.

הדרך שהמכונית עברה שווה לדרך שהמשאית עברה.
לכן המשוואה היא:
90t = 60t + 0+ 180
30t = 180  / :30
t = 6

6 שעות הוא זמן הנסיעה של המכונית.
המשאית נסעה
t +2.5 = 8.5
תשובה: זמן הנסיעה של המשאית הוא 8.5 שעות.

עוד באתר:

3.תרגילים הכוללים פתרון משוואה ריבועית

תרגיל 1
מכונית נסעה מרחק של 400 קילומטר במהירות קבועה.
בדרך חזרה נסעה 30 דקות באותה מהירות. לאחר מיכן עצרה למשך 30 דקות ולאחר מיכן המשיכה במהירות הגדולה ב 10 קמ"ש מהמהירות בדרך הלוך. זמן הנסיעה הלוך היה שווה לזמן חזור.
מצאו את מהירות המכונית בדרך הלוך.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
v המהירות בדרך הלוך בקמ"ש.
v המהירות בחזור בשלב הראשון בקמ"ש.
0 זו המהירות בזמן העצירה.
v + 10 המהירות בחזור בשלב האחרון בקמ"ש.

שלב ב: הגדרת זמני הנסיעה בכל אחד מהשלבים
בדרך הלוך המכונית נסעה 400 ק"מ במהירות v לכן הזמן בקטע זה הוא:

בדרך חזור בשלב הראשון המכונית נסעה במהירות v במשך 30 דקות שהם 0.5 שעה.
הדרך שהמכונית עברה בשלב זה היא: 0.5v

בדרך חזור בשלב השני המהירות היא 0 והדרך היא 0.
זמן הנסיעה הוא 30 דקות שהם 30/60 שהם 0.5 שעה.

בשלב האחרון הדרך שהמכונית עברה היא:

המהירות בשלב האחרון היא v + 10.
לכן הזמן בשלב האחרון הוא:

אם היינו רוצים לכתוב את הנתונים בטבלה זה היה נראה כך:
(תזכורת: כל מהירות שונה צריכה שורה נפרדת באתר).

  מהירות זמן דרך
הלוך v 400
חזור בהתחלה v 0.5 0.5v
חזור עצירה 0 0.5 0
חזור בסוף v + 10

שלב ג: בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "זמן הנסיעה הלוך היה שווה לזמן חזור".
לכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא:
(v(v + 10
נקבל:
(v(v +10) +v(400 – 0.5v) = 400(v + 10
v² + 10v + 400v – 0.5v² = 400v + 4000
0.5v²+ 10v – 4000 = 0
v² + 20v – 8000 = 0

נפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
v= 80 או v = -100
מכוון שמהירות היא גודל חיובי התשובה היא v = 80.
תשובה: מהירות המכונית בדרך הלוך היא 80 קמ"ש.

תרגיל 2
מטוס טס דרך של 5400 ק"מ. יום אחד האיץ המטוס את מהירותו ב 300 קמ"ש ולכן הגיע 3 שעות לפני המועד הרגיל. מה המהירות הרגילה של המטוס?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
v – המהירות הרגילה.
v+300 – "היום המיוחד".

שלב ב: בניית טבלה
עבור הטורים של המהירות והדרך יש לנו נתונים.
את טור הזמן נקבל על ידי חישוב.

  מהירות זמן דרך
יום רגיל v 5400 לחלק ב v 5400
יום מיוחד v+300 5400 לחלק ב (v+300) 5400

שלב ג: בניית משוואה

הזמן ביום הרגיל

הזמן ביום המיוחד

ידוע כי ביום המיוחד הזמן היה קצר יותר ב- 3 שעות לכן יש להוסיף להוסיף ליום המיוחד 3 על מנת ליצור שוויון במשוואה.
(הערה: מהיר יותר = קצר יותר).

המשוואה
היום המיוחד משמאל והיום הרגיל מימין

המכנה המשותף הוא:
(v (v + 300
נכפיל במכנה המשותף ונקבל:
(5400v + 3v (v + 300) = 5400 (v + 300
5400v + 3v² + 900v = 5400v + 1,620,000
3v² + 900v – 1,620,00 = 0   / :3
v² + 300v – 540,000 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
v1 = 600,   v2 = -900
מהירות היא גודל חיובי לכן הפתרון המתאים הוא v1 = 600

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.