ארכיון הקטגוריה: בעיות מילוליות

בעיות אחוזים הדורשות שני שלבים או יותר לפתרון

בדף הקודם למדנו לפתור בעיות אחוזים הנפתרות בשלב אחד.
בדף זה נלמד לפתור בעיות אחוזים הדורשות יותר מפעולה אחת על מנת לפתור אותן.
בדף יש 5 תרגילים.
לתרגילים 1,4,5 יש גם פתרון וידאו.

תרגיל 1
מחיר מחברת גדול ב 30% ממחיר עיפרון.
מחברת ועיפרון עולים ביחד 18.4 שקלים.
כמה עולה מחברת וכמה עולה עיפרון?

פתרון
x מחיר עיפרון.
מחיר מחברת גדול ב 30% לכן מחיר המחברת הוא:

1.3x

סכום המחירים של מחברת ועיפרון הוא 18.4 ולכן המשוואה היא:

x+ 1.3x = 18.4
2.3x = 18.4  / :2.3
x = 8
10.4 = 8 – 18.4

תשובה: מחיר העיפרון 8 שקלים ומחיר המחברת 10.4 שקלים.

תרגיל 2
בכיתה יש שתי קבוצות: אלו שמגיעים ברגל לבית הספר ואלו שנוסעים במכונית לבית ספר.
קבוצת הנוסעים במכונית גדולה ב- 25% מקבוצת ההולכים.
בסך הכל יש 36 תלמידים בכיתה.
מצאו כמה תלמידים הולכים וכמה נוסעים לבית ספר.

פתרון

x  מספר התלמידים שהולכים ברגל.
מכוון שקבוצת הנוסעים גדולה ב 25% מקבוצת ההולכים האחוז המתאים לה הוא 125% מתוך x.
1.25x מספר התלמידים המגיעים במכונית.

סך הכל יש 36 תלמידים לכן המשוואה היא:
x + 1.25x = 36
2.25x = 36  /:2.25
x = 16

תשובה: מספר ההולכים ברגל הוא 16 תלמידים, מספר המגיעים ברכב הוא 20 תלמידים.

תרגיל 3
40% משטח גינה הם דשא ו- 30% משטח הגינה הם עצים. בסך הכול יש 15 מטר יותר שטח דשא משטח עצים.
מה גודל שטח הדשא בגינה? מה גודל הגינה?

פתרון בדרך "מקוצרת"
פער של 10% הוא פער של 15 מטר.
לכן 40% הם 4*15 = 60 מטר. זה שטח הדשא.
15*10 = 150 מטר. זה שטח הגינה כולה.

פתרון בדרך רגילה:
x   שטח הגינה.
0.4x  שטח הדשא.
0.3x  שטח העצים

המשוואה היא:
0.3x + 15 = 0.4x   / – 0.3x
0.1x = 15  / *10
x = 150  זה שטח הגינה.

60 = 150 * 0.4   זה שטח הדשא.
תשובה: שטח הדשא הוא 60 מטר רבוע.

תרגיל 4 (שינוי כפול באחוזים)
מחיר מוצר עלה ב 40% ולאחר מיכן ירד ב 10%.
בעקבות שני שינויים אלו מחיר המוצר היה 63 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של המוצר?

פתרון
x  המחיר ההתחלתי של המוצר בשקלים.
לאחר עליה של 40% מחירו
1.4x
לאחר ירידה של 10% מחירו.
1.4x * 0.9

לכן המשוואה היא:
1.4x * 0.9 = 63
1.26x = 63  / :1.26
x = 50
תשובה: המחיר ההתחלתי של המוצר הוא 50 שקלים.

תרגיל 5 (משלב שינוי בשקלים ובאחוזים)
מחיר מוצר עלה ב 20 שקלים. ולאחר מיכן ירד ב 30%.
המחיר הסופי של המוצר הוא 56 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של המוצר?

פתרון
נגדיר
x  המחיר ההתחלתי של המוצר בשקלים.

נעקוב אחר השינויים
שינוי ראשון הוא עליה ב 20:
x + 20

שינוי שני הוא ירידה של 30%.

0.7x + 14 = 56
0.7x = 42  / : 0.7
x = 60
תשובה: המחיר ההתחלתי של המוצר הוא 60 שקלים.

עוד באתר:

מכשולים בבעיות מילוליות

בדף זה נלמד על מכשולים בבעיות מילוליות. המכשולים יודגמו על בעיות אחוזים אבל תוכלו לפגוש אותם בכול סוג של בעיה. סוגי המכשולים הם:

  1. הוספת מספר במקום הנכון.
  2. קשר בין יותר משני גורמים.
  3. כאשר שואלים אותנו כמה צריך להוסיף…
  4. ידוע לנו סכום של דברים ואנו צריכים לבצע פעולה על כל אחד ממרכיבי הסכום בנפרד.

1.הוספת מספר במקום הנכון

בחלק מהשאלות אנו צריכים להוסיף מספר על מנת ליצור משוואה. ולפעמים הצד במשוואה שצריך להוסיף לו את המספר לא ברור.

דוגמה
מחיר מודם כפול ממחיר מקלדת. מחיר המודם ירד ב 60 שקלים ואילו מחיר המקלדת עלה ב 30%.
לאחר השינויים מחיר המקלדת גבוה ב 11 שקלים ממחיר המודם.
מה היה המחיר ההתחלתי של המודם והמקלדת?

פתרון
נגדיר
x  מחיר מקלדת בשקלים לכן 2x  מחיר מודם בשקלים
מחיר המודם ירד ב 60 שקלים.
2x – 60
מחיר המדפסת עלה ב 30%
1.3x

בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "לאחר השינויים מחיר המקלדת גבוה ב 11 שקלים ממחיר המודם" נ
שים את מחיר המודם בצד אחד של המשוואה ואת מחיר המקלדת בצד שני.
2x – 60 ≠ 1.3x
ועכשיו, לאיזה צד נוסיף 11 על מנת להפוך את המשוואה לשווה? לצד הקטן יותר.
כתוב "מחיר המקלדת גבוה ב 11 שקלים" אז צריך להוסיף 11 למחיר המודם.
2x – 60 + 11 = 1.3x
2x – 49 = 1.3x
0.7x = 49 x = 70
תשובה: המחיר ההתחלתי של המודם הוא 70 שקלים ואילו המחיר ההתחלתי של המודם הוא 60 שקלים.

2.קשר בין 3 גורמים

דוגמה
בשכבת כיתה ח 3 כיתות. בכיתה ח1 35 תלמידים.
בכיתה ח3 מספר התלמידים גדול פי 2 ממספר התלמידים בכיתה ח2.
אם מגדילים את מספר התלמידים בכיתה ח2 ב 20% מספר התלמידים בשכבת כיתה ח יהיה 115.
(מגדלים את מספר התלמידים ב- ח2 מבלי לשנות את מספר התלמידים ב- ח3).
כמה תלמידים יש עכשיו (ללא ההגדלה) בכיתות ח2 ו ח3?

פתרון
35 מספר התלמידים בכיתה ח1.
x מספר התלמידים עכשיו בכיתה ח2.
2x מספר התלמידים בכיתה ח3.
לאחר התוספת מספר התלמידים בכיתה ח2 יהיה:
1.2x
1.2x מספר התלמידים בכיתה ח2 לאחר השינוי.
אנו יודעים שסכום התלמידים בשלושת הכיתות לאחר השינוי הוא 115 ולכן המשוואה היא:
1.2x + 2x + 35 = 115  / -35
3.2x = 80  /:3.2
x = 25
תשובה: בכיתה ח2 25 תלמידים לפני השינוי. בכיתה ח3 50 תלמידים.

3.בעיות עם שני שלבים

בחממה מבצעים קטיף של פרחים וניתן לארוז אותם בזרים של 8 או 5 פרחים.
שירה הציעה לארוז את פרחי החממה בצורה שבה יהיו 6 יותר זרים קטנים מגדולים.
לילך הציעה שמספר הזרים הגדולים יהיה כפול ממספר הזרים הגדולים שהציעה שירה.
ואילו מספר הזרים הקטנים יקטן ב 8 ביחס להצעת שירה.
בשתי ההצעות כל פרחי החממה נארזו.
מה צורת האריזה שהציעה שירה?

פתרון
שלב א: הגדרת מספר הזרים קטנים / גדולים שיש בכל הצעה
שירה
x  מספר הזרים הגדולים בהצעת שירה.
x + 6  מספר הזרים הקטנים בהצעת שירה.
לילך
2x מספר הזרים הגדולים בהצעת לילך.
x + 6 – 8 = x – 2  מספר הזרים הקטנים בהצעת לילך.

שלב ב: הגדרת מספר הפרחים בכל צורה
בהצעה של שירה מספר הפרחים יהיו:
(8x + 5(x + 6
בהצעה של לילך מספר הפרחים הוא:
(2x * 8 + 5(x – 2

שלב ג: משוואה ופתרונה
מספר הפרחים בשתי הצורות שווה לכן המשוואה היא:
(2x * 8 + 5(x – 2) = 8x + 5(x + 6
16x + 5x – 10= 8x + 5x + 30
21x – 10 = 13x + 40
8x = 40
x = 5

תשובה: שירה הציעה לארוז 5 זרים גדולים ו 11 זרים קטנים.

4.ידוע לנו סכום של דברים ואנו צריכים לבצע פעולה על כל אחד ממרכיבי הסכום בנפרד

דוגמה 
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא.
מה המחיר של שולחן ומה המחיר של כיסא?

פתרון
הבעיה בשאלה זו שיש נתונים על ההנחה של השולחן וההנחה של הכיסא.
אבל אין מידע על מחיר הכיסא או מחיר השולחן.
יש מידע על סכום המחירים.
על מנת שנוכל להשתמש בנתונים על השינוי במחיר הכיסא והשולחן עלינו להגדיר את המחיר של כל אחד מיהם בנפרד.

שלב א: הגדרת משתנים
x מחיר כיסא.
y  מחיר שולחן.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
x + y = 650 (משוואה ראשונה)
"15% ממחיר שולחן " זה: 0.15y
"50% ממחיר כיסא" זה: 0.5x

"15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא"
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
0.15y = 0.5x
נכפיל משוואה זו פי 2 ונקבל:
0.3y = x
קיבלנו את שתי המשוואות:
x + y = 650
0.3y = x

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
0.3y + y = 650
1.3y = 650  / :1.3
y = 500

נמצא את x:
x + y = 650
x + 500 = 650  / -500
x = 150
תשובה: מחיר שולחן הוא 500 שקלים, מחיר כיסא 150 שקלים.

דרך פתרון שנייה בעזרת נעלם אחד.
x מחיר כיסא.

המשוואה היא "15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא"
(0.5x = 0.5(650 – x
כאשר נפתור את המשוואה נגיע אל הפתרון שמצאנו קודם.

5.כאשר שואלים אותנו כמה צריך להוסיף…

כאשר שואלים אותנו "כמה צריך להוסיף…" הרבה פעמים זו תוספת המשפיעה על שתי קבוצות. וגם בחירת המשתנה יכולה להיות מבלבלת.

דוגמה
בחנות ממתקים שבה 600 מוצרים 30% מהמוצרים הם שוקולד.
בכמה צריך להגדיל את מספר מוצרי השוקולד על מנת שיהיו 50% ממוצרי החנות?

פתרון
צריך לשים לב שכאשר מגדילים את מספר מוצרי השוקולד גם המספר הכללי של המוצרים בחנות עולה.
המספר ההתחלתי של מוצרי השוקולד בחנות הוא 30% מתוך 600.
180 = 600 * 0.3

x   מספר מוצרי השוקולד שצריך להוסיף על מנת שמספרם יהיה חצי ממספרם בחנות.
x + 180   מספר מוצרי השוקולד לאחר השינוי.
x + 600   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי.
2x + 360   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי (תיאור זה נובע מכך שלאחר השינוי מספר המוצרים בחנות כפול ממספר מוצרי השוקולד).

בעזרת שתי השורות האחרונות נבנה משוואה.
כל צד במשוואה מתאר בדרך אחרת את מספר המוצרים בחנות.
2x + 360 = x+ 600  /-x-360 x = 240

תשובה: צריך להוסיף 240 מוצרי שוקולד למוצרי החנות.

עוד באתר:

חזרה על שלושת סוגי בעיות האחוזים

בכיתה ו למדנו על 3 סוגים של בעיות אחוזים:

  1. מציאת חלק מתוך השלם.
  2. מציאת האחוז.
  3. מציאת השלם על פי החלק.

אתם צריכים לדעת את הסוג בראשון באופן יסודי.
הסוג השני פחות חשוב, אבל עדיין מופיע לא מעט.
הסוג השלישי נדיר יחסית.

אתם צריכים לדעת את הסוגים הללו, על ידי לימוד דף זה או לימוד רחב יותר בקישורים שלמעלה.

1.מציאת החלק (סוג ראשון)

בסוג זה של תרגילים נקבל חלק המתואר באחוזים ואנו נצטרך להגיד מה גודלו של החלק הזה במספר.
עושים זאת על ידי:

  1. הפיכת האחוז לשבר.
  2. הכפלת השבר בשלם

זכרו את המשפט "על מנת למצוא חלק משלם מכפילים את החלק בשלם".

דוגמה.
כמה הם 40% מתוך 30?

עונים על כך באמצעות הכפלת החלק (40%) בשלם 30.
את החלק אנו צריכים להפוך לשבר לפני שאנו מציבים אותו במשוואה.
0.4 = 40%
והתרגיל:
12 = 30 * 0.4
תשובה: 40% מתוך 30 הם 12.

2.מציאת האחוז (סוג שני)

בסוג זה יתואר שינוי במספרים ואנו נצטרך לתאר את השינוי באחוזים.
עושים זאת באמצעות:

  1. הפיכת השינוי לשבר.
  2. הכפלת השבר פי 100 (מה שעושים לכל שבר שרוצים להפוך לאחוז).

דוגמה
מחיר ספר עלה מ 80 שקלים ל 100 שקלים.
בכמה אחוזים מחיר הספר עלה?

פתרון
הספר עלה ב 20 שקלים ועלינו להפוך את ה 20 שקלים לאחוזים.
בשלב הראשון עלינו להפוך את ה 20 לשבר.

אנחנו נחלק את ה 20 ב 80 או 100?
התשובה היא שתמיד מחלקים במספר המקורי שהוא במקרה זה 80.

נכפיל את השבר פי 100 על מנת לקבל את האחוז.

תשובה: מחיר הספר עלה ב 25%.

3.מציאת השלם על פי החלק (סוג שלישי)

בשאלות אלו יגידו לנו מה גודלו של חלק מהשלם, באמצעות חלק זה נצטרך למצוא את הגדול של השלם כולו.

במקרים פשוטים נקבל אחוזים שקל להגיע מיהם אל 100%. למשל אם ידוע גודלו של 20% מהשלם נכפיל פי 5 ונמצא את השלם.
במקרים שידוע לנו אחוז שקשה להגיע ממנו ל 100%, נכפיל במספר ההופכי.

דוגמה
במרתף יש יינות לבנים ויינות אדומים.
45% מהינות הם לבנים שהם 36 יינות.
כמה יינות יש במרתף?

פתרון
45% הם 36 יינות.
השבר המתאים ל 45% הוא 45/100.
המספר ההופכי הוא 100/45.
נכפיל את 36 במספר ההופכי.

תשובה: במרתף יש 80 יינות.

נושאים תאורטיים נוספים שתלמידי ח צריכים לדעת

הנושא הראשון חשוב מאוד ובסיסי מאוד.
את שני הנושאים האחרים ני

1.עלייה וירידה באחוזים

אם x הוא המחיר ההתחלתי של מוצר.
אז:
לאחר שהוא עלה ב 30% מחירו יהיה 130% מהמחיר המקורי שהם 1.3x.
החישוב מתבצע כך:

2.סדר העליה והירידה באחוזים אינו משנה (כל עוד השינוי הוא רק באחוזים)

אם מוצר עולה ויורד באחוזים.
זה לא משנה אם הוא יעלה ולאחר מיכן ירד או ירד ולאחר מיכן יעלה.
בשני המקרים הוא יגיע לאותו מחיר.

למשל מוצר שמחירו 50 שקלים עלה ב 20% ולאחר מיכן ירד ב 30%
החישוב התבצע כך:
42 = 0.7 * 1.2 * 50
ואם נהפוך את הסדר ותהיה ירידה של 30% ועליה של 30% החישוב יתבצע כך:
42 = 1.2* 0.7 * 50
אנו רואים שבשני המקרים הגענו לאותה תוצאה.

3.אם מוצר עולה ויורד באותו אחוז המחיר הסופי נמוך מהמחיר ההתחלתי.

נושא זה

בעיות תנועה עם זרמים

בדף זה נפתור 4 תרגילים בנושא סירות השטות עם וכנגד הזרם.

תרגיל 1
מהירות סירה במים עומדים היא 20 קמ"ש.
הסירה עברה מרחק של 110 ק"מ עם הזרם בזמן של 5 שעות.
מה מהירותו של הזרם?

פתרון
נגדיר
x מהירות הזרם בקמ"ש.
מהירות הסירה כשהיא שטה עם הזרם היא:
x + 20.

במשך 5 שעות הסירה עוברת.
x + 20) * 5 = 110)
5x + 100 = 110
5x = 10
x = 2

תשובה: מהירות הזרם 2 קמ"ש.

תרגיל 2
מהירות סירה במים עומדים היא 30 קמ"ש הדרך בין שתי נקודות בכיוון הזרם אורכת 10 שעות.
לעומת זאת הדרך נגד הזרם האורכת 14 שעות.
חשבו את מהירות הזרם.

פתרון
נגדיר:
x  מהירות הזרם בקמ"ש.

x + 30 זו המהירות עם הזרם.
הדרך שהסירה עוברת עם הזרם היא:
x + 30) * 10)


זו מהירות הסירה נגד הזרם.


זו הדרך שהסירה עוברת כנגד הזרם.

בניית משוואה
הדרך עם הזרם וכנגד הזרם שוות.
לכן המשוואה היא:
x + 30) * 10 = (30 – x) * 14)
10x + 300 = 420 – 14x
24x = 120  / :5
x = 5
תשובה: מהירות הזרם 5 קמ"ש.

תרגיל 3
מהירות הזרם היא 2 קמ"ש.
מה מהירות הסירה במים עומדים אם הדרך נגד הזרם אורכת פי 2 יותר זמן מהדרך עם הזרם.

פתרון
נגדיר:
t הזמן בשעות שבו הסירה עוברת את הדרך עם הזרם.
v  מהירות הסירה בקמ"ש במים עומדים.
v + 2 מהירות הסירה בקמ"ש עם הזרם.
(t * (v +2  זו הדרך שהסירה עוברת עם הזרם.

2t זה הזמן בשעות שבו הסירה עוברת את הדרך נגד הזרם.
v – 2 מהירות הסירה בקמ"ש כאשר היא נגד הזרם.
(2t(v – 2  זו הדרך שהסירה עוברת נגד הזרם.

הדרך עם הזרם והדרך כנגד הזרם הן דרכים שוות.
לכן המשוואה היא:
(t(v + 2) = 2t(v – 2
נצמצם את המשוואה ב t ונקבל:
(v + 2 = 2(v – 2
v + 2 = 2v – 4
v = -6-
v = 6
תשובה: מהירות הסירה במים עומדים היא 6 קמ"ש.

דרך נוספת לפתור את הבעיה
נגדיר
x  הדרך בקילומטר שהסירה עוברת בכל כיוון.


זה זמן השייט בדרך עם הזרם.


זה זמן השיט בדרך נגד הזרם.

הזמן נגד הזרם ארוך פי 2 לכן המשוואה היא:

נצמצם את המשוואה ב x ונקבל:

נכפיל במכנה המשותף
(v +2) (v – 2)
ונקבל:
v – 2) * 2 = v + 2)
2v – 4 = v + 2
v = 6

תרגיל 4
סירה שטה 4 שעות עם הזרם ו 2 שעות נגד הזרם ובסך הכל עברה  96 ק"מ.
ביום אחר שטה 1 שעה עם הזרם ו 8 שעות נגד הזרם ובסך הכל עברה 114 ק"מ.
מה מהירות הסירה ומה מהירות הזרם ? (ידוע שמהירות הסירה גדולה ממהירות הזרם).

פתרון
נגדיר
x  מהירות הסירה בקמ"ש במים עומדים.
v  מהירות הזרם בקמ"ש.

בניית משוואות
המשפט "סירה שטה 4 שעות עם הזרם ו 2 שעות נגד הזרם ובסך הכל עברה  76 ק"מ"
הוא המשוואה:
x + v) *4 + 2(x – v) = 96)
4x + 4v + 2x – 2v = 96
6x + 2v = 96
3x + v = 48
v = 48 – 3x

המשפט "ביום אחר שטה 1 שעה עם הזרם ו 8 שעות נגד הזרם ובסך הכל עברה 39 ק"מ"
הוא המשוואה:
x + v + 8(x – v) = 114
x + v + 8x – 8v = 114
9x – 7v = 114

שתי המשוואות שקיבלנו הן:
v = 48 – 3x
9x – 7v = 114

נציב את המשוואה הראשונה בשנייה (שיטת ההצבה):
9x – 7(48 – 3x) = 114
9x – 336 +21x = 114
30x = 450
x = 15

נציב x =15 במשוואה הראשונה ונקבל:
v = 48 – 3x
v = 48 – 3*15 = 3
תשובה: מהירות הסירה 15 קמ"ש. מהירות הזרם 3 קמ"ש.

עוד באתר:

בעיות מילוליות הדורשות "פירוק"

בשאלות מסוג זה יהיה נתון שלא נוכל להשתמש בו כמו שהוא ונצטרך "לפרק" את הנתון לשני חלקים על מנת שנוכל לבנות משוואה.

כיצד מפרקים את הנתון לשני חלקים?
על ידי הגדרת שני משתנים.
לחלק אחד נקרא x.
לחלק שני נקרא y.

מי שרוצה יכול לפתור את התרגילים הללו גם באמצעות משתנה אחד, דוגמאות בהמשך.

כיצד נזהה את השאלות הללו?
יהיה לנו נתון בשאלה שלא נדע להשתמש בו, והנתון הזה ידבר שני חלקים בשאלה.

השאלות הללו נחשבות לשאלות קשות

דוגמה
שחקן כדורסל קלע לסל 10 פעמים.  (במילה קליעה הכוונה שהכדור נכנס לסל).
עבור חלק מהקליעות קיבל 2 נקודות ועבור חלק אחר קיבל 3 נקודות.
סך הכל השחקן קיבל 22 נקודות.
כמה פעמים השחק קלע ל 2 נקודות וכמה פעמים הוא קלע ל 3 נקודות.

פתרון
הנתון אותו צריך לפרק הוא "10 קליעות".
הוא מתייחס לקליעת 2 נקודות וגם לקליעת 3 נקודות.

וגם אם לא שמתם לב לכך אז ברוב השאלות המילוליות המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן המשתנים שלנו יהיו:
x  מספר הפעמים שהשחקן קלע לשתי נקודות.
y  מספר הפעמים שהשחקן קלע לשלוש נקודות.

בניית משוואות
2x  זה מספר הנקודות שהשחקן קיבל מזריקה ל 2 נקודות.
3y  זה מספר הנקודות שהשחקן קיבל מזריקה ל 3 נקודות.
סכום הנקודות הוא 22. לכן המשוואה היא:
2x + 3y = 22

כמו כן אנו יודעים שהשחק קלע סך הכל 10 פעמים.
לכן המשוואה השנייה היא:
x + y = 10

פתרון המשוואות
2x + 3y = 22
x + y = 10
נפתור את המשוואות הללו על ידי השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה השנייה פי 2 ונקבל:
2x + 3y = 22
2x + 2y = 20

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה:
y = 2
נציב במשוואה הראשונה על מנת למצוא את x.
x + 2 = 10
x = 8
תשובה: השחקן קלע 8 פעמים ל 2 נקודות ו 2 פעמים ל 3 נקודות.

פתרון בעזרת נעלם אחד
אם היינו רוצים לפתור את השאלה בעזרת נעלם אחד היינו מגדירים:
x  מספר הפעמים שהשחקן קלע ל 2 נקודות.

הוא מספר הפעמים שהשחקן קלע ל 3 נקודות.

המשוואה תהיה
2x  + 3(10 – x) = 22
2x + 30 – 3x = 22
x + 30 = 22-
x = -8-
x = 8

תרגילים

תרגיל 1 הוא בנושא קנייה ומכירה.
תרגילים 2-4 הם בנושא בעיות תנועה.
תרגיל 5 הוא תרגיל נוסף.

תרגיל 1
קנינו 12 כרטיסי קולנוע חלקם במחיר מוזל של 30 שקלים וחלקם במחיר רגיל של 40 שקלים.
סך הכל שילמנו 410 שקלים.
כמה כרטיסי קולנוע קנינו מכל סוג?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x  מספר כרטיסי הקולנוע שנקנו במחיר מוזל.
y מספר כרטיסי הקולנוע שנמכרו במחיר רגיל.

שלב ב: בניית משוואות
קנינו 12 כרטיסי קולנוע.
לכן
x + y = 12

במחיר מוזל של 30 שקלים ומחיר רגל של 40 שקלים.
כרטיסים מוזלים: קנינו x כרטיסים במחיר 30 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
30x

כרטיסים רגילים: קנינו y כרטיסים במחיר 40 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
40y

סך הכל שילמנו:
30x + 40y = 410

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 12
30x + 40y = 410

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 30 ונפתור בשיטת השוואת  מקדמים.
x + y = 12  / *30
30x + 30y = 360

30x + 30y = 360
30x + 40y = 410
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה:

10y = 50  / :10
y = 5

נציב y = 5 במשוואה הראשונה שלנו
x + y = 12
x + 5 = 12  / -5
x = 7

תשובה: קנינו 7 כרטיסים במחיר מוזל ו 5 כרטיסים במחיר רגיל.

בעיות תנועה

תרגיל 2
בספורט הדואטלון הספורטאים צריכים לרוץ ולשחות.
גלית רצה במהירות 10 קמ"ש ושוחה במהירות 6 קמ"ש.
אורך מסלול הדואטלון (ריצה ושחייה ביחד) הוא 12 ק"מ.
גלית מסיימת את המסיימת את המסלול כולו ב 88 דקות.
חשבו את אורך מסלול הריצה ואת אורך מסלול השחייה.

פתרון
ניתן לפתור את השאלה הזו עם שני נעלמים או עם נעלם אחד.
נפתור עם שני נעלמים.

על מנת להשוות יחידות נהפוך את 88 דקות לשעות.

נגדיר:
זמנים
x זמן הריצה של גלית בשעות.
y  זמן השחייה של גלית בשעות.

מהירויות
10 קמ"ש מהירות הריצה.
6 קמ"ש מהירות השחייה.

מרחקים
10x  זה אורך מסלול הריצה.
6y  זה אורך מסלול השחייה.

משוואות
סכום המרחקים הוא 12 לכן המשוואה היא:
10x + 6y = 12  (משוואה ראשונה)

סכום הזמנים הוא:

נכפיל את המשוואה השנייה פי 6. על מנת לפתור בשיטת השוואת מקדמים.
6x + 6y = 8.8

שתי המשוואות שלנו הם:
10x + 6y = 12
6x + 6y = 8.8
נחסר מהמשוואה הראשונה את המשוואה השנייה.
4x = 3.2
x = 0.8

כלומר זמן מסלול הריצה הוא 0.8 שעות.
וזמן מסלול השחייה הוא:

אורך המסלולים הוא (על פי מהירות כפול זמן):
8 = 0.8 * 10  (אורך מסלול הריצה).
4 = 0.666 * 6  (אורך מסלול השחייה)

נשים לב שאת אורך מסלול השחייה היה ניתן לחשב על פי:
4 = 8 – 12
ובקרה זה היינו חוסכים את חישוב זמן השחייה.

פתרון עם נעלם אחד
מגדירים:
x זמן הריצה.
ולכן:

והמשוואה היא:

תרגיל 3
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון

נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

זמןמהירותדרך
דרך הלוךt144t1
דרך חזורt288t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

תרגילים נוספים

תרגיל 4
מכונית יצאה לדרכה במהירות 90 קמ"ש. כאשר הגיעה אל תחנת דלק עצרה בתחנה למשך חצי שעה.
לאחר התדלוק  המשיכה את נסיעתה במהירות 70 קמ"ש עד שהגיעה ליעדה הנמצא 255 ק"מ מנקודת המוצא.
עברו 4 שעות מיציאת המכונית ועד שהגיעה ליעדה.
חשבו את זמן הנסיעה עד לתחנת הדלק ומתחנת הדלק.

פתרון

תיאור המסלול של המכונית

תיאור המסלול של המכונית

ניתן לפתור את התרגיל בעזרת משתנה אחד או שני משתנים.
בהתחלה נפתור עם משתנה אחד ולאחר מיכן עם שני משתנים.

שלב א: הגדרת זמן כמשתנה ובאמצעותו את הדרך
t זמן הנסיעה בשעות עד תחנת הדלק.
4 מינוס t מינוס חצי זמן הנסיעה בקטע השני
90t  הדרך שהמכונית עברה עד תחנת הדלק.
הדרך מתחנת הדלק ועד הסיום

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
בשני הקטעים ביחד המכונית עברה 255 ק"מ. לכן משוואה היא:
90t + 70(3.5-t) = 255
90t + 245 -70t = 255 / -245
20t = 10  / :20
t = 0.5
3 =0.5 – 0.5 – 4

תשובה: משך זמן הנסיעה עד תחנת הדלק הוא 0.5 שעות. משך הנסיעה מתחנת הדלק ועד לסיום הוא 3 שעות.

פתרון התרגיל עם שני משתנים
t1 זמן הנסיעה עד תחנת הדלק.
t2  זמן הנסיעה מתחנת הדלק ועד הסוף.

90t1   הדרך שהמכונית עברה בקטע הראשון.
70t2  הדרך שהמכונית עברה בקטע השני.

המשוואות שלנו הם:
סכום הזמנים הוא 4.
t1 + t2 = 3.5
(כי חצי שעה הייתה מנוחה).

סכום המרחקים הוא 255
90t1 + 70t2 = 255

נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונגיע לאותה תשובה כמו בדרך הראשונה

תרגיל 5
על פרחים אדומים יש 10 עלים. על פרחים צהובים 16 עלים.
בגינה יש 20 פרחים שכולם אדומים או צהובים. ובסך הכל 248 עלים.
כמה פרחים אדומים וכמה צהובים בגינה?

פתרון
x   מספר הפרחים האדומים
10x  מספר העלים על פרחים אדומים .
y מספר הפרחים הצהובים
16y  מספר העלים על הפרחים הצהובים

סך הכל יש 20 פרחים:
x + y = 20
מספר העלים הוא 248
10x + 16y  = 248

יש לנו שתי משוואות עם שני נעלמים
x + y = 20
10x + 16y  = 248

נפתור בשיטת השוואת מקדמים:
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 10.
10x + 10y = 200
10x + 16y  = 248

נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה
6y = 48  / :6
y = 8

מספר הפרחים האדומים הוא:
x + 8 = 20
x=12
תשובה: בגינה 12 פרחים אדומים ו 8 צהובים.

עוד באתר:

הנחה והתייתקרות של מאות אחוזים

שינויים של מאות אחוזים לפעמים גורמים לבלבול.

דוגמה 1
מחיר מוצר הוא 8 שקלים. מחיר המוצר עלה ב 300%. מה המחיר החדש?

פתרון
נשים לב ש 300% היא העליה במחיר.
נחשב כמה הם 300% של 8.

24 זו העליה במחיר, לכן המחיר החדש הוא:
32 = 24 + 8
תשובה: המחיר החדש הוא 32.

דרך נוספת להסתכל על הבעיה היא:
100% הוא המחיר ההתחלתי. 300% הם התוספת.
לכן המחיר עכשיו הוא 400% מהמחיר המקורי.
400% מ 8 הם:

דוגמה 2
מחיר מוצר הוא 100 שקלים.
מחיר מוצר אחר הוא 300 שקלים.
בכמה אחוזים גבוה המחיר של המוצר השני?

פתרון
יש כאלו שיגידו: מחיר המוצר הוא פי 3 ולכן מחירו גבוה ב 300%.
לעומת זאת אנחנו נפתור את השאלה בעזרת חישוב.

המחיר גבוה ב 200 שקלים.
200/100 זה השבר המבטא את ההפרש של המחירים ביחס למחיר המוצר הראשון.
על מנת להפוך את השבר לאחוזים נכפיל את השבר פי 100.

תשובה: מחיר המוצר שמחירו 300 גדול ב 200% ממחיר המוצר שמחירו 100.

תרגילים

תרגיל 1
מחיר מוצר הוא 60 שקלים.
המחיר עלה ב 300%.
מה המחיר החדש של המוצר?

פתרון
נחשב את עליית המחיר של המוצר.

מחיר המוצר עלה ב 180 שקלים.
לכו מחירו החדש:
240 = 180 + 60
תשובה: המחיר החדש הוא 240 שקלים.

תרגיל 19
מחיר מוצר עלה עלה ב 500% ועכשיו מחירו 4200 שקלים.
מה היה מחיר המוצר לפני עליית המחיר?

פתרון
נגדיר:
x המחיר ההתחלתי של המוצר בשקלים.
עליה של 500% היא עלייה של 5x.

לכן המחיר לאחר העלייה הוא:
x + 5x = 6x

המחיר לאחר העלייה הוא גם 4200 שקלים.
לכן המשוואה היא:
6x = 4200 / :6
x = 700

תשובה: המחיר ההתחלתי של המוצר הוא 700 שקלים.

תרגיל 20
היחס בין מחירי שני מוצרים הוא 2:5
בכמה אחוזים גדול מחיר המוצר היקר ממחיר המוצר הזול?

פתרון
נגדיר את המחיר של שני המוצרים בעזרת x ואז נחשב את אחוז ההפרש במחיר.
2x מחיר המוצר הזול.
5x מחיר המוצר היקר

ההפרש במחיר של שני המוצרים הוא 3x.
נבדוק מה גודלו של הפרש זה באחוזים.
3x/2x זה השבר המבטא את ההפרש.

תשובה: מחיר המוצר היקר גדול ב 150% ממחיר המוצר הזול.

בעיות קנייה ומכירה סיכום

בדף זה נסכם את הנושא של בעיות קנייה ומכירה.
אני מחלק את בעיות הקנייה והמכירה ל 4 סוגים:

  1. "בעיות רגילות" – בעיות בהם קונים שני מוצרים ויש קשר בין שתי הקניות.
  2. בעיות של שינוי בקניית אותו מוצר – בבעיות אלו קונים משהו אבל או שהקנייה משתבשת או שצריך לקנות שוב בתנאים אחרים.
  3. בעיות עם שינויים באחוזים.
  4. בעיות "טבלה" – בבעיות אלו יש מספר שלבים למכירה, חלק מהמוצרים נמכרים במחיר מלא, חלק מהדברים לא נמכרו וכו….

1.בעיות רגילות

נפתור כאן מספר תרגילים, חלקם עם נעלם אחד וחלקם עם שני נעלמים.
כיצד נדע להבדיל בין בעיות עם נעלם אחד לבעיות עם שני נעלמים?

רמז למספר הנעלמים נוכל למצוא במספר הפעמים שיש לנו מחיר קנייה. אם מופיעים לנו שני מחירי קנייה / מכירה אז כנראה שקל יהיה לפתור בעזרת שני נעלמים.
אם מופיע מחיר קנייה יחיד יתכן שצריך רק משתנה אחד.
שימו לב שזה "רמז" ולא כלל שעובד תמיד. הכלל שעובד תמיד הוא שעליכם לבחור את מספר הנעלמים שבעזרתו תפתרו את השאלה, ואת זה לומדים עם הניסיון.

תרגיל 1
מחיר כוס קטן ב 4 שקלים ממחיר צלחת.
מחיר 2 צלחות ושני כוסות הוא 28 שקלים.
מה המחיר של צלחת ומה המחיר של כוס?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר:
x – מחיר כוס בשקלים.
לכן:
x+4 – מחיר צלחת.
(2x + 2(x + 4   מחיר 2 צלחות ושני כוסות.

שלב ב: בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "מחיר 2 צלחות ושני כוסות הוא 28 שקלים"
28 = (2x + 2(x + 4
2x + 2x + 8 = 28  / -8
4x = 20  / :4
x = 5
תשובה: מחיר כוס 5 שקלים, מחיר צלחת 9 שקלים.

תרגיל 2
מחיץ עציץ גדול ב 12 שקלים ממחיר שיח.
מחיר של 6 שיחים גדול ב 28 שקלים ממחיר 4 עציצים.
חשבו את מחיר השיח ומחיר העציץ.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x  מחיר שיח.
x + 12  מחיר עציץ.

6x  מחיר 6 שיחים.
x + 12) * 4)  מחיר 4 עציצים.

שלב ב: בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "מחיר של 6 שיחים גדול ב 28 שקלים ממחיר 4 עציצים"
6x = 4(x +12) + 28
6x = 4x + 48 + 28
6x = 4x + 76
2x = 76
x = 38
תשובה: מחיר שיח הוא 38 שקלים, מחיר עציץ הוא 12 שקלים.

תרגיל 3 (שני נעלמים)
מחיר 2 מסוקי צעצוע ו 3 מכוניות הוא 600 שקלים.
מחיר 3 מסוקי צעצוע ומכונית הוא 550 שקלים.
כמה עולה מסוק וכמה עולה מכונית?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
מכוון שאין קשר בין מחיר מסוק למחיר מכונית עלינו לבחור שני משתנים שייצגו כל אחד מהמחירים.
x  מחיר מכונית בשקלים.
y מחיר מסוק בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט "מחיר 2 מסוקי צעצוע ו 3 מכוניות הוא 600 שקלים"
2y + 3x = 600

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט "מחיר 3 מסוקי צעצוע ומכונית הוא 550 שקלים"
3y + x = 550

שלב ג: פתרון משוואות ותשובה
2y + 3x = 600
3y + x = 550

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 3.
2y + 3x = 600
9y + 3x = 1650

נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ונקבל:
7y = 1050
y = 150

נציב במשוואה השנייה ונמצא את  x.
3y + x = 550
x + 3 * 150 = 550
x + 450 = 550
x = 100

תשובה: מחיר מכונית הוא 100 שקלים, מחיר מסוק 150 שקלים.

*תרגיל 4 (שני נעלמים)
גילה קנתה כוסות במחיר של 140 שקלים.
בנוסף היא קנתה צלחות במחיר 250 שקלים.
מספר הצלחות שנקנו גדול ב 5 ממספר הכוסות ומחיר צלחת גדול ב 3 שקלים ממחיר כוס.
מצאו את מחיר הכוס ומספר הכוסות שנקנו.

פתרון
שלב א: בניית משוואות
x   מחיר של כוס בשקלים.
x + 3  מחיר צלחת בשקלים.

y   מספר הכוסות שנקנו.
y + 5  מספר הצלחות שנקנו.

שלב ב: בניית משוואות
המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט "גילה קנתה כוסות במחיר של 140 שקלים".
xy = 140  (משוואה ראשונה)

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט "קנתה צלחות במחיר 250 שקלים"
y + 5) (x + 3) = 250)
yx + 3y + 5x + 15 = 250
y (x + 3) + 5x = 235
y (x + 3) = 235 – 5x

שלב ג: פתרון המשוואות
נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא x + 3 ונקבל:
(x (235 – 5x) = 140 (x + 3
235x – 5x² = 140x + 420
5x² – 95x + 420 = 0  / :5
x² – 19x + 84 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל:
x = 12  או  x = 7.
נמצא את ערכי ה y המתאימים בעזרת המשוואה:

y * x = 140
y * 7 = 140
y = 20
או
y * 12 = 140
y = 11.66
מכוון ש y זה מספר הכוסות שנקנו וצריך להיות מספר שלם אז תשובה זו נפסלת.

תשובה: מחיר כוס הוא 7 שקלים, מספר הכוסות שנקנו הוא 120 שקלים.

2.שינוי בקניית אותו מוצר

תרגיל 1
קבוצת אנשים רצתה לשכור אולם במחיר של 1200 שקלים.
בסופו של דבר הגיעו 20 איש יותר כך שכל אחד שילם 10 שקל פחות מהמחיר שתוכנן.
כמה אנשים תכננו לשכור את האולם?

פתרון
את תרגיל הזה ניתן לפתור בעזרת משתנה אחד או שני משתנים.
פתרון בעזרת משתנה אחד
שלב א: הגדרת משתנה
x  מספר האנשים שתוכנן להזמין את האולם.
x + 20   מספר האנשים שבפועל הגיע.

הסכום המקורי שכל אחד היה צריך לשלם

הסכום בפועל שכל אחד שילם:

שלב ב: בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "כך שכל אחד שילם 10 שקל פחות מהמחיר שתוכנן".
לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא: (x(x+20
(10x (x + 20) + 1200x = 1200(x +20
10x² + 200x + 1200x = 1200x + 24,000
10x² + 200x  – 24,000 = 0
x² + 20x – 2400 = 0
נפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x = -60  או x = 40

x הוא מספר שתוכנן להזמין אולם, לכן x = -60  נפסל והתשובה היא x = 40.
תשובה: 40 איש תוכננו להשכיר את האולם.

3.בעיות קנייה ומכירה עם אחוזים

תרגילים נוספים מסוג זה תוכלו למצוא בדפים:

תרגיל 1
מחיר מכנס הוא פי 3 ממחיר חולצה בשקלים.
במכירת סוף העונה מחיר החולצה ירד ב 20% ומחיר המכנס ירד ב 30%.
איציק קנה 4 מכנסיים ו 2 חולצות בסוף העונה ושילם 500 שקלים.

  1. מה מחיר המכנסיים ומה מחיר החולצה לפני הנחת סוף העונה?

פתרון
שלב א: נגדיר משתנה ומחירים בסוף עונה
x   מחיר רגיל של חולצה.
3x   מחיר רגיל של מכנסיים.

0.8x  מחיר חולצה בסוף עונה.
3x * 0.7 = 2.1x   מחיר מכנסיים בסוף עונה.

שלב ב: נבנה משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "איציק קנה 4 מכנסיים ו 2 חולצות בסוף העונה ושילם 500 שקלים"

0.8x * 2 = 1.6x    המחיר ששולם עבור 2 חולצות.
2.1x * 4 = 8.4x   המחיר ששולם עבור 4 מכנסיים.

לכן המשוואה היא:
8.4x + 1.6x = 500
שני הצדדים מייצגים את המחיר ששולם.
אם היינו ממשיכים לפתרון מלא היינו מקבלים x = 50 (מחיר חולצה) ומחיר מכנסיים 150 שקלים.

תרגיל 2
מחיר של עץ גדול ב 50 שקלים ממחיר של תבלין.
דני קנה 4 תבלינים ו 3 עצים ושילם 220 שקלים.

  1. כמה עולה עץ וכמה עולה תבלין? (בנו משוואה)
  2. מחיר קקטוס באביב הוא y. בחורף מחיר הקקטוס ירד ב 20%. לקראת סוף החורף המשתלה החליטה להוריד את מחיר הקקטוס ב 10% נוספים. כתבו משוואה המתארת את מחיר הקקטוס החדש.
  3. אם המשתלה הייתה מורידה את מחיר הקקטוס ב 30% בבת אחת. האם מחירו היה גבוה או נמוך יותר מהמחיר שמצאתם בסעיף ב?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
x  מחיר תבלין בשקלים.
x + 50 מחיר עץ בשקלים.

שלב ב: בניית משוואה
4x  מחיר 4 תבלינים.
x + 50)*3)   מחיר 3 עצים.

המשוואה מבוססת על המשפט "דני קנה 4 תבלינים ו 3 עצים ושילם 220 שקלים"
4x + 3(x+50) = 220

אם היינו ממשיכים לפתרון מלא היינו מקבלים x = 10 (מחיר תבלין) ומחיר עץ 60 שקלים.

סעיף ב:
מחיר קקטוס לאחר הוזלה של 20% ו 10%.
0.72y

סעיף ג:
לעומת הורדה של 30%
כאשר מחיר קקטוס הוא y והוא יורד ב 30% המחיר שלו הוא:
0.7y

0.72y  >  0.7y
לכן הורדה חד פעמית של 30% במחיר הקקטוס תגרום למחיר נמוך יותר ביחס לירידה של 20% ו 10%.

תרגיל 3
במשתלה מגדלים פרחים ושיחים.
המשתלה קונה פרח ב 20 שקלים ושיח ב 30.
כאשר המשתלה מוכרת את הצמחים היא מוכרת פרח במחיר הגבוה ב 50% ממחיר הקנייה ושיח ב 40% יותר ממחיר הקנייה.
המשתלה מכרה 50 פרחים ושיחים במחיר כולל של 1920 שקלים.

כמה פרחים וכמה שיחים מכרה המשתלה.
מה אחוז הרווח של המשתלה?

פתרון
נפתור את השאלה עם שני נעלמים ולאחר מיכן עם נעלם אחד.

שלב א: בחירת משתנה והגדרת מחירים
30 = 1.5 * 20  מחיר המכירה של הפרחים.
42 = 1.4 * 30  מחיר המכירה של השיחים.

x   מספר הפרחים שנמכרו.
y   מספר השיחים שנמכרו.

שלב ב: נבנה משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "המשתלה מכרה 50 פרחים ושיחים במחיר כולל של 1920 שקלים"
30x   הסכום ששולם עבור הפרחים.
42y   הסכום ששולם עבור השיחים.

המשוואות הן:
30x + 42y = 1920
x + y = 50

נפתור את שתי המשוואות בעזרת שיטת ההצבה:

נציב את זה במשוואה הראשונה ונקבל:
30x + 42(50-x) = 1920
30x + 2100 – 42x = 1920   /-2100
12x  =-180  / : -12-
x = 15
תשובה: נמכרו 15 פרחים ו 35 שיחים.

סעיף 2: אחוז הרווח של הממשלה
כיצד מחשבים אחוז רווח?
על מנת לחשב אחוז רווח נחשב את החלק של הרווח מתוך סכום הקנייה, ואז נכפיל פי 100 על מנת להפוך לאחוזים

(אם הנושא לא ברור הסתכלו בדף מבוא  "דברים שאתם צריכים לדעת על אחוזים" בסעיף מספר 3).

נחשב את הרווח של המשתלה:
המשתלה שילמה עבור 15 פרחים ו 35 שיחים מחיר של:
1350 = 20 * 15 + 30 * 35
1350 הוא מחיר הקנייה של המשתלה.

המשתלה הרוויחה בעסקה:
570 = 1350 – 1920
570 הוא הרווח של המשתלה.

אחוז הרווח מחושב ביחס למחיר הקנייה.

תשובה: אחוז הרווח של המשתלה בעסקה הוא 42.22%.

פתרון של סעיף א עם נעלם אחד

x   מספר הפרחים שנמכרו.
30x  המחיר ששולם עבור הפרחים במכירה.

המשוואה היא:
30x + 42(50-x) = 1920
30x + 2100 – 42x = 1920   /-2100
12x  =-180  / : -12-
x = 15
תשובה: נמכרו 15 פרחים ו 35 שיחים.

תרגיל 4 (שני נעלמים ואחוזים)
דנה תכננה לרכוש טיסה ובית מלון ל 4 ימים במחיר כולל של 2200 שקלים.
דנה חיכתה מעט ואז מחיר הטיסה עלה ב 20% ואילו מחיר המלון ירד ב 10%.
כתוצאה מכך דנה שילמה 80 שקלים יותר עבור החבילה.
חשבו את מחיר המלון ומחיר הטיסה של דנה.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים ומחירים
נגדיר:
x  מחיר המלון.
y  מחיר הטיסה.

"מחיר הטיסה עלה ב 20%"
1.2x  מחיר הטיסה לאחר העליה.
"מחיר המלון ירד ב 10%".
0.9y  מחיר המלון לאחר הירידה.

שלב ב: בניית משוואות ופתרונן
בהתחלה "מחיר כולל 2200 שקלים"
לכן המשוואה:
x + y = 2200
y = 2200 -x

לאחר העליה המחיר הכולל הוא 2280 שקלים.
לכן המשוואה:
1.2x + 0.9y = 2280

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:
1.2x + 0.9*(2200 -x) = 2280
1.2x + 1980 – 0.9x = 2280
0.3x = 300  / :0.3
x = 1000

מחיר הטיסה הוא:
y = 2200 -x
y = 2200 – 1000 = 1200

תשובה: מחיר המלון הוא 1000 שקלים, מחיר הטיסה 1200 שקלים.

4.מכירה המחולקת לשלבים

תרגיל 1
חנות קנתה 30 קילו עגבניות. 6 קילו מהעגבניות נרקבו ואת שאר הכמות החנות מכרה ברווח של 3 שקלים.
סך הכל הרוויחה החנות 48 שקלים בעסקה זו.
מה המחיר שבו קנתה החנות עגבנייה אחת ומה המחיר ששילמה עבור כל העגבניות.

פתרון
x – המחיר שבו קנתה החנות קילו עגבניות בשקלים.
30x המחיר שהחנות שילמה עבור כל העגבניות .

x+3 המחיר שבו קילו עגבניות אחד נמכר.
= 24*(x+3) – הסכום שהחנות קיבלה עבור 24 קילו העגבניות.

החנות הרוויחה 48 שקלים.
לכן 24*(x+3)  גדול ב 48 מ 30x.
והמשוואה היא:
(30x + 48 = 24 (x +3
30x + 48 = 24x +72  / -24x – 48
6x = 24  / :6
x = 4

תשובה: החנות קנתה קילו עגבניות ב 4 שקלים.
כל העגבניות עלו לה
30 * 4 = 120 שקלים.

תרגיל 2
בעל חנות קנה מארזי גלידה ב 700 שקלים.
5 מארזים נמכרו לעובדי החנות במחיר הפסד של 7 שקלים.
שאר המארזים נמכרו ברווח של 15 שקלים.
סך הכל בעל החנות הרוויח 190 שקלים.
מצאו את המחיר של מארז גלידה.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
x  המחיר של מארז גלידה בשקלים.
לכן

זה מספר מארזי הגלידה שנקנו.

שלב ב: מציאת המחיר שהתקבל בכול שלב של המכירה
x – 7  זה מחיר ההפסד.
5 מארזים נמכרו במחיר זה.
הסכום שהתקבל במכירה זו הוא:
x – 7) * 5 = 5x – 35)

x + 15 זה המחיר השני של הרווח.
מספר הפריטים שנמכרו במחיר זה הוא:

הסכום שהתקבל במכירה במחיר הזה הוא:

ניתן לכתוב את השלב הזה בטבלה כך:

מחיר לפריטמספר פרטיםפדיון
קנייהx700
מכירה 1x – 555x – 75
מכירה 2x + 15

שלב ג: בניית משוואה
המשוואה מתבססת על המשפט "סך הכל בעל החנות הרוויח 190 שקלים".
ומכוון שבעל החנות שילם 700 הוא קיבל בשני שלבי המכירה 890 שקלים.

נכנס איברים:

נכפיל במכנה המשותף x ונשלים את הפתרון:

תשובה: מחיר כל מארז גלידה הוא 35 שקלים.

תרגיל 3 (עם אחוזים)
בעל חנות קנה מספר זוגות מכנסיים ב- 6000 שקלים. 10 מכנסיים הוא מכר בהפסד של 30% ואת שאר המכנסיים ברווח של 20%. סך הכל בעל החנות הרוויח 200 שקלים.
בכמה קנה בעל החנות זוג מכנסיים אחד?

פתרון בעזרת שני נעלמים
עבור קניית המכנסיים הנתונים הם:
6000 הסכום ששולם עבור המכנסיים.
x – המחיר שבו נקנה זוג מכנסיים אחד.
y  מספר המכנסיים שנקנו.

המשוואה היא:
x * y = 6000

עבור המכנסיים שנמכרו בהפסד הנתונים הם:
0.7x – מחיר ההפסד של זוג מכנסיים אחד.
10 הוא מספר המכנסיים שנמכרו במחיר זה.
7x – סך כל התמורה עבור 10 המכנסיים שנמכרו בהפסד.

עבור המכנסיים שנמכרו ברווח הנתונים הם:
1.2x מחיר המכירה.
y – 10  מספר המכנסיים שנמכרו.
(1.2x * (y -10   סכום המכירה בשלב זה.

בשני שלבי המכירה הסכום שהתקבל הוא 6200 שקלים לכן המשוואה השנייה היא:
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200

אם היינו רוצים לבנות טבלה היא הייתה נראית כך:

מחירכמותסכום
קנייהxy6000
מכירה בהפסד0.7x107x
מכירה ברווח1.2xy – 10(1.2x * (y -10

פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
x * y = 6000
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200

נפתח את הסוגריים במשוואה השנייה:
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200
7x + 1.2xy -12x  = 6200

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
7x + 1.2*6000 -12x  = 6200
5x + 7200 = 6200-
5x = -1000-
x = 200
תשובה: בעל החנות קנה זוג מכנסיים אחד ב 200 שקלים.

פתרון בעזרת נעלם אחד
עבור קניית המכנסיים הנתונים הם:
6000 הסכום ששולם עבור המכנסיים.
x – המחיר שבו נקנה זוג מכנסיים אחד.
מספר המכנסיים שנקנו

עבור המכנסיים שנמכרו בהפסד הנתונים הם:
0.7x – מחיר ההפסד של זוג מכנסיים אחד.
7x – סך כל התמורה עבור 10 המכנסיים שנמכרו בהפסד.

עבור המכנסיים שנמכרו ברווח הנתונים הם:

בכמה שקלים מכר בעל החנות את כל המכנסיים? (סכום מחירה)
6200 = 200 + 6000
(מחיר קנייה + רווח).

אם היינו רוצים לכתוב את השלב הזה בטבלה זה היה נראה כך:
(לכל מחיר מכירה/ קנייה נדרשת שורה נפרדת בטבלה).

מחיר לפריטכמותפדיון
קנייהx6000
מכירה בהפסד0.7x107x
מכירה ברווח1.2x

בניית משוואה
המשוואה שלנו היא:
סכום מכירה = המחיר שנכרו המכנסיים בהפסד + המחיר שנמכרו המכנסיים ברווח.

נפתח סוגריים ונקבל:
7200-12x+7x=6200
5x = -1000 /:  -5-
x = 200
תשובה: בעל החנות קנה זוג מכנסיים אחד ב- 200 שקלים.

*תרגיל 4
ירקן קנה עגבניות ב 2000 שקלים.
30 קילו עגבניות נרקבו ולא נמכרו.
20% מהסחורה נמכרו בהפסד של שקל.
ואת שאר הסחורה הוא מכר ברווח של 3 שקלים.
סך הכל הירקן הרוויח 890 שקלים.
מה מחיר קילו עגבניות שקנה הירקן?

פתרון בעזרת נעלם אחד
עלינו לחשב את הסכום שהתקבל בכול שלב של המכירה.
השלבים הם: ריקבון, הפסד שקל, רווח 3 שקל.

שלב א: הגדרת משתנה
x  מחיר קילו עגבניות שקנה הירקן.

זה מספר הקילוגרמים שקנה הירקן.

שלב ב: חישוב הכמות הסכום שקיבל הירקן בכול אחד מהשלבים
1.שלב הריקבון
30 קילו שנמכרו ב 0 שקלים.

2.שלב ההפסד של שקל
בשלב זה המוכר מכר 20% מהסחורה.
כלומר זה מספר הקילוגרמים שנמכרו:

הם נמכרו ב x -1 שקלים לכל קילו, לכן הסכום שהתקבל עבורם הוא:

3.שלב הרווח של 3 שקל.
מה הכמות שהסוחר מכר בשלב זה?
80% מהסחורה פחות 30 קילו.

כל קילו נמכר ב x + 3 שקלים.
לכן הסכום שהתקבל בשלב זה הוא:

וכאשר נפתח את הסוגריים נקבל:

שלב ג: בניית משוואה
בבעיה כתוב "סך הכל הירקן הרוויח 890 שקלים".
ומכוון שסכום הקנייה הוא 2000 שקלים אז הסכום הכולל שהירקן קיבל במכירה הוא 2890 שקלים.

לכן סכום הרווח בשלושת השלבים הוא 2890.

זו המשוואה

זו המשוואה

נכפיל ב x את המשוואה ונקבל:
30x² + 400(x-1) +1510x + 4800 = 2890x-
30x² + 400x -400 +1510x + 4800 = 2890x-
30x² -980x + 4400 = 0  / : -30-
x² + 32.666x – 146.666 = 0

נפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים ונקבל
x1 = 4,  x2 = -37
מכוון ש x הוא סכום מכירה התשובה היא:
x = 4

תשובה: הירקן קנה מחיר קילו עגבניות ב 4 שקלים.

בעיות בהם אחוז השינוי הוא המשתנה

בדף זה נלמד לפתור שאלות בהם אחוז השינוי במחיר של המוצר אינו ידוע ואנו מגדירים אותו כמשתנה.

לסיכום זה 2 חלקים:

  1. מבוא והסבר.
  2. פתרון תרגילים.

1.מבוא והסבר

מתי אין צורך להשתמש במשתנה?

בתרגילים שבהם יש שינוי אחד אין צורך לבחור משתנה.
למשל:
מחיר מחשבון הוא 50 שקלים. המחיר עלה ל 60 שקלים. בכמה אחוזים מחיר המחשבון עלה?

פתרון
המחיר עלה ב 10 שקלים מתוך 50 לכן אחוז השינוי הוא:

תשובה: מחיר המוצר עלה ב 20%.

מתי כן צריך משתנה ואיך עושים זאת

מתי צריך להשתמש לבחור משתנה?
כאשר מחיר של מוצר משתנה פעמיים כל פעם ב x אחוז.
או כאשר יש שני מוצרים שכל אחד מיהם משתנה ב x אחוז.
אז צריך להגדיר:
x אחוז השינוי.
ולבנות משוואה.

כיצד מגדירים את המחיר החדש לאחר שינוי ב x אחוזים?
אם מחיר של מוצר הוא 60 שקלים.
והמוצר עלה ב 10% אז על מנת למצוא את המחיר החדש נכתוב את התרגיל:

לעומת זאת עם מחיר המוצר עלה ב x אחוזים אז נרשום את התרגיל:

אם המחיר יורד ב x אחוזים אז נרשום את התרגיל:

זו הדרך שבה אנו רושמים עלייה או ירידה ב x אחוזים.

2.תרגילים

תרגיל 1
מחיר חולצה הוא 60 שקלים.
המחיר עלה ב x אחוזים ולאחר מיכן ירד באותו מספר אחוזים.
המחיר הסופי של החולצה לאחר שני השינויים הוא 54.6 שקלים.
מצאו את אחוז העלייה והירידה של החולצה.

פתרון
עבור עלייה פעם אחת ב x אחוזים המחיר החדש הוא:

עבור עלייה וירידה ב x אחוז נרשום:

המכנה המשותף הוא:
10,000 = 100 * 100
נכפיל ב: 10,000 ונקבל:

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 60 ונקבל:

נפתח סוגריים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר:
(a² – b² = (a + b) * (a – b

x² + 10,000 = 9100-
x² – 900 = 0
x² = 900
x = 30 או x= -30
מכוון ש x מוגדר כאחוז עלייה הפתרון המתאים הוא x = 30.
תשובה: החולצה עלתה ב 30% ולאחר מיכן ירדה ב 30%.

תרגיל 2
מחיר שולחן הוא 500 שקלים.
מחיר כיסא הוא 100.
שניהם ירדו באותו אחוז ועכשיו סכום המחירים שלהם הוא 480 שקלים.
חשבו את אחוז הירידה.

פתרון
x  הוא האחוז שבו ירדו השולחן והכיסא.

המשוואה המתאימה לתרגיל היא:

נשים לב שבשבר השמאלי ניתן לצמצם 500 ב 100 ובשבר הימני ניתן לצמצם 100 ב 100.
נקבל:

תשובה: השולחן והכיסא ירדו ב 20%.

תרגיל 3
מחיר מכנסיים הוא 120 שקלים.
המכנסיים ירדו באחוז מסוים.
מחיר חולצה הוא 60 שקלים.
מחיר החולצה עלה ב 10% יותר מהאחוז שבו ירד מחיר המכנסיים.
עכשיו המחירים של החולצה והמכנסיים שווים.
מצאו את אחוז הירידה במחיר המכנסיים.

פתרון
x  האחוז שבו ירדו המכנסיים.
x + 10  האחוז שבו עלתה החולצה.

המשוואה המתאימה לשאלה היא:

נצמצם את השברים ונמשיך לפתור

תשובה: האחוז שבו ירדו המכנסיים הוא 30, האחוז שבו עלתה החולצה הוא 40.

עוד באתר:

בעיות תנועה עם פגישה סיכום

בדף זה נסכם את החומר עבור בעיות תנועה עם פגישה.
בבעיות שלנו הגופים יעצרו לאחר הפגישה ולא ימשיכו לנוע.
החומר מתאים לתלמידי כיתות ח-י.

נושאי הדף הם:

  1. שתי הדרכים בהם ניתן להיפגש.
  2. מה עושים כאשר הגופים "כמעט נפגשים" או "עוברים את נקודת הפגישה"
  3. תרגילי פגישה "אחד מול השני".
  4. תרגילי פגישה "יוצאים מאותה נקודה"
  5. קישורים.
  6. נספח: כיצד להתמודד עם בעיות בהגדרת הזמן.

1.שתי הדרכים בהם ניתן להיפגש

שני גופים יכולים להיפגש בשתי דרכים.

אפשרות ראשונה
הגופים יוצאים משתי נקודות שונות ונוסעים אחד מול השני.

הרעיון בעזרתו בונים משוואה
בסוג זה של פגישה סכום הדרכים ששני הגופים עברו שווה לדרך כולה.
אם למשל הגוף שמסומן בחץ השחור עבר 100 ק"מ.
והגוף המסומן בחץ הירוק עבר 200 ק"מ.
אז המרחק בין A ל B הוא 300 ק"מ.

 

אפשרות שנייה
יוצאים מאותה נקודה אך בזמנים שונים.
גף אחד יוצא "באחור" אך מהירותו גדולה יותר ולכן משיג את הגוף שיצא לפניו.

הרעיון בעזרתו בונים את המשוואה
מכוון ששני הגופים יצאו מאותה נקודה והגיעו לאותה נקודה אז הדרך שהם עברו שווה.
המשוואה תהיה:
הדרך של המכונית הירוקה = לדרך של המכונית השחורה

2.מה עושים כאשר הגופים "כמעט נפגשים" או "עוברים את נקודת הפגישה"

כאשר הגופים נעים אחד מול השני

אם שני גופים יוצאים משתי נקודות שהמרחק בניהם הוא 400 ק"מ ונפגשים אז אנו יודעים שהמרחק שהם עברו ביחד הוא 400 ק"מ.

אבל אם אומרים לנו ששני הגופים לא נפגשו אלא נעצרו 60 ק"מ לפני הפגישה.
אז מה נוכל לומר על סכום הדרכים של כלי הרכב?

במצב זה שני כלי הרכב עברו 60 ק"מ פחות ולכן סכום המרחקים שהם עברו הוא 340 ק"מ.
340 = 60 – 400

ואם הם נפגשו והמשיכו עד שהמרחק בניהם היה 100 ק"מ.
אז סכום הדרכים שהם עברו הוא 500.
500 = 100 + 400

כאשר הגופים יוצאים מאותה נקודה

אמרנו שכאשר שני גופים יוצאים מאותה נקודה ומגיעים אל אותה נקודה המרחקים שהם עוברים שווים.

אבל מה קורה אם גוף אחד נעצר 20 ק"מ לפני נקודת הפגישה?

במקרה זה נוכל לומר שהדרך שהחץ השחור עבר + 20 ק"מ = לדרך שהחץ הירוק עבר.

ואם גוף אחד עובר את נקודת הפגישה ב 30 ק"מ?

במקרה זה נוכל לומר שהדרך שהחץ הירוק עבר + 30 ק"מ = לדרך שהחץ השחור עבר.

זהו עם הדיבורים, ניגשים לפתור תרגילים!

3.תרגילי פגישה אחד מול השני

כפי שלמדנו בשאלות אלו עלינו לבטא בעזרת משתנה את המרחק שעבר כל גוף.
לכן כאשר נבחר משתנה נבחר משתנה כזה שבאמצעותה ניתן לחשב מרחקים.

תרגיל 1
משתי נקודות במרחק 600 ק"מ יצאו בו זמנית משאית ומכונית.
מהירות המכונית גדולה ב 30 קמ"ש ממהירות המשאית.
כעבור 4 שעות כלי הרכב נפגשו.
חשבו את מהירות המכונית ומהירות המשאית.

פתרון
נגדיר
מהירויות
x מהירות המשאית בקמ"ש
x + 30  מהירות המכונית בקמ"ש.

זמן
זמן הנסיעה של שניהם הוא 4 שעות.

דרך
4x  הדרך שעברה המשאית.
x + 30) * 4)  הדרך שעברה המכונית.

משוואה
סכום הדרכים הוא 600 לכן המשוואה היא:
4x + 4 (x +30) = 600
4x + 4x + 120 = 600
8x + 120 = 600  / -20
8x = 480  / : 8
x = 60

תשובה: המהירות שהמשאית נסעה בה היא 60 קמ"ש. המהירות של המכונית היא 90 קמ"ש.

אם היינו רוצים להיעזר בטבלה לפני בניית המשוואה זה היה נראה כך:

מהירותזמןדרך
משאיתx44x
מכוניתx + 304x + 30) *4)

תרגיל 2
בשעה 8 יצאה משאית מקריית שמונה לאילת מרחק של 370 ק"מ.
בשעה 9 יצאה מכונית מאילת לקריית שמונה במהירות הגדולה ב 20 קמ"ש ממהירות המכונית.
בשעה 11 המשאית והמכונית עדיין לא נפגשו והמרחק בניהן היה של 30 ק"מ.
חשבו את מהירות המכונית והמשאית.

פתרון
מהירות
x  מהירות המשאית בקמ"ש.
x + 20 מהירות המכונית בקמ"ש.

זמן
המשאית נסעה מ 8 עד 11.  3 שעות.
המכונית נסעה מ 9 עד 11.  2 שעות.

דרך
3x  הדרך של המשאית.
x + 20) * 2)  הדרך של המכונית.

המשוואה
שני כלי הרכב ביחד עברו 340 ק"מ.
340 = 30 – 370
לכן:
3x + 2 (x +20) = 340
3x + 2x + 40 = 340
5x + 40 = 340  / -40
5x = 300  / :5
x = 60
תשובה: מהירות המשאית 60 קמ"ש. מהירות המכונית 80 קמ"ש.

אם היינו רוצים לבנות טבלה לפני בניית המשוואה כך זה היה נראה:

מהירותזמןדרך
משאיתx33x
מכוניתx + 202x + 20) *2)

4.תרגילי פגישה "יוצאים מאותה נקודה"

תרגיל 1
הולך רגל יצא לדרך במהירות 6 קמ"ש.
שעתיים אחריו יצא חמור שמהירותו גדולה ב 3 קמ"ש מאותה נקודה ובאותו כיוון.

  1. כעבור כמה זמן ישיג החמור את האדם?
  2. מה המרחק בניהם יהיה 10 שעות לאחר יציאת הולך הרגל?

פתרון
מהירות
6 הולך רגל.
9 החמור.

זמן
x  הולך הרגל.
x – 2 החמור (מכוון שהוא יצא שעתיים אחרי).

הדרך
6x  הולך הרגל
x – 2) * 9)  החמור.

המשוואה
בסופו של דבר שניהם עשו את אותה הדרך ולכן המשוואה היא:
(6x = 9 (x – 2
6x = 9x – 18  / -9x
3x = – 18  / : -3-
x = 6

תשובה: 6 שעות לאחר צאת הולך הרגל החמור השיג אותו.

אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלה לפני המשוואה זה היה נראה כך:

מהירותזמןדרך
הולך רגל6x6x
חמור9x – 2x – 2) *9)

סעיף ב
ניתן לחשב את המרחק ששניהם עבור 10 שעות לאחר יציאת הולך הרגל.
הולך הרגל עבר:
60 = 6 * 10

באותה נקודת זמן החמור הלך 8 שעות.
72 = 9 * 8
תשובה: המרחק בניהם יהיה 12 ק"מ.

תרגיל 2
הולך רגל יצא לדרך.
שעתיים אחריו יצא סוס במהירות הגדולה ב 4 קמ"ש ממהירות הולך הרגל.
הסוס השיג את הולך הרגל כעבור 5.5 שעות מזמן יציאתו של הולך הרגל.
חשבו את מהירותו של הולך הרגל.

פתרון
מהירות
x  מהירות הולך הרגל בקמ"ש.
x + 4 מהירות הסוס בקמ"ש.

זמן
5.5 שעות זמן הולך הרגל.
3.5 שעות זמן הסוס (יצא שעתיים אחריו).

דרך
5.5x  הדרך של הולך הרגל.
x + 4)* 3.5)  הדרך של הסוס.

המשוואה
הולך הרגל והסוס יצאו מאותו מקום והגיעו לאותו מקום.
לכן הדרך שלהם שווה.
(5.5x = 3.5 (x + 4
5.5x = 3.5x + 14  / -3.5x
2x = 14  / :2
x = 7
תשובה: המהירות של הולך הרגל היא 7 קמ"ש.

אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלה לפני בניית המשוואה זה היה נראה כך:

מהירותזמןדרך
הולך רגלx5.55.5x
סוסx + 43.5x + 4) * 3.5)

*תרגיל 3
שתי רוכבות אופניים יצאו לרכיבה מאותה נקודה.
הרוכבת הראשונה יצאה ב 10 בבוקר במהירות 15 קמ"ש.
הרוכבת השנייה יצאה בשעה 11 בבוקר במהירות 20 קמ"ש.
באיזו שעה הרוכבת השנייה תשיג את הראשונה ב 15 ק"מ? (כלומר באיזו שעה הרוכבת השנייה תעבור 15 ק"מ יותר מהרוכבת הראשונה).

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את הזמן של הרוכבת הראשונה לכן הוא יהיה המשתנה
t זמן הנסיעה של הרוכבת הראשונה בשעות עד לנקודה שבה הרוכבת השנייה השיגה אותה ב 15 ק"מ.
t – 1 זמן הנסיעה של הרוכבת השנייה.

שלב 2: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור, תוצאת החישוב באדום.

מהירותזמןדרך
רוכבת א15t15t
רוכבת ב20t – 120t – 20

שלב ג: בניית משוואה
15t המרחק שעברה רוכבת א.
20t – 20  המרחק שעברה רוכבת ב.

רוכבת ב עברה 15 ק"מ יותר מרוכבת א לכן המשוואה היא:
20t – 20 – 15t = 15

הסבר למשוואה בעיות תנועה

הסבר למשוואה

אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא לכתוב את המשוואה כסכום דרכים
המרחק שעברה רוכבת ב = 15 + המרחק שעברה רוכבת א
15t + 15 = 20t – 20

הסבר למשוואה

הסבר למשוואה

שלב ד: פתרון המשוואה
נפתור את המשוואה הראשונה
20t – 20 – 15t = 15
5t – 20 =15  / +20
5t = 35  /:5
t = 7

השאלה הייתה "באיזו שעה?" . 7 שעות לאחר השעה 10 זו השעה 17.
תשובה: בשעה 17 רוכבת ב תשיג את רוכבת א ב 15 ק"מ.

עוד באתר:

  1. בעיות תנועה עם טבלה.
  2. בעיות תנועה כיתות ח – ט – דף המציג בעיות מסוגים שונים באותה רמה.
  3. בעיות תנועה שוויון דרכים.
  4. בעיות תנועה סכום דרכים.
  5. בעיות תנועה – הדף המרכזי עם קישורים לדפים קשים יותר.
  6. מתמטיקה לכיתה ט.
  7. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  8. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
  9. בעיות תנועה – דף הכולל בעיות קשות יותר.

נספח: כיצד להתמודד עם בעיות בהגדרת זמן

במקרה הקל תקבלו במפורש כמה שעות נסע כל כלי רכב. או שיגידו לכם שכלי רכב אחד נסע שעתיים יותר.

בתרגילים קשים יותר יגידו לכם כי כלי רכב אחד "יצא שעה אחרי" או "הגיע שעתיים לפני" ואתם תצטרכו להסיק מזה על הקשר בין הזמנים של כלי הרכב.

עלכם להבים את הכללים הבאים (אלו כללים הגיוניים):
(בכל המקרים נתייחס אל זמן נסיעת המשאית כ x)

  • אם מכונית יוצאת לדרך שעה אחרי משאית ושתיהן מגיעות ביחד ליעד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x -1.
  • אם מכונית יוצאת שעה לפני משאית והם מגיעות ביחד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x +1.
  • אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה לפני המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x – 1.
  • אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה אחרי המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x  + 1.

תרגיל 1
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
2 שעות אחרי המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה אחרי המכונית. לכן הייתה שעתיים פחות בנסיעה.
x – 2 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 2
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
3 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה לפני המכונית. לכן הייתה 3 שעות יותר בנסיעה.
x + 3 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 3
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 3 שעות לאחר המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות יותר.
בהגעה המשאית נסעה 3 שעות יותר.
לכן בסך הכל המשאית נסעה 4 שעות יותר.
x + 4 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 4
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לאחר המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 2 שעות לפני המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות פחות.
בהגעה המשאית נסעה 2 שעות פחות.
סך הכל המשאית נסעה 3 שעות פחות.
x – 3 זה הזמן שנסעה המשאית

מכשול זמן נוסף

במקרים מסוימים גוף ינוע בשתי מהירויות, למשל 80 קמ"ש בדרך הלוך ו 90 קמ"ש בדרך חזור.
ומבחינת זמן נקבל מידע על הזמן של שתי הדרכים יחד. למשל הזמן הלוך חזור היה 8 שעות.

במקרה זה ניתן להגדיר שני נעלמים:
x  הזמן בשעות בדרך הלוך.
y הזמן בשעות בדרך חזור.
ואז
x + y = 8
וגם
80x  זו הדרך הלוך.
90y  זו הדרך חזור.

ומכוון שהדרכים שוות המשוואה השנייה היא:
80x = 90y

וניתן גם להגדיר נעלם אחד.
x הזמן בשעות בדרך הלוך.

זה הזמן בדרך חזור.

ובנוסף:
80x  הדרך הלוך

הדרך חזור.

ומכוון ששתי הדרכים שוות המשוואה היא:
(80x = 90(8 – x

משפט פיתגורס סיכום

בדף זה נסכם את סוגי השאלות העיקריות שיכולים לשאול אותכם בנושא משפט פיתגורס.
הסיכום מיועד לאלו שכבר יודעים את השימוש הבסיסי של משפט פיתגורס ומעוניינים להכיר שאלות קשות יותר.

סוגי השאלות הם:

  1. חישוב בסיסי של צלע.
  2. שני משולשים עם צלע משותפת.
  3. שילוב של יחס בין צלעות.
  4. משפט פיתגורס במשולש שווה שוקיים.
  5. שילוב משפט פיתגורס עם היקף משולש.
  6. שילוב משפט פיתגורס עם שטח משולש.
  7. משתנה אחד המגדיר שתי צלעות.
  8. דוגמאות למשפט פיתגורס במרובעים.

1.חישוב בסיסי של ניצב או יתר

משפט פיתגורס מאפשר לחשב צלע שלישית במשולש ישר זווית אם יודעים שתי צלעות.

אם הניצבים הם a ו- b והיתר הוא c אז על פי משפט פיתגורס:
a²+b²=c².
שימו כי שני הניצבים נמצאים בצד אחד של המשוואה והיתר נמצא לבד בצד השני של המשוואה.

משפט פיתגורס

2.שני משולשים עם צלע משותפת

לפעמים השרטוט שנקבל יכלול שני משולשים ישרי זווית עם צלע משותפת.
בתרגיל יבקשו מאיתנו לחשב  אורך של צלע במשולש שלא ניתן לבצע בו חישוב.

במקרה זה נבצע חישוב מקדים במשולש שבו כן ניתן לבצע חישוב ולאחר מיכן נמצא

דוגמה 1
על פי הנתונים שבשרטוט, כיצד נחשב את הצלע CD?

פתרון
הצלע CD שייכת למשולש ישר זווית ACD שבו אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישוב.
לכן:

  1. נחשב את AC במשולש ABC.
  2. במשולש ACD נדע את AC, AD וכך נחשב את CD.

שימו לב שלאחר שחישבנו את CD אנו יכולים גם לחשב את שטח משולש ABD.

דוגמה 2
בעזרת הנתונים שבשרטוט חשבו את שטח המרובע ABCD.

פתרון
נשים לב ששטח המרובע מורכב מחיבור של שטחי המשולשים ישרי הזווית
SABCD = SABC + SACD
את שטח משולש ABC כבר ניתן לחשב:

לאחר מיכון נחשב:

  1. את צלע AC במשולש ABC.
  2. את צלע CD במשולש ACD.
  3. ואז ניתן לחשב את שטח משולש ACD.

3.יחס בין צלעות

ניתן לפתור תרגילים גם אם יודעים צלע אחת בלבד במשולש ואת היחס בין שתי הצלעות האחרות.

דוגמה 1
היחס ביון שתי הניצבים במשולש ישר זווית הוא 2:3.
אורך היתר במשולש הוא 10 סנטימטר.
חשבו את אורכי הניצבים במשולש.

פתרון
המפתח בפתרון שאלות יחס הוא לדעת להגדיר משתנים.
נושא הגדרת המשתנים מוסבר ביסודיות בדף בעיות יחס.
במקרה זה נגדיר:
2x  אורך ניצב אחד בסנטימטרים.
3x אורך ניצב שני בסנטימטרים.

והמשוואה בעזרת משפט פיתגורס תהיה:
2x)² + (3x)² = 10²)
4x² + 9x² = 100
13x² = 100
x² = 7.7
x = 2.77 או x = -2.77
מכוון ש x הוא גודל חיובי של צלע התשובה היא:
x = 2.77

אורכי הניצבים הם:
AB = 2x = 2*2.77 = 5.54
BC = 3x = 3*2.77 = 8.31

דוגמה 2

במשולש ישר זוויות היחס בין היתר לבין ניצב הוא 5:2.
אורך הניצב השני הוא 4 סנטימטר.
מה היא המשוואה שנבנה בעזרת משפט פיתגורס?

פתרון
יחס 5:2 זה אומר שהגדרת המשתנים שלנו תהיה:
5x אורך היתר.
2x  אורך הניצב.
לכן המשוואה תהיה:

2x)² + 4² = (5x)²)

כך נראה המשולש:

4.משפט פיתגורס ומשולש שווה שוקיים

תכונה ראשונה
במשולש שווה שוקיים:
אם אנחנו יודעים את שלושת צלעות המשולש
אז ניתן למצוא את אורך הגובה לבסיס ואת שטח המשולש.

למשל ניתן למצוא את שטח המשולש שבשרטוט.

עושים זאת על ידי העברת גובה שהוא גם תיכון לצלע BC.
ואז ניתן לחשב את AD ואת שטח משולש ABC אם צריך.

AD² + 7² = 10²

תכונה שנייה
אם המשולש הוא שווה שוקים וישר זווית.
אז במידע ונדע צלע אחת של המשולש ולא חשוב איזו נוכל לדעת את שלושת הצלעות.

דוגמה 1
ידוע כי אורך היתר במשולש שווה שוקיים וישר זווית הוא 10 סנטימטר.

  1. מצאו את אורך השוקיים.
  2. חשבו את שטח המשולש.

פתרון
נגדיר את אורך כל אחד מהשוקיים כ x ונכתוב משוואה בעזרת פיתגורס.
x² + x² = 10²
בסופו של דבר נקבל:
x = √50

ושטח המשולש הוא 25 סמ"ר.

שימו לב להבדל בין שתי התכונות שלמדנו

  1. בכול המשולשים שהם שווה שוקיים ניתן למצוא את השטח עם יודעים את שלושת הצלעות.
  2. רק במשולשים שהם שווה שוקיים וישרי זווית ניתן למצוא בעזרת צלע אחת את שתי הצלעות האחרות.

5.שילוב של משפט פיתגורס עם שטח משולש

שטח משולש מחשבים תמיד כמכפלה של צלע בגובה חלקי 2.
אבל מכוון שיש 3 צלעות במשולש יש גם 3 דרכים לחשב את שטח המשולש.
בכל שלושת הדרכים שטח המשולש שנגיע אליו הוא אותו שטח.

התבוננו בשרטוט שלמטה ותגידו אם אתם יודעים כיצד ניתן למצוא את CD?

הדרך לפתרון:

  1. מוצאים את AB באמצעות משפט פיתגורס.
  2. משתמשים בזה ש CD * AB צריך להיות שווה ל AC * BC = 12. כדי למצוא את CD.

הפתרון המלא:
AB² = 3² + 4² = 25
AB = 5

שטח משולש ABC הוא:

ניתן לחשב את שטח משולש ABC גם כך:

נכפיל את המשוואה שקיבלנו פי 2 ונקבל:
5CD = 12
CD = 2.4
תשובה: אורכו של הגובה CD הוא 2.4 ס"מ.

6.שילוב של משפט פיתגורס עם היקף משולש

תרגיל
היקף משולש הוא 24 סנטימטר.
אורך אחד הניצבים הוא 6 סנטימטר.
מצאו את אורך שתי הצלעות הנוספות במשולש.

פתרון
נגדיר :
x אורך הניצב השני.
ולכן אורך היתר הוא:

עכשיו אנו יכולים לבנות בעזרת משפט פיתגורס משוואה:
x² + 6² = (18 – x)²
x² + 36 = 324 – 36x + x²
36x = 288  / :36
x = 8

8 הוא אורכו של הניצב השני, נמצא את אורכו של היתר

7.משתנה אחד המגדיר שתי צלעות

בשאלות מסוג זה יש לנו נתון על צלע במשולש שאינו ישר זווית.
כמו AB = 15 בשרטוט שלפנינו.
AB=15, BC = 12,  AC=9
CD⊥AB.
ואנו צריכים למצוא את אחת מהצלעות AD, DB, CD.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון
AB = 15 זה נתון שאנו לא יודעים איך להשתמש בו.
אבל אם נגדיר
BD = x
AD = 15 – x

נגדיר את CD בעזרת פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית.
במשולש CDB נמצא משוואה ראשונה:
CD² = 12² – X²

במשולש CDA נמצא משוואה שנייה:
(CD² = 9²-(15-X)² = 9²-(15-X) * (15 – x
(CD² = 9² – (225 – 15x – 15x +x²
(CD² = 81-( 225 – 30X + X²
CD² = 30X – X² -144

קיבלנו שתי משוואות:
CD² = 12² – X²
CD² = 30X – X² -144
אנו יכולים להשוות בין שתי המשוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד:

30X – X² -144 = 12² – X²
30X = 144+144=288
X=9.6

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
CD² = 12² – X²
CD = 12²-9.6²=51.84
CD = 7.2 ס"מ.

לסיכום פתרנו את השאלה בשלושה שלבים:

  1. בחירת משתנה שמאפשר לנו להגדיר שתי צלעות.
  2. יצירת שתי משוואות הכוללות צלע משותפת לשני המשולשים (הצלע CD).
  3. השוואה בין שתי המשוואות.

8.משפט פיתגורס במרובעים

ניתן דוגמאות למשפט פיתגורס במרובעים.

הנתונים יוצגו בשרטוט ולאחר מיכן תוצג דרך למצוא את הצלע החסרה.

תרגיל 1
המרובע ABCD הוא טרפז ישר זווית.
מצאו את AB.

פתרון מקוצר
נוריד את הגובה AE.
AECD מלבן.
AE = DC = 6
EB = BC – AD = 4
על פי משפט פיתגורס במשולש ABE.
AB² = 4² + 6²

תרגיל 2
במלבן
CD = 9
BD = 15
CE = 3
חשבו את EB.

פתרון
במשולש DCB נוכל למצוא את CB.
CB² = 15² – 9²
לאחר שנעשה זאת נוכל למצוא את EB בצורה הזו:
EB = BC – EC

תרגיל 3
במעוין היחס גדלי האלכסונים הוא 2:3.
אורך צלע המעוין היא 10 סנטימטר.
מצאו את אורכי אלכסוני המעוין.
(זכרו כי אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה).

פתרון
נגדיר
2x  אורכו של חצי אלכסון מעוין.
3x  אורכו של החצי השני.
המשוואה על פי פיתגורס תהיה:
2x)² + (3x)² = 10²)

לאחר שנמצא את x עלינו להכפיל את x ב 4 ו 6 על מנת למצוא את אורכי האלכסונים.
כי 2x, 3x  הוגדרו כחצי מאורכי האלכסונים.

כך נראה התרגיל והגדרת המשתנים בשרטוט.
AO = 2x
BO = 3x

9.סיכום של הסיכום

לאחר שאתם שולטים בהצלבה בסיסית בנוסחת משפט פיתגורס עליכם לדעת שבחלק מהשאלות עליכם להתמקד בזיהוי המשולש שבו יש לכם מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים ורק כך תוכלו לבצע חישוב במשולש שבו אתם צריכים למצוא את הצלע.

עליכם לדעת להגדיר צלעות באמצעות משתנה אחד כאשר נתון לכם היחס בין הצלעות.

לדעת להשתמש בתכונה של משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות בהם הגובה הוא גם תיכון.

לדעת לעשות שימוש בהיקף על מנת לבטא אורך צלע ולדעת לעשות שימוש בחישוב שטח משולש בשילוב עם פיתגורס.

כאשר נתון לכם גודל של צלע שלא שייכת למשולש ישר זווית בדקו אם ניתן על ידי פיצול הצלע לשני חלקים כן לבצע חישובים.

10.קישורים

  1. משפט פיתגורס – דף עם תרגילים.