קוטר במעגל גיאומטריה אנליטית

בדף זה נלמד על נושאים שונים הקשורים לקוטר במעגל.

הנושאים הם:

1. מציאת משוואת המעגל על פי קוטר.
2. מציאת משוואת מעגל החוסם משולש ישר זווית.
3. מציאת משוואת הקוטר על פי נקודה שעל הקוטר.
4. כיצד מוכיחים כי מיתר במעגל הוא קוטר.
5. מציאת משוואת קוטר המקביל לצירים.
6. הרדיוס הוא חצי מקוטר המעגל.

נושא 1 הוא החשוב ביותר לתלמידי 3 יחידות.
נושאים 1-2 הם החשובים ביותר לתלמידי 4 יחידות.

כמו כן חשוב שתזכרו שני משפטים מתחום הגיאומטריה:

• זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר.
• המשפט ההפוך: אם זווית היקפית גודלה 90 מעלות אז המיתר עליו היא נשענת הוא קוטר.

וידאו מסכם

1.מציאת משוואת המעגל על פי קוטר

אם נותנים לנו שתי נקודות שבניהן עובר קוטר במעגל.

1. מרכז המעגל הוא האמצע שלהם ולכן נוכל למצוא אותו.
2. לאחר שאנו יודעים את מרכז המעגל נוכל למצוא את משוואת המעגל על פי נקודת מרכז המעגל ונקודה שעל המעגל.

תרגיל 1
מצאו את משוואת המעגל שהנקודות (A(2,8)   B(6, 0 הן הקוטר שלו.

פתרון
מרכז המעגל נמצא בדיוק באמצע הקוטר.
לכן נמצא את אמצע הקטע AB על פי הנוסחה לאמצע קטע.

שלב א: מציאת ערכי ה x וערכי ה y של מרכז המעגל
ערך ה x של מרכז המעגל הוא:

x = 4.

ערך ה y של מרכז המעגל הוא:

y = 4

מרכז המעגל הוא הנקודה (4,4).

שלב ב: מציאת ערך הרדיוס של המעגל ומציאת משוואת המעגל
נחשב את הרדיוס על ידי מרחק בין נקודות.

הרדיוס הוא המרחק של מרכז המעגל (4,4) מהנקודה (B(6, 0.

r²=(x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²

r² = (4 – 6)² + (4 – 0)²

r² = 4 + 16 = 20

משוואת המעגל היא:

x – 4)² + (y – 4)² = 20)

2.מציאת משוואת מעגל החוסם משולש ישר זווית

זו שאלה שחוזרת על עצמה הרבה בבחינת הבגרות של 4 יחידות.

בשאלות מסוג זה אתם תדעו 2 או 3 נקודות היוצרות משולש ישר זווית.
יבקשו ממכם למצוא את משוואת המעגל החוסם את המשולש.

זכרו שכאשר מבקשים ממכם את משוואת המעגל מה שבפועל אתם צריכים למצוא זה את נקודת מרכז המעגל ואת הרדיוס.

1. הפתרון של שאלות מסוג זה נשען על המשפט שאתם צריכים לזכור "זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר המעגל"
2. לכן יתר משולש הישר זווית הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש ישר הזווית.
3. ואם יודעים שתי נקודות על מעגל המגדירות קוטר ניתן למצוא את משוואת המעגל (כפי שלמדנו בסעיף הקודם).

דוגמה
משולש ישר זווית מורכב משלושת הנקודות
(A (5,5)   B(-2,4)  C(-1,-3

זווית B = 90.

מצאו את משוואת המעגל החוסם את המשולש.

פתרון
אם נשרטט את את המעגל החוסם את המשולש זה יראה כך:

מכוון שזווית B = 90

אז AC הוא קוטר המעגל החוסם (על פי המשפט "זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר המעגל").

ואם אנו יודעים את הנקודות היוצרות את הקוטר (A (5,5) C(-1,-3 ניתן למצוא את משוואת המעגל:

1. מוצאים את מרכז המעגל (D(2,1 בעזרת הנוסחה לאמצע הקטע AC.
2. מוצאים את רדיוס המעגל באמצעות חישוב המרחק בין הנקודות A ו D. (מקבלים R = 5).

לכן משוואת המעגל החוסם היא:

x – 2)² + (y – 1)² = 5²)

3.מציאת משוואת הקוטר על פי נקודה שעל הקוטר

בעזרת נקודה שעל המעגל ומשוואת המעגל ניתן למצוא את משוואת הקוטר העובר דרך הנקודה שעל המעגל.
דוגמה
נתונה משוואת המעגל x – 4)² + (y – 1) = 17) .
ונתונה הנקודה הנמצאת על המעגל (A(5, 5.
מצאו את משוואת קוטר המעגל AB.

פתרון
גם כאן נשתמש בכך שכאשר נתנו לנו את משוואת המעגל נתנו לנו את נקודת מרכז המעגל (M (4, 1.

והתכונה של הקוטר AB היא שהוא עובר דרך מרכז המעגל M.

לכן משוואת הישר AM והישר AB היא אותה משוואה.

את משוואת AM אנו יודעים למצוא על פי שתי נקודות.

נגדיר t שיפוע ישר AB.

נמצא את משוואת AB על ידי הצבת t= 4 והנקודה (A(5, 5 במשוואה:
(y – y₁= t(x – x₁

(y – 5 = 4 (x – 5

y – 5 = 4x -20   / +5

y = 4x – 15

תשובה: משוואת הישר AB היא y = 4x – 15.

בנוסף:
אם היינו צריכים למצוא את B אז היינו יכולים לעשות זאת בעזרת הנוסחה לאמצע קטע.
נגדיר:

B(x_b, y_b)

והמשוואות הן:

4.כיצד מוכיחים שמיתר במעגל הוא קוטר?