היכרות עם פונקציה קווית

בדף זה נעשה היכרות עם פונקציה קווית.

הדף הזה יחד עם עוד שלושה דפים מסכמים את כל החומר בנושא פונקציה קווית.
שלושת הדפים הנוספים הם:

1. פונקציה קווית ונקודה.
2. מציאת משוואת ישר.
3. גרף פונקציה קווית סיכום.

נושאי דף זה הם:

1. זיהוי פונקציה קווית.
2. זיהוי עליה או ירידה של פונקציה קווית.
3. זיהוי ערך השיפוע בגרף ובמשוואה.
4. הגדרת השיפוע (קצב השתנות) ומציאתו בעזרת גרף.

סרטון מסכם

1.כיצד מזהים פונקציה קווית?

פונקציה קווית ניתן לזהות על פי:

1. גרף.
2. משוואה.

בגרף כל הקווים שהם ישרים מלבד הישר שמקביל לציר ה Y (שרטוט מיד למטה) הם פונקציות קוויות.

במשוואה ישרים מהצורה y =mx + b הם פונקציות קוויות.
ישרים שבם ה x הוא במכנה, עם שורש, עם חזקה, או משוואה ללא y הם לא פונקציות קוויות.

זיהוי פונקציה קווית בגרף

כל גרף של ישר הוא פונקציה קווית.

וכל גרף שהוא לא ישר הוא לא פונקציה קווית.

יש רק גרף אחד שהוא ישר אבל לא פונקציה קווית, זה הגרף של הישר המקביל לציר ה y.

דוגמאות לישרים שהם לא פונקציה קווית:

הסיבה לכך שהישרים הם לא פונקציה קווית היא שהישרים הללו הם בכלל לא פונקציה.

לדוגמה, בשרטוט הבא הגרפים שמספרם 1,3,5 הם פונקציה קווית

זיהוי פונקציה קווית במשוואה

הצורה של משוואת פונקציה קווית היא:

y = mx + b

כלומר, זו דוגמה לפונקציה קווית רגילה.

y = 3x – 9
או
y = -2x.

משוואות נוספות שהן פונקציה קווית ולפעמים מתבלבלים לגביהן הם:

1.כאשר אין x
y = 4
כי ניתן לראות את המשוואה כמו המשוואה
y = 0x + 4

y = 4   ⇒   y = 0x + 4

2.כאשר הסדר של מהשוואה הרגילה משתנה

2x – y = 6

2y – 5x + 2 = 1

אלו שתי דוגמאות לפונקציה קווית.

2.כאשר יש במכנה מספר

זה מותר וזו פונקציה קווית.

3.כאשר יש חזקה על מספר

y = 4x + 2³

y = 3²x – 10

אלו שתי דוגמאות לפונקציה קווית.
אם היינו רוצים היינו יכולים לכתוב אותן גם כך.

y = 4x + 2³  ⇒   y = 4x + 8

y = 3²x – 10  ⇒   y = 9x -10

 

סיכום הדוגמאות הבולטות לפונקציה קווית:

y = 3x – 9    (רגיל)

y = -2x.    (ללא מספר חופשי).

y = 2    (ללא x)

2y – 5x + 2 = 1   (לא מסודר)

y = 4x + 2³    (חזקה על מספר)

מתי הפונקציה היא לא פונקציה קווית?

אלו המצבים הבולטים בהם זו לא פונקציה קווית:

x = 6   כאשר אין y.

y = x²   כאשר יש חזקה על המשתנה.

y = √x   כאשר יש שורש על המשתנה.

כאשר יש משתנה במכנה.

2.כיצד מזהים עליה וירידה של פונקציה קווית

לפונקציה קווית יש 3 אפשרויות:

1. תמיד עולה.
2. תמיד יורדת.
3. תמיד קבועה: כלומר לא עולה ולא יורדת.

התכונות הללו מיוחדות לפונקציה קווית, בפונקציות אחרות יש אפשרויות אחרות.

ההגדה של עלייה וירידה אומרת כך:
ערכי ה x עולים וגם ערכי ה y עולים אז הפונקציה עולה.
ערכי ה x עולים וגם וערכי ה y יורדים אז הפונקציה יורדת.

זיהוי עלייה וירידה בגרף

כאשר אנו מרואים גרף של פונקציה קווית נסתכל על הגרף משמאל לימין.

⇒

אם הגרף עולה הפונקציה הקווית עולה. אם הגרף יורד הפונקציה הקווית יורדת.

לדוגמה, בגרפים שלמטה:
הישר השחור יורד.
הישר האדום עולה.

גרף שלא עולה ולא יורד הוא הגרף האדום שלמטה (מקביל לציר ה x)

גרף שהשיפוע שלו לא מוגדר הוא הגרף השחור למטה (מקביל לציר ה y).

תרגיל
עבור הפונקציות הקוויות הבאות קבעו אם הן עולות, יורדות או לא עולות ולא יורדות.

 

זיהוי עלייה וירידה במשוואת הישר

במשוואת ישר השיפוע מיוצג על ידי המקדם של x.
למשל:
y = 4x – 2.

השיפוע מיוצג על ידי המספר 4.

כאשר המקדם של x חיובי משוואת הישר עולה.
כאשר המקדם של x שלילי משוואת הישר יורדת.

כל אלו הם דוגמאות לישרים עולים:

• y = 2x + 8
• y = 0.5x – 6
• y = x

כל אלו הם דוגמאות לישרים יורדים:

• y = – 6x + 1
• y = – x – 10
• y = – 0.1x + 12

שימו לב
ניתן לקבוע עלייה וירידה רק במשוואת ישר מפורשת.
משוואה מפורשת היא משוואה שבה y נמצא בודד בצד אחד של המשוואה (הרחבה בקישור).

שימו לב
במשוואה
y = x + 2
המקדם של x הוא 1, לכן זו פונקציה עולה.

במשוואה
y = -x + 2
המקדם של x הוא 1-, לכן זו פונקציה יורדת.

שיפוע של משוואות ללא x

לפעמים נתקל במשוואות ללא x.
כמו:

y = 4
y = -3

מה המקדם של x במשוואות הללו?

ניתן לראות את המשוואות בצורה הזו:

y = 4   ⇒   y = 0x + 4

y = -3   ⇒   y = 0x – 3

בשני המקרים המקדם של x הוא 0, לכן השיפוע הוא 0 (פונקציה שהיא לא עולה ולא יורדת).

בגרף המשוואות הללו נראות כך:

 

משוואות ללא y

x = 2
x = -3

אלו דוגמאות למשוואות שאינן פונקציה קווית והשיפוע שלהן לא מוגדר.

לא ניתן להגיד עליהם שהם עולים ולא ניתן להגיד עליהם שהם יורדים.

כך המשוואות נראות בגרף.

3.קצב העלייה או הירידה

יש פונקציות קוויות שעולות מהר יותר מאחרות.
יש פונקציות קוויות שיורדות מהר יותר מאחרות.

זיהוי קצב עליה / ירידה בגרף

בגרף מזהים זאת בעיניים.

למשל בשרטוט שלמטה מזהים ש:
y = 4x עולה מהר יותר מ y = 0.5x

ובשרטוט שלמטה מזהים ש:
y = – 4x יורד מהר יותר מ y = – 0.5x

זיהוי קצב שינוי במשוואה

ככל שהמקדם של x גדול יותר בערכו המוחלט כך קצב השינוי גדול יותר.

דוגמה 1
y = 6x
y = 2x + 10

מקדם 6 לעומת מקדם 2.
לכן y = 6x עולה מהר יותר.

דוגמה 2
y = -3x – 4
y = -7x + 1

הערך המוחלט של המקדמים הוא 7 לעומת 3.
לכן y = -7x + 1 יורד בקצב מהיר יותר.

 

סיכום