פונקציה קווית עם פרמטרים

בדף זה נלמד כיצד להשתמש בתכונות שלמדנו על פונקציה קווית כדי לבנות משוואה ולמצוא פרמטרים.

זה נושא מתקדם יחסית, לפעמים הוא לא נלמד.
אם הוא נלמד אז הוא שייך להקבצה א בלבד.

מה הם פרמטרים?
פרמטרים דומים למשתנים בכך שהם אות שמייצגת מספר כלשהוא.
ההבחנה בין משתנים לפרמטרים אינה משמעותית ולרוב נועדה על מנת שבתוך אותה משוואה חלק מהאותיות ישמשו כמשתנים וחלק כפרמטרים.

למשל:
y = ax + 8
במקרה יש משמעות לכך ש x,y הם המשתנים של משוואת הישר ו a הוא מספר המייצג את שיפוע הישר.

אם זאת ההבחנה בין פרמטרים ומשתנים היא לא משמעותית ולכן לא נתעכב על ההבדל.
נתייחס אל הפרמטר כאל משתנה שצריך למצוא את ערכו.

פרמטרים מסומנים לרוב באותיות a.b.c.

דוגמה בסיסית
y = 4x + 1
y = (a+1)x + 6

מצאו את הפרמטר a אם ידוע ששני הישרים מקבילים.

פתרון
כאשר שני הישרים מקבילים השיפועים שלהם שווים.

כלומר המקדמים של x שווים.

לכן המשוואה היא:

a + 1 = 4
a = 3

תשובה: כאשר a = 3 הישרים מקבילים.

תרגילים

תרגיל 1

ידועה משוואת הישר y = -3x +4  ומשוואת הישר y = (a+5)x + 1 (כאשר a הוא פרמטר).

  1. עבור איזה ארך של a שני הישרים מקבילים?
  2. עבור אלו ערכים של a הישרים אינם מקבילים?

פתרון
על מנת שהישרים יהיו מקבילים המקדמים של x צריכים להיות שווים בשתי המשוואות.
לכן צריך להתקיים:
a + 5 = -3
a = -8
תשובה: עבור a = -8 הישרים מקבילים.

סעיף ב: עבור אלו ערכים של a הישרים לא מקבילים?
בכול המקרים שבהם a ≠ -8 הישרים לא מקבילים.

תרגיל 2

עבור משוואת הישרים y = x(m – 2) + 3     ו   2y + 4x  = 5

  1. עבור איזה ערך של m הישרים מאונכים?
  2. עבור איזה ערך של m הישרים מקבילים?
  3. האם יש ערך m עבורו הישרים מתלכדים?

פתרון
סעיף א: ישרים מאונכים
ישרים מאונכים הם ישרים שמכפלת השיפועים שלהם היא 1-.

אבל את השיפועים אנו מזהים רק במשוואת ישר מפורשת.
לכן נשנה את הישר הבא למשוואת ישר מפורשת.

2y + 4x  = 5
2y = – 4x + 5  / :2
y = – 2x + 2.5

על מנת שהישרים יהיו מאונכים צריך שמכפלת השיפועים היא 1-.
וזו המשוואה המתאימה:

-2 * (m – 2) = -1
-2m + 4 = -1
-2m = -5
m = -2.5

תשובה: עבור m = – 2.5 הישרים מקבילים.

סעיף ב: ישרים מקבילים
ישרים מקבילים הם ישרים עם שיפועים שווים.
ושוב פעם, את השיפועים ניתן למצוא רק במשוואת הישר המפורשת.

שני הישרים הם:
y = – 2x + 2.5
y = x(m – 2) + 3

הם מקבילים כאשר:
m – 2 = -2  / +2
m = 0

תשובה: כאשר m = 0  הישרים מקבילים.

סעיף ג: ישרים מתלכדים
ישרים מתלכדים רק כאשר יש להם את אותה משוואת ישר.

y = – 2x + 2.5
y = x(m – 2) + 3

מצאנו שאותו שיפוע מתקבל ב m = 0.
אבל המשפרים החופשיים אף פעם לא יכולים להיות שווים, לכן הישרים לא יכולים להיות מתלכדים.

תרגיל 3

y = 2x + 3a – 4
y = -4x + 9

  1. הביעו באמצעות a את נקודת החיתוך עם ציר ה y של הישר הראשון.
  2. מצאו את a אם ידוע כי לשני הישרים יש את אותה נקודת חיתוך עם ציר ה y.

מצאו את a.

פתרון

סעיף א
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y נציב x = 0 במשוואת הישר הראשון
y = 2x + 3a – 4
y = 2 * 0 + 3a – 4
y = 3a – 4

לכן נקודת החיתוך עם ציר ה x היא:

(0, 3a – 4)

סעיף ב
נקודות החיתוך שוות.
את נקודת החיתוך של השיר הראשון מצאנו בסעיף א.

נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה y של הישר השני
y = -4x + 9
נציב x =0

נקבל:
y = -4 * 0 + 9
y = 9

ערכי ה y של שתי הנקודות שווים – כי זו אותה נקודה.
לכן המשוואה היא:

3a – 4 = 9
3a = 13
a = 4.333

תשובה: a = 4.333.

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.