בעיות מילוליות כיתה ח

דף זה הוא הדף המסכם השני בנושא בעיות מילוליות לתלמידי כיתות ז-ח, וגם תלמידי גבוהות יותר ימצאו תרגילים קשים.

מה הכוונה דף מסכם?
הכוונה היא שהוא כולל שאלות קשות יחסית ממספר דפים באתר:

  1. בעיות בהם צריך להוסיף מספר על מנת לאזן את המשוואה.
  2. בעיות עם שברים.
  3. בעיות מספרים.
  4. בעיות העברה.
  5. בעיות גיל.
  6. בעיות מילוליות הדורשות "פירוק".
  7. בעיות עם 3 מרכיבים.
  8. בעיות יחס.

לתלמידי כיתה ח יש עוד מספר דפים עם בעיות מילוליות שאינם כלולים בדף זה:

  1. בעיות תנועה.
  2. בעיות אחוזים.
  3. בעיות קנייה ומכירה.
  4. ממוצע וחציון.
  5. בעיות מילוליות עם שני נעלמים.
  6. בעיות עם נעלם במכנה.

תרגילים

תרגילים 1-7 כוללים שני גורמים.
תרגילים 8-13 כוללים שלושה גורמים.

תרגיל 1
בחדר גדול יש פי 2 אנשים מבחדר קטן.
אם נעביר 5 אנשים מהחדר הגדול לחדר הקטן מספר האנשים בשני החדרים יהיה שווה.
כמה אנשים היו בכול חדר לפני העברת האנשים?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
לרוב המשתנה הוא מה ששואלים וכאן שאלו על מספר האנשים שבכול חדר.
נגדיר:
x  מספר האנשים שבחדר הקטן
ולכן
2x מספר האנשים שבחדר הגדול.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
לאחר העברת 5 אנשים לחדר הקטן יהיו:
x + 5  אנשים בחדר הקטן.
2x – 5  אנשים בחדר הגדול.

המשוואה נשענת על המשפט "מספר האנשים בשני החדרים יהיה שווה".
לכן המשוואה היא:
2x – 5 = x + 5

נפתור את המשוואה:
2x – 5 = x + 5  / -x + 5
x = 10

2x = 20  הוא מספר האנשים בחדר הגדול.
תשובה: בחדר הקטן היו 10 אנשים בחדר הגדול 20 אנשים.

תרגיל 2
בחדר אדום יש פי 3 אנשים מבחדר צהוב.
אם 10 אנשים יעברו מהחדר האדום לחדר הצהוב אז בחדר האדום יהיו 40 איש יותר מבחדר הצהוב.
כמה אנשים יש בחדר האדום והצהוב לפני המעבר?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
x  כמות האנשים בחדר הצהוב לפני המעבר.
לכן:
3x כמות האנשים בחדר האדום לפני המעבר.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
x + 10 זה מספר האנשים בחדר הצהוב לאחר המעבר.
3x – 10 מספר האנשים בחדר האדום לאחר המעבר.

המשוואה מבוססת על המשפט "בחדר האדום יהיו 40 איש יותר מבחדר הצהוב".
3x – 10 = x + 10 + 40

נפתור את המשוואה:
3x – 10 = x + 10 + 40
3x – 10 = x + 50  / +10 – x
2x = 60  / :2
x = 30

תשובה: לפני ההעברה במיכל המים הצהוב יש 30 ליטרים ובמיכל האדום 90 ליטרים.

תרגיל 4
בבית הדואר מסדרים חבילות.
את כל דברי הדואר המתקבלים במשך שבוע מסדרים בדואר ב 50 ארגזים.
על מנת לשלוח את החבילות לחו"ל מסדרים את אותן שוב ב 60 ארגזים כאשר בכול ארגז יש 4 חבילות פחות.
מצאו כמה חבילות יש בכול ארגז שמסודר בדואר.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
x  מספר החבילות שיש בכול ארגז המסודר בדואר.
x – 4  מספר החבילות שיש בכול ארגז המסודר במטוס.

שלב ב: בניית משוואה
מספר החבילות שיש על פי הסידור בדואר:
50x
מספר החבילות שיש על פי הסידור במטוס:
x – 4) * 60)
מספר החבילות בשני המקרים שווה, לכן המשוואה היא:
x – 4) * 60 = 50x)

נפתור את המשוואה:
x – 4) * 60 = 50x)
60x – 240 = 50x  / -50x + 240
10x = 240
x = 24

תשובה: 24 הוא מספר החבילות שיש בכול ארגז המסודר בדואר.

תרגילים עם שברים

תרגיל 1
במשתלה יש עצי דקל ועצי הדר בלבד.
מספר עצי הדקל במשתלה הוא ¼ ממספר עצי ההדר במשתלה.
סך הכל במשתלה 60 עצים.
כמה עצי הדר במשתלה?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן:
x מספר עצי ההדר במשתלה.

מספר עצי הדקל הוא ¼ מעצי ההדר, כלומר ¼ מ x.
לכן מספר עצי הדקל הוא:
x * ¼ = 0.25x
0.25x מספר עצי הדקל במשתלה.

שלב ב: בניית משוואה
המשפט שעליו מתבססת המשוואה הוא "סך הכל במשתלה 60 עצים".
מספר העצים הוא:
x + 0.25x
לכן המשוואה היא:
x + 0.25x = 60

נפתור את המשוואה:
x + 0.25x = 60
1.25x = 60 / :1.25
x= 48

מספר עצי הדקל הוא:
0.25x
12 = 0.25 * 48

תשובה: במשתלה 48 עצי הדר ו 12 עצי דקל.

 

תרגיל 3
מחיר סט כוסות עלה ב 20 שקלים.
1/5 מהמחיר החדש של הסט היא 16 שקלים.
מה מחיר הסט כולו לפני העלייה?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן:
x  מחיר הסט כולו לפני העלייה בשקלים.

שלב ב: בניית משוואה
המשפט שעליו מתבססת המשוואה הוא "1/5 ממחיר החדש של הסט היא 16 שקלים".
x + 20 הוא המחיר החדש של הסט.

1/5 שווה ל 0.2.
לכן המשוואה היא:
x + 20) * 0.2 = 16)

נפתור את המשוואה
x + 20) * 0.2 = 16)
0.2x + 0.2 * 20 = 16
0.2x  + 4 = 16  / -4
0.2x = 12  / :0.2
x = 60

תשובה: 60 הוא המחיר של הסט לפני העלייה.

תרגיל 4
בכיתה השאירו 3/4 ממספר התלמידים המקורי של הכיתה.
נשארו בכיתה 24 תלמידים.
חשבו את מספר התלמידים בכיתה המקורית.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן:
x  מספר התלמידים בכיתה המקורית.

שלב ב: בניית משוואה
המשפט שעליו מתבססת המשוואה הוא "השאירו 3/4 ממספר התלמידים המקורי של הכיתה.
נשארו בכיתה 24 תלמידים".

3/4 בשברים עשרוניים הם 0.75.
לכן נשארו בכיתה:
x * 0.75 = 0.75x

המשוואה היא:
0.75x = 24

נפתור את המשוואה
0.75x = 24  / :0.75
x = 32
תשובה: 32 הוא מספר התלמידים בכיתה המקורית.

תרגיל 5
בכניסה לכיתה תלמידים מקבלים מדבקה בצבע צהוב, אדום או כחול.
¼ מתלמידי הכיתה קיבלו מדבקה צהובה 40% מהתלמידים קיבלו מדבקה אדומה ושאר תלמידי הכיתה, 14 במספר קיבלו מדבקה כחולה.

  1. כמה תלמידים בכיתה?
  2. כמה תלמידים קיבלו מדבקה צהובה?

פתרון
אנו יודעים ש 14 תלמידים קיבלו מדבקה כחולה.
אם נדע איזה חלק (שבר) מתלמידי הכיתה קיבלו מדבקה כחולה אז נפתור את התרגיל.

שלב א: נמצא את החלק של המדבקה האדומה + מדבקה צהובה
¼ הם 0.25 שקיבלו מדבקה צהובה.
40% הם 0.4 שקיבלו מדבקה אדומה.

סך הכול החלק שקיבל מדבקה אדומה או צהובה הוא:
0.65 = 0.4 + 0.25
0.65 זה החלק שקיבל מדבקה אדומה או צהובה.

שלב ב: מציאת החלק שקיבל מדבקה כחולה
החלק שקיבל מדבקה כחולה משלים את 0.65 ל 1.
לכן החלק שקיבל מדבקה כחולה הוא:
0.35 = 0.65 – 1

שלב ג: בניית משוואה
נגדיר:
x מספר התלמידים בכיתה.
אנו יודעים ש 0.35 מתלמידי הכיתה קיבלו מדבקה כחולה.

זוכרים כיצד מוצאים כיצד מוצאים חלק משלם?
למשל כיצד מוצאים ¼ מ 20?
מכפילים את החלק בשלם.
5 = 20 * ¼

לכן על מנת למצוא כמה הם 0.35 מתוך x נכפיל 0.35 ב x.
x * 0.35x = 0.35x

0.35x קיבלו מדבקה כחולה.
וגם:
14 תלמידים קיבלו מדבקה כחולה.

לכן שני הגדלים הללו שווים.
וזו המשוואה
0.35x = 14  / :0.35
x = 40

תשובה: מספר התלמידים בכיתה הוא 40.

סעיף ב
מציאת מספר התלמידים שקיבלו מדבקה צהובה.
מספר התלמידים שקיבלו מדבקה צהובה הוא:

10

10 תלמידים קיבלו מדבקה צהובה.

תרגיל 6
מטבח של מסעדה מבשל 3 סוגים של מאכלים: מנות ראשונות, מנות עיקריות וקינוחים.
ביום אחד 1/3 מהמנות שהמטבח בישל הן מנות עיקריות 20% מהמנות היו קינוחים ו 70 המנות הנותרות היו מנת ראשונות.
כמה מנות בסך הכל בישל המטבח באותו יום?

פתרון
הרעיון בפתרון שאנו יודעים שיש 70 מנות ראשונות.
אם נדע גם איזה חלק הם המנות הראשונות נוכל לבנות משוואה.

שלב א: מציאת החלק  של המנות העיקריות, הקינוחים והראשונות
אנו יודעים כי:
1/3 מנות עיקריות
20% שהם 1/5 הם קינוחים.

החלק של הקינוחים והעיקריות ביחד הוא:

מנות עיקריות ועוד קינוחים הם 8/15 מהמנות

המנות הראשונות הן החלק שנשאר, כלומר:

מנות ראשונות 7/15

7/15 = 8/15 – 1
7/15 הוא החלק של המנות הראשונות.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
נגדיר:
x מספר המנות הכללי שבישלה המסעדה באותו יום.
לכן:

זה מספר המנות הראשונות

מספר המנות הראשונות הוא גם 70.
לכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא 15 ונקבל:
7x = 70*15
7x = 1050  / :7
x = 150

תשובה: מספר המנות שמבשלת המסעדה ביום הוא 150.

תרגיל 7
גיל האב גדול ב 30 שנה מגיל הבן.
גיל הנכד הוא 1/6 מגיל סבו.
סכום הגילאים של הנכד, הבן והאב הוא 100.
חשבו את הגיל של כל אחד מהשלושה.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן:
x  גילו של הבן.
גיל האב גדול ב 30 לכן:
x + 30  גילו של האב.

גיל הנכד הוא 1/6 מהסב.
x + 30) * 1/6)  גילו של הסבא.

שלב ב: בניית משוואה
המשפט שעליו מתבססת המשוואה הוא "סכום הגילאים של הנכד, הבן והאב הוא 100".
סכום הגילאים של שלושתם הוא:
x + x + 30 + (x + 30) * 1/6

1/6 שווה ל 0.16.
המשוואה היא:
x + x + 30 +0.16 (x + 30) = 100

נפתור את המשוואה:
x + x + 30 +0.16 (x + 30) = 100
2x + 30 + 0.16x + 5 = 100
2.16x + 35 = 100  / -35
2.16x = 65  / :2.16
x = 30  (לאחר עיגול).

חישוב הגילאים:
30 גילו של הבן
60 = 30+30  גילו של הסב
10 = 60 * 1/6  גילו של הנכד.

בעיות 3 משתנים

תרגיל 1
גיל האב גדול ב 30 שנה מגיל הנכד.
גיל הנכד הוא 1/6 מגיל סבו.
סכום הגילאים של הנכד, הבן והאב הוא 100.
חשבו את הגיל של כל אחד מהשלושה.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
לכן:
x  גילו של הבן. גיל האב גדול ב 30 לכן: x + 30  גילו של האב.

גיל הנכד הוא 1/6 מהסב. x + 30) * 1/6)  גילו של הסבא.

שלב ב: בניית משוואה
המשפט שעליו מתבססת המשוואה הוא "סכום הגילאים של הנכד, הבן והאב הוא 100".
סכום הגילאים של שלושתם הוא:
x + x + 30 + (x + 30) * 1/6

1/6 שווה ל 0.16.
המשוואה היא:
x + x + 30 +0.16 (x + 30) = 100

נפתור את המשוואה:
x + x + 30 +0.16 (x + 30) = 100
2x + 30 + 0.16x + 5 = 100
2.16x + 35 = 100  / -35
2.16x = 65  / :2.16
x = 30  (לאחר עיגול).

חישוב הגילאים:
30 גילו של הבן
60 = 30+30  גילו של הסב
10 = 60 * 1/6  גילו של הנכד.

תרגיל 2
במספר תלת ספרתי ספרת העשרות גדולה ב 1 מספרת האחדות וספרת המאות כפולה מספרת העשרות.
אם נחסר ממספר זה את המספר הכתוב באותן ספרות אך בסדר הפוך נקבל 396.
מצאו את המספר.

פתרון
שלב א: נבחר משתנה
x  ספרת היחידות
x + 1  ספרת העשרות
x + 1) * 2 = 2x + 2)  ספרת המאות

שלב ב: נגדיר את הערכים של הספרות במשפר המקורי ובמספר ההפוך לו
המספר המקורי
x ספרת האחדות נשארת כמו שהיא.
x + 1) *10 = 10x + 10)   ערך ספרת העשרות הוא פי 10 מהספרה.
2x + 2) * 100 = 200x + 200) הערך של ספרת המאות.

הערך של המספר כולו הוא:
x + 10x + 10 + 200x + 200 = 211x + 210

המספר ההפוך
2x + 2 זו ספרת האחדות.
10x + 10 זה ערכה של ספרת העשרות שנשארת כמו במספר הקודם.
x זו ספרת המאות וערכה 100x.

הערך של המספר כולו הוא:
100x + 10x + 10 + 2x + 2 = 112x + 12

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
המשוואה מבוססת על המשפט "אם נחסר ממספר זה את המספר הכתוב באותן ספרות אך בסדר הפוך נקבל 396"
המשוואה היא:
211x + 210 – (112x + 12) = 396

פתרון המשוואה
211x + 210 – (112x + 12) = 396
211x + 210 – 112x – 12 = 396
99x +198 = 396  / -198
99x = 198  / :99
x = 2

ספרות המספר הן:
x = 2 ספרת היחידות
x + 1 = 3  ספרת העשרות
2x + 2 = 6  ספרת המאות
המספר הוא:
632

בעיות יחס

תרגיל 3
היחס בין 3 זוויות במשולש הוא 6 : 2 : 1.
מצאו את הגודל של שלושת הזוויות.

פתרון
פתרון התרגיל מבוסס על כך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
שלב א: נגדיר את הזויות באמצעות x
נגדיר את הזוויות הקטנה כ x.
הזוויות האמצעית היא גדולה פי 2 ולכן תהיה 2x.
הזווית הגדולה 6x.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
סכום שלושת הזוויות הוא 180 מעלות.
לכן המשוואה היא:
x + 2x + 6x = 180
9x = 180  / : 9
x = 20

שלב ג: מציאת שלושת הזוויות
x = 20    זו הזווית הקטנה.
2x = 40   זו הזווית הבינונית.
6x = 120   זו הזווית הגדולה.

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

תרגיל 4
במשולש ABC היחס בין הצלעות AB:BC:AC הוא:
5:2:4
מעבירים במשולש את התיכון AD.
היקף משולש ABD גדול ב 3 סנטימטר מהיקף משולש ACD.
מצאו את שלושת צלעות המשולש.

פתרון
שלב א: הגדרת שלושת הצלעות בעזרת משתנה אחד
עלינו להגדיר את אורך שלושת הצלעות באמצעות משתנה אחד.
נגדיר את הצלע הקטנה BC כ 2x.
לכן:
AB = 5x
AC = 4x

שלב ב: הגדרת היקפי המשולשים המבוקשים
היקף משולש ABD
AD + x + 5x
היקף משולש ACD
AD + x + 4x

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
אנו יודעים כי היקף משולש ABD גדול ב 3 סנטימטר מהיקף משולש ACD.
AD + x + 5x = AD + x + 4x + 3
AD + 6x = AD + 5x + 3
x = 3

שלב ד: חישוב אורכי הצלעות
BC = 2x = 6
AB = 5x = 15
AC = 4x = 12

תרגיל 5
בחנות צעצועים יש 410 מוצרים, מתוכם 50 כדורים.
כמה כדורים צריך להוסיף לחנות על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו, כאן שאלו על מספר הכדורים שצריך להוסיף, וזה מתאים להיות המשתנה.
x  מספר הכדורים שצריך להוסיף על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
נחשב את מספר הכדורים והמוצרים במצב הרצוי.
x + 50  זה מספר הכדורים.
x + 410  זה מספר המוצרים.

המשפט שעל פיו בונים את המשוואה הוא: "היחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4".
יחס של 1:4 אומר שמספר המוצרים יהיה פי 4 ממספר הכדורים.
המשוואה היא:
x + 50) * 4 = x+ 410)

דרך אחרת היא לבנות את המשוואה כמשוואת יחס:

כאשר נכפיל את המשוואה הזו במכנה המשותף שהוא x +410)*4) נקבל את המשוואה הראשונה שכתבנו.

נפתור את המשוואה
x + 50) * 4 = x+ 410)
4x + 200 = x + 410  / -x – 200
3x = 210  / :3
x = 70

תשובה: מספר הכדורים שצריך להוסיף הוא 70.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

7 מחשבות על “בעיות מילוליות כיתה ח”

  1. יש לי שאלה אם יש דף באתר לגבי בעיות מילוליות של פיטורים
    כי יש לי בעיה כזו ופתרתי אותה אבל לא מובן לי למה הגעתי לתשובה שהגעתי או דרך הגיונית לדרך
    אני מניח שעוד לא נפל לי האסימון על הדרך
    זו הבעיה:
    במשך שבוע נבחנו 400 אנשים במבחן נהיגה מעשי. חלקם היו בקבוצת גיל עד 35 (צעירים) , והנותרים בקבוצת גיל מעל 35. מקבוצת הצעירים נכשלו 30% מהנבחנים , ומבקובצת הבוגרים – 60% מהנבחנים. מבין הצעירים הצליחו במבחן 126 יותר מבין הבוגרים. כמה אנשים נבחנו מכל קבוצה?
    אשמח לקבל הסבר אם אפשר
    תודה מראש :>
    המשוואה שבניתי בכדי למצוא את הפתרון הייתה 0.7(400-x) שווה 0.4x+126

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      אין דף בנושא פיטורים כי אין נושא כזה בתוכנית הלימודים.
      הבעיה קשורה לנושא האחוזים ולזה יש דף.

      במילים מה שהמשוואה הנכונה שהגעת אליה אומרת:
      מספר הצעירים שהצליחו במבחן = מספר הבוגרים שהצליחו במבחן + 126.
      x זה מספר הבוגרים.
      0.4x זה מספר הבוגרים שהצליחו.
      400 פחות x זה מספר הצעירים.
      0.7 כפול (400 פחות x) זה מספר הצעירים שהצליחו
      מקווה שעכשיו זה יותר ברור. ואם לא. מה לא ברור?
      דף בנושא אחוזים בכיתה ח נמצא כאן:
      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/percentage-8th-grade/

    2. X = מס' הצעירים שנבחנו
      יש סהכ 400 נבחנים, אז X-400 יהיה מספר הבוגרים שנבחנו
      בצעירים: 30% (כלומר 0.3) מהצעירים נכשלו, ומכאן ש-70% (כלומר 0.7) מהצעירים עברו. כלומר, מס' הצעירים שעברו את המבחן הוא 0.7X.
      בבוגרים: 60% נכשלו כלומר 40% (0.4) עברו. לכן מס' הבוגרים שעברו הוא:
      0.4(x-400)
      נאמר בשאלה שאת המבחן עברו 126 יותר צעירים לעומת מבוגרים, כלומר כדי שיתקיים שוויון, יש להפחית 126 ממספר הצעירים שעברו. לכן המשוואה תהיה:
      (0.7x-126 = 0.4(400-x

    3. נסמן ב-x את האנשים הבוגרים
      ואת הצעירים בארבע מאות פחות איקס
      אומרים לנו ש30 אחוז מהצעירים נכשלו מה שאומר ש70 אחוז הצליחו
      במבוגרים נכשלו 60 אחוז מה שאומר ש40 אחוז הצליחו מהמבוגרים
      לאחר מכן אומרים לנו שמספר הצעירים שהצליחו היו גדולים ב-126 ממספר המבוגרים שהצליחו
      משם תמשיך

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.