בעיות יחס

בדף זה בעיות מילוליות עם יחס.
נושאים נוספים הקשורים ליחס בדף המרכזי יחס כיתה ח.

הבעיות מתאימות לתלמידי כיתה ח-י.

החלקים בדף זה הם:

  1. כיצד להגדיר משתנים בבעיות יחס.
  2. 3 דוגמאות.
  3. 14 תרגילים.

1.כיצד להגדיר משתנים בבעיות יחס

הקושי המרכזי בבעיות יחס הוא כיצד לבחור משתנים בצורה נכונה.
אם תתגברו על קושי זה פתרון התרגילים יהיה עבורכם הרבה יותר קל.

דוגמה 1
היחס בין הכוסות לצלחות הוא 1:3.
כיצד נגדיר את מספר הצלחות ומספר הכוסות בעזרת משתנה אחד?

פתרון
x  מספר הכוסות.
מספר הצלחות הוא פי 3 ולכן:
3x  מספר הצלחות.

דוגמה 2
היחס בין הכוסות לצלחות הוא 3:7.
כיצד נגדיר את מספר הצלחות ומספר הכוסות בעזרת משתנה אחד?

פתרון
אם נגדיר:
x   מספר הכוסות.
מה יהיה מספר הצלחות?
לא ניתן להגיע למספר הצלחות על ידי הכפלה במספר שלם, לכן קשה לפעול בדרך הזו.

מה שנעשה הוא כך:
3x  מספר הכוסות.
7x  מספר הצלחות.
כך היחס של 3:7 נשמר.

זה מה שמיוחד בבעיות יחס, הרבה פעמים אנו מגדירים לא את x כמגדיר משהו אלא כפולה של x כמגדירה משהו.

דוגמאות.
עבור יחס 3:5
ההגדרה תהיה:
3x כוסות.
5x צלחות.

עבור יחס 2:9
ההגדרה תהיה:
2x כוסות.
9x צלחות.

עבור יחס 1:5
ההגדרה תהיה:
x כוסות.
5x צלחות.

עבור יחס 4:10
ההגדרה תהיה:
4x כוסות.
10x צלחות.

2.דוגמאות לפתרון תרגילים

אם לא הבנתם את נושא הגדרת המשתנים ביחס אני ממליץ לצפות בוידאו.
בוידאו הסבר טוב כיצד לבחור משתנים בבעיות יחס, הסבר שיעזור לכם בכול השאלות שבדף.

דוגמה 1
היחס בין שני מספרים הוא 1:3.
סכום שני המספרים הוא 24.
חשבו את שני המספרים.

פתרון
יחס 1:3 אומר שלא משנה מה גודל מספר אחד המספר השני יהיה גדול ממנו פי 3.
לכן אם מספר אחד יהיה x אז המספר השני יהיה 3x.
לכן נגדיר:
x  המספר הקטן.
3x המספר הגדול.

סכום המספרים הוא 24.
לכן המשוואה שלנו היא:
x + 3x = 24
4x = 24  / :4
x = 6

המספר הגדול הוא:
3x = 3 * 6 = 18
תשובה: שני המספרים הם 6,18.

דוגמה 2
בשק יש 56 כדורים לבנים וצהובים.
היחס בין הכדורים הלבנים לצהובים הוא 2:5.
מצאו כמה כדורים לבנים וצהובים יש בשק.

פתרון
2x  מספר הכדורים הלבנים.
5x מספר הכדורים הצהובים.

סכום הכדורים הוא 56 ולכן המשוואה היא:
2x + 5x = 56
7x = 56  / :7
x = 8

מספר הכדורים הלבנים:
2x = 2*8 =16
מספר הכדורים הצהובים:
5x = 5 * 8 = 40
תשובה: מספר הכדורים הלבנים 16, מספר הכדורים הצהובים 40.

דוגמה 3
היחס בין מספר הבנים לבנות באולם הוא 2:3.

  1. מצאו את אחוז הבנים ואחוז הבנות באולם.
  2. אם באולם 20 אנשים כמה בנים וכמה בנות יש באולם?

פתרון
נגדיר:
2x אחוז הבנים באולם.
לכן:
3x אחוז הבנות באולם.

סך הכל יש 100%. לכן המשוואה היא:
2x + 3x = 100
5x = 100
x = 20

אחוז הבנים:
2x = 2 * 20 = 40
אחוז הבנות:
3x = 3 * 20 = 60

*דוגמה 4
(זו לא שאלת יחס שפוגשים הרבה אבל היא מעניינת).
דני ושירה יש ביחד קופסה עם מכוניות צעצוע והם מחלקים אותן ביחס 2:5.

  1. מה מספר המכוניות הקטן ביותר שהיה יכול להיות בקופסה?
  2. תנו דוגמאות לעוד שני מספרי מכוניות היכולים להיות בקופסה.
  3. אם יחס החלוקה היה 2:6  כיצד התשובה הייתה משתנה?

הערה
השאלה מתבססת על כך שכל אחד לוקח מכונית שלמה ולא ניתן לקחת שבר של מכונית.

פתרון
היחס 2:5 הוא יחס שלא ניתן לצמצום.
לכן דני לא יכול לקחת פחות מ 2 מכוניות ושירה לא יכולה לקחת פחות מ 5.
לכן המספר המינימלי של מכוניות בקופסה הוא 7.

דרך אחרת להבין זאת היא לדעת שהחלק של דני הוא 2/7  ו 5/7 הוא החלק של שירה.
ואם x הוא מספר המכוניות בקופסה אז
דני מקבל:
x * 2/7
ושירה
x * 5/7
ועל מנת שתוצאת התרגילים הללו תהיה מספר שלם, x צריך להיות להיות 7 או כפולה שלו.

סעיף ב
כפי שאמרנו בסעיף הקודם מספר המכונית צריך להיות כפולה של 7, אחרת לא ניתן יהיה לחלק מכוניות שלמות.
למשל: 7,14,21,28

סעיף ג
היחס 2:6
על מנת למצוא את הכמות המינימלית של מכוניות בקופסה נצמצם את היחס.
1:3
דני מקבל 1 מתוך 4 ושירה 3 מתוך 4.
לכן הכמות הקטנה ביותר היא 4.

3.תרגילים

בחלק זה 14 תרגילים.
תרגילים 8-14 קשים יותר.

תרגיל 1
היחס בין שני מספרים הוא 3 : 1.
המספר הגדול גדול ב 8 מהמספר הקטן.
מצאו את שני המספרים.

פתרון
שלב א: נגדיר את המספרים באמצעות x
x  המספר הקטן.
המספר הגדול גדול פי 3 מהמספר הקטן ולכן גודלו:
3x המספר הגדול.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
המספר הגדול גדול ב 8 מהמספר הקטן.
3x = x + 8  / -x
2x = 8  / :2
x = 4

המספר הקטן הוא 4.
המספר הגדול גדול ממנו פי 3 ולכן הוא 12.

תרגיל 2
היחס בין שני מספרים חיוביים הוא 2:5.
מכפלת המספרים היא 90.
מצאו את המספרים.

פתרון
שלב א: נגדיר את המספרים באמצעות x
2x המספר הקטן
5x המספר הגדול

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
מכפלת המספרים היא 90, לכן המשוואה היא:
2x * 5x = 90
10x² = 90  / :10
x² = 9
x = 3 או x = -3

אם x = -3 נקבל שני מספרים שליליים.
לכן x = 3

2x =6
5x = 15
תשובה: שני המספרים הם 6 ו 15.

תרגיל 3
היחס בין 3 זוויות במשולש הוא 6 : 2 : 1.
מצאו את הגודל של שלושת הזוויות.

פתרון
פתרון התרגיל מבוסס על כך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
שלב א: נגדיר את הזויות באמצעות x
נגדיר את הזוויות הקטנה כ x.
הזוויות האמצעית היא גדולה פי 2 ולכן תהיה 2x.
הזווית הגדולה 6x.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
סכום שלושת הזוויות הוא 180 מעלות.
לכן המשוואה היא:
x + 2x + 6x = 180
9x = 180  / : 9
x = 20

שלב ג: מציאת שלושת הזוויות
x = 20    זו הזווית הקטנה.
2x = 40   זו הזווית הבינונית.
6x = 120   זו הזווית הגדולה.

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

תרגיל 4
במרובע יש זווית אחד שגודלה 60 מעלות.
היחס בין שאר זוויות המרובע הן 5 : 4 : 3.
מצאו את שלושת זוויות המרובע החסרות.

פתרון
שלב א: נגדיר את הזוויות באמצעות x
בשתי השאלות שפתרנו היחסים שקיבלנו היו:
3 : 1.
6 : 2 : 1.

בשני המקרים המספר 1 יצג את האיבר הקטן.
עכשיו היחס שלנו הוא:
5 : 4 : 3
אם נגדיר את הזוויות הקטנה כ x. מה יהיה גודלה של הזווית האמצעית?
1.333x (כי היא גדולה מהקטנה בשליש)
אבל מי רוצה לעבוד עם שברים! ?

לכן הבחירה הקלה והטובה היא להגדיר את זווית הקטנה כ 3x.
ואז:
4x   הזוויות האמצעית.
5x  הזווית הגדולה.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
סכום זוויות במרובע הוא 360.
ידועה לנו זווית אחת שגודלה 60.
לכן סכום שלושת הזוויות שאנו מחפשים הוא:
300 = 60 – 360

המשוואה שלנו היא:
3x + 4x + 5x = 300
12x = 300  / : 12
x = 25

שלב ג: מציאת שלושת הזוויות
3x = 75  הזווית הקטנה.
4x = 100 הזווית הבינונית.
5x = 125  הזווית הגדולה.

ניתן ורצוי לבדוק שארבעת הזוויות שלנו גודלן באמת 360 מעלות:
360 = 60 + 125 + 100 + 75

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

תרגיל 5
(התרגיל מתאים בעיקר לתלמידי ט כי הוא כולל משוואה ריבועית).
היחס בין גובה מקבילית לאורך הצלע אליה הוא מגיע הוא 1:2.
שטח המקבילית הוא 32 סמ"ר.
חשבו את אורך הצלע ואורך הגובה.

פתרון
אורך הצלע גדול פי 2 מאורך הגובה.
נגדיר:
x  אורך הגובה.
לכן:
2x אורך הצלע.

נוסחת שטח המקבילית היא צלע כפול הגובה אל הצלע.
s = 2x * x = 2x²
2x² = 32
x² = 16
x = 4 או x = -4.

מכוון ש x מתאר גודל של גובה הוא חייב להיות חיובי.
x = 4
2x = 8
תשובה: ארך צלע המקבילית הוא 8 ס"מ. אורך גובה המקבילית הוא 4 סנטימטר.

תרגיל 6
במשולש ABC היחס בין הצלעות AB:BC:AC הוא:
5:2:4
מעבירים במשולש את התיכון AD.
היקף משולש ABD גדול ב 3 סנטימטר מהיקף משולש ACD.
מצאו את שלושת צלעות המשולש.

פתרון
שלב א: הגדרת שלושת הצלעות בעזרת משתנה אחד
עלינו להגדיר את אורך שלושת הצלעות באמצעות משתנה אחד.
נגדיר את הצלע הקטנה BC כ 2x.
לכן:
AB = 5x
AC = 4x

שלב ב: הגדרת היקפי המשולשים המבוקשים
היקף משולש ABD
AD + x + 5x
היקף משולש ACD
AD + x + 4x

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
אנו יודעים כי היקף משולש ABD גדול ב 3 סנטימטר מהיקף משולש ACD.
AD + x + 5x = AD + x + 4x + 3
AD + 6x = AD + 5x + 3
x = 3

שלב ד: חישוב אורכי הצלעות
BC = 2x = 6
AB = 5x = 15
AC = 4x = 12

תרגיל 7 (דורש היכרות עם משפט פיתגורס)
במשולש ישר זווית אורך היתר הוא 10.
היחס בין הניצבים הוא 8 : 6.
מצאו את אורכי הניצבים.

פתרון
שלב א: הגדרת הניצבים באמצעות x
6x  אורך הניצב הקטן.
8x אורך הניצב הגדול.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
על פי משפט פיתגורס:
6x)² + (8x)² = 10²)
36x² + 64x² = 100
100x² = 100 / : 100
x² = 1
x = 1  או x = -1

מכוון ש 6x הוא אורך צלע וצריך להיות חיובי אז התשובה x = -1 נפסלת.
התשובה x = 1.

שלב ג: מציאת אורכי הניצבים
6x = 6  אורך הניצב הקטן.
8x = 8 אורך הניצב הגדול.תרג

ניתן ורצוי לבדוק את גודלי הצלעות שקיבלנו באמצעות משפט פיתגורס.
10² = 8² + 6²
100 = 64 + 36
100 = 100

תרגיל 8
גיל האב הוא 32 וגיל הבת הוא 4.
בעוד כמה שנים היחס בין גיל הבת לגיל האב יהיה 1:5 ?

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
x מספר השנים שיעברו עד שגיל האב יהיה פי 5 מגיל הבת.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
x + 4  זה גיל הבת לאחר שיעברו x הזמן.
x + 32 זה גיל האב לאחר שיעברו x שנים.

כעבור x שנים גיל האב גדול פי 5 מגיל הבת.
לכן המשוואה היא:
x + 4)*5 = x + 32)
5x + 20 = x + 32  / -x -20
4x = 12  / : 4
x = 3

תשובה: בעוד 3 שנים גיל האב יהיה פי 5 מגיל הבת.

תרגיל 9
לדליה בת  ה 6 נולד אח. בעוד כמה שנים היחס בין גיל האח לגילה של דליה יהיה 0.4? מה יהיה גילה של דליה בזמן זה?

פתרון
נגדיר:
x מספר השנים שצריך לעבור על מנת שהיחס יהיה 0.4.

x + 6 יהיה גילה של דליה בעוד x שנים.
x הוא גילו של האח בעוד x שנים.

בעוד x שנים היחס בין הגילאים יהיה 0.4 לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה שהוא x + 6 ונקבל:

(x = 0.4(x + 6
x = 0.4x + 2.4
0.6x = 2.4  / : 0.6
x = 4

גילה של דליה בעוד 4 שנים יהיה:
10 = 4 + 6

תרגיל 10
בקופסה יש 990 פיצוחים.
הפיצוחים מחולקים לשקיות בהם יש 20 שקדים או 30 אגוזים.
היחס בין שקיות האגוזים לשקדים הוא 1:3.

  1. כמה אגוזים יש בקופסה?
  2. כמה שקיות אגוזים וכמה שקיות שקדים בקופסה?

פתרון
הבעיה בתרגיל הזה היא שהכמות היא של פיצוחים ואילו היחס הוא של שקיות.
על מנת לפתור את התרגיל עלינו להפוך את היחס ליחס של פיצוחים ולא שקיות.

היחס בין שקיות האגוזים לשקדים הוא 1:3
בשקית יש 20 שקדים או 30 אגוזים.
לכן על כל 30 אגוזים יש 3*20= 60 שקדים.

היחס בין האגוזים לשקדים הוא 30:60
1:2

נגדיר:
x מספר האגוזים.
2x מספר השקדים.

המשוואה היא:
x + 2x = 990
3x = 990
x = 330
תשובה: בקופסה 330 אגוזים.

סעיף ב: מספר השקיות
בשקית יש 30 אגוזים.
לכן מספר השקיות הוא:
11 = 30 : 330

היחס בין שקיות האגוזים לשקדים הוא 1:3.
לכן יש 11*3 = 33 שקיות שקדים.

תרגיל 11
בחנות צעצועים יש 410 מוצרים, מתוכם 50 כדורים.
כמה כדורים צריך להוסיף לחנות על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו, כאן שאלו על מספר הכדורים שצריך להוסיף, וזה מתאים להיות המשתנה.
x  מספר הכדורים שצריך להוסיף על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
נחשב את מספר הכדורים והמוצרים במצב הרצוי.
x + 50  זה מספר הכדורים.
x + 410  זה מספר המוצרים.

המשפט שעל פיו בונים את המשוואה הוא: "היחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4".
יחס של 1:4 אומר שמספר המוצרים יהיה פי 4 ממספר הכדורים.
המשוואה היא:
x + 50) * 4 = x+ 410)

דרך אחרת היא לבנות את המשוואה כמשוואת יחס:

כאשר נכפיל את המשוואה הזו במכנה המשותף שהוא x +410)*4) נקבל את המשוואה הראשונה שכתבנו.

נפתור את המשוואה
x + 50) * 4 = x+ 410)
4x + 200 = x + 410  / -x – 200
3x = 210  / :3
x = 70

תשובה: מספר הכדורים שצריך להוסיף הוא 70.

תרגיל 12
בחנות רהיטים היחס בין מספר השולחנות למספר הכיסאות הוא 2:5.
סך הכל בחנות 49 כיסאות ושולחנות.
כמה שולחנות יש להוסיף על מנת שהיחס בין השולחנות לכיסאות יהיה 5:7?
כמה שולחנות יהיו בחנות במצב זה?

פתרון
שלב א: נמצא את מספר הכיסאות והשולחנות שיש עכשיו בחנות
2x מספר השולחנות.
5x מספר הכיסאות.

2x + 5x = 49
7x = 49
x = 7
14 שולחנות.
35 כיסאות.

שלב ב: נמצא כמה שולחנות צריך להוסיף
x מספר השולחנות שצריך להוסיף.
x + 14 הוא מספר השולחנות לאחר ההוספה.
35 הוא מספר הכיסאות.

היחס בין השולחנות לכיסאות הוא 5:7 ולכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה ב 35 ונקבל:
x + 14 = 5*5
x = 25 – 14 = 11

עלינו להוסיף 11 שולחנות.
מספר השולחנות לאחר ההוספה יהיה:
25 = 11 + 14

תשובה: כאשר נוסיף 11 שולחנות היחס בין הכיסאות לשולחנות יהיה 5:7.
מספר השולחנות במקרה זה יהיה 25.

תרגיל 13
היחס בין העפרונות לכלי הכתיבה בקלמר הוא 2:7.
אם נוסיף עוד עפרון לקלמר היחס בין העפרונות לכלי הכתיבה יהיה 1:3.
מצאו את מספר העפרונות בקלמר.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
2x  מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה.
7x מספר כלי הכתיבה בקלמר לפני ההוספה.

  • בדף בעיות יחס מוסברת הדרך להגדרת משתנה בבעיות יחס.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
לאחר הוספת 1 עפרון לקלמר המצב יהיה:
2x +1  מספר העפרונות
7x +1 מספר כלי הכתיבה.

המשוואה נשענת על המשפט "אם נוסיף עוד עפרון לקלמר היחס בין העפרונות לכלי הכתיבה יהיה 1:3".
לכן לאחר ההוספה מספר כלי הכתיבה גדול פי 3 והמשוואה היא:
(7x + 1 = 3(2x +1

אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא כמשוואת יחס:

כאשר נכפיל את המספר במכנה המשותף שהוא 7x +1)  *3)
נקבל את המשוואה הראשונה שכתבנו.

(הערה: בבעיות עם יחסים מורכבים אין ברירה אלא לכתוב את המשוואה בדרך הזו, לכן כדאי שתדעו אותה).

נפתור את המשוואה
(7x + 1 = 3(2x +1
7x + 1 = 6x + 3  / -1 – 6x
x = 2

מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה הוא:
2x = 4
תשובה: מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה הוא 4.

תרגיל 14
היחס בחנות בין מספר הבובות למספר הפאזלים הוא 5:6.
היחס באותה חנות בין מספר הכדורים למספר הפאזלים הוא 3:8.
מה היחס בחנות בין מספר הבובות למספר הכדורים?

פתרון
הפאזלים הם הגורם המשותף בשני היחסים. ואנו צריכים שאותו מספר ייצג אותם בשני היחסים וכך נוכל להשוות בין הבובות לכדורים.
המספר המייצג את הפאזלים יכול להגיע ל 24 בשני היחסים.

נכפיל את היחס הראשון פי 4 ונקבל
20:24 הוא היחס בין הבובות לפאזלים.
נכפיל את היחס השני פי 3 ונקבל:
9:24 הוא היחס בין מספר הכדורים למספר הפאזלים.

מצאנו כי על כל 24 פאזלים יש 20 בובות ו 9 כדורים.
לכן היחס בין הבובות לכדורים הוא 20:9.

 

תרגיל 15 (שני נעלמים)
נתונים שני מספרים.
עם נוסיף למספר הגדול 4 ונחסיר מהקטן 2 היחס בין המספרים החדשים יהיה 1:3.
אם נחסר מהמספר הגדול 2 ונחסר מהקטן 1 היחס בין המספרים החדשים יהיה 1:2.
מצאו את המספרים.

פתרון
שלב א: בחירת משתנים
מכוון שאנו לא יודעים על קשר בין המשתנים עלינו לבחור שני משתנים.
x  המספר הקטן
y  המספר הגדול

שלב ב: בניית משוואות
המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט "נוסיף למספר הגדול 4 ונחסיר מהקטן 2 היחס בין המספרים החדשים יהיה 1:3"
y+ 4  זו הוספת 4 לגדול
x – 2 זה חיסור 2 מהקטן.

היחס הוא 1:3, כלומר המספר קטן קטן פי 3 מהגדול.
לכן המשוואה היא:
x – 2) * 3 = y + 4)
3x – 6 = y + 4
3x – 10 = y

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט "אם נחסר מהמספר הגדול 2 ונחסר מהקטן 1 היחס בין המספרים החדשים יהיה 1:2"
y – 2 זה חיסור 2 מהגדול.
x – 1 זה חיסור 1 מהקטן.

היחס הוא 1:2 כלומר הקטן קטן פי 2 מהגדול.
לכן המשוואה היא:
x – 1) * 2 = y – 2)
2x – 2 = y  – 2
2x = y

שלב ג: פתרון המשוואות
3x – 10 = y
2x = y
את שתי המשוואות הללו נוח לפתור בשיטת ההצבה.
3x – 10 = 2x
x = 10

המספר הגדול שווה ל:
y = 2x = 2*10 = 20
תשובה: המספר הקטן שווה ל 10, המספר הגדול שווה ל 20.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.