בעיות תנועה כיתה ח – ט

ניתן לצפות בסרטונים קצרים יותר כאן

 

בדף זה בעיות תנועה המתאימות לכיתה ח וגם לכיתה ט. הבעיות הן ברמה יחסית גבוהה. אם אתם צריכים חזרה יסודית יותר על החומר תוכלו למצוא אותה בשלושת הקישורים הנמצאים כאן למטה.

לדף זה 6 חלקים:

  1. בעיות שוויון דרכים.
  2. בעיות פגישה.
  3. בעיות סכום דרכים.
  4. בעיות תנועה עם טבלה.
  5. בעיות קשות יותר.
  6. בעיות עם מהירויות שאינן קמ"ש.

חלקים 1,2,3 הם החלקים החשובים של הדף

1. בעיות שוויון דרכים או סכום דרכים

בתרגילי שוויון דרכים עוברים את אותה דרך פעמיים.
על ידי שני כלי רכב או רכב שנוסע הלוך ושוב, זה לא משנה.

שלושת הניסוחים הבולטים לשוויון דרכים הם:
(בדוגמאות נתייחס למכונית אבל זה יכול כל דבר שזז).

1.מכונית שעושה דרך ביום "רגיל" ומשנה מהירות / זמן ביום מיוחד.
בשני המקרים הדרך שעברה היא אותה דרך.

2.מכונית שנוסעת הלוך ושוב.
בשני המקרים הדרך שעברה היא אותה דרך.

3.שתי מכוניות שנוסעות את אותה דרך.

 

כללים חשובים לפתרון שאלות מסוג זה:

  1. מספר השורות בטבלה הוא כמספר המהירויות המופיעות בתרגיל (ועצירה / מנוחה היא מהירות 0).
  2. אנו נגדיר משתנה ובאמצעותו נדע שני טורים בטבלה. את הטור שלישי נמצא בעזרת הנוסחה.
    דרך = זמן * מהירות
  3. מכוון שהדרכים שעברו כלי הרכב שוות המשוואה תהיה:   דרך = דרך.

תרגיל 1
רכב נסע מעיר א לעיר ב והגיע לאחר  4 שעות.
בדרך חזרה הרכב האט ב- 20 קמ"ש והדרך נמשכה 5 שעות.
מה הייתה מהירות הרכב בדרך הלוך? מה המרחק מעיר א לעיר ב?

פתרון

שלב א: הגדרת משתנים
v המהירות בדרך הלוך בקמ"ש.
v – 20 המהירות בדרך חזור בקמ"ש.

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בבעיה יש שתי מהירויות לכן בטבלה 2 שורות.

מילוי הטורים
אנו יודעים את המהירות והזמן.
את טור הדרך נחשב בעזרת נוסחה.

מהירותזמןדרך
הלוךv44v
חזורv-205v-20)* 5)

פתרון ללא טבלה:

  • v – מהירות הרכב בדרך הלוך בקמ"ש.
  • 4v – המרחק שהרכב עבר בדרך הלוך.
  • v-20 – מהירות הרכב בדרך חזור בקמ"ש.
  • v-20)* 5)  – המרחק שהרכב עבר בחזור.

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
המרחק בהלוך ובחזור שווה ולכן המשוואה היא:
(4v = 5(v-20
4v = 5v -100  / +100 – 4v
v=100

המהירות בדרך הלוך היא 100 קמ"ש.
המרחק בין הנקודות הוא 4*100=400.

תשובה: מהירות הרכב בדרך הלוך הייתה 100 קמ"ש.
המרחק מעיר א לעיר ב הוא 400 ק"מ.

תרגיל 2
אדם הלך מתל אביב לירושלים ובחזרה.
בדרך הלוך האדם הלך במהירות קבועה של 7 קמ"ש.
בדרך חזור האדם רץ במהירות 12 קמ"ש 3 שעות ואז הלך עד היעד במהירות 4 קמ"ש.
הזמן ההליכה הלוך שווה לזמן ההליכה חזור.

  1. חשבו כמה שעות האדם הלך לכל כיוון?
  2. מה המרחק מתל אביב לירושלים?
פתרון וידאו

פתרון

שלב א: הגדרת משתנה וזמנים
t  זמן ההליכה בשעות בדרך הלוך במהירות קבועה של 7 קמ"ש.
3 שעות הזמן של 12 קמ"ש.
t – 3 הזמן של 4 קמ"ש.

הסבר מדוע זמן ההליכה בקטע האחרון הוא t -3
הסבר מדוע זמן ההליכה בקטע האחרון הוא t -3

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בדרך הלוך מהירות אחת.
בדרך חזור 2 מהירויות.
לכן בטבלה 3 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של הזמן והמהירות אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

מהירותזמןדרך
הדרך הלוך7t7t
הדרך חזור בהתחלה12336
הדרך חזור בסוף4t-34t – 12

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה היא:
7t = 4t -12 + 36
7t = 4t +24  / -4t
3t =24  / :3
t = 8

תשובה: האדם הלך לכל כיוון 8 שעות.

חישוב המרחק 
בדרך הלוך המהירות הייתה 7 למשך 8 שעות.
לכן הדרך הייתה:
56 = 7 * 8
תשובה: אורך הדרך הוא 56 ק"מ.

תרגיל 3
שתי מכוניות נסעו מתל אביב לאילת.
מכונית אחת נסעה במהירות קבועה של 80 קמ"ש.
מכונית שנייה נסעה במהירות של 90 קמ"ש שעתיים.
עצרה לשעה ואז המשיכה במהירות של 100 קמ"ש.
שתי המכוניות הגיעו ליעדן באותו הזמן.
חשבו את זמן הנסיעה ואת המרחק מתל אביב לאילת.

פתרון וידאו

פתרון

שלב א: הגדרת משתנה וזמני נסיעה בכול שלב
נגדיר
t  הזמן שלקח למכונית שנסעה במהירות קבועה לעבור את הדרך.

המכונית שנסעה במהירות משתנה:
2 שעה במהירות 80 קמ"ש.
1 שעה במהירות 0 קמ"ש.
t -3 שעות במהירות 100 קמ"ש.

הסיבה שמשך הזמן בקטע האחרון הוא t -3 היא שהמכונית נסעה בסך הכל t שעות.
מתוכם 1 שעות עצרה ו 2 שעות נסעה במהירות אחרת.

ההסבר לחישוב הזמן בקטע האחרון
ההסבר לחישוב הזמן בקטע האחרון

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
יש לנו 1 מהירויות של המכונית הראשונה ו 3 מהירויות של המכונית השנייה.
לכן בטבלה 4 שורות.

מילוי הטורים
את הטורים של המהירות והזמן אנו יודעים.
הטור של המרחק ימולא על פי הנוסחה:
מרחק = זמן x מהירות

מהירותזמןדרך
מכונית ראשונה80t80t
מכונית שנייה התחלה902180
מכונית שנייה עצירה010
מכונית שנייה סוף100t – 3100t – 300

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
הדרך שעברו שתי המכוניות שווה.
לכן המשוואה היא:
100t – 300 + 180 + 0 = 80t
100t -120 = 80t  / +120 – 80t
20t = 120  / :20
t = 6

תשובה: זמן הנסיעה מתל אביב לאילת הוא 6 שעות.

מציאת המרחק מתל אביב לאילת.
המכונית הראשונה נסעה 80 קמ"ש במשך 6 שעות.
לכן המרחק שעברה:
480 = 6 * 80

תרגיל 4
מכונית נסעה במשך 3 שעות במהירות קבועה.
לאחר מיכן האטה ב 20 קמ"ש ונסעה עוד 2 שעות במהירות זו.
סך הכל עברה המכונית 460 ק"מ.
חשבו את המהירות שבה המכונית התחילה לנסוע.

פתרון

שלב א: הגדרת משתנים ודרכים
נגדיר:
x המהירות ההתחלתית של המכונית
3x זו הדרך שהמכונית עברה בחלק הראשון של הנסיעה.

x – 20 המהירות של המכונית בקטע השני.
x – 20) *2)  הדרך שעברה המכונית בחלק השני של הנסיעה.

סכום הדרכים הוא 460, לכן המשוואה היא:
3x + 2(x – 20) = 460
3x + 2x – 40 = 460  / + 40
5x = 500  / :5
x = 100
תשובה: המהירות ההתחלתית של המכונית היא 100 קמ"ש.

תרגיל 5
מכונית נסעה 1/2 (חצי) מדרך בזמן 3 שעות ו 45 דקות.
לאחר מיכן הגבירה את מהירותה ב 20 קמ"ש ונסעה את החצי השני ב 3 שעות.
חשבו את מהירותה ההתחלתית של המכונית.
חשבו את המרחק הכולל שעברה המכונית.

פתרון

נגדיר
v  המהירות בקטע הראשון
v + 20 המהירות בקטע השני.

נרצה להפוך את 45 הדקות לשעות ונעשה זאת כך:

לכן שלוש שעות ו- 45 דקות הם 3.75 שעות.

המרחקים
נחשב את המרחקים על פי הנוסחה:
דרך = מהירות * זמן
המרחק בחצי הראשון הוא:
3.75v
המרחק בחצי השני הוא:
v +20)*3)

שני המרחקים שווים לכן המשוואה היא:
(3.75v = 3(v +20
3.75v = 3v + 60
0.75v = 60  / :0.75
v = 80
תשובה: מהירות המכונית בקטע הראשון הוא 80 קמ"ש

סעיף ב: חישוב מרחק הנסיעה
נחשב את המרחק בקטע הראשון של הנסיעה
300 = 80 * 3.75
300 ק"מ הם מחצית מהדרך לכן הדרך כולה הוא 600 ק"מ.

אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלה זה היה נראה כך:
(הנתונים מסומנים בשחור, המסקנות בשחור).

*תרגיל 6: קשה מהקודמות
מכונית לבנה ומכונית צהובה נוסעות ממטולה לאילת. המכונית הלבנה נסעה במהירות 70 קמ"ש כל הדרך. המכונית הצהובה נסעה 2 שעות במהירות 60 קמ"ש. עצרה במשך שעתיים והמשיכה עד סוף הדרך במהירות 90 קמ"ש.
המכונית הלבנה הגיעה שעה לפני המכונית הצהובה.
מה המרחק ממטולה לאילת?

פתרון

שלב א: הגדרת משתנים וזמנים
t זמן הנסיעה של המכונית הלבנה בשעות.

המכונית הצהובה הגיע 1 שעות אחרי. לכן נסעה 1 שעות יותר.
המכונית הצהובה נסעה את הדרך ב:
t +1 שעות.

כמו כן המכונית הצהובה:
2 שעות במהירות 60 קמ"ש.
2 שעות במהירות 0 קמ"ש.
זמן הנסיעה בקטע השלישי הוא:
t +1 – 2- 2 = t -3
t – 3

שלב ב: בניית טבלה
מספר השורות
בשאלה יש 4 מהירויות לכן יש 4 שורות.

מילוי הטורים.
אנו יודעים את הטורים של המהירות והזמן.
נשלים את הדרך בעזרת נוסחה.

מהירותזמןדרך
לבנה70t70t
צהובה שעתיים ראשונות602120
צהובה עצירה020
צהובה סיום90t-390t – 270

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
70t  המרחק שהמכונית הלבנה עברה.
90t + 120 + 0  המרחק שהמכונית הצהובה עברה.

לכן המשוואה היא:
70t=120+90t-270
70t=120+90t-270  / -90t
20t=-150-  / : -20
t=7.5
נחשב את המרחק ע"פ הנתונים של המכונית הלבנה (70t):
7.5*70=525
תשובה: המרחק ממטולה לאילת הוא 525 ק"מ.

2. תרגילי פגישה (סכום דרכים)

תרגילים בהם שני כלי נפגשים הם גם תרגילי שוויון או סכום דרכים.

הכלל הבסיסי הוא שאם שני כלי רכב נוסעים זה מול זה אז בנקודת המפגש שלהם סכום הדרכים שלהם הוא הדרך כולה.
דוגמה לכך בתרגיל 7

תרגיל 7
כלי רכב אחד יוצא מבאר שבע למטולה במהירות 80 קמ"ש ובאותו זמן יוצא כלי רכב אחר ממטולה לבאר שבע במהירות 70 קמ"ש.
המרחק בין מטולה לבאר שבע הוא 375 ק"מ.
כעבר כמה זמן מצאת המכוניות הם יפגשו?

פתרון

שלב א: הגדרת משתנים ודרכים
נגדיר:
t הזמן בשעות מצאת המכוניות ועד הפגישה.
לכן המרחקים שהמכוניות יעברו עד הפגישה הם:
80t  המרחק בק"מ שעברה המכונית שיצאה מבאר שבע.
70t המרחק בק"מ שעברה המכונית שיצאה ממטולה.

שלב ב: בניית משוואה
סכום הדרכים שכלי הרכב עברו היחד הוא 375 ק"מ.
לכן המשוואה היא:
80t + 70t = 375
150t = 375  / :150
t = 2.5

תשובה: כלי הרכב יפגשו כעבור 2.5 שעות.

שרטוט המסביר מדוע סכום הדרכים הוא 375 קילומטר
שרטוט המסביר מדוע סכום הדרכים הוא 375 קילומטר

הערה:
אם היינו רוצים לבנות טבלה עבור השאלה הטבלה הייתה נראית כך.
שתי שורות – כי יש בשאלה שתי מהירויות.
את הטורים של הזמן והמהירות אנו יודעים. את טור המרחק מחשבים.

מהירותזמןדרך
מכונית מבאר שבע80t80t
מכונית ממטולה70t70t

 

תרגיל 8
משתי ערים במרחק 470 ק"מ יצאו זו לקראת זו שתי מכוניות. המהירה מבניהן נסעה 20 קמ"ש מהר יותר מהאיטית. כעבור 2 שעות נסיעה המרחק בניהן היה 150 ק"מ.
מצאו את מהירות המכוניות.

שרטוט הבעיה

פתרון

מבחינת הבנת התרגיל המפתח הוא להבין כי שתי המכוניות ביחד עברו 320 = 150 – 470 ק"מ.
לכן נחשב את הדרך של כל אחת מיהן ונבנה משוואה.

פתרון בעזרת טבלה (בשחור הנתונים, באדום נתונים שנוספו על ידי חישובים)

מהירותזמןדרך
מכונית איטיתv22v
מכונית מהירהv + 2022v + 40

פתרון ללא טבלה.

  1. v- מהירות המכונית האיטית.
  2. 2v – הדרך שעברה המכונית האיטית בשעתיים.
  3. V+20 – מהירות המכונית המהירה.
  4. 2(v+20) – הדרך שעברה המכונית המהירה בשעתיים.

הדרך ששתי המכוניות עברו ביחד בשעתיים היא 470-150=320 ק"מ.
המשוואה היא:
2v+2(v+20)=320
2v+2v+40=320
4v=280
v=70

תשובה: מהירות המכונית האיטית היא 70 קמ"ש ומהירות המכונית המהירה היא 90 קמ"ש.

תרגיל 9
המרחק מים המלח לים התיכון הוא 200 ק"מ.
ב- 10 בבוקר יצאה מכונית מים המלח לכיוון הים התיכון במהירות 40 קמ"ש. ב- 12:30 יצאה מכונית בכיוון ההפוך במהירות 60 קמ"ש.
מתי המכוניות יפגשו?

פתרון

פתרון

מהירותזמןדרך
מכונית שיצאה ראשונה40t40t
מכונית שיצאה שנייה60t-2.560t – 150

פתרון ללא טבלה

  1. t- זמן הנסיעה בשעות של המכונית שיצאה ראשונה.
  2. 40t- הדרך שעברה המכונית הראשונה בק"מ עד הפגישה.
  3. t-2.5 – הזמן שנסעה המכונית שיצאה שנייה.
  4. 60(t-2.5) – הדרך שעברה המכונית השנייה עד הפגישה.

בניית משוואה
המשוואה מבוססת על כך שבנקודת הפגישה המרחק שהם עברו ביחד הוא 200 ק"מ
40t+60(t-2.5)=200
40t+60t-150=200
100t=350
t=3.5
תשובה: המכוניות יפגשו כעבור 3.5 שעות מיציאת מכונית הראשונה – בשעה 13:30.

תרגיל 10: הפרש דרכים
מכונית יצאה מאילת לכיוון צפון במהירות 80 קמ"ש. חצי שעה לאחר מיכן יצאה מאילת לכיוון צפון משאית במהירות 65 קמ"ש. כעבר כמה זמן מצאת המכונית המרחק בין המכונית למשאית יהיה 100 ק"מ?

פתרון

שימו לב שבשאלה זו המרחק הולך וגדל. כאשר המשאית יוצאת המרחק הוא פחות מ- 100 קילומטר ולאט לאט המכונית צוברת מרחק המגיע ל- 100 קילומטר.

t הזמן בשעות שנסעה המכונית עד המרחק בין המכונית למשאית היה 100 ק"מ.
t – 0.5 הזמן בשעות שבו המשאית נסעה.

נבנה טבלה ונשלים את המרחקים שהמכונית והמשאית עברו.

מהירותזמןדרך
מכונית80t80t
משאית65 t- 0.565t – 32.5

 

ההפרש בין הדרכים הוא:
80t – (65t – 32.5) = 100
80t -65t +32.5 = 100  / -32.5
15t = 67.5  / :15
t = 4.5
תשובה: כעבר 4.5 שעות מצאת המכונית המרחק בין המכונית למשאית יהיה 100 ק"מ.

3.דגש על דרך בניית הטבלה

בעיות תנועה עם טבלה אלו הן בעיות בהן אחד הגופים הנעים משנה את מהירותו או עוצר מספר פעמים.
לרוב אלו בעיות הנפתרות על ידי משוואות של שוויון דרכים.

בעיות תנועה הנפתרות על ידי טבלה מבוססות לרוב על 3 עקרונות:

  1. כל פעם שגוף משנה מהירות זו שורה נפרדת בטבלה. מספר המהירויות המתוארות בתרגיל (כולל עצירה) זה מספר השורות שאנו צריכים שיהיו לנו בטבלה.
  2. ב 99% מהמקרים בעיות טבלה הן בעיות שוויון דרכים, לכן אנו צריכים לבחור משתנה אשר יאפשר לנו להגדיר את אורך הדרך שעבר אחד הגופים.
  3. לרוב יש שורה בטבלה שהיא קשה יותר, לרוב זו השורה האחרונה, הקפידו ללמוד אותה. בהרבה מקרים נסיק את אחד מהגדלים שבשורה זו משורות הקודמות.

הסבר מפורט כיצד לפתור את בעיות התנועה הללו בסרטוני הוידאו הבאים.
בשני הסרטונים תרגילים קשים יחסית.
בסרטון הראשון בעיה בה זמני התנועה שווים.
בסרטון השני בעיה שבה זמני התנועה שונים.

4.מכשולים הנובעים מזמנים לא ברורים

במקרה הקל תקבלו במפורש כמה שעות נסע כל כלי רכב. או שיגידו לכם שכלי רכב אחד נסע שעתיים יותר.

בתרגילים קשים יותר יגידו לכם כי כלי רכב אחד "יצא שעה אחרי" או "הגיע שעתיים לפני" ואתם תצטרכו להסיק מזה על הקשר בין הזמנים של כלי הרכב.

עלכם להבין את הכללים הבאים (אלו כללים הגיוניים):
נניח כי משאית נוסעת x שעות.

  • אם מכונית יוצאת לדרך שעה אחרי משאית ושתיהן מגיעות ביחד ליעד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x -1.
  • אם מכונית יוצאת שעה לפני משאית והם מגיעות ביחד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x +1.
  • אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה לפני המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x – 1.
  • אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה אחרי המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x  + 1.

תרגיל 1
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
2 שעות אחרי המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה אחרי המכונית. לכן הייתה שעתיים פחות בנסיעה.
x – 2 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 2
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
3 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה לפני המכונית. לכן הייתה 3 שעות יותר בנסיעה.
x + 3 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 3
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 3 שעות לאחר המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות יותר.
בהגעה המשאית נסעה 3 שעות יותר.
לכן בסך הכל המשאית נסעה 4 שעות יותר.
x + 4 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 4
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לאחר המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 2 שעות לפני המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות פחות.
בהגעה המשאית נסעה 2 שעות פחות.
סך הכל המשאית נסעה 3 שעות פחות.
x – 3 זה הזמן שנסעה המשאית

5. תרגילים קשים יותר

תרגיל 11: שני נעלמים
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?
פתרון

נפתור את השאלה בשתי דרכים. באמצעות שני משתנים ובאמצעות משתנה אחד.

פתרון בעזרת שני משתנים
נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

זמןמהירותדרך
דרך הלוךt144t1
דרך חזורt288t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור.
לכן המשוואה השנייה היא:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

פתרון באמצעות נעלם אחד
נגדיר
t  זמן ההליכה הלוך בשעות.
לכן:

6 – t

הוא זמן ההליכה חזור.

הדרכים
4t  זו הדרך הלוך.

8(6 – t)
זו הדרך חזור

שתי הדרכים שוות, לכן המשוואה היא:
(4t = 8 (6 – t
4t = 48 – 8t
12t = 48
t = 4

תשובה: הדרך לים נמשכה 4 שעות.

תרגיל 12
רוכב אופניים נסע מרחק של 70 ק"מ במהירות קבועה.
לאחר מיכן הכפיל את מהירותו ונסע עוד 80 ק"מ.
סך הכל נסע חמש וחצי שעות בשני הקטעים.
חשבו את מהירות רוכב האופניים בקטע הראשון.

פתרון

נגדיר:
v  מהירות רוכב האופניים בקטע הראשון בקמ"ש.
2v מהירות רוכב האופניים בקטע השני בקמ"ש.

נחשב את זמני הנסיעה בכל קטע על פי הנוסחה:

זמן הנסיעה בקטע של ה 70 ק"מ הוא:

זמן הנסיעה בקטע של ה 80 ק"מ הוא:

לכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא 2v ונקבל:
2v * 5.5 = 2*70 + 80
11v = 220 / :11
v = 20
תשובה: מהירות רוכב האופניים בקטע הנסיעה הראשון היא 20 קמ"ש.

תרגיל 13: שילוב של ממוצע משוקלל בבעיית תנועה
(הערה: זה סוג נדיר יחסית של בעיות תנועה, לא בטוח שתפגשו אותו)
מכונית נוסעת במשך 3 שעות במהירות מסוימת לאחר מיכן נוסעת במשך 2 שעות במהירות הגדולה ב 20 קמ"ש. המהירות הממוצעת היא 88 קמ"ש.
מצאו את מהירות המכונית בכל אחד מהקטעים.

הערה: כאשר מבצעים ממוצע של של מהירויות מתייחסים אל יחידות הזמן השונות כאל הדבר שצריך "לשקלל" בממוצע.
ולא מתייחסים אל המרחקים השונים כאל הדבר שצריך לשקלל.

פתרון

עלינו לבנות משוואה על בסיס הממוצע.
השאלה הזו דומה לשאלה " 3 תלמידים קיבלו ציון מסוים במבחן ואלו 2 תלמידים קיבלו ציון הגבוה ב 20 נקודות. הממוצע של 5 התלמידים הוא 88 חשבו כמה קיבל כל תלמיד".

נגדיר:
x המהירות במשך ה 3 השעות הראשונות.
x + 20 המהירות במשך השעתיים שלאחר מיכן.

אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלה זה היה נראה כך:

xx + 20
32

על פי נוסחת הממוצע המשוואה היא:

נכפיל ב 5 ונקבל:
3x + 2x + 40 = 440
5x = 400
x = 80

תשובה: המהירות ההתחלתית של המכונית היא 80, לאחר מיכן המכונית הגבירה ל 100 קמ"ש.

*תרגיל 14 (כולל פתרון משוואה ריבועית, נלמד לרוב רק ב ט)
מכונית ומשאית יצאו מאותה נקודה באותו כיוון ובאותו זמן.
מהירות המכונית הייתה גבוהה ב 10 קמ"ש ממהירות המשאית.
לאחר שעה נסיעה המכונית הגבירה את מהירותה ב 20 קמ"ש.
המכונית והמשאית עברו דרך של 280 ק"מ כאשר המכונית עושה זאת בשעה נסיעה פחות.
חשבו את המהירות ההתחלתית של המשאית.

פתרון

נגדיר:
x מהירות המשאית בקמ"ש.
x + 10 מהירות המכונית בקמ"ש.
x + 30 המהירות המוגברת של המכונית.

זמן הנסיעה של המכונית הוא:
(זה חיבור הזמנים של הקטע הראשון שנמשך 1 שעה ושל הקטע השני).

זמן הנסיעה של המשאית הוא:

זמן הנסיעה של המכונית קצר ב 1 שעה ולכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא (x(x+30:

(270x – x² + 2x(x + 30) = 280 (x + 30
270x – x² + 2x² + 60x = 280x + 8400
x² + 330x  = 280x + 8400
x² + 50x – 8400 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל
x = 70  או  x = -120
מכוון שמהירות היא גודל חיובי הפתרון הוא x = 70.
תשובה: המהירות ההתחלתית של המשאית היא 70 קמ"ש.

6.תרגילים במהירות שהיא לא קמ"ש

תרגיל 15
מכונית נוסעת בין שתי נקודות.
בדרך הלוך נסעה במהירות קבועה.
בדרך חזור נסעה ב 8 מטר לשנייה פחות ממהירותה בדרך הלוך.
הדרך הלוך נמשכה 15 דקות.
הדרך חזור נמשכה 5 דקות יותר מהדרך הלוך.
חשבו את מהירות המכונית בדרך הלוך.

פתרון

נגדיר:
v מהירות המכונית בדרך הלוך במטרים לשנייה.
v – 8  מהירות המכונית בדרך חזור במטרים לשנייה.

מכוון שהמהירות היא במטרים לשנייה גם כל שאר המספרים צריכים להיות במטרים או שניות.

הדרך הלוך נמשכה 15 דקות שהם
900 = 15 * 60
900 שניות.

הדרך חזור נמשכה 20 דקות שהם:
1200 = 20 * 60
1200 שניות.

הדרך הלוך שווה לדרך חזור.
לכן המשוואה היא:
1200v – 1200*8 = 900v
1200v – 9600 = 900v
300v = 9600
v = 32
תשובה: מהירות המכונית בדרך הלוך היא 32 מטר בשנייה.

תרגיל 16
הולך רגל אחד יצא מירושלים למבשרת ציון והולך רגל שני יצא ממבשרת ציון לירושלים.
המרחק בין ירושלים למבשרת ציון הוא 6 ק"מ.
מהירות הולך הרגל המהיר גדולה ב 4 מטר לדקה מהולך הרגל האיטי.
שני הולכי הרגל נפגשו כעבור שעתיים.
חשבו את מהירות שני הולכי הרגל.

פתרון

נגדיר:
v מהירות הולך הרגל האיטי במטרים לדקה.
v + 4 מהירות הולך הרגל המהיר במטרים לדקה.

מכוון שהמהירות שלנו היא במטרים לדקה עלינו להפוך את כל הגדלים למטרים ודקות.
6 ק"מ הם 6000 מטרים.
שעתיים הם 120 דקות.

הדרכים
הדרך שהולך הרגל האיטי עבר עד הפגישה היא:
120v
הדרך שהולך הרגל המהיר עבר עד הפגישה היא:
120v + 480

סכום הדרכים הוא 6000 לכן המשוואה היא:
120v + 120v + 480 = 6000
240v = 5520
v = 23
תשובה: הולך הרגל האיטי הלך במהירות 23 מטר בשנייה.
הולך הרגל המהיר הלך במהירות 27 מטר בשנייה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

49 מחשבות על “בעיות תנועה כיתה ח – ט”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    יש סרטונים ששומעים חזק וברור ויש סרטונים שאני צריך לקרב את האוזן לטלפון בשביל לשמוע משהו איך מתקנים את זה?

    תודה על האתר

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם יש סרטון פגום תשאיר מידע על המיקום שלו, ניתן לתקן זאת ממערכת האתר.

  2. בשאלה 3 המשתנה הוא זמן הנסיעה ולא הזמן שהאוטו היה מחוץ לאילת/תל אביב אז למה מתייחסים לקטע שהמכונית עצרה במשך שעה?
    אגב אתר מעולה הלוואי כל האנשים יהיו כמוך:)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר אומרים זמן הנסיעה לרוב מתכוונים לזמן הכולל – כולל עצירות.
      זה נכון שמבחינת לשון עברית הניסוח שלך מדויק יותר.

  3. ואווי תודה רבה ממש עזר😍
    אני מסתבכת עם שאלות של עם ונגד הזרם
    סירה שמהירותה במים עומדים 20קמש עברה 36קמ נגד הזרם ו22קמ נגד הזרם- ב3 שעות
    מה מהירות הזרם?
    השמח אם תענה תודה רבה 😊

  4. היי
    יש לי שאלה שדי הסתבכתי איתה
    ישראל יצא מעירו לכיוון ירושלים הרחוקה מעירו מרחק 140 קמ.
    הוא יצא באותו זמן שיצא יצחק מירושלים לכיוון עירו באותה מהירות שישראל נסע.
    ישראל נסע 45 קמ , לאחר מכן עצר בפארק להתרעננות ונח במשך שעה.
    לאחר המנוחה המשיך למחוז חפצו במהירות הגבוהה מהמהירות הקודמת ב5 קמש.
    במרחק 20 קמ מהפארק פגש את יצחק שנסע מירושלים ללא עיכובים ובמהירות קבועה.
    מצא את מהירותו של יצחק.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המשתנים
      v המהירות של שניהם.
      t הזמן מהיצאה מהפארק ועד הפגישה.
      המשוואות:
      1.סכום הדרכים 140.
      2.הדרך מהפארק 20.

  5. היי
    דבר ראשון תודה רבה האתר שלכם ממש עוזר!!
    דבר שני 😉
    יש לי שאלה.. רכב נסע מעיר א לעיר ב והגיע לאחר 4 שעות.
    בדרך חזרה הרכב הגביר את מהירותו ב- 30 קמ"ש והדרך נמשכה 3 שעות.
    מה הייתה מהירות הרכב בדרך הלוך? מה המרחק מעיר א לעיר ב?
    איך אני פותרת את זה??
    ממש יעזור.. תודה מראש!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה ממש דומה לתרגיל 1. האם הבנת אותו? ואם לא איזה שלב בתרגיל לא מובן?

  6. היי,
    אהבתי מאוד את ההסבר והעזרה ואני מעריך מאוד.
    אשמח אם תעזרו לי בשאלה שלא כל כך הבנתי (כיתה ז')
    השאלה:
    מכונית יצאה בשעה 8:00 מעיר A לכיוון עיר B ועברה שני קטעי דרך: אורך הקטע
    הראשון 300 ק"מ ואורך הקטע השני 234 ק"מ.
    מהירות של המכונית בקטע השני היתה גדולה ב-%30 ממהירותה בקטע הראשון.
    זמן נסיעתה של המכונית בקטע השני היה קצר בשעתיים מזמן נסיעתה בקטע הראשון.
    א. מצא את מהירות המכונית בכל אחד מן הקטעים.
    ב. באיזה מרחק מהיעד היתה המכונית בשעה 11:30?
    תודה מראש.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך להגדיר שני משתנים.
      v מהירות בקטע הראשון
      t זמן בקטע הראשון.
      ואז לבנות משוואה של מהירות * זמן = דרך פעם אחת עבור הקטע הראשון ופעם שנייה עבור הקטע השני.

  7. היי, אתם יכולים לשים כאן קישור לתרגול על גרפיים יש לי מחר בוחן על זה. אני מאוד אשמח אפ תשימו קישור. אני כיתה ט

  8. שאלה שלא הצלחתי לפתור, חסרים לי 2 נתונים, תוכל להסביר?
    המרחק בין קיבוץ א' לקיבוץ ב' הוא 27 ק"מ. בשעה 6:00 בבוקר, יצא הולך רגל, במהירות
    (המשך השאלה הוסר מהאתר)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עמית
      אתה צריך להגדיר מהירות וזמן של אחד מיהם כשני משתנים.
      באמצעותם להגדיר את המהירות והזמן של השני.
      ואז שתי משוואות. משוואה אחת לכל דרך שאחד מיהם עשה ואורכה 27 קילומטרים.

  9. עזר לי כך כך הרבה! תודה רבה! כל האתר הזה , ההסברים הפשוטים והסרטונים הברורים פשוט מדהים.

  10. שלום,
    האתר שלך מפורט ועוזר ממש, המון תודה!
    רציתי לשאול אם יש באתר תרגילים בנושא בעיות הספק?
    תודה

  11. למה אתה מחסר בתרגיל 5 אתה חיסרת כשאמרו שחצי שעה לאחר מכן יצאה המשאית, אז צריך להוסיף חצי שעה לא לחסר לא?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שימי
      מה שכתוב שם זו התשובה הנכונה.
      t הזמן שהמכונית נמצאת בנסיעה.
      אז כמה זמן המשאית נמצאת בנסיעה?
      חצי שעה פחות. וכותבים זאת כך
      t- 0.5
      נציב לדוגמה מספרים. המכונית נמצאת 5 שעות בנסיעה.
      כמה זמן המשאית בנסיעה?
      4.5 = 0.5 – 5
      אם היינו פועלים בדרך שלך היינו מקבלים 5.5 וזה לא מתאים לשאלה.

      מה שנכון הוא שאם היינו בונים משוואה של זמנים. אז היינו צריכים להוסיף 0.5 שעות למשאית כדי שהזמנים יהיו שווים.
      זמן נסיעת המכונית = 0.5 + זמן נסיעת המשאית.
      אבל השאלה זו אין משוואה של זמנים, המשוואה היא של הפרש מרחקים השווה ל- 100.
      מקווה שמובן ובהצלחה.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום אליהו
          בשאלה מחשבים את המרחק שעבר כל אחד בנפרד ואת מחברים את המרחקים.
          השאלה שלך היא מאוד כללית וקשה לי לענות עליה.
          על מנת לקבל תשובה מדויקת יותר עליך לשאול שאלה מדויקת יותר. למשל:
          למה המרחק שהולך הרגל עבר הוא זה? למה מחברים את המרחקים?
          בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.