בעיות אחוזים כיתה ח

 בדף זה שני חלקים:

  1. קישורים ללימוד הדרגתי של נושא האחוזים.
  2. סיכום החומר בוידאו.
  3. 19 בעיות אחוזים ברמת שונות.

1.קישורים ללימוד אחוזים

  1. חזרה על שלושת סוגי בעיות האחוזים שנלמדו בכיתה ו.
  2. אחוזים, תחילת העבודה עם משתנים.
  3. בעיות אחוזים הנפתרות בשלב אחד.
  4. בעיות אחוזים הנפתרות בשני שלבים.
  5. בעיות אחוזים עם שינוי כפול.
  6. בעיות אחוזים בהן אחוז השינוי הוא המשנה.
  7. מכשולים בבעיות מילוליות.

קישורים 5-6 הם מעבר לנדרש בכיתה ח.

2.סיכום החומר בוידאו

3.תרגילים

19 תרגילים מגוונים הכוללים סוגים שונים של שאלות.

תרגילים 1-5 הם תרגילים ראשונים עם משתנים.
תרגילים 6-10 מיועדים להקבצה א בכיתה ח.
תרגילים 11-19 קשים יותר.

תרגיל 1
מחיר ספר לאחר עלייה של 30% במחיר הוא 52 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הספר?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

x המחיר ההתחלתי של הספר בשקלים.
130/100 השבר המבטא את השינוי באחוזים.

1.3x = 52  / :1.3

1.3x = 52  / :1.3
x = 40

תרגיל 2
מחיר כרטיס קולנוע עלה מ 40 ל 45 שקלים.

  1. בכמה אחוזים המחיר עלה?
  2. לאחר מיכן המחיר ירד ל 42 שקלים. בכמה אחוזים המחיר ירד?
פתרון וידאו

פתרון כתוב

המחיר עלה ב 5 שקלים.
יש לחשב את אחוז העליה מתוך המחיר שלפני השינוי והוא 40 שקלים.

פתרון התרגיל

המחיר עלה ב 12.5%.

חלק שני
המחיר ירד ב 3 שקלים.
יש לחשב את אחוז השינוי מתוך המחיר ממנו הייתה הירידה (45).

פתרון התרגיל

תשובה: המחיר ירד ב 6.66%.

תרגיל 3
מחיר מחברת גדול ב 30% ממחיר עיפרון.
מחברת ועיפרון עולים ביחד 18.4 שקלים.
כמה עולה מחברת וכמה עולה עיפרון?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

x מחיר עיפרון.
מחיר מחברת גדול ב 30% לכן מחיר המחברת הוא:

1.3x

סכום המחירים של מחברת ועיפרון הוא 18.4 ולכן המשוואה היא:

x+ 1.3x = 18.4
2.3x = 18.4  / :2.3
x = 8
10.4 = 8 – 18.4

תשובה: מחיר העיפרון 8 שקלים ומחיר המחברת 10.4 שקלים.

 

תרגיל 4
בחנות הכריזו על על מבצע של 30% על כל החנות.
על מיקרוגל ניתנה הנחה של 48 שקלים.
מה תהיה ההנחה על מוצר הכפול במחירו מהמיקרוגל?

פתרון ופתרון וידאו

פתרון אינטואיטיבי
כאשר מכפילים את מחירו של מוצר ומשאירים את אחוז ההנחה אותו הדבר אז גם גודל ההנחה בשקלים מוכפל.
לכן ההנחה תהיה:
96 = 2 * 48.

פתרון חישובי
נגדיר
x – מחיר המיקרוגל.
ניתנה הנחה של 30% שהיא:

גודל ההנחה הוא 0.3x וגם 48 שקלים.
לכן המשוואה היא:
0.3x = 48

פתור את המשוואה:
0.3x = 48  / :0.3
x = 160
זה המחיר המקורי של המיקרוגל.

המחיר הוכפל ולכן המחיר עכשיו הוא:
320 = 2 * 160

נחשב כמה הם 30% מתוך 320.

תרגיל 5
40% ממחיר בובה הם 28 שקלים.
מה מחיר הבובה?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

נגדיר:
x  מחיר בובה בשקלים.

40% מ x הם 28.

השבר המתאים ל 40% הוא 0.4.

על מנת למצוא חלק (0.4) משלם (x) מכפילים את החלק בשלם.

0.4 * x = 28

0.4x = 28
0.4x = 28  / :0.4
x = 70

תשובה: מחיר הבובה 70 שקלים.

דרך פתרון נוספת
40% הם 28 שקלים.
לכן:
10% הם 7 שקלים
7 = 4 : 28.

לכן:
100% הם 70 שקלים.

תרגילים לכיתה ח הקבצה א

תרגיל 6
בכיתה יש שתי קבוצות: אלו שמגיעים ברגל לבית הספר ואלו שנוסעים במכונית לבית ספר.
קבוצת הנוסעים במכונית גדולה ב- 25% מקבוצת ההולכים.
בסך הכל יש 36 תלמידים בכיתה.
מצאו כמה תלמידים הולכים וכמה נוסעים לבית ספר.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

x  מספר התלמידים שהולכים ברגל.
מכוון שקבוצת הנוסעים גדולה ב 25% מקבוצת ההולכים האחוז המתאים לה הוא 125% מתוך x.
1.25x מספר התלמידים המגיעים במכונית.

סך הכל יש 36 תלמידים לכן המשוואה היא:
x + 1.25x = 36
2.25x = 36  /:2.25
x = 16

תשובה: מספר ההולכים ברגל הוא 16 תלמידים, מספר המגיעים ברכב הוא 20 תלמידים.

 

תרגיל 7
נתון ריבוע שהגדילו את שתי צלעות נגדיות שלו ב 20% והקטינו את שתי הצלעות הנגדיות הנוספות ב 20%.

  1. האם היקף המלבן שנוצר גדול או קטן מהיקף הריבוע המקורי?
  2. האם שטח המלבן גדול או קטן משטח הריבוע המקורי?
פתרון כתוב

נגדיר את צלע הריבוע כ x ס"מ.

היקף הריבוע הוא 4x.
שטח הריבוע הוא x².

צלע אחת של המלבן היא 120% מצלע הריבוע
1.2x

צלע שנייה של המלבן היא 80% מצלע הריבוע
0.8x

היקף המלבן: 0.8x + 0.8x + 1.2x + 1.2x= 4x
שטח המלבן: 0.8x * 1.2x = 0.96x²

4x = 4x  ההיקפים שווים.
0.96x² < x²  שטח המלבן קטן יותר.

תשובה: היקף הריבוע שווה להיקף המלבן. שטח הריבוע גדול משטח המלבן.

שרטוט התרגיל, אחוזים

תרגיל 8
בגינה יש דשא עצים ודברים נוספים.
40% משטח הגינה הם דשא ו- 30% משטח הגינה הם עצים.
בסך הכול יש 15 מטר יותר שטח דשא משטח עצים.
מה גודל שטח הדשא בגינה? מה גודל הגינה?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

פתרון בדרך "מקוצרת"
ההבדל בין הדשא לעצים הוא 10%.
 10% הם 15 מטר הבדל.

לכן 40% הם 4*15 = 60 מטר. זה שטח הדשא.
15*10 = 150 מטר. זה שטח הגינה כולה.

פתרון בדרך רגילה:
הגדרת משתנה
x   שטח הגינה.
0.4x  שטח הדשא.
0.3x  שטח העצים

בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "בסך הכול יש 15 מטר יותר שטח דשא משטח עצים".
לכן:
0.3x + 15 = 0.4x   / – 0.3x
0.1x = 15  / *10
x = 150  זה שטח הגינה.

שטח הדשא הוא 40% משטח הגינה.
לכן שטח הדשא הוא:

0.4 * 150 = 60

תשובה: שטח הדשא הוא 60 מטר רבוע, שטח הגינה 150 מטר רבוע,

תרגיל 9
בשתי חנויות רהיטים מוכרים רק כיסאות ושולחנות.
בחנות השנייה יש 200 רהיטים יותר.
בחנות הראשונה 70% מהרהיטים הם שולחנות.
בחנות השנייה 40% מהרהיטים הם שולחנות.

סך הכל בחנות השנייה יש 300 כיסאות יותר מבחנות הראשונה.
חשבו את מספר הרהיטים בכל חנות.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

הגדרת משתנה
x מספר הרהיטים בחנות הראשונה.
x + 200  מספר הרהיטים בחנות השנייה.

הגדרות נוספות
מכוון שהמשוואה תהיה על כיסאות, כי המשוואה מבוססת על המשפט.
"סך הכל בחנות השנייה יש 300 כיסאות יותר מבחנות הראשונה"

מה שמעניין אותנו הוא אחוז הכיסאות בחנות ולא אחוז השולחנות.

בחנות הראשונה
30% כיסאות  מתוך x רהיטים.
0.3x  הוא מספר הכיסאות בחנות הראשונה.

בחנות השנייה
60% כיסאות מתוך x + 200 

0.6 (x + 200) = 0.6x + 120

בניית משוואה
בחנות השנייה יש 300 כיסאות יותר לכן המשוואה היא:
0.6x + 120 = 0.3x + 300
0.3x = 180  / : 0.3
x = 600

תשובה: בחנות הראשונה יש 600 רהיטים, בחנות השנייה יש 800 רהיטים.

תרגיל 10
בשכבת כיתה ח 3 כיתות.
בכיתה ח1 35 תלמידים. בכיתה ח3 מספר התלמידים גדול פי 2 ממספר התלמידים בכיתה ח2.
אם מגדילים את מספר התלמידים בכיתה ח2 ב 20% מספר התלמידים בשכבת כיתה ח יהיה 115.

כמה תלמידים יש עכשיו (לפני ההגדלה) בכיתות ח2 ו ח3?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

הגדרת משתנה ומספר התלמידים בכל כיתה
35 מספר התלמידים בכיתה ח1.
x מספר התלמידים עכשיו בכיתה ח2.
2x מספר התלמידים בכיתה ח3.

לאחר התוספת של 20% מספר התלמידים בכיתה ח2 יהיה:
1.2x

בניית משוואה
אנו יודעים שסכום התלמידים בשלושת הכיתות לאחר השינוי הוא 115 ולכן המשוואה היא:

1.2x + 2x + 35 = 115  / -35
3.2x = 80  /:3.2
x = 25

תשובה: בכיתה ח2 25 תלמידים לפני השינוי. בכיתה ח3 50 תלמידים.

תרגילים קשים

תרגיל 11
בחנות יש 150 צעצועים.
מתוכם 80% משחקי קופסה.
כמה משחקי קופסה צריך להוציא מהחנות על מנת שמספר משחקי הקופסה יהיה 75% מהמשחקים בחנות.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

דבר ראשון מספר משחקי הקופסה לא נתון לנו בצורה ברורה. 
לכן נחשב את מספר משחקי הקופסה שיש עכשיו בחנות.
120 = 150 * 0.8

הגדרת משתנה
שאלו אותנו "כמה משחקי קופסה צריך להוציא מהחנות".
ולרוב מה ששואלים אותנו הוא המשתנה ולכן:
x מספר משחקי הקופסה שצריך להוציא מהחנות.

בניית משוואה
נשים לב שכאשר אנו מוצאים x משחקי קופסה מהחנות אנו גם מוצאים x צעצועים מהחנות (כלומר לאחר הוצאת משחקי הקופסה גם מספר הצעצועים בחנות קטן ב x).

לאחר הוצאת x משחקי קופסה ישארו בחנות: 

בניית משוואה
ידוע כי לאחר ההוצאה מספר משחקי הקופסה הוא 75% ממספר הצעצועים.
לכן המשוואה היא:

זו משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה כך:

תרגיל 12
בחנות ממתקים שבה 600 מוצרים 30% מהמוצרים הם שוקולד.
בכמה צריך להגדיל את מספר מוצרי השוקולד על מנת שיהיו 50% ממוצרי החנות.

פתרון וידאו

פתרון ופתרון וידאו

צריך לשים לב שכאשר מגדילים את מספר מוצרי השוקולד גם המספר הכללי של המוצרים בחנות עולה.

המספר ההתחלתי של מוצרי השוקולד בחנות הוא 30% מתוך 600.
180 = 600 * (30/100)

x   מספר מוצרי השוקולד שצריך להוסיף על מנת שמספרם יהיה חצי ממספרם בחנות.
x + 180   מספר מוצרי השוקולד לאחר השינוי.
x + 600   מספר המוצרים בחנות לאחר השינוי.

כמו כן: "לאחר השינוי מספר המוצרים בחנות כפול ממספר מוצרי השוקולד".
לכן מספר המוצרים בחנות:

2 * (x + 180) = 2x + 360

בניית משוואה
מצאנו כי לאחר השינוי מספר המוצרים בחנות הוא:
x + 600
וגם
2x +360
שני הביטויים הללו שווים ולכן המשוואה היא:

2x + 360 = x+ 600  / -x-360
x = 240

תשובה: צריך להוסיף 240 מוצרי שוקולד למוצרי החנות.

תרגיל 13 (קבוצה גדלה וקבוצה קטנה)
56 תלמידים יצאו לטיול בשני אוטובוסים.
אם 30% מהנוסעים מהאוטובוס השני היו עוברים לאוטובוס הראשון מספר התלמידים בכול אחד מהאוטובוסים היה שווה.
כמה תלמידים יש בכול אוטובוס עכשיו?
כמה תלמידים אמורים לעבור מהאוטובוס השני לראשון?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

x מספר התלמידים באוטובוס השני.
0.3x  זו קבוצת התלמידים שצריכה לעבור.
מספר התלמידים באוטובוס הראשון 56 פחות X

המשוואה היא (שימו לב שהחלק שיורד מהאוטובוס השני מתווסף לאוטובוס הראשון):

בניית משוואה

x – 0.3x = 56 – x +0.3x
0.7x = 56 -0.7x  / +0.7x
1.4x = 56  /:1.4
x = 40

40 תלמידים יש באוטובוס השני.
16 = 40 – 56 זה מספר התלמידים באוטובוס הראשון.

חלק שני
30% מתוך 40 הנוסעים באוטובוס השני אמורים לעבור.
12 = 40 * (30/100)

תשובה: 12 תלמידים אמורים לעבור מהאוטובוס השני לראשון.

 

תרגיל 14 (התייקרות כפולה)
מחיר זוג נעליים עלה ב-15% ולאחר מיכן ירד ב- 20%.
אם המחיר לאחר השינויים הוא 184 שקלים.
מה המחיר ההתחלתי של הנעליים?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

נגדיר

x  המחיר ההתחלתי של הנעליים בשקלים.
מכוון שהייתה עליה של 15% הכפלה ב 1.15 תבטא את העליה הזו.
מכוון שהייתה ירידה של 20% הכפלה ב 0.8 תבטא את הירידה הזו.

184 = 0.8 * 1.15 * x
0.92x = 184  /:0.92
x = 200

תשובה: המחיר ההתחלתי של הנעליים הוא 200 שקלים.

הערה: אם אתם מעדיפים לעבוד עם מספרים של 115% ו 80% ניתן לפתור את השאלה גם בעזרת התרגיל:

אפשרות אחרת לפתרון התרגיל

 

תרגיל 15 (התייקרות והנחה כפולים כאשר לא ידוע האחוז).
מחיר חולצה הוא 60 שקלים.
המחיר עלה ב x אחוזים ולאחר מיכן ירד באותו מספר אחוזים.
המחיר הסופי של החולצה לאחר שני השינויים הוא 54.6 שקלים.
מצאו את אחוז העלייה והירידה של החולצה.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

אם מחיר החולצה היה עולה ב – 10% היינו כותבים שהמחיר לאחר עליה אחת הוא

אז כאשר המחיר עולה ב x אחוזים נרשום x במקום ה- 10 ונקבל:

עבור עלייה וירידה ב x אחוז נרשום:

המכנה המשותף הוא:
10,000 = 100 * 100
נכפיל ב: 10,000 ונקבל:

נפתח סוגריים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר:
(a² – b² = (a + b) * (a – b

כמו כן נחלק את שני צדדי המשוואה ב- 60 ונקבל:

x² + 10000 = 9100-
x² + 900 = 0  / *-1-
x² -900 = 0
x² = 900
x = 30 או x= -30
מכוון ש x מוגדר כאחוז עלייה הפתרון המתאים הוא x = 30.

תרגיל 16
למחיר ספר הוסיפו 16 שקלים. לאחר מיכן הוזילו את הספר ב- 25%. שבוע אחרי המחיר עלה ב-50% ולאחר עוד שבוע ירד ב- 20 שקלים. מצאו את המחיר ההתחלתי של הספר אם ידוע שמחירו הסופי הוא 88 שקלים.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

נתאר את השינויים במחיר הספר

x
המחיר ההתחלתי של הספר בשקלים.

x + 16
מחיר הספר לאחר התייקרות של 16 שקלים.

0.75 * (x + 16)
מחיר הספר לאחר הנחה של 25%

1.5 * 0.75 * (x  + 16)
המחיר לאחר עלייה של 50%

1.5 * 0.75 * (x  + 16) – 20
המחיר לאחר ירידה של 20 שקלים

בניית משוואה
אנו יודעים שהשורה האחרונה שווה ל 88 לכן המשוואה היא:

1.5 * 0.75 * (x  + 16) – 20 = 88
1.125 * (x + 16) – 20 = 88
1.125x + 18 – 20 = 88
1.125x – 2 = 88
1.125x = 90
x = 80

תשובה: המחיר המקורי של הספר הוא 80 שקלים.

 

תרגיל 17 (שני נעלמים)
דנה תכננה לרכוש טיסה ובית מלון ל 4 ימים במחיר כולל של 2200 שקלים.
דנה חיכתה מעט ואז מחיר הטיסה עלה ב 20% ואילו מחיר המלון ירד ב 10%.
כתוצאה מכך דנה שילמה 80 שקלים יותר עבור החבילה.
חשבו את מחיר המלון ומחיר הטיסה של דנה.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

שלב א: הגדרת משתנים ומחירים
נגדיר:
x  מחיר הטיסה לפני העליה.
y  מחיר המלון לפני הירידה.

"מחיר הטיסה עלה ב 20%"
1.2x  מחיר הטיסה לאחר העליה.

"מחיר המלון ירד ב 10%".
0.9y  מחיר המלון לאחר הירידה.

שלב ב: בניית משוואות ופתרונן
לפני השינויים במחיר המחיר הכולל היה 2200 שקלים.
לכן המשוואה:
x + y = 2200
y = 2200 -x

לאחר העליה המחיר הכולל הוא 2280 שקלים.
לכן המשוואה השנייה היא:
1.2x + 0.9y = 2280

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה ונקבל:
1.2x + 0.9*(2200 -x) = 2280
1.2x + 1980 – 0.9x = 2280
0.3x = 300  / :0.3
x = 1000

מחיר המלון הוא:
y = 2200 -x
y = 2200 – 1000 = 1200

תשובה: מחיר הטיסה לפני העלייה הוא 1000 שקלים, מחיר המלון לפני הירידה הוא 1200 שקלים.

 

תרגיל 18 (שני נעלמים)
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא.
מה המחיר של שולחן ומה המחיר של כיסא?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

שלב א: הגדרת משתנים
x מחיר כיסא.
y  מחיר שולחן.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר שולחן וכיסא ביחד הם 650 שקלים.
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
x + y = 650
(משוואה ראשונה)

"15% ממחיר שולחן " זה:
0.15y
"50% ממחיר כיסא" זה:
0.5x

"15% ממחיר שולחן שווים ל 50% ממחיר כיסא"
ממשפט זה נבנה את המשוואה:
0.15y = 0.5x
נכפיל משוואה זו פי 2 ונקבל:
0.3y = x

קיבלנו את שתי המשוואות:
x + y = 650
0.3y = x

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
0.3y + y = 650
1.3y = 650  / :1.3
y = 500

נמצא את x:
x + y = 650
x + 500 = 650  / -500
x = 150
תשובה: מחיר שולחן הוא 500 שקלים, מחיר כיסא 150 שקלים.

 

תרגיל 19
בחממה יש 800 פרחים. לבנים או צהובים.
יום אחד נמכרו 40% מהפרחים הלבנים ו 60% מהפרחים הצהובים.
סך הכל נמכרו 20 פרחים לבנים יותר מפרחים צהובים.
חשבו כמה פרחים לבנים וצהובים היו בחממה לפני המכירה.

פתרון כתוב

פתרון

נגדיר
x מספר הפרחים הלבנים שהיו בחממה לפני המכירה.
y מספר הפרחים הצהובים שהיו בחממה לפני המכירה.

x + y = 800
x = 800 – y
(משוואה 1)

מספר הפרחים שנמכרו:
0.4x אלו הפרחים הלבנים שנמכרו
0.6y אלו הפרחים הצהובים שנמכרו.

נמכרו 20 לבנים יותר לכן המשוואה היא:
0.6y + 20 = 0.4x
(משוואה 2)

נציב את משוואה 1 במשוואה 2 ונקבל:
(0.6y + 20 = 0.4(800 – y
0.6y + 20 = 320 -0.4y  / -20 + 0.4y
y = 300

x = 800 – y
x = 800 – 300 = 500
תשובה: בחממה לפני המכירה היו 500 פרחים לבנים ו 300 פרחים צהובים.

תרגיל 20 (קנייה ומכירה)
בעל חנות קנה מספר זוגות מכנסיים ב- 6000 שקלים.
10 מכנסיים הוא מכר בהפסד של 30%
ואת שאר המכנסיים ברווח של 20%. סך הכל בעל החנות הרוויח 200 שקלים.
בכמה קנה בעל החנות זוג מכנסיים אחד?

פתרון וידאו
.

פתרון כתוב

פתרון בעזרת שני נעלמים
עבור קניית המכנסיים הנתונים הם:
6000 הסכום ששולם עבור המכנסיים.
x – המחיר שבו נקנה זוג מכנסיים אחד.
y – מספר המכנסיים שנקנו.

המשוואה היא:
x * y = 6000

עבור המכנסיים שנמכרו בהפסד הנתונים הם:
0.7x – מחיר ההפסד של זוג מכנסיים אחד.
10 הוא מספר המכנסיים שנמכרו במחיר זה.
7x – סך כל התמורה עבור 10 המכנסיים שנמכרו בהפסד.

עבור המכנסיים שנמכרו ברווח הנתונים הם:
1.2x מחיר המכירה.
y – 10  מספר המכנסיים שנמכרו.
(1.2x * (y -10   סכום המכירה בשלב זה.

בשני שלבי המכירה הסכום שהתקבל הוא 6200 שקלים לכן המשוואה השנייה היא:
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200

אם היינו רוצים לבנות טבלה היא הייתה נראית כך:

 מחירכמותסכום
קנייהxy6000
מכירה בהפסד0.7x107x
מכירה ברווח1.2xy – 10(1.2x * (y -10

פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
x * y = 6000
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200

נפתח את הסוגריים במשוואה השנייה:
7x + 1.2x * (y -10)  = 6200
7x + 1.2xy -12x  = 6200

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
7x + 1.2*6000 -12x  = 6200
5x + 7200 = 6200-
5x = -1000-
x = 200
תשובה: בעל החנות קנה זוג מכנסיים אחד ב 200 שקלים.

פתרון בעזרת נעלם אחד
עבור קניית המכנסיים הנתונים הם:
6000 הסכום ששולם עבור המכנסיים.
x – המחיר שבו נקנה זוג מכנסיים אחד.
מספר המכנסיים שנקנו

עבור המכנסיים שנמכרו בהפסד הנתונים הם:
0.7x – מחיר ההפסד של זוג מכנסיים אחד.
7x – סך כל התמורה עבור 10 המכנסיים שנמכרו בהפסד.

עבור המכנסיים שנמכרו ברווח הנתונים הם:

בכמה שקלים מכר בעל החנות את כל המכנסיים? (סכום מחירה)
6200 = 200 + 6000
(מחיר קנייה + רווח).

אם היינו רוצים לכתוב את השלב הזה בטבלה זה היה נראה כך:
(לכל מחיר מכירה/ קנייה נדרשת שורה נפרדת בטבלה).

 מחיר לפריטכמותפדיון
קנייהx6000
מכירה בהפסד0.7x107x
מכירה ברווח1.2x

בניית משוואה
המשוואה שלנו היא:
סכום מכירה = המחיר שנכרו המכנסיים בהפסד + המחיר שנמכרו המכנסיים ברווח.

נפתח סוגריים ונקבל:
7200-12x+7x=6200
5x = -1000 /:  -5-
x = 200
תשובה: בעל החנות קנה זוג מכנסיים אחד ב- 200 שקלים.

תרגיל 21
ירקן קנה עגבניות ב 2000 שקלים.
30 קילו עגבניות נרקבו ולא נמכרו.
20% מהסחורה נמכרו בהפסד של שקל.
ואת שאר הסחורה הוא מכר ברווח של 3 שקלים.
סך הכל הירקן הרוויח 890 שקלים.
מה מחיר קילו עגבניות שקנה הירקן?

פתרון וידאו

פתרון כתוב

פתרון בעזרת נעלם אחד
עלינו לחשב את הסכום שהתקבל בכול שלב של המכירה.
השלבים הם: ריקבון, הפסד שקל, רווח 3 שקל.

שלב א: הגדרת משתנה
x  מחיר קילו עגבניות שקנה הירקן.

זה מספר הקילוגרמים שקנה הירקן.

שלב ב: חישוב הכמות הסכום שקיבל הירקן בכול אחד מהשלבים
1.שלב הריקבון
30 קילו שנמכרו ב 0 שקלים.

2.שלב ההפסד של שקל
בשלב זה המוכר מכר 20% מהסחורה.
כלומר זה מספר הקילוגרמים שנמכרו:

הם נמכרו ב x -1 שקלים לכל קילו, לכן הסכום שהתקבל עבורם הוא:

3.שלב הרווח של 3 שקל.
מה הכמות שהסוחר מכר בשלב זה?
80% מהסחורה פחות 30 קילו.

כל קילו נמכר ב x + 3 שקלים.
לכן הסכום שהתקבל בשלב זה הוא:

וכאשר נפתח את הסוגריים נקבל:

שלב ג: בניית משוואה
בבעיה כתוב "סך הכל הירקן הרוויח 890 שקלים".
ומכוון שסכום הקנייה הוא 2000 שקלים אז הסכום הכולל שהירקן קיבל במכירה הוא 2890 שקלים.

לכן סכום הרווח בשלושת השלבים הוא 2890.

זו המשוואה
זו המשוואה

נכפיל ב x את המשוואה ונקבל:
30x² + 400(x-1) +1510x + 4800 = 2890x-
30x² + 400x -400 +1510x + 4800 = 2890x-
30x² -980x + 4400 = 0  / : -30-
x² + 32.666x – 146.666 = 0

נפתור את המשוואה בעזרת נוסחת השורשים ונקבל
x1 = 4,  x2 = -37
מכוון ש x הוא סכום מכירה התשובה היא:
x = 4

תשובה: הירקן קנה מחיר קילו עגבניות ב 4 שקלים.

זהו. מספיק :)
סיימתם את הדף ואם גם פתרתם את התרגילים, כל הכבוד!

עוד באתר:

  1. מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
  2. חישוב בעל פה של אחוזים – ללא דף ונייר.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

24 מחשבות על “בעיות אחוזים כיתה ח”

  1. סוחר קנה כמות מסויימת של מוצרים ושילם על כל מוצר 150 שקל 2 מוצרים התקלקלו ואת השאר מכר ברווח של 10% (המשך השאלה הוסר)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      x כמות המוצרים שנקנו.
      נסו לחשב את סכום הקנייה והמכירה.
      ניתן ללמוד כיצד לעשות זאת מתרגילים 20-21 בדף זה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני מבין שמדובר על ירידה של 20%.

      כאשר משהו יורד ב 20% אחוז נותרים ממנו 80%.
      80 = 20 – 100

      השבר המייצג את 80% הוא 0.8.

      0.8 מתוך x הם
      0.8x

  2. חאלד מחאגנה

    היי אני לומד באתר שלך
    ולמדתי המון
    קודם כל תודה רבה על ההסבר ועל הדרך שאתה מלמד
    רציתי לשאול לגבי תרגיל 12
    לא יותר קל לעשות חישוב בדרך אחרת
    נגיד אם אומרים לנו לאחר מעבר 30 אחוז מספר התלמידים שווה בשני האוטובוסים
    אז המשוואה תהיה
    0.7x=56÷2
    X=40
    מבלי לעשוץ את כל המשוואה הגדולה
    יש בעיה עם זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המשוואה שלך רק מחסירה 30% מצד אחד אבל לא מוסיפה 30% לצד השני.
      לכן היא טעות.

  3. וואו אתר ממש מעולה.
    רציתי לשאול אם יש באתר שאלות בנושא הנחה והתייקרות בשיטת הערך המשולש.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין את שיטת הערך המשולש באתר.
      משום שבאתר מעדיפים להסתמך על הגיון מתמטי בנושא מורכב כמו אחוזים.

  4. עד תרגיל 9 (כולל) הצלחתי בקלות… ואת השאר לא הצלחתי אפילו אחרי הרבה זמן של מחשבה.
    מה כדאי לעשות כדי להשתפר לעלות על דרך הפתרון בשאלות הקשות? (בטח הם אלה שיהיו בבגרות)

    ותודה על הכל!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שי
      שאלות 10-12 הם בעיניי שאלות קשות.
      צריך להתעקש עליהם
      ניתן לראות בעיות דומות ואולי קלות יותר כאן
      https://www.m-math.co.il/algebra/math-word-problems/transfer-problems/
      שאלות 13 והלאה בעיניי ניתנות להבנה
      https://www.m-math.co.il/algebra/math-word-problems/percentage-double-change/
      אם אחרי זה עדיין יהיו שאלות תוכל לפנות אליי אם שאלה ממוקדת לגבי השלב שבו אתה תקוע

  5. דבר ראשון האתר הזה מהמם!! כל הכבוד
    למעלה כתבת על 3 הדרכים הדרך השלישית גם על אחוזים?אפשר לראות דרך
    תודה

  6. אתר מעולה!.
    אשמח אם תוכלו לעזור לי בשאלה באחוזים שיש לי, לצערי הנושא הזה ממש מבלבל אותי…
    (השאלה עצמה הוסרה מהאתר).

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום לוי
      אתה צריך להגדיר את מחיר הכיסא והשולחן לפני עליית המחירים ואחרי עליית המחירים באמצעות משתנה אחד.
      נסה לעשות זאת לפני שאתה קורא את התשובה.

      x מחיר שולחן
      x – 300 מחיר כיסא

      0.8x מחיר שולחן לאחר ירידה של 20%.
      x – 300)*1.2) מחיר כיסא לאחר עליה של 30%

      המחירים שווים, לכן המשוואה היא:
      (0.8x = 1.2 (x -300
      פותרים ומגיעים לתשובה.
      בהצלחה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום לים
      x מחיר הטלפון הזול.
      x + 30 מחיר הטלפון הבינוני.
      x + 30) *1.4) מחיר הטלפון היקר.
      כך הגדרנו את שלושת המחירים באמצעות משתנה אחד x.

      סכום המחירים הוא 344. לכן המשוואה היא:
      x + x+ 30 + 1.4(x + 30) = 344
      פותרים את המשוואה ומוצאים כמה עולה כל אחד מהטלפונים.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.