בדף היכרות עם אחוזים למדנו כיצד הופכים שבר לאחוז וכיצד הופכים אחוז לשבר.
בדף זה אנו נעלה מדרגה ונלמד את שלוש הסוגים של בעיות אחוזים.

חלקי הדף הם:

1. בעיות אחוזים מסוג 1 (חשוב מאוד).
2. בעיות אחוזים מסוג 2 (חשוב קצת פחות).
3. בעיות אחוזים מסוג 3 (לא חשוב).
4. בעיות הדורשות יותר משלב אחד לפתרון (לתלמידים שיודעים שני הסוגים הראשונים).

דברים שצריך לדעת לפני דף זה:

• בעיות מילוליות עם שברים.
• כפל שברים פשוטים.

דפים משלימים באתר:

• בעיות הנחה והתייקרות לכיתה ו נלמדות בדף נפרד.
• אחוזים כיתה ו בוחן, לאחר שסיימתם ללמוד.

סוג 1: מציאת החלק מתוך השלם

דוגמה 1 (שאלה בסיסית)
כמה הם 40% מתוך 20?

פתרון
החלק הוא 40%.
השלם הוא 20.
על מנת לדעת כמה שווה החלק מתוך השלם מכפילים את החלק בשלם.
אבל את האחוז (40%) לא נכניס למשוואה כאחוז אלא כשבר (40/100).

הפיכת 40% ל- 40/100

הכפלת החלק בשלם:

תשובה: 40% מתוך 20 הם 8.

דוגמה 2 (מוסיפה קושי נוסף)
בשקית יש 50 עפרונות ועטים.
30% מהשקית אלו הם עטים.
כמה עפרונות יש במגירה?

פתרון
הקושי הנוסף בשאלה הזו הוא שנתנו לנו מידע על עטים "30% עטים"
אבל השאלה היא על עפרונות.
יש שתי דרכים להתמודד עם הקושי הזה.

דרך 1
נחשב את מספר העטים.
החלק של העטים הוא 30% (ובשבר 30/100)
השלם הוא 50.

הכפלת החלק בשלם:

30% מ- 50 הם 15

מספר העטים הוא 15.
ועטים ועפרונות ביחד יש 50.
לכן מספר העפרונות הוא:
35 = 15 – 50
תשובה: מספר העפרונות הוא 35.

דרך שנייה לפתרון
יש 30% עטים.
לכן יש 70% עפרונות.
נחשב ישרות כמה הם 70% מתוך 50.

הכפלת החלק בשלם:

70% מ- 50 הם 35.

תשובה: מספר העפרונות הוא 35.

תרגילים בנושא בעיות אחוזים מהסוג הראשון

תרגיל 1
בחוף 20 אנשים. 15% חובשים כובע. כמה אנשים בחוף חובשים כובע?

פתרון
החלק הוא 15%.
ובשבר (15/100)
השלם הוא 20.
נכפיל את החלק בשלם:

15% מתוך 20 הם 3

תשובה: 3 אנשים בחוף חובשים כובע.

תרגיל 2
ברחוב יש 60 חנויות. ל 25% מיהן יש שלטי נאון מנצנצים. לכמה חנויות ברחוב אין שלטי נאון מנצנצים?

פתרון
החלק הוא 25% (ובשבר 25/100).
השלם הוא 60.
נכפיל את החלק בשלם.

25% מתוך 60 הם 15.

ל- 15 חנויות יש שלטי נאון מנצנצים.
מתוך 60 חנויות בסך הכל.
לכן מספר החנויות שאין להם שלטי נאון מנצנצים הוא:
45 = 15 – 60.

תשובה: מספר החנויות ברחוב שאין להם שליט נאון מנצנצים הוא 45.

דרך שנייה לפתרון.
ל- 25% מהחנויות יש שלטי נאון מנצנצים.
לכן ל- 75% אין שלטי נאון מנצנצים.
נחשב כמה הם 75% מתוך 60.
החלק של 75% הוא 75/100

נכפיל את החלק בשלם:

75% מתוך 60 הם 45.

והגענו אל אותה תשובה על יד תרגיל אחד.

תרגיל 3
מחיר ארטיק הוא 8 שקלים.
המחיר עלה ב 50%.
מה המחיר הנוכחי של הארטיק?

פתרון
לאחר העליה מחיר הארטיק הוא 150% מהמחיר המקורי.
נכפיל 150% במחיר המקורי של הארטיק (8).
150% הם 150/100.
נכפיל את החלק בשלם:

תשובה: המחיר הנוכחי של הארטיק הוא 12 שקלים.

תרגיל 4

מחיר חולצה הוא 60 שקלים.
מחיר החולצה ירד ב 30%.
מה מחיר החולצה החדש?

פתרון
לאחר ירידה של 30% מחיר החולצה החדש הוא 70% מהמחיר המקורי.
(כי: 70 = 30 – 100).
נחשב כמה הם 70% של 60.
החלק של 70% הוא 70/100.

נכפיל חלק בשלם:

תשובה: מחיר החולצה 42 שקלים.

סוג 2: מציאת החלק והפיכתו לאחוז

חלקכם מכיר את השאלות הללו בשם "מציאת ערך החלק".

דוגמה 1
כמה אחוזים הם 8 מתוך 50?

פתרון
שאלות מסוג זה נפתרות בשני שלבים:

1. מחשבים את החלק היחסי של החלק מתוך הקבוצה כולה.
2. מכפילים פי 100 על מנת להפוך את השבר לאחוז (בדיוק כמו שעושים לכל שבר שרוצים להפוך אותו לאחוז).

החלק המייצג 8 מתוך 50 הוא 8/50.
נכפיל פי 100 ונמצא את גודלו של החלק באחוזים.

8/50 הם 16%.

תשובה: 8 מתוך 50 הם 16%.

דוגמה 2
אתר אינטרנט מפרסם כל יום 30 כתבות.
מתוכם 6 כתבות הם בנושא לימודים.
מה אחוז הכתבות שהן בנושא לימודים?

פתרון
6/30 הוא השבר המייצג את החלק של כתבות בנושא לימודים.
עכשיו עלינו להפוך את השבר 6/30 לאחוזים.
ועושים זאת על ידי הכפלת השבר פי 100.

6 מתוך 30 הם 6/30 = 20%

תשובה: 20% מהכתבות הם בנושא לימודים.

תרגילים בנושא בעיות אחוזים מהסוג השני

תרגיל 1
על מדף מונחים 15 ספרים. 5 מתוכם הם ספרי מתמטיקה. מה אחוז ספרי המתמטיקה שעל המדף?

פתרון
5/15 הוא החלק של ספרי המתמטיקה.
נכפיל פי 100 על מנת לדעת כמה חלק זה שווה באחוזים.

5 מתוך 15 הם 5/15 = 33.33%

תשובה: יש 33.33% ספרי מתמטיקה על המדף.

תרגיל 2 (שאלה זו מוסיפה קושי)
ל 10 תלמידים יש ילקוט לבן.
בכיתה 40 תלמידים.
מה אחוז התלמידים שאין להם ילקוט לבן?

פתרון
דרך ראשונה
נחשב את אחוז התלמידים שיש להם ילקוט לבן.
10/40 הוא החלק של התלמידים שיש להם ילקוט לבן.
נהפוך את השבר הזה לאחוזים על ידי הכפלה פי 100.

10 מתוך 40 הם 10/40 = 25%

ל- 25% יש ילקוט לבן.
לכן אלו שאין להם ילקוט לבן הם:
75% = 25 – 100

תשובה: ל- 75% מהתלמידים אין ילקוט לבן.

דרך שנייה לפתרון התרגיל.
ידוע כי ל- 10 תלמידים מתוך 40 יש ילקוט לבן.
לכן ל- 30 תלמידים אין ילקוט לבן.
30/40 הוא החלק של התלמידים שאין להם ילקוט לבן.
נהפוך את החלק הזה לאחוזים על ידי הכפלה פי 100.

30 מתוך 40 הם 30/40 = 75%

תשובה: ל- 75% מהתלמידים אין ילקוט לבן.

תרגיל 3
מחיר חולצה היה 80 שקלים והוא עלה ל 100 שקלים.
בכמה אחוזים עלה מחיר החולצה?

פתרון
מחיר החולצה עלה ב 20 שקלים מתוך 80.
20/80 הוא החלק של עליית המחיר.
חשוב להדגיש שאת החלק מחשבים תמיד מתוך המספר המקורי (במקרה של 80) ולא מהמספר הסופי (במקרה זה 100)
על מנת למצוא את מספר האחוזים נכפיל את החלק פי 100.

תשובה: מחיר החולצה עלה ב 25%.

תרגיל 4 (דומה לתרגיל 3)
מספר התלמידים בכיתה ירד מ 40 ל 36.
בכמה אחוזים ירד מספר התלמידים בכיתה?

פתרון
מספר התלמידים ירד ב 4 מתוך 40.
4/40 הוא השבר המבטא את החלק של התלמידים שעזבו.
על מנת למצוא את האחוז נכפיל את השבר פי 100.

תשובה: מספר התלמידים בכיתה ירד ב 10%.

סוג 3: מציאת השלם בעזרת חלק

סוג שאלות זה חשוב פחות משני הסוגים הקודמים.
חלק מתלמידי כיתה ו כלל לא ילמדו אותו.
אני ממליץ לשים דגש על שני הסוגים הראשונים של השאלות ורק לאחר שאתם יודעים את שני הסוגים הראשונים היטב לעבור לסוג זה של שאלות.

על מנת לפתור שאלות מסוג זה עליכם לדעת מהו מספר הופכי.
שני מספרים שמכפלתם היא 1 הם הופכיים.

דוגמאות למספרים הופכיים:

דוגמה 1
2/5 מהיושבים באולם הקולנוע אוכלים פופקורן.
סך הכל 8 צופים אוכלים פופקורן.
כמה אנשים יושבים באולם הקולנוע?

פתרון
בסוג זה של שאלות זה יש להכפיל את החלק במספר ההופכי על מנת למצוא את השלם.
כלומר:

התרגיל שיפתור את השאלה הוא:
כפל של המספר ההופכי בחלק:

תשובה: באולם הקולנוע יושבים 20 צופים.

דוגמה 2
בכיתה ל- 1/3 מהתלמידים יש ציון הגבוה מ- 80 במתמטיקה.
סך הכל ל- 12 תלמידים יש ציון הגבוה מ- 80.
כמה תלמידים בכיתה?

פתרון
המספר ההופכי של 1/3 הוא 3/1 או בקיצור 3.
נכפיל את החלק (12) במספר ההופכי (3):
36 = 3 * 12
תשובה: מספר התלמידים בכיתה הוא 36.

חלק רביעי: בעיות אחוזים הדורשות מספר שלבים

בחלק זה נלמד לפתור בעיות אחוזים הדורשות יותר מצעד אחד.
הבעיות הללו מבוססות על הסוג הראשון והשני של בעיות אחוזים שנלמדו למעלה.

תרגיל 1
בגינה פרחים אדומים ולבנים בלבד.
בגינה יש 16 פרחים אדומים.
מספר הפרחים הלבנים הוא 150% ממספר האדומים.
כמה פרחים בגינה?

פתרון
עלינו לחשב את מספר הפרחים הלבנים.
מספר הפרחים הלבנים הוא 150% מתוך 16.
150/100 הוא השבר המתאים ל 150%.

נכפיל את החלק (150/100) בשלם (16):

150% של 16 הם 24.

יש 24 פרחים לבנים.

ביקשו שנמצא את מספר הפרחים בגינה.
יש 16 פרחים אדומים.
לכן:
40 = 24 + 16

תשובה: בגינה 40 פרחים.

תרגיל 2
מחיר כדורגל הוא 80 שקלים.
מחיר כדורסל הוא 40% ממחיר כדורגל.
מה המחיר של 2 כדורי סל ו- 3 כדורגל?

פתרון
מחיר הכדורגל ידוע (80 שקלים), עלינו לחשב את מחיר הכדורסל.
מחיר כדורסל הוא 40% מתוך 80.
40/100 הוא השבר המתאים ל 40%.

נכפיל את החלק בשלם:

40% מ- 80 הם 32.

נחשב את המחיר של 2 כדורי סל ו- 3 כדורי רגל
2 כדורי סל עולים:
64 = 2 * 32.
3 כדורי רגל עולים:
240 = 3 * 80

2 כדורי סל ו- 3 כדורי רגל עולים:
304 = 64 + 240
תשובה: מחיר  2 כדורי סל ו- 3 כדורי רגל הוא 304 שקלים.

הערה:
היה ניתן לפתור את החלק האחרון על ידי תרגיל בודד:
304 = 64 + 240 = 2 * 32 + 3 * 80

תרגיל 3
ארוחה עולה 40 שקלים.
בשעות הצהריים יש 20% הנחה על הארוחה.

1. מה גודל ההנחה?
2. מה מחיר הארוחה בצהריים?

פתרון
גודל ההנחה הוא 20% מתוך 40.
20/100 הוא השבר המתאים ל 20%.

נכפיל חלק בשלם:

20% מתוך 40 הם 8

תשובה: גודל ההנחה הוא 8.

חלק שני: מחיר הארוחה בצהריים
המחיר המקורי הוא 40 שקלים, ההנחה היא 8 שקלים.
לכן המחיר בצהריים הוא:
32 = 8 – 40
תשובה: מחיר הארוחה בצהריים הוא 32 שקלים.

תרגיל 4 (שאלה שונה משלושת השאלות הקודמות)
בשכבת כיתות ו יש שתי כיתות.
בכיתה ו₁ יש 32 תלמידים מתוכם 8 תלמידים מצטיינים במתמטיקה.
בכיתה ו₂ יש 28 תלמידים מתוכם 4 תלמידים מצטיינים במתמטיקה.
מה אחוז התלמידים המצטיינים במתמטיקה בשתי הכיתות ביחד?

פתרון
על מנת לפתור שאלות מהסוג הזה אנחנו לא יכולים להתייחס לכל כיתה בנפרד.

אנחנו צריכים לחשב כמה תלמידים יש בשכבה כולה.
כמה מצטיינים בשכבה כולה.
ואז לבצע את החישוב.

מספר התלמידים בשתי הכיתות ביחד הוא:
60 = 28 + 32
מספר התלמידים המצטיינים בשתי הכיתות ביחד הוא:
12 = 4 + 8

החלק של התלמידים המצטיינים בשתי הכיתות 12 מתוך 60.
12/60 הוא השבר המתאים לחלק זה.

נכפיל את החלק פי 100 על מנת להפוך אותו לאחוזים:

12/60 הם 20%.

תשובה: 20% מתלמידי שכבה ו הם מצטיינים במתמטיקה.

תרגיל 5
לכנס מגיעים 80 אנשים. 50% מיהם קונים כרטיס במחיר מלא. 1/5 קונים כרטיס בהנחה. והשאר מקבלים כרטיס חינם.

1. כמה אחוזים מהאנשים קיבלו כרטיס חינם?
2. כמה אנשים קנו כרטיס במחיר מלא? כמה קנו בהנחה? כמה קיבלו כרטיס חינם?

שרטוט התרגיל

פתרון
עלינו לדעת איזה חלק קיבל כרטיס חינם.
על מנת לעשות זאת צריך לחשב את האחוז שקיבל כרטיס בהנחה.
נהפוך את 1/5 לאחוזים על ידי הכפלה פי 100.

מספר האחוזים ששילם מחיר מלא או קנה בהנחה הוא:
70%=50%+20%

לכן אלו שקיבלו כרטיס חינם הם:
30%=100%-70%
תשובה: 30% מהאנשים קיבלו כרטיס חינם.

סעיף 2
חישוב מספר האנשים ששילם מחיר מלא.
50% מתוך 80 שילמו מחיר מלא:

50% מתוך 80 הם 40

תשובה: 40 אנשים שילמו מחיר מלא.

חישוב מספר האנשים שקנו כרטיס בהנחה.
20% מתוך 80 קנו כרטיס בהנחה.

20% מתוך 80 הם 16

תשובה: 16 איש קנו כרטיס בהנחה.

חישוב מספר האנשים שקיבלו כרטיס חינם.
נחסר מ- 80 את אלו שקנו כרטיס במחיר מלא (50) או בהנחה (16)
24=80-40-16.

תשובה מסכמת: 40 אנשים שילמו מחיר מלא, 16 אנשים קנו כרטיס בהנחה, 24 אנשים קיבלו כרטיס חינם.

שרטוט הפתרון

עוד באתר:

• חשבון כיתה ו – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
• חישוב בעל פה של אחוזים – ללא דף ונייר.
• בעיות מילוליות כיתה ו.
• אחוזים כיתה ח – בעיות אחוזים הכוללות שימוש במשתנה.