אחוזים בית ספר יסודי

בדף זה קורס מלא ומקיף בנושא אחוזים עבור בית ספר יסודי.
החלקים של דף זה הם:

1. הקורס – קישורים לנושאים השונים.
2. תקציר: שלושת סוגי בעיות האחוזים.
3. תרגילים לחזרה.
4. תרגילים קשים.

1.הקורס

בקורס זה שני חלקים.
החלק השני הוא החלק היותר חשוב ואני ממליץ לעבור עליו ביסודיות.

חלק ראשון: משברים לאחוזים ולהפך

הדף הראשון הוא החשוב והארוך יותר בחלק זה.

1. מעבר משבר פשוט לאחוזים ולהפך (הדף החשוב והארוך).
2. מעבר מצורה לאחוזים.
3. מעבר משבר עשרוני לאחוזים.
4. שברים גדולים מ 1 לאחוזים.
5. השלם הוא 100%: בעיות המשלבות אחוזים ושברים.

מבחן מסכם בנושא מעבר משברים לאחוזים ולהפך.

חלק שני: בעיות מילוליות

בחלק זה נלמד לבצע חישובים באחוזים.
נושא מספר 3 "מציאת החלק מהשלם באחוזים" חשוב בהרבה מהנושאים האחרים.

1. חישוב אחוזים ללא נוסחה (חשוב)
2. מציאת חלק מתוך שלם (לא אחוזים, אבל הכרחי להמשך).
3. מציאת החלק מהשלם באחוזים. (סוג ראשון) (חשוב, נקרא גם "ערך האחוז").
4. מציאת האחוז (סוג שני) (נפוץ פחות, פחות חשוב).
5. מציאת השלם על פי החלק (סוג שלישי) (פחות חשוב)
6. זיהוי השינוי באחוזים.
7. בעיות הוזלה והתייקרות.

מבחן מסכם בנושא בעיות הוזלה והתייקרות.

2.תקציר: שלושת סוגי בעיות האחוזים

1.מציאת החלק מתוך השלם (ערך האחוז)

• מציאת החלק מתוך השלם באחוזים.

זה הסוג הנפוץ והחשוב ביותר של בעיות אחוזים.

דוגמה ללא אחוזים
כדי לדעת כמה הם 1/5 מתוך 40 אנו נכפיל את החלק בשלם.

בבעיות אחוזים החלק יהיה נתון בצורה של אחוז.

לכן סדר הפעולות שלנו יהיה:

1. הפיכת האחוז לשבר.
2. כפל השבר בשלם.

דוגמה עם אחוזים
בכיתה 30 תלמידים.
40% מתוכם מעדיפים למידה מרחוק.
כמה תלמידים בכיתה מעדיפים למידה מרחוק?

פתרון
30 הוא השלם.
40% הם החלק.

נהפוך את האחוז לשבר

נכפיל את השבר בשלם.

ניתן להכפיל את השבר הפשוט:

או את השבר העשרוני:

0.4 * 30 = 12

תשובה: 12 תלמידים בכיתה מעדיפים למידה מרחוק.

2.מציאת האחוז (סוג שני)

• מציאת האחוז.

דוגמה
מחיר ספר עלה מ 80 שקלים ל 100 שקלים.
בכמה אחוזים מחיר הספר עלה?

פתרון
הספר עלה ב 20 שקלים ועלינו להפוך את ה 20 שקלים לאחוזים.
בשלב הראשון עלינו להפוך את ה 20 לשבר.

אנחנו נחלק את ה 20 ב 80 או 100?
התשובה היא שתמיד מחלקים במספר המקורי שהוא במקרה זה 80.

נכפיל את השבר פי 100 על מנת לקבל את האחוז.

תשובה: מחיר הספר עלה ב 25%.

3.מציאת השלם על פי החלק (סוג שלישי)

• מציאת השלם על פי החלק.

בשאלות אלו יגידו לנו מה גודלו של חלק מהשלם, באמצעות חלק זה נצטרך למצוא את הגדול של השלם כולו.

במקרים פשוטים נקבל אחוזים שקל להגיע מיהם אל 100%. למשל אם ידוע גודלו של 20% מהשלם נכפיל פי 5 ונמצא את השלם.
במקרים שידוע לנו אחוז שקשה להגיע ממנו ל 100%, נכפיל במספר ההופכי.

דוגמה
במרתף יש יינות לבנים ויינות אדומים.
45% מהינות הם לבנים שהם 36 יינות.
כמה יינות יש במרתף?

פתרון
45% הם 36 יינות.
השבר המתאים ל 45% הוא 45/100.
המספר ההופכי הוא 100/45.
נכפיל את 36 במספר ההופכי.

תשובה: במרתף יש 80 יינות.

3.שאלות חזרה

בחלק זה 7 שאלות חזרה על החלק של הבעיות המילוליות.
התרגילים הם מהסוג הראשון והשני.

תרגיל 1
כמה הם 40% מתוך 20?

פתרון
החלק הוא 40%.
השלם הוא 20.
על מנת לדעת כמה שווה החלק מתוך השלם מכפילים את החלק בשלם.
אבל את האחוז (40%) לא נכניס למשוואה כאחוז אלא כשבר (40/100).

הכפלת החלק בשלם:

תשובה: 40% מתוך 20 הם 8.

תרגיל 2
בשקית יש 50 עפרונות ועטים.
30% מהשקית אלו הם עטים.
כמה עפרונות יש במגירה?

פתרון
הקושי הנוסף בשאלה הזו הוא שנתנו לנו מידע על עטים "30% עטים"
אבל השאלה היא על עפרונות.
יש שתי דרכים להתמודד עם הקושי הזה.

דרך 1
נחשב את מספר העטים.
החלק של העטים הוא 30% (ובשבר 30/100)
השלם הוא 50.

הכפלת החלק בשלם:

מספר העטים הוא 15.
ועטים ועפרונות ביחד יש 50.
לכן מספר העפרונות הוא:
35 = 15 – 50
תשובה: מספר העפרונות הוא 35.

דרך שנייה לפתרון
יש 30% עטים.
לכן יש 70% עפרונות.
נחשב ישרות כמה הם 70% מתוך 50.

הכפלת החלק בשלם:

תשובה: מספר העפרונות הוא 35.

תרגיל 3
בחוף 20 אנשים. 15% חובשים כובע. כמה אנשים בחוף חובשים כובע?

פתרון
החלק הוא 15%.
ובשבר (15/100)
השלם הוא 20.
נכפיל את החלק בשלם:

תשובה: 3 אנשים בחוף חובשים כובע.

תרגיל 4
ברחוב יש 60 חנויות. ל 25% מיהן יש שלטי נאון מנצנצים. לכמה חנויות ברחוב אין שלטי נאון מנצנצים?

פתרון
החלק הוא 25% (ובשבר 25/100).
השלם הוא 60.
נכפיל את החלק בשלם.

ל- 15 חנויות יש שלטי נאון מנצנצים.
מתוך 60 חנויות בסך הכל.
לכן מספר החנויות שאין להם שלטי נאון מנצנצים הוא:
45 = 15 – 60.

תשובה: מספר החנויות ברחוב שאין להם שליט נאון מנצנצים הוא 45.

דרך שנייה לפתרון.
ל- 25% מהחנויות יש שלטי נאון מנצנצים.
לכן ל- 75% אין שלטי נאון מנצנצים.
נחשב כמה הם 75% מתוך 60.
החלק של 75% הוא 75/100

נכפיל את החלק בשלם:

והגענו אל אותה תשובה על יד תרגיל אחד.

תרגיל 5
אתר אינטרנט מפרסם כל יום 30 כתבות.
מתוכם 6 כתבות הם בנושא לימודים.
מה אחוז הכתבות שהן בנושא לימודים?

פתרון
6/30 הוא השבר המייצג את החלק של כתבות בנושא לימודים.
עכשיו עלינו להפוך את השבר 6/30 לאחוזים.
ועושים זאת על ידי הכפלת השבר פי 100.

תשובה: 20% מהכתבות הם בנושא לימודים.

תרגיל 6 (שאלה זו מוסיפה קושי)
ל 10 תלמידים יש ילקוט לבן.
בכיתה 40 תלמידים.
מה אחוז התלמידים שאין להם ילקוט לבן?

פתרון
דרך ראשונה
נחשב את אחוז התלמידים שיש להם ילקוט לבן.
10/40 הוא החלק של התלמידים שיש להם ילקוט לבן.
נהפוך את השבר הזה לאחוזים על ידי הכפלה פי 100.

ל- 25% יש ילקוט לבן.
לכן אלו שאין להם ילקוט לבן הם:
75% = 25 – 100

תשובה: ל- 75% מהתלמידים אין ילקוט לבן.

דרך שנייה לפתרון התרגיל.
ידוע כי ל- 10 תלמידים מתוך 40 יש ילקוט לבן.
לכן ל- 30 תלמידים אין ילקוט לבן.
30/40 הוא החלק של התלמידים שאין להם ילקוט לבן.
נהפוך את החלק הזה לאחוזים על ידי הכפלה פי 100.

תשובה: ל- 75% מהתלמידים אין ילקוט לבן.

תרגיל 7
מספר התלמידים בכיתה ירד מ 40 ל 36.
בכמה אחוזים ירד מספר התלמידים בכיתה?

פתרון
מספר התלמידים ירד ב 4 מתוך 40.
4/40 הוא השבר המבטא את החלק של התלמידים שעזבו.
על מנת למצוא את האחוז נכפיל את השבר פי 100.

תשובה: מספר התלמידים בכיתה ירד ב 10%.

4.בעיות אחוזים הדורשות מספר שלבים

בחלק זה נלמד לפתור בעיות אחוזים הדורשות יותר מצעד אחד.
הבעיות הללו מבוססות על הסוג הראשון והשני של בעיות אחוזים שנלמדו למעלה.

תרגיל 1
בגינה פרחים אדומים ולבנים בלבד.
בגינה יש 16 פרחים אדומים.
מספר הפרחים הלבנים הוא 150% ממספר האדומים.
כמה פרחים בגינה?

פתרון
עלינו לחשב את מספר הפרחים הלבנים.
מספר הפרחים הלבנים הוא 150% מתוך 16.
150/100 הוא השבר המתאים ל 150%.

נכפיל את החלק (150/100) בשלם (16):

יש 24 פרחים לבנים.

ביקשו שנמצא את מספר הפרחים בגינה.
יש 16 פרחים אדומים.
לכן:
40 = 24 + 16

תשובה: בגינה 40 פרחים.

תרגיל 2
מחיר כדורגל הוא 80 שקלים.
מחיר כדורסל הוא 40% ממחיר כדורגל.
מה המחיר של 2 כדורי סל ו- 3 כדורגל?

פתרון
מחיר הכדורגל ידוע (80 שקלים), עלינו לחשב את מחיר הכדורסל.
מחיר כדורסל הוא 40% מתוך 80.
40/100 הוא השבר המתאים ל 40%.

נכפיל את החלק בשלם:

נחשב את המחיר של 2 כדורי סל ו- 3 כדורי רגל
2 כדורי סל עולים:
64 = 2 * 32.
3 כדורי רגל עולים:
240 = 3 * 80

2 כדורי סל ו- 3 כדורי רגל עולים:
304 = 64 + 240
תשובה: מחיר  2 כדורי סל ו- 3 כדורי רגל הוא 304 שקלים.

הערה:
היה ניתן לפתור את החלק האחרון על ידי תרגיל בודד:
304 = 64 + 240 = 2 * 32 + 3 * 80

תרגיל 3
ארוחה עולה 40 שקלים.
בשעות הצהריים יש 20% הנחה על הארוחה.

1. מה גודל ההנחה?
2. מה מחיר הארוחה בצהריים?

פתרון
גודל ההנחה הוא 20% מתוך 40.
20/100 הוא השבר המתאים ל 20%.

נכפיל חלק בשלם:

תשובה: גודל ההנחה הוא 8.

חלק שני: מחיר הארוחה בצהריים
המחיר המקורי הוא 40 שקלים, ההנחה היא 8 שקלים.
לכן המחיר בצהריים הוא:
32 = 8 – 40
תשובה: מחיר הארוחה בצהריים הוא 32 שקלים.

תרגיל 4 (שאלה שונה משלושת השאלות הקודמות)
בשכבת כיתות ו יש שתי כיתות.
בכיתה ו₁ יש 32 תלמידים מתוכם 8 תלמידים מצטיינים במתמטיקה.
בכיתה ו₂ יש 28 תלמידים מתוכם 4 תלמידים מצטיינים במתמטיקה.
מה אחוז התלמידים המצטיינים במתמטיקה בשתי הכיתות ביחד?

פתרון
על מנת לפתור שאלות מהסוג הזה אנחנו לא יכולים להתייחס לכל כיתה בנפרד.

אנחנו צריכים לחשב כמה תלמידים יש בשכבה כולה.
כמה מצטיינים בשכבה כולה.
ואז לבצע את החישוב.

מספר התלמידים בשתי הכיתות ביחד הוא:
60 = 28 + 32
מספר התלמידים המצטיינים בשתי הכיתות ביחד הוא:
12 = 4 + 8

החלק של התלמידים המצטיינים בשתי הכיתות 12 מתוך 60.
12/60 הוא השבר המתאים לחלק זה.

נכפיל את החלק פי 100 על מנת להפוך אותו לאחוזים:

תשובה: 20% מתלמידי שכבה ו הם מצטיינים במתמטיקה.

תרגיל 5
לכנס מגיעים 80 אנשים. 50% מיהם קונים כרטיס במחיר מלא. 1/5 קונים כרטיס בהנחה. והשאר מקבלים כרטיס חינם.

1. כמה אחוזים מהאנשים קיבלו כרטיס חינם?
2. כמה אנשים קנו כרטיס במחיר מלא? כמה קנו בהנחה? כמה קיבלו כרטיס חינם?

פתרון
עלינו לדעת איזה חלק קיבל כרטיס חינם.
על מנת לעשות זאת צריך לחשב את האחוז שקיבל כרטיס בהנחה.
נהפוך את 1/5 לאחוזים על ידי הכפלה פי 100.

מספר האחוזים ששילם מחיר מלא או קנה בהנחה הוא:
70%=50%+20%

לכן אלו שקיבלו כרטיס חינם הם:
30%=100%-70%
תשובה: 30% מהאנשים קיבלו כרטיס חינם.

סעיף 2
חישוב מספר האנשים ששילם מחיר מלא.
50% מתוך 80 שילמו מחיר מלא:

תשובה: 40 אנשים שילמו מחיר מלא.

חישוב מספר האנשים שקנו כרטיס בהנחה.
20% מתוך 80 קנו כרטיס בהנחה.

תשובה: 16 איש קנו כרטיס בהנחה.

חישוב מספר האנשים שקיבלו כרטיס חינם.
נחסר מ- 80 את אלו שקנו כרטיס במחיר מלא (50) או בהנחה (16)
24=80-40-16.

תשובה מסכמת: 40 אנשים שילמו מחיר מלא, 16 אנשים קנו כרטיס בהנחה, 24 אנשים קיבלו כרטיס חינם.

עוד באתר:

• חשבון כיתה ו – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
• חישוב בעל פה של אחוזים – ללא דף ונייר.
• בעיות מילוליות כיתה ו.
• אחוזים כיתה ח – בעיות אחוזים הכוללות שימוש במשתנה.