מעגל גיאומטריה אנליטית 4 יחידות סיכום החומר

עברתי על תוכנית הלימודים ומספר בחינות בגרות אחרונות ואספתי בצורה של נקודות את הדברים הבולטים שאתם צריכים לדעת בגיאומטריה אנליטית עבור הבחינה הרמת 4 יחידות.

הדברים שאספתי הם בנושא מעגל וחישוב שטחים. בנושא משוואת הישר יש כמובן דברים חשובים אך לא הכנסתי אותם לפה.

סך הכל מודגשים כאן 9 נושאים שעליכם לדעת.
כמו כן אני ממליץ לעבור על כל הנושאים בדף קוטר במעגל.

ניתן ללמוד את נושא המעגל גם מהדפים הממוקדים הבאים:

1. הכרת משוואת המעגל.
2. מציאת משוואת המעגל בעזרת נקודה שעל המעגל.
3. מציאת נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים.
4. מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי הנקודה ידוע ואחד חסר.
5. מציאת נקודות חיתוך של ישר ומעגל.
6. כיצד יודעים האם נקודה נמצאת על מעגל, בתוך המעגל או מחוץ למעגל?
7. כאשר מופיעה המילה “קוטר” בשאלה. איזה שאלות יכולים לשאול אותנו?
8. מציאת משוואת משיק למעגל.

1.סרטונים מסכמים

2.קוטר ורדיוס במעגל

1.אמצע הקוטר הוא מרכז המעגל.

בהרבה שאלות מקבלים שתי נקודות היוצרות קוטר במעגל.

צריך לזכור ששתי הנקודות הללו “מחביאות” בתוכן נתון נוסף שהוא מרכז המעגל.

למשל אם הנקודות (6, 1)   ו-   (2 , 5) יוצרות קוטר במעגל אז מרכז המעגל הוא:

אתם צריכים לדעת זאת באופן אוטומטי, מבלי שישאלו אותכם שאלה ישירה של “מצאו את נקודת מרכז המעגל”.

ובנוסף:
לפעמים לא יגידו אפילו את המילה קוטר. אלא ישתמשו במשולש ישר זווית החסום במעגל.
במקרה הזה עליכם להשתמש במשפט “זווית היקפית שגודלה 90 מעלות נשענת על קוטר”.
ואז לחשב את נקודת מרכז המעגל ולמצוא את משוואת המעגל.

3.מציאת משוואת משיק למעגל

הנושא הזה חשוב מאוד.
שואלים עליו הרבה.

התכונות שבעזרתם מוצאים את משוואת המשיק הם:

1. אם ידועה לנו נקודה על המעגל ניתן למצוא את שיפוע הרדיוס (שיפוע על פי שתי נקודות, בעזרת הנקודה שעל המעגל ובעזרת נקודת מרכז המעגל)
2. המשיק מאונך לרדיוס בנקודה ההשקה. לכן ניתן למצוא את שיפוע המשיק.

מ- 1 ו- 2 נובע שיש לנו שיפוע ונקודה של המשיק.
לכן בעזרת הנוסחה למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה ניתן למצוא את משוואת הישר.

• משוואת משיק למעגל תרגילים ומידע נוסף.

4.דברים הנפתרים על ידי הצבה במשוואת המעגל

3. לדעת להציב במשוואת המעגל על מנת למצוא ערך חסר

משוואת המעגל היא:
x-a)²+(y-b)²=R²)
ויש בה 3 משתנים:
a  ערך ה- x של נקודת מרכז המעגל.
b  ערך ה y של נקודת מרכז המעגל.
R  רדיוס המעגל.

אם אנחנו יודעים שניים מתוך שלושת המשתנים הללו ועוד נקודה על המעגל. אנחנו יכולים להציב את שני המשתנים שאנו יודעים במשוואת המעגל ולמצוא את השלישי.

תרגיל לדוגמה.
מצאו את משוואת המעגל העובר דרך הנקודה (7, 3) מרכזו נמצא על ציר ה y ורדיוסו 5.

פתרון
מתוך שלושת הנעלמים במשוואת המעגל אנו יודעים שניים.
R = 5.
ערך ה x של נקודת מרכז המעגל הוא 0  (כי מרכז המעגל נמצא על ציר ה y).
מה שחסר לנו זה ערך ה y של נקודת מרכז המעגל.

ויש לנו את הנתון הנוסף שהוא הנקודה (7, 3) שמאפשר לנו לבנות משוואה.

נגדיר: b ערך ה- y בנקודת מרכז המעגל.
נציב את הנתונים והנקודה במשוואת מרכז המעגל ונפתור.

b² – 14b + 58 = 25
b² – 14b + 33 = 0
נשתמש בפירוק הטרינום או בנוסחת השורשים.
b – 11) ( b – 3) = 0)

b=11, b = 3

תשובה: קיבלנו שיש שתי אפשרויות למרכז המעגל. (3, 0) או (11, 0).

ערך חסר יכול להיות גם רדיוס המעגל.
הסרטון הבא מסביר כיצד למצוא את רדיוס המעגל אם ידוע מרכז המעגל ונקודה על המעגל.

5.לדעת למצוא נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים

בדומה לסעיף הקודם, גם מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים נמצאת על ידי הצבה בנוסחת המעגל.

תרגיל
נתונה משוואת המעגל
x-2)²+(y-1)²=40)
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

פתרון

נציב X=0 על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y.

y² -2y + 1 +4 = 40
y² – 2y + 5 = 40  / -40
y² – 2y – 35 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

ונקבל  Y=7 ו- Y=-5.
תשובה: נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- Y הם: (5-, 0)  (0,7).

על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.
x-2)²+(0 -1)²=40)
X²-4x+4+1=40  /-40
x²-4x-35=0

פתרונות המשוואה הריבועית הם: 8.244 = X או x=-4.244.
תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן  (0, 4.244-)  (0, 8.244)

• חיתוך של מעגל עם הצירים.

6.המשמעות של מעגל המשיק לאחד הצירים או שניהם

המשמעות היא שיש לכם נתון חבוי.
למשל, אם מעגל משיק לציר ה Y אז אורך הרדיוס שלו שווה לערך ה X של מרכז המעגל.

המעגל המשורטט למטה משיק לציר ה y בנקודה y = -1.
לכן הרדיוס המאונך לציר ה y נמצא על משוואת הישר y = -1.
וערך ה y של מרכז המעגל הוא 1-.

כמו כן המרחק של מרכז המעגל מציר ה y הוא R.
ולכן ערך ה x של מרכז המעגל הוא R או R-  (תלוי באיזה רביע נמצאת הנקודה).
נקודת מרכז המעגל היא (1-, R).

• מעגל משיק לצירים מידע נוסף.

7.תכונות מיוחדות של ישרים מקבילים לצירים

התכונות המיוחדות הן:

1. ניתן למצוא את משוואת הישר בעזרת נקודה אחת בלבד (והידיעה כי הוא מקביל לאחד הצירים).
2. קל לחשב מרחק שתי נקודות עליו.
3. קל לזהות את המשוואה שלו בעזרת שתי נקודות הנמצאות עליו.

דוגמאות

מציאת משוואת הישר בעזרת נקודה אחת בלבד

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה x ועובר בנקודה (2-, 4).

פתרון
ישר המקביל ציר ה x הוא בעל ערך y קבוע.
ידוע שבנקודה אחת הערך הוא 2-, לכן הוא 2- לכל אורך הישר ומשוואתו y= -2.

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר המאונך לציר ה y ועובר בנקודה (4-,  1-).

פתרון
ישר מאונך לציר ה y הוא בעל ערך y קבוע.
לכן משוואת הישר היא:
y = -4.

• ישרים מקבילים לצירים.

8.נקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל

אם מנקודה יוצאים שני משיקים למעגל אז אורך שני המשיקים שווה. (זה חלק מהמשפטים בגיאומטריה)
כלומר AB = AC.

בנוסף MB ⊥ AB וגם MC ⊥ AC. כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
לכן ΔABM ≅ ΔACM (חפיפת משולשים על פי צ.צ.צ).
AB = AC
MB = MC
AM צלע משותפת.
לכן אם מבקשים מאיתנו לחשב את שטח המרובע ABMC ניתן לחשב את השטח של אחד המשולשים ולהכפיל פי 2.

חישוב שטח של משולש ושטח של מרובעים שאלכסוניהם מאונכים

9.חישוב שטח משולש

בשאלות הללו יתנו לכם 2 נקודות הנמצאות על אחד הצירים או על ישר המקביל לצירים.
ונקודה שלישית כלשהי.
אתם תצטרכו לחשב את שטח המשולש.

תרגיל 1 (2 נקודות על אחד הצירים)
חשבו את שטח המשולש שאורך שלושת קודקודיו הוא:
(A (1,0),   B(4,0),  C(6,3

פתרון
אורך הצלע BC הוא 3 = 1 – 4.

עכשיו עלינו לחשב את הגובה היוצא מהקודקוד C.
הגובה הוא בעצם ערך ה y של הנקודה C.
כלומר 3.

ולמה אורך הגובה הוא ערך ה y של הנקודה c?
כי כאשר נוריד את הגובה נראה שהנקודה D שאליה הוא מגיע היא בעלת אותו ערך X כמו הנקודה C.
לכן המרחק CD נמצא על ציר ה y בלבד.
(למי שההסבר לא מובן, אני מנסה להסביר את זה טוב יותר בוידאו).

שטח משולש
BC = 3. אורך הגובה הוא 3.
לכן שטח המשולש הוא:
4.5 = 2 : ( 3 * 3)
תשובה: שטח המשולש 4.5 יחידות ריבועיות.

תרגיל 2 (2 נקודות הנמצאות על ישר המקביל לצירים)
חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם:
(A (-2, 5),  B(1,1),   C(-2, -1

פתרון
אורך הצלע AC הוא:
6 = (1-) – 5

אורך הגובה הוא:
3 = (2-) – 1

שטח המשולש הוא:
9 = 2 : (3 * 6)
תשובה: שטח משולש ABC הוא 9 יחידות ריבועיות.

בעזרת חישוב מרחק של נקודה מהצירים.

בעזרת חישוב מרחק של נקודה מישר המקביל לצירים.

• שטח משולש גיאומטריה אנליטית.

 

10.שטח דלתון מעוין וריבוע על פי ערכי הקודקודים הידועים

בצורות דלתון, מעוין וריבוע האלכסונים מאונכים.
ויש נוסחת שטח יעילה בתרגילי גיאומטריה אנליטית והיא מכפלת האלכסונים לחלק ל- 2.

למה הנוסחה יעילה?
כי בגיאומטריה אנליטית הרבה פעמים אנו יודעים את ערכי נקודות הקודקוד.

נציג את הנוסחה לשטח דלתון, אבל זה בדיוק אותו דבר גם בשטח מעוין או בשטח ריבוע.

תרגיל
חשבו את שטח הדלתון שקודקודיו הם:

פתרון
עלינו לחשב את אורך האלכסונים AD ו- BC.

האורך של AD הוא:
AD² = (2 -2)² + (6 – (-2))² = 8²
AD = 8

האורך של BC הוא:
BC² = (4 – 4)² + (5 – (-1))² = 6²
BC = 6

שטח הדלתון הוא:
24 = 2 : (6 * 8)
תשובה: שטח הדלתון הוא 24 יחידות ריבועיות.

הערה: מכוון שבדלתון הספציפי הזה האלכסונים הם ישרים המקבילים לצירים היה ניתן לחשב את שטח הדלתון בדרך קצרה יותר.
מכוון שרציתי להראות דרך המתאימה לכל דלתון / מעוין / ריבוע לא עשיתי זאת.

 

שני נושאים נוספים פחות חשובים

11.משולש שווה שוקיים ומרחק בין נקודות

תרגיל
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) ידועים הקודקודים (B(2,5),   C(6,5.
הקודקוד A נמצא על הישר y= 2x.
מצאו את קודקוד A.

פתרון
נגדיר: x_A הוא ערך ה- x בנקודה A.
לכן ערך ה- Y הוא:
y = 2x_A

על פי נוסחת המרחק בין שתי נקודות האורך בריבוע של AB הוא:
x_A – 2)² + (2x_A – 5)² = d²)

המרחק AC הוא:
x_A – 6)² + (2x_A – 5)² )

אנו יודעים כי AB = AC.
לכן:
x_A – 2)² + (2x_A – 5)²  = (x_A – 6)² + (2x_A – 5)² )

כאשר נפתח את הסוגריים נמצא:
x_A = 4
ולכן ערך ה- y בנקודה A הוא 8.
תשובה: (A (4,8

• משולש גיאומטריה אנליטית.

12.שימוש במשוואת ישר ומשוואת המעגל על מנת למצוא נקודה על המעגל

תרגיל
משוואה מעגל היא x-2)²+(y-7)²=9).
קוטר המעגל והנקודה B נמצאים על הישר y = 3x + 1.
מצאו את הנקודה B אם ידוע שערך ה x שלה גדול יותר מערך ה- x של A.

פתרון
הנקודה A היא מרכז המעגל (7, 2) והיא נמצאת במרחק של 3 מהנקודה B.
(המרחק הוא הרדיוס).
אם נגיד שערך ה- x בנקודה B הוא x_b.
אז ערך ה y הוא:
y_b = 3x_b + 1.

(B (x_b, 3x_b + 1

נציב את הערכים של הנקודה B במשוואת המעגל ונקבל משוואה עם נעלם אחד:

x_b-2)²+(3x_b + 1 – 7)²=9)
x_b² -4x_b + 4 + 9x_b² – 36x_b + 36 = 9
10x_b² -40x_b + 31 = 0   / :10
x_b² – 4x_b + 3.1 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הם 2.94 ו- 1.05.
ערך ה- x של הנקודה B הוא 2.94 (הפתרון 1.05 מתאים לנקודה היוצרת עם B את הקוטר).
ערך ה y בנקודה B הוא:
y = 3 * 2.94 + 1 = 9.82

תשובה: (B (2.94, 9.82

הערה: נושא זה לא בהכרח קשור לקוטר אבל הרבה פעמים משוואת הישר היא משוואת הקוטר.

• גיאומטריה אנליטית כיתה י כוללת תרגילים דומים נוספים.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• גיאומטריה אנליטית 4 יחידות.