מעגל משיק לצירים

כאשר מעגל משיק לצירים אנו יכולים ללמוד שני נתונים “חבויים” בתוך הטקסט.
הנתונים “החבויים” מבוססים על כך שהרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
כלומר, הרדיוס מאונך לציר שאליו הוא משיק ולכן מקביל לציר שאליו הוא לא משיק.

מעגל משיק לציר ה X

במקרה זה שני הנתונים “החבויים” הם:
ערך X של מרכז המעגל שווה לערך X בנקודת ההשקה.
ערך Y של מרכז המעגל שווה ל R או R-.

מעגל משיק לציר ה Y

במקרה זה שני הנתונים “החבויים” הם:
ערך Y של מרכז המעגל שווה לערך Y בנקודת ההשקה.
ערך X של מרכז המעגל שווה ל R או R-.

מעגל משיק לשני הצירים

במקרה זה שני הנתונים “החבויים” הם:
ערך ה X וערך ה Y שווים ל R או R- (בהתאם לרביע שבו ממוקם מרכז המעגל).

טיפ

נניח ואתם לא זוכרים בעל פה את מה שרשום למעלה.
אז כשנותנים לכם שאלה שרטטו סקיצה של המעגל וזה יהיה לכם יותר ברור.
למשל:
מעגל משיק לצירים בנקודה y = 4
האם ערך ה x או ערך ה y של נקודת מרכז המעגל הוא 4?

פתרון
אם לא זוכרים משרטטים מעגל המשיק לצירים ב y = 4.

ועל פי השרטוט ושרטוט הרדיוס המאונך לנקודת ההשקה ניתן לראות שערך ה y של נקודת מרכז המעגל הוא 4.

תרגילים 

תרגיל 1
מצורפים שרטוטים של 3 מעגלים שרדיוסם 5.
על סמך נתון זה ונקודת ההשקה של המעגלים קבעו את משוואת המעגל.

פתרון
מעגל 1
משיק לציר ה x כאשר x = 2.
לכן נקודת מרכז המעגל היא (2,5).

מעגל 2
משיק לציר ה y כאשר y = 2.
לכן נקודת מרכז המעגל היא בנקודה (5,2).

מעגל 3
משיק לציר ה y כאשר y = 2.
כמו כן מרכז המעגל נמצא ברביע השני.
לכן נקודת מרכז המעגל היא בנקודה (5,2-).

תרגיל 2
מעגל משיק לציר ה X בנקודה (8,0) ורדיוסו הוא 4.
מרכז המעגל נמצא ברביע הרביעי.
מצאו את משוואת המעגל.

פתרון
נשרטט סקיצה של הנתונים.

משרטוט הסקיצה אנו רואים כי:
ערך ה X של מרכז המעגל הוא 8.
ערך ה Y של מרכז המעגל הוא 4-.
לכן משוואת המעגל היא:
x-8)² + (y+4)²= 4²)

תרגיל 2
מעגל שמרכזו הוא נמצא בנקודה (6- , 3-) משיק לציר ה Y.
א)מצאו את רדיוס המעגל.
ב)מצאו את נקודת ההשקה עם ציר ה Y.

פתרון
נשרטט סקיצה של של הנתונים:

על פי הסקיצה אנו רואים כי אורך הרדיוס הוא כערך המוחלט של ערך ה X של נקודת מרכז המעגל (3).
כמו כן אנו רואים כי ערך ה Y של מרכז המעגל וערך ה Y של נקודת ההשקה זהה. לכן נקודת ההשקה היא (6- , 0).

תרגיל 3
ידוע כי מעגל משיק לציר ה X וציר ה Y. אלו מבין האפשרויות הבאות יכולות להיות נקודת מרכז המעגל?

1. 6,0.
2. 4,4-.
3. 3,3
4. 9,10

פתרון

אם מעגל משיק לשני הצירים מרכזו יכול להיות בכול אחד מהרבעים והתנאי הוא שהערך מוחלט של ערך ה X וערך ה Y של מרכז המעגל יהיו שווים.
לכן 4, 4-  ו  3, 3 הן התשובות הנכונות.

תרגיל 4
מעגל משיק לשני הצירים ומרכזו נמצא ברביע השני.
מרכז המעגל נמצא על הישר y = x + 8
מצאו את משוואת המעגל.

פתרון
מרכז המעגל נמצא ברביע השני ולכן ערך ה x הוא שלילי וערך ה y הוא חיובי.
ערכי ה ה x וה y של מרכז המעגל שווים בערך המוחלט שלהם ל R.
משני אלו נובע כי מרכז המעגל הוא:
R, R-

בנוסף מרכז המעגל נמצא על הישר
y = x + 8
לכן ניתן להציב את ערכי מרכז המעגל במשוואת הישר.
נקבל:
R = -R + 8  / +R
2R = 8  / :2
R = 4

לכן מרכז המעגל נמצא בנקודה
4, 4-
ומשוואת המעגל היא:
x + 4)² + (y – 4)² = 4²)

עוד באתר:

• גיאומטריה אנליטית 4 יחידות.
• גיאומטריה אנליטית שאלון 382.
• גיאומטריה אנליטית – הדף המרכז בנושא.