בעיות תנועה סכום דרכים

בדף זה נלמד כיצד בונים משוואה של סכום דרכים.
משוואה של סכום דרכים היא משווה הנראית כך:
… = דרך בקטע ב + דרך בקטע א

החלקים של דף זה הם:

  1. הסבר וידאו.
  2. הסבר כתוב: עבור אלו ניסוחים המשוואה תהיה של סכום דרכים?
  3. תרגילים.
  4. קישורים.

דף זה מיועד למנויים באתר.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

3.תרגילים

בחלק זה 6 תרגילים.
תרגילים 4-6 הם שאלות קשות יותר כאשר יש דמיון בין אחת לשנייה.

תרגיל 1
מכונית החלה בנסיעה של 410 ק"מ במהירות מסוימת לאחר 3 שעות הגבירה את מהירותה ב 30 קמ"ש וסיימה את נסיעתה לאחר 5 שעות מרגע יציאתה לדרך.
באיזו מהירות התחילה המכונית את הנסיעה?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את מהירות המכונית, לכן מהירות המכונית תהיה המשתנה
v – המהירות שבה התחילה המכונית את הנסיעה.
v+30 מהירות המכונית לאחר שהגבירה את מהירותה.

שלב ב: בניית טבלה (לא חובה)
נציב את הנתונים בטבלה (בשחור) ונחשב את הדרך שנעשתה בשתי המהירויות (באדום).

 מהירותזמןדרך
נסיעה במהירות התחלתיתv33v
נסיעה במהירות מוגברתv+3022(v+30)

שלב ג: בניית משוואה
3v – הדרך שהמכונית עברה במהירות ההתחלתית.
2(v+30) – הדרך שהמכונית עברה במהירות המוגברת.
סכום הדרכים הוא 410 לכן המשוואה היא:
3v + 2(v+30)=410
3v+2v+60=410 /-60
5v=350 /:5
v=70

תשובה: המהירות ההתחלתית של המכונית הייתה 70 קמ"ש.

תרגיל 2
משתי ערים במרחק 470 ק"מ יצאו זו לקראת זו שתי מכוניות. המהירה מבניהן נסעה 20 קמ"ש מהר יותר מהאיטית. כעבור 2 שעות נסיעה המרחק בניהן היה 150 ק"מ.
מצאו את מהירות המכוניות.

שרטוט הבעיה

פתרון
הרעיון של הפתרון
מבחינת הבנת התרגיל המפתח הוא להבין כי שתי המכוניות ביחד עברו 320 = 150 – 470 ק"מ.
לכן נחשב את הדרך של כל אחת מיהן ונבנה משוואה (משוואת סכום דרכים).

שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את מהירות המכונית, לכן נבחר בה כמשתנה.
v מהירות המכונית האיטית בקמ"ש.
v + 20 מהירות המכונית המהירה בקמ"ש.

שלב ב: בניית טבלה
נציב את הנתונים בטבלה (בשחור) ונבצע את החישוב (באדום).

 מהירותזמןדרך
מכונית איטיתv22v
מכונית מהירהv + 2022v + 40

שלב ג: בניית משוואה
2v – הדרך שעברה המכונית האיטית בשעתיים.
2(v+20) – הדרך שעברה המכונית המהירה בשעתיים.

הדרך ששתי המכוניות עברו ביחד בשעתיים היא 470-150=320 ק"מ.
לכן המשוואה היא:
2v+2(v+20)=320
2v+2v+40=320
4v=280
v=70

תשובה: מהירות המכונית האיטית היא 70 קמ"ש ומהירות המכונית המהירה היא 90 קמ"ש

הסבר למשוואה
הסבר למשוואה

תרגיל 3
מכונית יוצאת מחיפה לכיוון צפון במהירות קבועה.
שעתיים לאחר מיכן יוצאת מחיפה מכונית לכיוון דרום במהירות הנמוכה ב 30 קמ"ש ממהירות המכונית הראשונה.
כעבור 5 שעות מצאת המכונית הראשונה המרחק בין המכוניות הוא 710 ק"מ.
מצאו את המהירות של שתי המכוניות.

פתרון
הזמנים
5 שעות זה הזמן שוסעת המכונית לכיוון צפון.
המכונית שנוסעת לדרום נוסעת 2 שעות פחות ולכן זמן נביעתה הוא 3 שעות.

המהירויות
x  מהירות בקמ"ש של המכונית הנוסעת צפונה.
x – 30  המהירות בקמ"ש של המכונית הנוסעת דרומה.

שרטוט של התרגיל יראה כך:

הדרכים
5x  זו הדרך שעברה המכונית שנסעה צפונה.
x – 30) * 3)  זו הדרך שעברה המכונית שנסעה דרומה.

המשוואה
סכום הדרכים הוא 710 ולכן המשוואה:
5x + 3 (x – 30) = 710
5x + 3x – 90 = 710
8x = 800
x = 100

תשובה: מהירות המכונית שנסעה צפונה היא 100 קמ"ש. מהירות המכונית שנסעה דרומה היא 70 קמ"ש.

תרגיל 4
מכונית יצאה לדרכה במהירות 90 קמ"ש. כאשר הגיעה אל תחנת דלק עצרה בתחנה למשך חצי שעה.
לאחר התדלוק  המשיכה את נסיעתה במהירות 70 קמ"ש עד שהגיעה ליעדה הנמצא 255 ק"מ מנקודת המוצא.
עברו 4 שעות מיציאת המכונית ועד שהגיעה ליעדה.
חשבו את זמן הנסיעה עד לתחנת הדלק ומתחנת הדלק.

פתרון

תיאור המסלול של המכונית
תיאור המסלול של המכונית

ניתן לפתור את התרגיל בעזרת משתנה אחד או שני משתנים.
בהתחלה נפתור עם משתנה אחד ולאחר מיכן עם שני משתנים.

שלב א: הגדרת זמן כמשתנה ובאמצעותו את הדרך
t זמן הנסיעה בשעות עד תחנת הדלק.
4 מינוס t מינוס חצי זמן הנסיעה בקטע השני
90t  הדרך שהמכונית עברה עד תחנת הדלק.
הדרך מתחנת הדלק ועד הסיום

שלב 2: בניית משוואה ופתרונה
בשני הקטעים ביחד המכונית עברה 255 ק"מ. לכן משוואה היא:
90t + 70(3.5-t) = 255
90t + 245 -70t = 255 / -245
20t = 10  / :20
t = 0.5
3 =0.5 – 0.5 – 4

תשובה: משך זמן הנסיעה עד תחנת הדלק הוא 0.5 שעות. משך הנסיעה מתחנת הדלק ועד לסיום הוא 3 שעות.

פתרון התרגיל עם שני משתנים
t1 זמן הנסיעה עד תחנת הדלק.
t2  זמן הנסיעה מתחנת הדלק ועד הסוף.

90t1   הדרך שהמכונית עברה בקטע הראשון.
70t2  הדרך שהמכונית עברה בקטע השני.

המשוואות שלנו הם:
סכום הזמנים הוא 4.
t1 + t2 = 3.5
(כי חצי שעה הייתה מנוחה).

סכום המרחקים הוא 255
90t1 + 70t2 = 255

נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונגיע לאותה תשובה כמו בדרך הראשונה

תרגיל 5
בספורט הדואטלון הספורטאים צריכים לרוץ ולשחות. 
גלית רצה במהירות 10 קמ"ש ושוחה במהירות 6 קמ"ש. 
אורך מסלול הדואטלון (ריצה ושחייה ביחד) הוא 12 ק"מ.
גלית מסיימת את המסיימת את המסלול כולו ב 88 דקות.
חשבו את אורך מסלול הריצה ואת אורך מסלול השחייה.

פתרון
ניתן לפתור את השאלה הזו עם שני נעלמים או עם נעלם אחד.
נפתור עם שני נעלמים.

על מנת להשוות יחידות נהפוך את 88 דקות לשעות.

נגדיר:
זמנים
x זמן הריצה של גלית בשעות.
y  זמן השחייה של גלית בשעות.

מהירויות
10 קמ"ש מהירות הריצה.
6 קמ"ש מהירות השחייה.

מרחקים
10x  זה אורך מסלול הריצה.
6y  זה אורך מסלול השחייה.

משוואות
סכום המרחקים הוא 12 לכן המשוואה היא:
10x + 6y = 12  (משוואה ראשונה)

סכום הזמנים הוא:

נכפיל את המשוואה השנייה פי 6. על מנת לפתור בשיטת השוואת מקדמים.
6x + 6y = 8.8

שתי המשוואות שלנו הם:
10x + 6y = 12
6x + 6y = 8.8
נחסר מהמשוואה הראשונה את המשוואה השנייה.
4x = 3.2
x = 0.8

כלומר זמן מסלול הריצה הוא 0.8 שעות.
וזמן מסלול השחייה הוא:

אורך המסלולים הוא (על פי מהירות כפול זמן):
8 = 0.8 * 10  (אורך מסלול הריצה).
4 = 0.666 * 6  (אורך מסלול השחייה)

נשים לב שאת אורך מסלול השחייה היה ניתן לחשב על פי:
4 = 8 – 12
ובקרה זה היינו חוסכים את חישוב זמן השחייה.

פתרון עם נעלם אחד
מגדירים:
x זמן הריצה.
ולכן:

והמשוואה היא:

תרגיל 6
(שאלה זו היא שוויון דרכים, ולא סכום דרכים כמו נושא הדף הסיבה שהיא מופיעה כאן היא שהיא משלימה את שתי השאלות שהופיעו לפנייה, אלו 3 שאלות עם מאפיינים דומים).

הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון
נפתור את השאלה בשתי דרכים. באמצעות שני משתנים ובאמצעות משתנה אחד.

פתרון בעזרת שני משתנים
נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

 זמןמהירותדרך
דרך הלוךt144t1
דרך חזורt288t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור.
לכן המשוואה השנייה היא:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

פתרון באמצעות נעלם אחד
נגדיר
t  זמן ההליכה הלוך בשעות.
לכן:

הוא זמן ההליכה חזור.

הדרכים
4t  זו הדרך הלוך.


זו הדרך חזור.

שתי הדרכים שוות, לכן המשוואה היא:
(4t = 8 (6 – t
4t = 48 – 8t
12t = 48
t = 4

תשובה: הדרך לים נמשכה 4 שעות.

 

4.קישורים

  1. בעיות תנועה סכום דרכים.
  2. בעיות תנועה עם פגישה.
  3. בעיות תנועה עם טבלה.
  4. בעיות תנועה כיתות ח – ט – דף המציג בעיות מסוגים שונים באותה רמה.
  5. בעיות תנועה – הדף המרכזי עם קישורים לדפים קשים יותר.
  6. מתמטיקה לכיתה ט.
  7. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  8. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
  9. בעיות תנועה – דף הכולל בעיות קשות יותר.
[/mepr-show]

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

5 מחשבות על “בעיות תנועה סכום דרכים”

  1. יש לי שאלה במתמטיקה בנושא חוק הפילוג המורחב ..
    יש לי 2 מלבנים:
    מלבן ראשון-
    הצלע הארוכה- x+3
    הצלע הקצרה- x+7
    מלבן שני-
    הצלע הארוכה- x+1
    הצלע הקצרה- x-5
    השאלה היא אילו ערכים מתאימים ל-x?
    ושטחו של איזה מלבן גדול יותר ולמה ?
    אני צריכה את התשובה כמה שיותר מהרר.
    תודה רבה מראש!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      1.הערכים המתאימים ל x הם הערכים שבהם אורך צלע המלבן היא מספר חיובי.
      2.בני ביטוי של שטח כל אחד מהמלבנים פתחי את הסוגריים וראי מה יותר גדול.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום
    לא ממש הבנתי את תרגיל 4
    איך רוכבת השנייה נסעה 15 ק"מ יותר? הרי היא יצאה אחרי מכונית א

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      היא יצאה אחרי אבל המהירות של שלה גדולה יותר. 20 קמ"ש לעומת 15 קמ"ש.
      בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.