פונקציה ריבועית

פונקציה ריבועית היא נושא חשוב במערכת הלימוד של כיתה ט והידע הנרכש בתחום זה ממשיך אל הכיתות הבאות – לתחום הפונקציות משקל משמעותי בבחינות הבגרות.

פונקציה ריבועית היא מהסוג: ƒ(x) = ax² +bx + k אם כי היא יכולה להראות במספר צורות.

אלו סוגי השאלות והדברים שלרוב שואלים על הפונקציה:

  1. האם נקודה נמצאת על הגרף?
  2. פרבולה ישרה (מחייכת) הפוכה (בוכה) – מינימום מקסימום.
  3. קודקוד פרבולה.
  4. נקודות חיתוך עם ציר ה- Y וה X.
  5. ציר הסימטריה.
  6. פרבולה עולה או יורדת.
  7. פרבולה חיובית או שלילית.
  8. הזזה של פרבולה.
  9. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה.
  10. מציאת נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
  11. שרטוט גרף פרבולה.
  12. מציאת נקודות סימטריות.
  13. פרבולה בעיות עם פרמטרים חסרים.
  14. בעיות בנייה של פרבולה – דף מסכם עם בעיות קשות יחסית.

אתם יכולים ללמוד

1. האם נקודה נמצאת על הגרף?

על מנת לדעת אם נקודה נמצאת על גרף מציבים את ערכי הנקודה שנתנו לנו במשוואת הפונקציה.
למשל"האם הנקודה (1,3) נמצאת על גרף הפרבולה y=2x²+x+4?
נציב:
2*1² +1+4 = 3
2+4+1 =3
7=3.
קיבלנו משוואה לא נכונה – לכן הנקודה לא נמצאת על הפרבולה.
אם הנקודה הייתה נמצאת על גרף הפונקציה היינו מקבלים משוואה מהצורה 4=4, משהוא שהוא תמיד נכון.

שרטוט של הפרבולה y=2x²+x+4 והנקודה

שרטוט של הפרבולה y=2x²+x+4 והנקודה

2. האם הפונקציה בעלת נקודת מינימום או מקסימום

מינימום ומקסימום אלו המושגים הנכונים שכדאי להשתמש בהם אבל יכול להיות שבמקום מינימום תשמעו "ישרה" או  "מחייכת". ובמקום מקסימום תשמעו "הפוכה" או "בוכה"

במבט על משוואת הפונקציה
כאשר המקדם a בביטוי ax² הוא חיובי לפונקציה יש נקודת מינימום, כאשר המקדם הוא שלילי יש נקודת מקסימום.
כאשר המקדם הוא 0 זו לא פונקציה ריבועית.

במבט על גרף הפונקציה
נקודת מינימום נראית כנקודה ממנה יוצאים שני קווים למעלה – גרף "מחייך".
נקודת מקסימום נראית כנקודה ממנה יוצאים שני קווים למטה – גרף "בוכה".

שרטוט של פונקציית מינימום ופונקציית מקסימום

3. מציאת נקודת הקודקוד של הפרבולה

אם משוואת הפרבולה היא  ƒ(x) = ax² +bx + k

אז ערך ה- X של קודקוד הפרבולה הוא:

X=(-b)/2a

לאחר שמצאנו את הערך של X מציבים אותו המשוואה ומקבלים את ערך ה- Y.

למשל עבור:
ƒ(x) = 2x² +8x -2

ערך ה- X של קודקוד הפרבולה:

X = -8/(2*2)= -8/4= -2

נציב במשוואת הפרבולה (הפונקציה הריבועית) על מנת לקבל את ערך ה- Y.

y=2*(-2)² – 8*2 – 2
y=8 -16 – 2= -10

נקודת קודקוד הפרבולה  ƒ(x) = 2x² +8x -2 היא (10-, 2-).

שרטוט הפרבולה ƒ(x) = 2x² +8x -2 ונקודת הקודקוד (10-, 2-).

שרטוט הפרבולה ƒ(x) = 2x² +8x -2 ונקודת הקודקוד (10-, 2-).

4. נקודות חיתוך עם ציר ה- Y וציר ה- X

על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה- X עלינו להציב במשוואת הפרבולה Y=0.
על מנת למצוא את נקודת החיתוך על ציר ה- Y עלינו להציב במשוואת הפרבולה X=0.
עם ציר ה- X יכולות להיות 0,1,2 נקודת חיתוך.
עם ציר ה- Y יכולות להיות 0,1 נקודת חיתוך.

למשל: מציאת נקודת חיתוך של הפרבולה: ƒ(x) = 2x² + 2.

נקודת חיתוך עם ציר ה- Y נציב X=0.
Y=2*0+2=2
נקודת החיתוך עם ציר ה- Y היא (2,0).

נקודת חיתוך עם ציר ה- X – נציב Y=0.
0=2x² + 2.
למשוואה זו אין פתרון! בגלל ש 2x² הוא ביטוי השווה ל 0 או חיובי ו- 2 תמיד חיובי.
דרך נוספת להוכיח זאת היא לראות שהדלתא של הפונקציה הריבועית היא שלילית:
0> 1*2*4 – 0²
0>8 – 0
וכאשר הדלתא שלילית אין למשוואה ריבועית פתרונות או נקודות חיתוך עם ציר ה x.

גרף הפונקציה ƒ(x) = 2x² + 2 ללא נקודות חיתוך עם ציר ה X ועם נקודת חיתוך אחת עם ציר ה Y.

גרף הפונקציה ƒ(x) = 2x² + 2 ללא נקודות חיתוך עם ציר ה X ועם נקודת חיתוך אחת עם ציר ה Y.

5. ציר הסימטריה

ציר הסימטריה הוא ציר שאם מקפלים את הפונקציה לשניים לאורכו הפונקציה שמצד ימין מתלכדת עם הפונקציה שמצד שמאל לציר.

בפרבולת הציר עובר דרך נקודת הקודקוד ומקביל לציר Y. לכן ציר הסימטריה נושא את ערך ה X של נקודת הקיצון של הפרבולה למשל:
עבור פרבולה שנקודת הקיצון שלה היא (3,-5) ציר הסימטריה הוא x=-5.
עבור פרבולה שנקודת הקיצון שלה היא (1,2) ציר הסימטריה הוא x=1.
עבור פרבולה שנקודת הקיצור שלה היא (0,4) ציר הסימטריה הוא x=0.

דוגמה לציר סימטריה של פונקציה ריבועית

דוגמה לציר סימטריה של פונקציה ריבועית

קיימת דרך נוספת למציאת ציר הסימטריה.
כאשר אנו יודעים כי שני ערכי x נותנים את אותו ערך y ניתן לחשב את ציר הסימטריה על ידי הממוצע שלהם.

עבור הנקודות (5,2) (1,2)
3 = 2/ (5+1)
ציר הסימטריה הוא x=3.

6. פרבולה עולה או יורדת

עליה וירידה ניתן לראות על פי הסתכלות על הגרף או על ידי חישוב נגזרת הפרבולה.
ההגדרה המתמטית היא שכאשר X עולה וגם Y עולה הפונקציה עולה. כאשר X עולה ו- Y יורד הפונקציה יורדת.

הסתכלות בגרף
כאשר מסתכלי משמאל לימין עם הגרף עולה אז הפונקציה עולה ואם יורד אז יורדת.
פרבולת מינימום יורדת משמאל לנקודת הקיצון ועולה מימין.
פרבולת מקסימום להפך.

פרבולת מינימום יורדת ואז עולה

פרבולת מינימום יורדת ואז עולה

פרבולת מקסימום עולה ואז יורדת

פרבולת מקסימום עולה ואז יורדת

תחום עליה וירידה בעזרת חישוב נגזרת
כאשר הנגזרת חיובית הפונקציה עולה.
כאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת.

למשל: ƒ(x) = 2x² + 2
ƒ'(x) = 4x
4x>0 כאשר X>0 ואז הפונקציה עולה.
4x<0 כאשר X<0 ואז הפונקציה יורדת.

7. פונקציה ריבועית חיובית או שלילית

במונח פונקציה חיובית או שלילית אנו מתכוונים תמיד לערך ה- Y, האם ה- Y הוא חיובי או שלילי.
מתי ערך ה- Y עובר מחיוביות לשליליות וליהפך? בנקודות החיתוך עם ציר ה- X.

מצורף גרף הפונקציה f(x) = x²-4

 

הפונקציה f(x) = x²-4

ניתן לראות שהגרף עובר מחיוביות ושליליות ולהפך בנקודות החיתוך עם ציר ה- X.
בכיתה ט נקבע מתי הפונקציה חיובית או שלילית על ידי הסתכלות בגרף.

מצאנו בסעיפים קודמים כי נקודות החיתוך של הפונקציה f(x) = x²-4  עם ציר ה- X הן x=2 ו- x=-2.
ניתן לראות שהפונקציה שלילית כאשר x<-2   או x>2.
הפונקציה חיובית כאשר:
-2<x<2

8. מעבר בין הייצוגים השונים של הפונקציה הריבועית

הערה: נושא זה חשוב פחות מהאחרים להמשך הלימודים ולכן כמות הזמן שכדאי להשקיע בו תלויה בדגש שהמורה שלכם בבית הספר שם עליו.

פונקציה ריבועית יכולה להיכתב בצורות שונות;

  1. f(x) = ax² + bx + c זה הייצוג בסטנדרטי.
  2. f(x) = (x-p)² + k ייצוג זה נקרא ייצוג קודקודי, משום שהוא מבליט את מקום הקודקוד. הנקודה (p,k).
  3. (f(x) = (x-t) (x-r ייצוג זה נקרא ייצוג כמכפלה והוא מבליט את נקודות החיתוך עם ציר ה x שהן (t,0) ו (0,r).

כיצד עוברים בין הייצוגים השונים?

על מנת להגיע לייצוג הסטנדרטי מכול ייצוג אחר פותחים סוגריים.

על מנת לעבור מהייצוג הסטנדרטי לייצוג הקודקודי משתמשים בהשלמה לריבוע.
למשל
f (x) = x² + 8x = (x+4)² -16

על מנת לעבור מהייצוג הסטנדרטי לייצוג כמכפלה מבצעים פירוק לגורמים (לפעמים לא ניתן לעשות זאת בצורה נוחה).
למשל:
(f(x) = x²-5x+4 = (x-4) (x-1

9. מציאת נקודות חיתוך של פרבולה וישר

מציאת נקודת חיתוך של פרבולה וישר נעשית בצורה דומה מאוד למציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים.
גם כאן עושים זאת על ידי השוואה בין שתי המשוואות.
דוגמה.
מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה f (x) = x² – 5x + 3 והישר y = 2x -3.

פתרון
נשווה את שתי המשוואות ונקבל:
x² – 5x + 3 = 2x – 3
זו משוואה ריבועית, נפתור אותה
x² – 5x + 3 = 2x – 3    / -2x + 3
x² – 7x + 6 = 0

ניתן לפתור את התרגיל בעזרת נוסחת השורשים או בעזרת פירוק טרינום.
אראה כאן את הדרך של פירוק הטרינום.
x² – 7x + 6 = 0
x² – x – 6x + 6 = 0
x (x – 1) -6 (x- 1) = 0
x – 6) (x – 1) = 0)

הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x = 6,  x = 1

עכשיו כשאנו יודעים את ערכי ה x של נקודות החיתוך אנו צריכים למצוא את ערכי ה y של נקודות החיתוך.
ניתן למצוא אותם על ידי הצבה במשוואת הישר או במשוואת הפרבולה. לרוב קל יותר להציב במשוואת הישר וזה מה שנעשה.
נציב x= 1 במשוואה y = 2x -3
y = 2*1 – 3 = -1
נקודת החיתוך הראשונה היא (1-, 1).

נציב x = 6 במשוואת הישר:
y = 2 * 6 -3 = 12 – 3 = 9
נקודת החיתוך השנייה היא (9, 6).

וכך נראים הגרפים של הפרבולה, הישר ונקודות החיתוך בניהם.

10. שרטוט גרף

לפעמים לא נראה גרף, נענה על סעיפים שונים ואז נידרש לשרטט גרף.

על מנת לשרטט גרף עליכם לדעת שני דברים:

  1. האם זאת פרבולת מינימום או מקסימום.
  2. נקודות חיתוך עם ציר ה- X (חובה) וציר ה- Y (לא חובה).

לאחר שמצאתם את החיתוך עם ציר ה X והאם זו פרבולת מינימום או מקסימום אז מעברים קו בין שלושת הנקודות.

עבור הפונקציה הריבועית f(x) = 2x² -4
הקודקוד הוא b /2a-
0 = 0/4
ערך ה Y בקודקוד הוא:
f(0) = 2*0² -4 = -4
קודקוד (4-, 0)
החיתוך עם ציר ה X הוא y=0.
2x²-4=0
x=√2   או   x=-√2

נשרטט את שלושת הנקודות על גרף:

 שלושת הנקודות על גרף

ועכשיו נשרטט סקיצה של פרבולה העוברת דרך שלושת הנקודות, ונזכור שזו פרבולת מינימום.

שרטוט גרף של פונקציה ריבועית

11. איך מוצאים נקודות סימטריות

 לפעמים מופיעה שאלה כמו:
נתונה הפרבולה f (x) = x² -2x +1.
הנקודה (1, 2) A נמצאת על הפרבולה.
מצאו את הנקודה B, שהיא סימטרית לנקודה A על הפרבולה.

פתרון

המפתח לפתרון הוא להבין שלנקודות סימטריות על פרבולה יש אותו ערך y.
לכן אנו מחפשים נקודה נוספת שערך ה y שלה הוא 1.
נציב y = 1 במשוואה הפרבולה  f (x) = x² -2x +1.
x² – 2x + 1 = 1  / -1
x² – 2x =0
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית הזו על ידי נוסחת השורשים או הוצאת גורם משותף.
x² – 2x = x(x – 2) = 0
x= 0 או x-2 = 0
x = 0 או x = 2.
כאשר x = 2 זו הנקודה A.
הנקודה הסימטרית של A היא (1, 0) B.
(הערה: אנו יודעים שערך ה y בנקודה B הוא 1 כי זה היה התנאי הראשוני שלנו, זה מה שהצבנו במשוואת הפרבולה).

משוואת הפרבולה ושתי הנקודות הסימטריות שעליה

משוואת הפרבולה ושתי הנקודות הסימטריות שעליה

שימו לב: בתרגיל האחרון נתנו לכם את ערך ה x וערך ה y של נקודה  וביקשו ממכם למצוא את הנקודה הסימטרית אליה.
אבל לא חייבים לתת לכם את שתי ערכי הנקודה. מספיק שיתנו לכם את ערך ה x או ערך ה y על מנת למצוא את הנקודה הסימטרית.

למשל:
נתונה פרבולה f(x) = x² +2x -8 = 0 מצאו את שתי הנקודות הסימטריות הנמצאות על הפרבולה וערך ה y שלהן הוא 7.

פתרון
נציב y= 7  במשוואת הפרבולה ונקבל:
x² + 2x – 8 = 7  / -7
x² +2x – 15 =0
x + 5) (x-3) = 0)
x + 5 = 0  או x – 3 = 0
x = -5  או x = 3
תשובה: שתי הנקודות הסימטריות הן (7,  5-) ו  (7, 3).

הערה: אם אתם פותרים משוואה ריבועית ואתם מקבלים פתרון יחיד או משוואה ללא פתרונות זה אומר שאין נקודות סימטריות עבור הערך שהצבתם.

משוואת הפרבולה ושתי הנקודות הסימטריות

משוואת הפרבולה ושתי הנקודות הסימטריות

עוד באתר:

  1. אי שוויונים ריבועיים – כיצד לפתור.
  2. מתמטיקה כיתה ט – הסברים לתרגילים לחומר הנלמד בשנה זו.
  3. בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
  4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

תרגילים בחקירת פונקציה ריבועית

נתונה הפונקציה f(x)=x² -3x-10 מצאו את:

  1. האם הנקודה (1,1) נמצאת על הפונקציה? אם לא מצאו נקודה שרירותית הנמצאת על הפונקציה.
  2. מה היא נקודת קודקוד הפרבולה?
  3. האם זו פונקציית מינימום או מקסימום?
  4. מה הם נקודות החיתוך עם ציר ה- X וציר ה- Y.
  5. מצאו פונקציה ריבועית נוספת עם אותם נקודות חיתוך עם ציר ה- Y. ופונקציה אחרת עם אותם נקודות חיתוך עם ציר ה- X.
  6. שרטטו את גרף הפונקציה.
  7. תחומי עליה וירידה של הפונקציה.

פתרון

1) נציב את הנקודה 1,1 בפונקציה.
1-3-10=1
-12=1
זה אינו נכון לכן הנקודה (1,1) אינה על הפונקציה.

נמצא נקודה שכן נמצאת על הפונקציה. לשם כך נוכל להציב כל X אבל לרוב נוח וקל להציב X=0.
0-0-10=Y
-10=Y.
נקודה שנמצאת על הפונקציה היא (-10, 0).

2)מציאת ערך קודקוד הפרבולה.

ערך ה- X של הקודקוד מתקבל על ידי הנוסחה:
X=(-b)/2a

x=3/2=1.5
נציב את ערך ה- x בפונקציה על מנת לקבל את ערך ה- Y.
y=1.5² -3*1.5-10
2.25-3-10= -10.75
Y=-10.75
נקודת קודקוד הפרבולה היא (-10.75, 1.5).

3) האם זו פונקציית מינימום או מקסימום?
המקדם של X² הוא 1. כלומר חיובי ולכן זו פונקציה ריבועית עם נקודת מינימום.

4) מה הם נקודות החיתוך עם ציר ה- X וציר ה- Y.
על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- Y מציבים X=0.
עשינו זאת כבר בסעיף 1 ומצאנו שהנקודה (-10, 0) היא נקודת החיתוך עם ציר ה- Y.

על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- X מציבים Y=0.
0=x² -3x-10
זו משוואה ריבועית שניתן לפתור אותה בעזרת הנוסחה למשוואה ריבועית אני אעשה זאת דרך פירוק הטרינום.
0=x² -3x-10
0=x² +2x-5x-10
(x(x+2) -5(x+2
x-5) (x+2) = 0)
הפתרונות הם: x=5  או x=-2.
נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן (5,0)  (0, -2).

5) מצאו פונקציה ריבועית נוספת עם אותם נקודות חיתוך עם ציר ה- X.
אנו יודעים כי המשוואה x-5) (x+2) = 0) נותנת לנו את פתרונות הפונקציה. אם נכפיל את המשוואה במספר כלשהו (שונה מ- 0) נקבל את אותה פתרונות.
x-5) (x+2)*2 = Y) – זו פונקציה ריבועית אחרת שתיתן לנו את אותם פתרונות.
הערה: יכולנו לעשות את אותה פעולה גם על פונקציית המקור:
2*(y=(x² -3x-10  – זו בדיוק אותה פעולה ואותו שינוי.

6) שרטטו את גרף הפונקציה
כאשר משרטטים גרף פונקציה ריבועית קודם מציבים את הקודקוד וחיתוך עם הצירים ואז משלימים את הקווים.
צריך לשים לב אם הקודקוד הוא מינימום או מקסימום.

שרטוט של f(x)=x² -3x-10

שרטוט של f(x)=x² -3x-10

7) מתי הפונקציה עולה ומתי יורדת?

ניתן לראות שמצד שמאל לנקודת הקודקוד הפונקציה יורדת ומצד ימין הפונקציה עולה.
בנקודת הקודקוד X=1.5. לכן:
הפונקציה עולה כאשר X>1.5.
הפונקציה יורדת כאשר X<1.5.

8) מתי הפונקציה חיובית ומתי שלילית?
הפונקציה חיובית כאשר ערך ה- Y חיובי ושלילית כאשר ערך ה- Y שלילי.
הפונקציה עוברת מחיוביות לשליליות ולהפך סביב נקודות החיתוך עם ציר ה- X שהן (5,0)  (0, -2).
רואים בגרף שהפונקציה חיובית כאשר X<-2 או  X>5.
הפונקציה שלילית כאשר X>-2 וגם X<5.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

17 thoughts on “פונקציה ריבועית

  1. אוהד

    היי,יודעים כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-X יש לפרבולה בייצוג סטנדרטי *בלי לחשב*?..
    לדוג' – y=x^2 + 5x + 9

    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום אוהד
      לא צריך למצוא את נקודות החיתוך עצמן, אבל כן צריך לבצע חישוב קטן יותר.
      כאשר אנו פותרים משוואה ריבועית בעזרת נוסחת השורשים הביטוי b² – 4ac נמצא בתוך שורש.
      והביטוי הזה קובע את מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית שהם גם מספר נקודות החיתוך עם ציר ה x.
      (כל פתרון של המשוואה הוא נקודת חיתוך עם ציר ה x).
      כאשר b² – 4ac>0 יש לנו למשוואה הריבועית/ פרבולה שני פתרונות ושתי נקודות חיתוך.
      כאשר b² – 4ac = 0 יש למשוואה הריבועית / פרבולה פתרון יחיד ונקודת חיתוך אחת.
      כאשר b² – 4ac<0 אין למשוואה הריבועית / פרבולה 0 פתרונות והפרבולה לא חותכת את ציר ה x.

      במקרה שלך
      b² - 4ac = 25 - 36 = -9
      ולכן לפרבולה שהצגת אין נקודות חיתוך עם ציר ה x (וגם אין לה פתרון)
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום נריה
      1. מוצאים את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x. (על ידי הצבה f(x) = 0).
      2. בודקים אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
      3. משרטטים סקיצה של הפרבולה ולפי השרטוט יודעים מה הם תחומי החיוביות (נמצאים מעל ציר ה x) ותחומי השליליות (מתחת לציר ה x).

      דוגמאות, שרטוטים ותרגילים, הסבר בוידאו תוכל למצוא בדף
      "פרבולה תחומי חיוביות ושליליות".
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/parabola-positive-negative/
      שנת לימודים מוצלחת

    1. רונלד ראקוב

      שלום!
      איך פותרים שאלה שמצויירת פרבולה וגרף ישר וצריך למצוא את נקודת החיתוך הין שניהם?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום תאיר.
      הדף הזה מחולק לנושאי לימוד והוספתי נושא לימוד חדש, נושא מספר 10 "מציאת נקודות סימטריות". ההסבר נמצא שם. זה הנושא האחרון בדף לפני התרגילים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.