לומדים מתמטיקה

מלוח הכפל  ועד הבגרות

פונקציה ריבועית

68 תגובות / מתמטיקה כיתה ט

בשלושת הסרטונים שלמעלה סיכום בנושא פרבולה.

פונקציה ריבועית (פרבולה) היא נושא חשוב בחומר הלימוד של כיתה ט והידע הנרכש בתחום זה ממשיך אל הכיתות הבאות.

באתר זה מדריך מקיף מאוד בנושא פונקציה ריבועית.
אתם יכולים ללמוד בעזרת קישורים המסבירים בפירוט את כל אחד מהנושאים או באמצעות סיכום המופיע לאחר הקישורים.

הנושאים היסודיים:

  1. נקודה על פרבולה.
  2. קודקוד פרבולה.
  3. ציר הסימטריה.
  4. נקודות חיתוך עם ציר ה- Y וה X
  5. פרבולה ישרה (מחייכת) הפוכה (בוכה) – מינימום מקסימום.
  6. פרבולה עולה או יורדת.
  7. שרטוט גרף פרבולה.
  8. פרבולה חיובית או שלילית.

הנושאים המתקדמים:

  1. מציאת נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
  2. פרבולה וישר חישוב שטחים.
  3. שתי פרבולות חיתוך ואי שוויונות.
  4. מציאת נקודות סימטריות.
  5. הזזה של פרבולה.
  6. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה.
  7. בעיות בנייה של פרבולה
  8. פרבולה עם פרמטרים חסרים.
  9. פרבולה חיובית תמיד או שלילית תמיד.

סיכומים:

סיכום וידאו

בחלק זה שלושה סרטונים המסכמים את החומר בנושא פונקציה ריבועית ופרבולה.

סיכום: שאלות ששואלים בנושא פונקציה ריבועית

בחלק זה 11 שאלות נפוצות בנושא פונקציה ריבועית.

3. מציאת נקודת הקודקוד של הפרבולה

אם משוואת הפרבולה היא  ƒ(x) = ax² +bx + c

אז ערך ה- x של קודקוד הפרבולה הוא:

קודקוד פרבולה

לאחר שמצאנו את הערך של x מציבים אותו המשוואה ומקבלים את ערך ה- y.

למשל עבור:
ƒ(x) = 2x² +8x -2

ערך ה- x של קודקוד הפרבולה:
x = -8/(2*2)= -8/4= -2

נציב במשוואת הפרבולה (הפונקציה הריבועית) על מנת לקבל את ערך ה- y.
y=2*(-2)² – 8*2 – 2
y=8 -16 – 2= -10
נקודת קודקוד הפרבולה  ƒ(x) = 2x² +8x -2 היא (10-, 2-).

שרטוט הפרבולה ƒ(x) = 2x² +8x -2 ונקודת הקודקוד (10-, 2-).
שרטוט הפרבולה ƒ(x) = 2x² +8x -2 ונקודת הקודקוד (10-, 2-).

4. נקודות חיתוך עם ציר ה- y וציר ה- x

5. ציר הסימטריה

ציר הסימטריה הוא ציר שאם מקפלים את הפונקציה לשניים לאורכו הפונקציה שמצד ימין מתלכדת עם הפונקציה שמצד שמאל לציר.

בפרבולת הציר עובר דרך נקודת הקודקוד ומקביל לציר y. לכן ציר הסימטריה נושא את ערך ה x של נקודת הקיצון של הפרבולה למשל:
עבור פרבולה שנקודת הקיצון שלה היא (3,-5) ציר הסימטריה הוא x=-5.
עבור פרבולה שנקודת הקיצון שלה היא (1,2) ציר הסימטריה הוא x=1.
עבור פרבולה שנקודת הקיצור שלה היא (0,4) ציר הסימטריה הוא x=0.

דוגמה לציר סימטריה של פונקציה ריבועית
דוגמה לציר סימטריה של פונקציה ריבועית

קיימת דרך נוספת למציאת ציר הסימטריה.
כאשר אנו יודעים כי שני ערכי x נותנים את אותו ערך y ניתן לחשב את ציר הסימטריה על ידי הממוצע שלהם.

עבור הנקודות (5,2) (1,2)
3 = 2/ (5+1)
ציר הסימטריה הוא x=3.

68 מחשבות על “פונקציה ריבועית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אנונימי

    היי הפונקציה שלי היא f(x)=a(x-b)^2+c ואני אמור להציב בה מספרים שקיבלתי בסעיפים הקודמים האם אפשר עזרה
    קודקוד:(1,4)
    וכל נקודה שנמצאת על הגרף:(2,2)

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר יש כפל של שני ביטויים כאשר אחד מיהם חיובי ושני שלילי אז תוצאת המכפלה שלילית.

      תגובה
  3. לורם איפסום

    שלום,
    רציתי לדעת האם יתכן שבפונקציה ריבועית
    ה – Y יהיה שווה לשלילי
    תודה

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כן זה אפשרי וגם פוגשים את זה בהרבה ואפילו ברוב התרגילים.
      x בריבוע לא יכול להיות שלילי אבל הוא יכול להופיע עם סימן מינוס לפניו – שהופך אותו לביטוי שלילי.
      או שחלקים אחרים בפונקציה הריבועית הם שליליים ולכן בסך הכל הפונקציה שלילית.

      תגובה
  4. rachel

    שלום ,אם למשל אני מציב שתי נקודות לפרבולה (2,8) לדוגמא ואחת מן האפשרויות יוצא ש1 = -1 אז זה גם נחשב ?
    תודה !

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      2,8 זו נקודה אחת. למה שתי נקודות?
      אם מציבים נקודה במשוואת הפרבולה ויוצא משהוא לא נכון כמו 1 = 1- זה אומר שהנקודה לא על הפרבולה.
      מקווה שהבנתי.

      תגובה
  7. לידור

    תוכלו לעזור לי בשאלה… תודה רבה.
    א. השלימו מספרים כך שתתקבל פונקציה ריבועית שבה ה-x של קודקוד הפרבולה יהיה 3.
    f(x) = (x+?) (x-?)
    ?= המספר החסר שעליכם להשלים

    ב. חשבו את שיעור ה-y של קודקוד הפרבולה לפי המספרים שהשלמתם בסעיף א’.

    תגובה
  9. אנונימי

    שלום,
    שולאים אותי בשאלה:
    “כתבו את הפונקציה הריבועית לפרבולה המסומנת במספר IV” (יש גם סרטוט בשאלה).
    נקודת המינימום של הפרבולה היא
    (2-,3)

    יש נוסחה שאפשר בזכותה למצוא את הפוקנציה?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לרוב כאשר מדברים על מתיחה מתכוונים למקדם של x בריבוע.

      תגובה
      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        שלום, רציתי יש לי כאן שאלה לכתוב את הביטוי האלגברי של פונקציה (ריבועית) כשנתון לי שנק’ הקודקוד שלה היא (3,3).

        תוכלו להסביר ולעזור? תודה.

        תגובה
  12. משה

    יש לי שאלה:
    נתונה הפונקציה f(x) = (x-3)^2 – 9
    נתונה עוד פונקציה g(x) = -f(x) + m
    לאיזה ערכי m לשתי הפונקציות אין נקודות חיתוך?

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך למצוא m שלמשוואה הבאה אין פתרון
      f(x) = g(x)
      לאחר ההצבה תתקבל משוואה ריבועית ואז צריך לבדוק שהביטוי בתוך השורש קטן מ 0.

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעיקר על פי האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
      מיקום הקודקוד.
      מספר נקודות החיתוך עם ציר ה x

      תגובה
  14. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום, יש לי פרבולה מאותה המשפחה והיא: x-p^+4 ואני לא מצליח למצוא את הקודקוד. אפשר עזרה ? אני תלמיד כיתה ט’ דרך אגב

    תגובה
    2. אנונימי

      עבור פרבולות שנראות כך: y=(x-p)^2+b
      הקודקוד הוא (p,b)
      אם במשוואה הp במינוס, בנקודה הוא יהיה בפלוס.
      לדוגמה עבור y=(x-5)^2+3 הנקודה תהיה (5,3)

      תגובה
  16. נגה

    היי אשמח אם תוכל לעזור לי בשאלה הבאה:
    נקודות האפס של פונקציה ריבועית מהצורה y=(x-p)^2+k הן )2,0) ו (4,0). שיעור הy של קודקוד הפרבולה הוא -1
    רשמו את משוואת הפונקציה הנתונה.
    תודה מראש!

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נקודות ה 0 של הפרבולה הן נקודות סימטריות.
      בעזרת תוכלי למצוא את ערך ה x של הקודקוד כמוסבר כאן:
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/symmetrical-points-parabola/

      לאחר המציאה תוכלי להציב את x,y של הקודקוד בהצגה הקודקודית.
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/parabola-vertex-display/

      דרך שנייה וקלה יותר היא להבין ש k הוא ערך ה y בקודקוד
      k = -1
      ואז להציב את הערך הזה וערך אחת הנקודות במשוואה הקודקודית שקיבלת ולמצוא את p.
      הדרך הראשונה אוליי קשה יותר – אבל חשוב להבין אותה

      תגובה
  17. אנה

    יש לי עוד 3 ימים מבחן ממש עזרתם לי
    אם אצליח במבחן אני אהיה 100% בחמש יחידות

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אביב
      אתה מציב את הפונקציה במקום (f (x ופותר את האי שוויון.
      למשל אם f (x) = x^2 – 5x + 6
      אז עליך לפתור את האי שוויון:
      x^2 – 5x + 6 < 0 במקרה של פרבולה זה אי שוויון ריבועי. הסבר כיצד פותרים אי שוויון ריבועי יש כאן: https://www.m-math.co.il/math-9th-grade/quadratic-inequalities/
      בהצלחה

      תגובה
  21. שמוליק

    וואו, עזר לי ממש האתר, עזר לי להבין כל כך הרבה נושאים ובמיוחד פונקציה ריבועית. תודה רבה! המשיכו כך!

    תגובה
  22. אוהד

    היי,יודעים כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-X יש לפרבולה בייצוג סטנדרטי *בלי לחשב*?..
    לדוג’ – y=x^2 + 5x + 9

    תודה רבה

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אוהד
      לא צריך למצוא את נקודות החיתוך עצמן, אבל כן צריך לבצע חישוב קטן יותר.
      כאשר אנו פותרים משוואה ריבועית בעזרת נוסחת השורשים הביטוי b² – 4ac נמצא בתוך שורש.
      והביטוי הזה קובע את מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית שהם גם מספר נקודות החיתוך עם ציר ה x.
      (כל פתרון של המשוואה הוא נקודת חיתוך עם ציר ה x).
      כאשר b² – 4ac>0 יש לנו למשוואה הריבועית/ פרבולה שני פתרונות ושתי נקודות חיתוך.
      כאשר b² – 4ac = 0 יש למשוואה הריבועית / פרבולה פתרון יחיד ונקודת חיתוך אחת.
      כאשר b² – 4ac<0 אין למשוואה הריבועית / פרבולה 0 פתרונות והפרבולה לא חותכת את ציר ה x.

      במקרה שלך
      b² - 4ac = 25 - 36 = -9
      ולכן לפרבולה שהצגת אין נקודות חיתוך עם ציר ה x (וגם אין לה פתרון)
      בהצלחה

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נריה
      1. מוצאים את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x. (על ידי הצבה f(x) = 0).
      2. בודקים אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
      3. משרטטים סקיצה של הפרבולה ולפי השרטוט יודעים מה הם תחומי החיוביות (נמצאים מעל ציר ה x) ותחומי השליליות (מתחת לציר ה x).

      דוגמאות, שרטוטים ותרגילים, הסבר בוידאו תוכל למצוא בדף
      “פרבולה תחומי חיוביות ושליליות”.
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/parabola-positive-negative/
      שנת לימודים מוצלחת

      תגובה
  25. תלמידת ט'

    אתר מדהים!!!!
    לומדת רק מהאתר הזה!!!
    אין נושא אחד שלא הבנתי אחרי הסבר מפה.

    תגובה
    2. רונלד ראקוב

      שלום!
      איך פותרים שאלה שמצויירת פרבולה וגרף ישר וצריך למצוא את נקודת החיתוך הין שניהם?

      תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום תאיר.
      הדף הזה מחולק לנושאי לימוד והוספתי נושא לימוד חדש, נושא מספר 10 “מציאת נקודות סימטריות”. ההסבר נמצא שם. זה הנושא האחרון בדף לפני התרגילים.

      תגובה