מקבילית

מקבילית היא אחת הצורות היותר חשובות בהנדסת המישור משום שמלבן, ריבוע ומעוין הם סוגים של מקבילית וכדי להבין אותם צריך להבין מקבילית. בדף זה תמצאו:

  1. הגדרת המקבילית.
  2. איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית (5 משפטים).
  3. שטח מקבילית.
  4. מקביליות מיוחדות.
  5. מקבילית משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה.
  6. תרגילים עם פתרונות מלאים.

הדף מיועד לתלמידי כיתה ט ולניגשים לבגרות. עבור תלמידים בבית ספר יסודי מתאים הדף מקבילית כיתה ה.

1. הגדרת מקבילית / תכונות מקבילית

נהוג להגדיר מקבילית כמרובע שבו יש שני זוגות של צלעות מקבילות. אבל זה לא ממש חשוב. יש 5 דרכים להוכיח שמרובע הוא מקבילית וכל אחת מהדרכים שימושית ויכולה לשמש כהגדרת המקבילית.

2. איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית ?

אלו הם חמשת הדרכים להוכיח שמרובע הוא מקבילית:

1) מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.

2) מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות שוות בגודלן הוא מקבילית (כל זוג צלעות שווה ולא ארבע צלעות שוות זו לזו).
מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות שוות בגודלן הוא מקבילית (כל זוג צלעות שווה ולא כל הארבעה).

3) מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות הוא מקבילית.
 מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות הוא מקבילית.

4) מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

5) מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

מרובע שבו יש שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

המשפטים הללו הם סופר חשובים משום שגם על מנת להוכיח שמרובע הוא מלבן / מעוין / ריבוע הרבה פעמים מוכיחים קודם שהמרובע הוא מקבילית ואז צריך להשתמש במשפטים הללו.

כיצד לזכור את כל המשפטים?
זה עוזר לזכור  שיש שלושה משפטים שמדברים על צלעות, אחד על זוויות ואחד על האלכסונים.
עדיף להבין לפחות את תכונת הזוויות מתוך תכונות זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים ולא לשנן על מנת לזכור.

כל אחד מהמשפטים הללו גם מייצג בצורתו ההפוכה את תכונות המקבילית.
כלומר, אם נתון לכם שמרובע הוא מקבילית אז אתם יכולים להשתמש בתכונות הללו ללא הוכחה:
1) שני זוגות של הצלעות הנגדיות מקבילות.
2) שני זוגות של צלעות נגדיות שוות באורכן.
3) האלכסונים חוצים זה את זה.
4) הזוויות הנגדיות שוות.

סיכום תכונות המקבילית

תכונה נוספת שקיימת היא שכאשר מעבירים אלכסונים בתוך המקבילית מקבלים שני זוגות של משולשים חופפים.
בבחינה עליכם להוכיח תכונה זו ולא ניתן להישען עליה כמשפט. ניתן להוכיח זאת בקלות על פי צ.צ.צ.

האלכסונים יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים

האלכסונים יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים

מידע על תכונות מקבילית נוספות כולל תכונות אלכסונים תמצאו דף מקבילית תכונות.

3. שטח והיקף מקבילית

  1. שטח מקבילית (s) נתון על ידי מכפלת צלע מקבילית (a) כפול הגובה לצלע. s=a*h
  2. היקף מקבילית שווה לסכום שתי צלעות סמוכות כפול שתיים. (p=2(a+b.
  3. תרגילים בנושא שטח מקבילית יש בקישור.

שטח והיקף מקבילית

4. מקביליות מיוחדות

  1. מעוין – מקבילית בה שתי צלעות סמוכות שוות.ו/ או אלכסונים מאונכים.
  2. מלבן – מקבילית שבה הזוויות שוות ל- 90 ו/או אלכסונים שווים.
  3. ריבוע – מקבילית המקיימת את תכונות המעוין והמלבן.

5. מקבילית משפטים

משפטי מקבילית בהם ניתן להשתמש בגרות ללא הוכחה:

משפטים בהם משתמשים אם נתונה מקבילית:

  1. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
  2. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
  3. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.
  4. במקבילית שני זוגות זוויות נגדיות שוות.

משפטים בהם משתמשים אם צריך להוכיח שצורה היא מקבילית:

  1. מרובע שבו שני זוגות זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  2. מרובע שבו שני זוגות צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
  3. מרובע שבו שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות זו לזו הוא מקבילית.
  4. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  5. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

לצפייה במשפטים הללו עם שרטוט בדף מקבילית משפטים.

משפטים הקשורים לישרים מקבילים בהם ניתן להשתמש ללא הוכחה:

  1. כיצד מוכיחים ששני קווים הם מקבילים?
    – אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי ונוצרות זוויות מתאימות ו/או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  2. המשפט ההפוך:
    אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז הזוויות המתאימות וזוויות המתחלפות שוות זו לזו.

תרגילים ומידע נוסף בדף תכונות ישרים מקבילים.

6. מקבילית תרגילים

תרגיל 1

נתונה מקבילית ABCD. מאריכים את צלע BA כך ש BA=EA.

הוכיחו: מרובע ACDE הוא מקבילית.

מקבילית

פתרון:

  1. EA=AB=DC – נובע מהנתונים ומכך שצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. DC מקביל ל- EA – צלעות נגדיות במקבילית מקבילות. ואם ישר מקביל לצלע (AB) הוא מקביל גם להמשכה.
  3. מרובע ACDE הוא מקבילית – מרובע שיש לו זוג צלעות שהוא שווה וגם מקביל הוא מקבילית.

תרגיל 2

נתונה מקבילית ABCD .
מורידים שני גבהים AE ⊥ BC ו- CF ⊥ AD.

הוכיחו: מרובע BEDF הוא מקבילית.

הוכחת מקבילית

פתרון:

הרעיון בתרגיל זה הוא להוכיח צלעות שוות (BE=FD) בעזרת חפיפת משולשים.
כמו כן לדעת שהרבה פעמים הורדת גבהים במקבילית יוצרת משולשים חופפים או דומים.

  1. D = ∠B∠  – זוויות נגדיות במקבילית ABCD שוות.
  2. CFD = ∠AEB∠ = 90   – נתון.
  3. DCF = 180 – ∠CFD – ∠D = 180 – ∠AEB – ∠B = ∠BAE∠
  4. AB=DC  – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  5. ΔCFD ≅ ΔAEB – נובע מ- 1,3,4. על פי ז.צ.ז.
  6. BE=FD  – צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות זו לזו.
  7. BE  ΙΙ FD – צלעות נגדיות (או חלק מצלע) במקבילית ABCD מקבילות זו לזו.
  8. BEDF מקבילית – נובע מ 6 ו- 7. מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.

תרגיל 3

במקבילית ABCD נתון כי אורך הצלע הקצרה הוא חצי מאורך האלכסון BD.
נתון כי CO ⊥ DE.

מצאו פי כמה גדול אורך האלכסון CA מהקטע CE.

פתרון:

בשאלה זו מתגלה שלגובה יש תכונה נוספת בגלל שהוא במשולש שווה שוקיים.

מקבילית

  1. נגדיר BD=2X.
  2. DC=½BD = X
  3. DO = ½BD = X  –  אלכסוני מקבילית ABCD חוצים זה את זה.
  4. DO=DC  – נובע מ- 2 ו- 3.
  5. CE=½CO – במשולש שווה שוקיים DOC הגובה הוא גם תיכון.
  6. CO= ½AC – אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
  7. CE=¼AC – נובע מ- 5 ו- 6.

תשובה: האלכסון AC גדול פי 4 מהצלע CE.

תרגיל 4

נתונה מקבילית ABCD. דרך נקודת מפגש אלכסוני המקבילית מעבירים קו FH.
הוכיחו: מרובע AFCH הוא מקבילית.

הוכחה שמרובע הוא מקבילית

פתרון:

  1. FCO  = ∠HAO∠  – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (BC ו- AD) שוות זו לזו.
  2. COF = ∠AOH∠  – זוויות קודקודיות שוות.
  3. CO= AO – אלכסוני המקבילית ABCD חוצים זה את זה.
  4. ΔHAO ≅ ΔFCO  – נובע מ 1,2,3. על פי ז.צ.ז.
  5. FO=HO  – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. מרובע AFCH הוא מקבילית. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית. ( נובע מ- 3 ו-5).

תרגיל 5

נתונה מקבילית ABCD מהקודקודים A ו- C מוציאים ישרים כך שזווית FCD שווה לזווית EAB.

הוכיחו: מרובע AECF הוא מקבילית.

הוכחת מקבילית

פתרון:

יש מספר דרכים להוכיח כאן. כאן תוסבר הדרך המשתמשת במשפט "מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות שוות הוא מקבילית"

  1. FCD = ∠EAB∠  – נתון.
  2. B=∠D∠  – זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. AB=DC – צלעות נגדיות במקבילית שוות זוז לזו.
  4. ΔFCD ≅ ΔEAB  – נובע מ 1,2,3. על פי ז.צ.ז.
  5. FC=AE – צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות זו לזו.
  6. FD=BE  – זוויות מתאימות במשולשים חופפים.
  7. AD=BC  – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  8. AF=AD-FD=BC-BE=EC..
  9. המרובע AECF הוא מקבילית. נובע מ- 5 ו- 8. מרובע עם שתי זוגות צלעות שוות זו לזו הוא מקבילית.

תרגיל 6 – משפט הסינוסים והקוסינוסים במקבילית

אם אתם צריכים תזכורת למשפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים.

נתונה מקבילית ABCD. מהקודקודים B ו- C העבירו שני ישרים לצלע AD הנפגשים בנקודה E.
נתון EBC=40∠ ו- ECB=60∠.  צלע המקבילית BC=10 ס"מ.
CD=2EDD.

חשבו את ED.

שרטוט התרגיל

פתרון

הרעיון שמאחורי הפתרון: להשתמש במשולש BEC ובתכונות המקבילית על מנת להוסיף נתונים למשולש CDE כך שנוכל לגלות את אורכי הצלעות והזוויות שלו.
אם אתם תקועים שאלו את עצמכם: האם השתמשתם בתכונות המקבילית? האם מצאתם משולש שבו יש מספיק נתונים כדי להשתמש במשפט הקוסינוסים / סינוסים?

  1. BEC = 180-60-40=80∠  משלימה ל 180 מעלות במשולש BEC.
  2. במשולש BEC על פי משפט הסינוסים BC / sin 80 = CE / sin 40
    CE = BC * sin 40 / sin 80 = 6.52
  3. CED = ∠BCE = 60∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  4. נגדיר DE=X, CD=2X.
  5. על פי משפט הקוסינוסים במשולש CED:
    CD² = DE² + CE² – 2DE*CE*cos 60
    2x)² = x²  + 6.52²  -2x*6.52*cos 60=  x² + 42.51 -6.52x)
    3x² +6.52x-42.51 = 0
  6. פתרונות המשוואה הריבועית הם 2.83 ו 5-. רק 2.83 יכול להיות אורך של צלע לכן DE=2.83.

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. משפט הסינוסים – תיאוריה ותרגילים.
  2. טריגונומטריה – הדף המרכזי בנושא הכולל קישורים לדפים נוספים.

14 תגובות בנושא “מקבילית

  1. יעל

    אני יום לפני מבחן די גדול (בערך משקל של 45%) גרועה בגיאומטריה ברמות שמסתכלת על תרגילים שעושים בכיתה ולא מבינה על איזה תכונות ועל מה הם מדברים בכלל ואז מצאתי את האתר הזה וזה כזה טוב!! לקחתי מפה מלא חומרים ומקווה שאצליח לשנן ולהבין את הכל למחר… תודה!

    1. הודיה

      יש לי יום אחרי יום העצמאות מבחן ענק במתמטיקה ואני לא יודעת מתי אני יספיק ללמוד אבל האתר הזה מסביר ממש מושלם

  2. בלשניקו

    הייתי חייב-
    המילה"זוג" היא בלשון זכר,
    לכן יש לומר "שני זוגות" ולא "שתי זוגות" כמו הטעות הרווחת בדף זה. חבל שכל לומדי המתמטיקה יטעו בעברית הזו….

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום תומר. תודה רבה וזו טעות שלי בנתונים היה צריך להיות כתוב EAB∠ במקום מה שהיה כתוב בפועל AEB∠.
      הטעות תוקנה ועכשיו הכיתוב נכון.
      עזרתי לי וגם לאחרים. תודה.

  3. יונתן פיקצונברג

    אהבתי מאד את הסגנון הסבר שלך וכתוצאה מכך למדתי המון על המקבילית. תודה על הקדשת הזמן על דבר זה ואני מודה שלמדתי יותר טוב על המקבילית.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      משמח ומרגש שזה תרם לך. מקווה שתשקיע ותלמד עוד המון בנוסף להמון שכבר למדת. אם בעתיד יהיה משהוא שהוא לא ברור לך אתה יכול לשלוח לכאן שאלה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.