הוכחת מקבילית

בדף הקודם למדנו את היסודות של כיצד מוכיחים שמרובע הוא מקבילית.
בדף זה:

  1. נחזור על משפטי ההוכחה (וכיצד לזכור אותם בקלות).
  2. 4 שיטות מתקדמות להוכחת מקבילית.
  3. תרגילי הוכחה.

משפטים להוכחת מקבילית

איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית? יש 5 משפטים שבעזרתם ניתן להוכיח.

  1. מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  2. מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  3. מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.
  4. מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

חמשת המשפטים שבעזרתם מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

4 שיטות להוכחת מקבילית

בחלק זה נעבור על 4 השיטות המרכזיות להוכחת מקבילית.
השיטות מוסברות בכתב ובשני סרטוני וידאו.

על מנת להשתמש בטכניקות הללו עליכם לדעת להוכיח שוויון צלעות בעזרת חיבור או חיסור צלעות.

כלומר אם:
AB = DE,  BC = DC
אז אתם צריכים לדעת להוכיח את השוויון
AC = DE.

1.כאשר מאריכים או מקצרים שתי צלעות מקבילות

ABCD מקבילית.
בתוך המקבילית העבירו את הישרים CE ו EF כך ש DE = BF.
הוכיחו: מרובע AFCE הוא מקבילית.

פתרון
אנו נשאף להוכיח כי הישרים AE,CF הם ישרים מקבילים ושווים ולכן AFCE זו מקבילית על פי המשפט "מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית"

הוכחה ש AE מקביל ל CF
AD || BC
מכוון שהישר CF הוא חלק מישר המקביל לצלע AD גם CF מקביל ל AD
מכך נובע
CF || AE

הוכחה ש AE = CF
AE = AD – ED
CF = BC – BF
על פי כלל החיסור, AE = CF.
*כלל החיסור אומר שאם צלעות הם חיסורים של צלעות שוות אז הישרים שווים.

מרובע AFCE הוא מקבילית על פי המשפט "מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית".

על בסיס אותו עיקרון אתם תוכלו להוכיח שצורה היא מקבילית במגוון רחב של שאלות דומות.

בכול השאלות הבאות נתון כי המרובע ABCD הוא מקבילית.
וצריך להוכיח שהמרובע האפור הוא מקבילית.

תרגיל 1
AE = BF
הוכיחו: EFCD מקבילית

עושים זאת על ידי הוכחה ש ED מקביל ושווה ל FC.

תרגיל 2
AE = BF
הוכיחו: EFCD מקבילית

עושים זאת על ידי הוכחה ש ED מקביל ושווה ל FC.

תרגיל 3
FB = DE
הוכיחו AFCE הוא מקבילית.

עושים זאת על ידי הוכחה ש AE מקביל ושווה ל FC.

2. כאשר מאריכים או מקצרים את אחד האלכסונים במידה שווה בשתי קצותיו

אם נתונה לנו מקבילית. ובמקבילית זו מאריכים או מקצרים את אחד מאלכסוני המקבילית בצורה שווה בשתי קצותיו ניתן להוכיח כי המרובע החדש הוא מקבילית.
לדוגמה:
מרובע ABCD הוא מקבילית.
BE = DF
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

הרעיון של הפתרון
1. המשפט בעזרתו מוכיחים הוכחות מהסוג הזה הוא
"מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית".
2. האלכסונים של המקבילית המבוקשת הם AC, FE.
3. נשים לב כי אנו כבר יודעים כי הנקודה O חוצה את האלכסון AC (שהוא אלכסון בשתי המקביליות) ולכן נותר לנו להוכיח רק ש OF = OE.
ואת זה עושים בעזרת חיסור קטעים שווים מהקטעים BO, OD.

הפתרון בפועל

  1. AO = OC במקבילית ABCD האלכסונים חוצים זה את זה.
  2. OE = OB – EB
  3. OF = OD – FD
  4. OE = OF על פי כלל החיסור "אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מקבלים הפרשים שווים"
  5. מרובע AECF הוא מקבילית – מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

דוגמאות נוספות לשרטוטים הנפתרים באותה דרך הם:

1.הארכת אלכסון
מרובע ABCD הוא מקבילית.
BE = DF
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

2. קיצור שני אלכסונים
מרובע ABCD הוא מקבילית.
BE = DF,  AH = CG.
הוכיחו כי המרובע HEGF הוא מקבילית.

3. כאשר לא אומרים לנו את האורך שקיצרו, אבל מאפשרים לנו להוכיח שקיצרו בצורה שווה בשתי הקצוות.
מרובע ABCD הוא מקבילית.
DCF = ∠BAE∠
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

פתרון

  1. EBA = ∠FDC∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  2. AB=CD צלעות נגדיות במקבילית שוות.
  3. ABE ≅ CDF משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
  4. EB = DF צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

ומכאן ממשיכים להוכיח ש OE = OF כפי שעשינו בתרגילים הקודמים.

3. שתי מקביליות עם צלע משותפת יוצרות מקבילית שלישית

אם בתרגיל נתונות לכם שתי מקביליות שיש להן צלע משותפת אז זה יוצר מקבלית שלישית.

נתון ABCD, EFCD מקביליות.
הוכיחו ABFE מקבילית.

פתרון
עושים זאת על ידי ההוכחה שהצלעות AB,FE הן שוות ומקבילות.

  1. AB = CD = FE צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. AB, FE שתיהן מקבילות ל CD. לכן  AB || FE כי אם שני ישרים מקבילים לישר שלישי אז שני הישרים מקבילים זה לזה.
  3. ABFE מקבילית: אם במרובע שתי צלעות שוות ומקבילות אז הוא מקבילית.

4. כאשר מאריכים את אחת מצלעות המקבילית כאורכה

במקרה זה משתמשים בתכונה שאם שתי צלעות מקבילות אחת לשנייה אז גם המשך אחד הצלעות מקביל אל הצלע שממול.
ההוכחה תעשה בעזרת המשפט "מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית".
למשל:

מרובע ABCD הוא מקבילית
את צלע AB מאריכים כך ש AB = AE.
הוכיחו כי מרובע EACD הוא מקבילית.

פתרון

  1. AE = AB = CD  צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. AE || CD כי אם צלע מקבילה לצלע אחרת גם המשך הצלע מקביל לצלע האחרת.
  3. EACD מקבילית – מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.

דוגמה נוספת לשרטוט הנפתר בדרך הזו.
מרובע ABCD הוא מקבילית
את צלע BC מאריכים כך ש BC = CE.
הוכיחו כי מרובע ACED הוא מקבילית.

פתרון

  1. CE = CB = AD
  2. CE || AD אם שתי צלעות מקבילות אז גם המשך הצלע מקביל לצלע האחרת.
  3. ACED מקבילית – מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.

תרגילים

הערות כלליות לפתרון תרגילים:

  1. עליכם לזכור את חמשת משפטי ההוכחה.
  2. שימו לב לנתונים. אם הנתונים הם אורכי צלעות אז כנראה שעליכם להשתמש במשפט המדבר על אורכי צלעות (משפטים 2 או 3) אם הנתונים הם על נקודת מפגש האלכסונים אז כנראה שעליכם להשתמש במשפט המדבר על אלכסונים במקבילית (משפט 5).
  3. בחלק מהשאלות צריך להשתמש בחפיפת משולשים על מנת להשיג עוד נתונים.
  4. בהרבה שאלות יש כבר מקבילית ואתם צריכים להוכיח שיש עוד אחד. לשם כך עליכם להשתמש בתכונות המקבילית שנתונה לכם בשאלה.

תרגיל 1

בטרפז ABCD מעבירים ישר BE כך ש BE מקביל ל AD.

  1. הוכיחו כי המרובע ABED הוא מקבילית.
  2. אם הנתון היה ש BE = AD (אך הם אינם בהכרח מקבילים). האם גם אז היה ניתן להוכיח ש ABED הוא מקבילית?

הוכחת מקבילית, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BE מקביל ל AD (נתון).
  2. AB מקביל ל ED (אם ישר AB מקביל לצלע CD הוא גם מקביל לחלק מהצלע).
  3. ABED מקבילית. מרובע שבו שתי זוגות צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.

חלק שני

לא. כאשר יש זו צלעות שהוא שווה באורכו וזוג שני שהוא מקביל לא ניתן להוכיח שהמרובע הוא מקבילית – אין משפט כזה.

למשל כך יכול להראות הישר BE כאשר הוא שווה אך לא מקביל ל AD.

דוגמה ל BE= AD אך המרובע ABED הוא לא מקבילית.
דוגמה ל BE= AD אך המרובע ABED הוא לא מקבילית.

תרגיל 2

במקבילית ABCD מעבירים את הישרים AE ו CF כך ש AE מקביל ל CF.
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AE מקביל ל CF (נתון).
  2. AF מקביל ל CE (אם צלע (AD) מקבילה לצלע אחרת (BC) אז גם חלק מהצלע מקביל לחלק לצלע או חלקה).
  3. AECF הוא מקבילית (מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
מכוון שהנתונים היו על זוג צלעות מקבילות חיפשתי את הדרך להשתמש במשפט המדבר על צלעות מקבילות.

תרגיל 3

במקבילית ABCD הנקודות E ו F מקיימות BE=DF.
הוכיחו המרובע הוא AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AF = AD-FD
  2. CE = CB – EB
  3. EB=FD (נתון).
  4. AD=BC (צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו)
  5. AF = CE נובע מסעיפים 1-4.
  6. CE מקביל ל AF (נובע מכך ש AD מקביל ל BC).
  7. AECF הוא מקבילית (נובע מסעיפים 4,5. אם במרובע זוג צלעות שווה ומקביל אז המרובע הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
מכוון שהמידע שקיבלנו הוא על אורך צלע חיפשנו משפט הוכחה המשתמש באורכי צלעות.

תרגיל 4

המרובע ABCD והמרובע CDEF הם מקביליות.
הוכיחו כי המרובע ABFE הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AB=CD צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. EF = CD צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. AB = EF (נובע מ 1 ו 2).
  4. AB מקביל ל CD צלעות נגדיות במקבילית מקבילות.
  5. EF מקביל ל CD צלעות נגדיות במקבילית מקבילות.
  6. AB מקביל ל EF (אם שתי צלעות מקבילות לצלע שלישית (CD) אז הם גם מקבילות אחת לשנייה).
  7. המרובע ABFE הוא מקבילית (נובע מ 3,6) (מרובע שיש בו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
צריך לשים לב לצלע המשותפת לשתי המקביליות ולעשות בה שימוש.

תרגיל 5

במקבילית ABCD מעבירים דרך נקודת מפגש האלכסונים (O) ישר EF.
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. AO=OC (במקבילית נקודת מפגש האלכסונים (O) חוצה את האלכסונים לשני חלקים שווים).
  2. FCA = ∠EAC∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EOA = ∠COF∠ זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
  4. FOC ≅ EOA משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
  5. EO = FO צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  6. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 1,5) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).

דרך אחרת לפתרון היא לכתוב במקום 5:
5. CF= AE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
6. CF מקביל ל CE (אלו שתי חלקי צלעות מתוך צלעות מקבילות)
7. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 6,5) (מרובע עם זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית).

סיכום תרגיל
מכוון שנקודת מפגש האלכסונים הוזכרה בשאלה עלינו לחפש דרך שבה התכונה של נקודת המפגש תעזור לנו לפתור את השאלה.

תרגיל 6

במקבילית ABCD הנקודה O היא נקודת מפגש האלכסונים.
הנקודות E,F נמצאות על האלכסון BD כך ש EB=FD.
הוכיחו המרובע AECF הוא מקבילית.

שרטוט התרגיל הוכחת מקבילית

פתרון

  1. EB=FD (נתון).
  2. OD = OB נקודת המפגש של אלכסוני המקבילית מחלקת כל אלכסון לחלקים שווים.
  3. OF = OD-FD
  4. OE = OB-EB
  5. OF= OE (נובע מסעיפים 1-4).
  6. נעביר את האלכסון AC במקבילית AECF. הנקודה O חוצה אותו לשני חלקים שווים משום ש AC הוא אלכסון במקבילית ABCD.
  7. כלומר AO=OC.
  8. המרובע AECF הוא מקבילית (נובע מ 5,7) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).

עוד באתר:

  1. מקבילית, הדף המרכזי על הצורה.
  2. הוכחת מרובעים, כיצד מוכיחים מרועים אחרים.
  3. מרובעים, מידע על מרובעים נוספים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

12 מחשבות על “הוכחת מקבילית”

  1. אין על האתר שלכם יש לי מבחן מסכם וזה ממש עוזר לי
    תודה רבה!!!
    אני צריכה עזרה בתרגיל:
    נתון: המרובע HGLM הוא מקבילית.
    על צלעות המקבילית מסמנים 4 נקודות A,B,C,D.
    כך ש- HA=GB=LC=MD
    צריך להוכיח: מרובע ABCD הוא מקבילית

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. תודה.
      ניתן להשתמש בחפיפת משולשים על מנת להוכיח שיש שני זוגות של צלעות נגדיות שוות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נויה
      צריך לחשב את האורך והשיפוע של שתי צלעות נגדיות.
      אם תוכיחי ששתי הצלעות שוות באורכן וגם בעלות אותו שיפוע תוכלי להשתמש במשפט אם במרובע זו צלעות שווה ומקביל אז המרובע מקבילית.
      בהצלחה

      1. אם אני מוכיחה שבמרובע יש זוג אחד של צלעות מקבילות וזוג אחד של זוויות נגדיות שוות, זה מספיק בשביל להגיד שזה מקבילית?

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום לירן
          אם מדובר באותו זוג צלעות אז כן.
          אם אלו זוגות נפרדים אז לא.
          בהצלחה

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        או שיש ישר שלישי ששניהם שווים אליהם.
        או שהם מורכבים מחיבור / חיסור קטעים שווים.
        או שיש דרך למדוד אותם.
        או …

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.