טריגונומטריה במרחב 482 (805) 4 יחידות

בדף זה נלמד את הנושא טריגונמטריה במרחב עבור שאלון 482.
על מנת להצליח בשאלון זה עליכם לדעת את החומר משנה שעברה.
כלומר שימוש בסינוס / קוסינוס / טנגס, משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים, חישוב שטח משולש בעזרת שתי צלעות וזווית.

בנוסף עליכם להכיר את תכונות הצורות תיבה ופירמידה.
ובנוסף לדעת לזהות ולחשב זווית בין ישר למישור.

הסתכלתי על 9 בחינות הבגרות האחרונות מהשנים 2016, 2017, 2018.
7 שאלות היו על פירמידה ו 2 על תיבה.
אבל השניים על תיבה היו שתיהן שאלות שנשאלו ב 2018.
כך שלא ניתן לדעת מה תקבלו בבחינה שלכם.

דף זה מחולק לארבעה חלקים:

1. קישורים לנושאים שנלמדו שנה שעברה + מידע על תיבה ופירמידה.
2. דברים מיוחדים שעליכם לדעת על פירמידה.
3. זיהוי נכון של זווית בין ישר למישור בתיבה ופירמידה.
4. פתרון של שאלות מהבגרות.

נושאים נוספים בדף בגרות במתמטיקה 4 יחידות.

1. נושאים בגיאומטריה

1. שיעור 1: טריגונומטריה במשולש ישר זווית.
2. שיעור 2 משפט הסינוסים.
3. שיעור 3: משפט הקוסינוסים.
4. שיעור 4: חישוב שטח משולש בעזרת שתי צלעות וזווית.
5. טריגונומטריה 481 : פתרון שאלות מהבגרות.

נושאים בטריגונומטריה של המרחב

1. מבוא: תיבה, פירמידה. חזרה על בעיות בסיסיות וחישוב נפחים.
2. שיעור 1: זווית בין ישר למישור.
3. שיעור 2: זיהוי משולשים ישרי זווית ושימוש בפיתגורס בתיבה.
4. שיעור 3: זוויות בין ישר למישור בתיבה.
5. שיעור 4: זוויות בין ישר למישור בפירמידה (חשוב במיוחד).
6. שיעור 5: טריגונומטריה של המרחב 381. כולל 6 שאלות מסכמות קצת יותר קלות משאלות בגרות.

2. 4 דברים בסיסיים שאתם צריכים לדעת על פירמידה

1.מה היא פירמידה משוכללת.
פירמידה משוכללת היא פירמידה שכל המקצועות שלה שווים.

2. להיכן מגיע הגובה הפירמידה משוכללת?
2. בפירמידה משוכללת הגובה מגיע
אל מרכז המעגל החוסם את הבסיס.

במלבן או ריבוע מרכז המעגל החוסם הוא נקודת מפגש האלכסונים. לכן גובה הפירמידה מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים.

בפירמידה שבסיסה משולש מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת המפגש של האנכים האמצעים.
במשולש שווה צלעות זו גם נקודת המפגש של התיכונים / חוצי זווית / גבהים.
במשולש שווה שוקיים נקודה זו נמצאת על הגובה לבסיס.
במשולש ישר זווית נקודה זו נמצאת על אמצע היתר.

3. כיצד לחשב את הקטע OF שבשרטוט

נתון לנו כי

• הפירמידה היא פירמידה ישרה שבסיסה מלבן (או ריבוע).
• EF הוא גובה במשולש  ECD.
• O היא נקודת מפגש האלכסונים.
• BC = x.
• כיצד נחשב את גודלו של OF?

פתרון

1. f היא אמצע DC כי המשולש ECD הוא משולש שווה שוקיים וגובה במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון.
2. O היא אמצע BD כי במלבן האלכסונים חוצים זה את זה.
3. OF הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.
4. OF = 0.5BC = 0.5x  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

וזו התשובה: OF = 0.5x

4. העברת תיכון / גובה באחת מפאות הפירמידה זו בניית עזר בסיסית
הפאות של הפירמידה הן משולשים שווי שוקיים.
לפעמים נוח להעביר תיכון / גובה / חוצה זווית לבסיס על מנת לפתור את השאלה.

למשל

• ידוע כי EB= y,  BC = x (כאשר x,y הם מספרים).
• מבקשים מאיתנו למצוא את זווית B.

פתרון
אפשרות אחת: להשתמש במשפט הקוסינוסים כי אנו יודעים את הגודל של שלושת הצלעות.

אפשרות שנייה: להעביר גובה EF ואז נוצר לנו משולש ישר זווית בו ניתן להשתמש בפונקציית הקוסינוס על מנת למצוא את הזווית.

3. זיהוי נכון של זווית בין ישר למישור בתיבה

4. פתרונות לשאלות מהבגרות

מצורפים הצעות לפתרון בחינות הבגרות. את שאלוני הבחינה תוכלו למצוא על ידי חיפוש באינטרנט.

קיץ 2018

סעיף א
EO הוא גובה הפירמידה.
הזווית שבן מקצוע הפירמידה EA לבין בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית EAB∠. נחשב אותה.

1. AO = 0.5AC  גובה בפירמידה ריבועית מגיע אל נקודת מפגש אלכסוני הריבוע. ואלכסוני הריבוע חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.
2. EA = AC נתון שמקצוע הצד שווה לאלכסון הבסיס.
3. cos ∠EAO  = AO : EA = 0.5AC : AC = 0.5
   EAO = 30∠

סעיף ב
עלינו לחשב את הזווית EKO.
כי KO הוא ההיטל של הישר EK על הבסיס ABCD והישר EO הוא הגובה.

נחשב את האורך של OK.

1. EK הוא גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים BEC. (במשולש שווה שוקיים הגובה והתיכון מתלכדים).
2. AO = OC אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה והגובה בפירמידה ריבועית מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים.
3. OK קטע אמצעים במשולש ACB – ישר היוצא מאמצע צלע אחת במשולש ומגיע אל אמצע הצלע השנייה הוא קטע אמצעים.
4. OK = 0.5a  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

נחשב את האורך של EO = AC.
במשולש ABC על פי משפט פיתגורס.
AC² = AB² + BC²
AC² = a² + a² = 2a²
AC = √2 a
EO = AC = √2 a

במשולש EKO
tg ∠EKO = EO : OK = √2 a : 0.5a
tg ∠EKO  = √2 a : 0.5a = 2.82
EKO = 70.47∠

סעיף ג
שטח המעטפת הוא 36.75 סמ"ר.
פירמידה ישרה מורכבת מ 4 משולשים חופפים ושווה שטח.
נחשב את השטח של אחד מהמשולשים הללו.

על מנת לחשב את השטח באמצעות a עלינו למצוא את הגובה EK.
EO = √2 a
EKO = 70.47∠

במשולש EKO
sin ∠EKO = EO : EK
EK = EO : sin ∠ EKO
EK = √2 a : sin 70.47 = 1.5a

שטח משולש EBC הוא:
S_EBC = 0.5EK * BC = 0.5 * 1.5a * a= 0.75a²
השטח של ארבעת המשולשים המרכיבים את המעטפת:
0.75a²*4 = 3a² = 36.75
a² = 12.25
a = 3.5
תשובה: a = 3.5 סנטימטר.

קיץ 2017

א. נסתכל על משולש ADB.
AB=2A נתון.
BD=0.5BC=a הישר AD הוא גובה ותיכון במשולש שווה צלעות ADB.
על פי משפט פיתגורס:
AD² = AB² – BD² = 4a²-a²=3a²
AD= √3*a (תשובה).

ב. נפח פירמידה  הוא שטח הבסיס כפול גובה הפירמידה לחלק ב 3.
שטח הבסיס היא:
S = (BC*AD) /2 = 2a * √3*a :2 = √3 a²
נפח הפירמידה הוא:
V =0.33 * √3 a² * SO = √3 a³
SO=3a

ג. בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות גובה הפירמידה נוגע בבסיס (הנקודה O) במרכז המעגל החוסם את המשולש.
מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת מפגש של האנכים האמצעים.
במשולש שווה צלעות התיכונים הם אנכים אמצעים.
3 התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המחלקת את התיכון ביחס של  2:1.
לכן:
AO=0.66AD=0.66 * √3 * a= 1.154a

SO הוא גובה לבסיס ולכן מאונך לכל ישר במישור הבסיס ולכן AOS=90∠
כך נראה משולש AOS.
הזווית שאנו מחפשים היא SAO∠. (משום שזו זווית בין מקצוע צדדי (SA) לבין היטל של מקצוע זה (AO)).

 

tan x = 3a / 1.154a = 2.6
x= 68.962
תשובה: הזווית שבין בסיס הפירמידה למקצוע צדדי היא 68.962.

חורף 2017

סעיף א
נגדיר את אורך צלע בסיס הריבוע כ AB=X.
על פי משפט פיתגורס במשולש ישר זוויות ABC:
AC²=X²+X²
AC²=2X²
AC=√2 X
SO = 1.25 AC= 1.25 √2 X
נפח הפירמידה הוא:

xᶟ=610
x=8.48
AC=√2 X =√2 8.48=12
תשובה: אורך האלכסון הראשי הוא 12 ס"מ.

סעיף ב
הזווית המבוקשת היא SAO=a
AO= AC:2=6
SO=1.25 12=15
tg a =15:6=2.5
a=68.198
תשובה: הזוויות היא 68.198 מעלות.

סעיף ג.
נמצא את SA תוך שימוש במשולש SAO
Sin 68.198=15: SA
SA=15 : Sin 68.198 = 16.155
SA=SB – זו פירמידה ישרה.
הזוויות המבוקשת היא SBA=b . נחשב אותה על פי משפט הקוסינוסים במשולש SBA
SA²=SB² + AB² – 2*SB*AB*COS b

תשובה: זווית הבסיס של פאה צדדית היא 73.620 מעלות (יתכן שיצא לכם מספר מעט שונה בגלל עיגולים לאורך הדרך).

קיץ 2016

סעיף א
משולש ASC הוא משולש שווה שוקיים. לכן
CAS=(180-70):2=55

סעיף ב
עלינו למצוא את צלעות המלבן וגובה הפירמידה.
במשולש ABC

Cb= 6* tg 50=7.15
(צלע המלבן)

AO =AC:2 = 9.33:2=4.65
במשולש AOS

SO=tg 55 * 4.65=6.64
(גובה הפירמידה).

נפח הפירמידה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.

תשובה: נפח הפירמידה הוא 94.952.

סעיף ג
במשולש ASO

אנו יודעים את שלושת הצלעות במשולש ASO אז ניתן להשתמש במשפט הקוסינוסים על מנת למצוא את הזווית או להוריד גובה שהוא גם תיכון ולהשתמש בפונקציית ה sin.
אשתמש במשפט הקוסינוסים:

תשובה: זווית ASB שווה ל 46.55 מעלות.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.