טריגונומטריה במרחב שאלון 482, 4 יחידות

בדף זה נסכם את החומר בנושא טריגונומטריה במרחב עבור תלמידי 4 יחידות.

חלקי הסיכום הם:

1. סיכום וידאו.
2. נפח תיבה ונפח פירמידה.
3. זווית בין ישר למישור.
4. זיהוי זווית בין ישר למישור.
   א.בתיבה.
   ב.בפירמידה.
5. שימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורך אלכסון.
6. ארבע דברים בסיסיים שאתם צריכים לדעת על פירמידה.
7. תרגילי חישוב זוויות
   א.בתיבה.
   ב. בפירמידה.
8. תרגילים
   א.בתיבה.
   ב.בפירמידה.

1.סיכום וידאו

הערה
עקב תקלה במחשבון בחלק מחישובי הזוויות שיש בסרטונים יש סטייה מספרית של מספר מעלות (דרך הפתרון  המופיעה נכונה).
בתרגילים הכתובים התקלה כבר תוקנה ושם תמצאו את הזוויות המדויקת.

2.נפח תיבה ונפח פירמידה

לגופים סימטריים, גופים שבהם החלק התחתון זהה לחלק העליון הנפח שווה ל :
שטח בסיס * גובה.

אלו הם: תיבה, מנסרה משולשת, גליל.

לגופים שהצורה שלהם מסתיימת בשפיץ הנפח שווה ל:
3 : (שטח בסיס * גובה)

אלו הם: פירמידה וחרוט.

נפח תיבה.

 

נפח פירמידה.

3.זווית בין ישר למישור

הערה: הנושא של זווית בין ישר למישור הוא דבר ויזואלי שמוסבר טוב יותר בוידאו שלמעלה מבטקסט שלמטה.

הגדרה: זווית בין ישר למישור היא הזווית שבין הישר לבין היטלו של הישר על המישור.

בשרטוט שלמטה AB הוא הישר שמחפשים את הזווית שלו עם מישור GDEF.
ו AC הוא ההיטל של AB על המישור.

מה זה היטל?
על מנת למצוא היטל של ישר (AB) על מישור נוריד מקצה הישר גובה אל המישור (BC) ונחבר את הקצה השני של הישר (A) עם הגובה.
ההיטל של הישר AB הוא הישר AC. (הסבר מפורט וטוב יותר בוידאו).

4.זיהוי זווית בין ישר למישור

א.זיהוי זווית בין ישר למישור בתיבה

 

זהו את הזווית בין הישר למישור בשלושת השרטוטים הבאים

דוגמה 1
זהו את הזווית בין הישר C’A לבין המישור ABCD.

 

דוגמה 2
זהו את הזווית בין הישר C’B לבין המישור ABCD.

3.זהו את הזווית בין הישר D’O לבין המישור ABCD.

 

• זוויות בין ישר למישור בתיבה מידע מפורט.

ב.זווית בין ישר למשור בפירמידה

בשאלון 482 לומדים על פירמידה ישרה בלבד – פירמידה שכל המקצועות הצדדיים שלה שווים.

כל הפירמידות המופיעות הדף הן פירמידות ישרות.

דבר בסיסי שעליכם לדעת על פירמידה ישרה
בפירמידה ישרה שבסיסה מלבן או ריבוע  גובה הפירמידה EO מגיע את נקודת מפגש האלכסונים של הבסיס.

תזכורת: תכונות האלכסונים במלבן וריבוע
האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה.

 

תרגיל 1
נתונה פירמידה ישרה ומלבנית.
זהו את הזווית שבין הישר EC לבין המישור ABCD.
(צריך להעביר בניית עזר)

פתרון

תרגיל 2
נתונה פירמידה ישרה ומלבנית.
זהו את הזווית שבין הישר EF לבין המישור ABCD.
(צריך להעביר בניית עזר)

פתרון

זיהו נכון של זווית בין ישר למישור בפירמידה ישרה מרובעת ומשולשת.

• זוויות בין ישר למישור בפירמידה מידע מפורט (+ 2 טיפים מומלצים במיוחד).

5.שימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורך אלכסון

 

6. ארבע דברים בסיסיים שאתם צריכים לדעת על פירמידה ישרה

1.מה היא פירמידה ישרה.
פירמידה ישרה היא פירמידה שכל המקצועות הצדדיים שלה שווים.

2. להיכן מגיע הגובה הפירמידה ישרה?
2. בפירמידה משוכללת הגובה מגיע
אל מרכז המעגל החוסם את הבסיס.

במלבן או ריבוע מרכז המעגל החוסם הוא נקודת מפגש האלכסונים. לכן גובה הפירמידה מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים.

בפירמידה שבסיסה משולש מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת המפגש של האנכים האמצעים.

במשולש שווה צלעות זו גם נקודת המפגש של התיכונים / חוצי זווית / גבהים.
במשולש שווה שוקיים נקודה זו נמצאת על הגובה לבסיס.
במשולש ישר זווית נקודה זו נמצאת על אמצע היתר.

3. כיצד לחשב את הקטע OF שבשרטוט

נתון לנו כי

• הפירמידה היא פירמידה ישרה שבסיסה מלבן (או ריבוע).
• EF הוא גובה במשולש  ECD.
• O היא נקודת מפגש האלכסונים.
• BC = x.
• כיצד נחשב את גודלו של OF?

פתרון

1. f היא אמצע DC כי המשולש ECD הוא משולש שווה שוקיים וגובה במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון.
2. O היא אמצע BD כי במלבן האלכסונים חוצים זה את זה.
3. OF הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.
4. OF = 0.5BC = 0.5x  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

וזו התשובה: OF = 0.5x

4. העברת תיכון / גובה באחת מפאות הפירמידה הישרה זו בניית עזר בסיסית
הפאות של הפירמידה הן משולשים שווי שוקיים.
לפעמים נוח להעביר תיכון / גובה / חוצה זווית לבסיס על מנת לפתור את השאלה.

למשל

• ידוע כי EB= y,  BC = x (כאשר x,y הם מספרים).
• מבקשים מאיתנו למצוא את זווית B.

פתרון
אפשרות אחת: להשתמש במשפט הקוסינוסים כי אנו יודעים את הגודל של שלושת הצלעות.

אפשרות שנייה: להעביר גובה EF ואז נוצר לנו משולש ישר זווית בו ניתן להשתמש בפונקציית הקוסינוס על מנת למצוא את הזווית.

7.תרגילי חישוב

א. תרגילי חישוב בתיבה

תרגיל 1

חשבו את הזווית שבין ‘CD לבין מישור ABCD על פי הנתונים שבשרטוט.
CD = 4,  CD’ = 6

תרגיל 2

חשבו את הזווית שבין ‘BD לבין מישור ABCD על פי הנתונים שבשרטוט.
AB = 4,  DD’ = 2,  AD = 3

תרגיל 3

חשבו את הזווית שבין ‘OD לבין מישור ABCD על פי הנתונים שבשרטוט.
BC = 4,  D’O = 6,  AB = 6

 

ב.תרגילי חישוב של זווית בפירמידה

בכל התרגילים אנו מדברים על פירמידה ישרה – פירמידה שהמקצועות הצדדיים שלה שווים.

החישובים בפירמידה קשים יותר.
הם דורשים לרוב העברת אלכסונים בבסיס התיבה והורדת גובה מהקודקוד.

תכונות אלכסונים בולטות בהם אנו משתמשים הם:

1. אלכסוני המלבן (והריבוע) שווים זה לזה.
2. אלכסוני המלבן (והריבוע) חוצים זה את זה.
3. הגובה של הפירמידה מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים (במלבן וריבוע).

לפעמים הם דורשים העברת גובה בפיאה הצדדית – ומכוון שהפאה היא משולש שווה שוקיים הגובה הוא גם תיכון וחוצה זווית.

תרגיל 1 (זווית בין מקצוע לבסיס)
נתונה פירמידה ישרה ומלבנית.
על פי הנתונים שבשרטוט חשבו את הזווית שבין המקצוע ED לבסיס ABCD.
ED = 4,  AB = 3,  BC = 6.

פתרון

זיהוי הזווית
נעביר את האלכסונים וגובה מהקודקוד.

הזווית המבוקשת היא EDO.

 

תרגיל 2 (חישוב אורך גובה)
נתון:
נתונה פירמידה ישרה ומלבנית.
EF ⊥ DC.
EC = 5,   CD = 3,  BC = 6
חשבו את EF.

פתרון

תרגיל 3 (המשך לתרגיל 2)
בעזרת הנתונים שהתקבלו בתרגיל הקודם.
חשבו את הזווית שבין EF למישור ABCD.

8.תרגילים

הערה
עקב תקלה במחשבון בחלק מחישובי הזוויות שיש בסרטונים יש סטייה מספרית של מספר מעלות (דרך הפתרון  המופיעה נכונה).
בתרגילים הכתובים התקלה כבר תוקנה ושם תמצאו את הזוויות המדויקת.

תרגיל 1 (שאלה המתמקדת באלכסון הראשי)
בתיבה ‘ABCDA’B’C’D שבסיסה מלבן נתון כי AB= 5, BC = 7, CC’ = 4.

1. חשבו את BD
2. חשבו את ‘BD
3. חשבו את הזווית שבין ‘BD לבין מישור הבסיס ABCD.

תרגיל 2 (שאלה המתמקדת באלכסון פאה)
בתיבה ‘ABCDA’B’C’D שבסיסה מלבן נתון AB = 9,  BC = 6  ס”מ.
C’CB = 30∠.

1. חשבו את גובה התיבה ‘CC.
2. חשבו את הזוויות שבין האלכסון ‘BA לבין המישור ABCD.
3. חשבו את נפח התיבה.

תרגיל 3 (שאלה על תיבה ריבועית)
(שאלת מהמאגר)
בתיבה שבסיסה ריבוע אורך האלכסון של פאה צדדית הוא 10 ס”מ (AD’ = 10).
הזווית שבין אלכסוני הפאות הצדדיות היא 48 מעלות (B’AD’ = 48).
חשבו את אורך האלכסון של הבסיס העליון ‘B’D.
חשבו את שטח הבסיס של התיבה.

 

ב.תרגילים בנושא פירמידה

תרגיל 1 (שאלה על המשולש הנוצר בין המקצוע לגובה הפירמידה)
בפירמידה מלבנית וישרה אורכי צלעות הבסיס הן AB = 8,  AD =4 ס”מ.
והזווית EBO = 70∠.
חשבו את:

1. אורך אלכסון בסיס הפירמידה BD.
2. אורך מקצוע הפירמידה BE.
3. אורך גובה הפירמידה EO.
4. נפח הפירמידה

תרגיל 2 (שאלה על המשולש הנוצר על ידי גובה הפאה וגובה הפירמידה)
בפירמידה מלבנית וישרה אורך צלעות הבסיס הן AB= 10,  AD = 4 ס”מ.
אורך הגובה EO = 8 ס”מ.
EF הוא הגובה אל BC.
חשבו את:

1. חשבו את EF.
2. חשבו את הזווית שבין EF לבין המישור ABCD.

תרגיל 3 (תרגיל המתמקד בזוויות הראש של הפירמידה)
בפירמידה מלבנית וישרה אורך צלעות הבסיס הוא BC = 5,  CD = 7 ס”מ.
זווית DAC = 40∠
EF, EG הם גבהים בפאות.

1. חשבו את גובה הפאה EF.
2. חשבו את זווית CEB∠

עוד באתר:

• טריגונומטריה במרחב שאלון 482.
• טריגונומטריה במרחב שאלון 582.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

9.פתרונות לשאלות מהבגרות

מצורפים הצעות לפתרון בחינות הבגרות. את שאלוני הבחינה תוכלו למצוא על ידי חיפוש באינטרנט.

קיץ 2018

סעיף א
EO הוא גובה הפירמידה.
הזווית שבן מקצוע הפירמידה EA לבין בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית EAB∠. נחשב אותה.

1. AO = 0.5AC  גובה בפירמידה ריבועית מגיע אל נקודת מפגש אלכסוני הריבוע. ואלכסוני הריבוע חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.
2. EA = AC נתון שמקצוע הצד שווה לאלכסון הבסיס.
3. cos ∠EAO  = AO : EA = 0.5AC : AC = 0.5
   EAO = 30∠

סעיף ב
עלינו לחשב את הזווית EKO.
כי KO הוא ההיטל של הישר EK על הבסיס ABCD והישר EO הוא הגובה.

נחשב את האורך של OK.

1. EK הוא גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים BEC. (במשולש שווה שוקיים הגובה והתיכון מתלכדים).
2. AO = OC אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה והגובה בפירמידה ריבועית מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים.
3. OK קטע אמצעים במשולש ACB – ישר היוצא מאמצע צלע אחת במשולש ומגיע אל אמצע הצלע השנייה הוא קטע אמצעים.
4. OK = 0.5a  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

נחשב את האורך של EO = AC.
במשולש ABC על פי משפט פיתגורס.
AC² = AB² + BC²
AC² = a² + a² = 2a²
AC = √2 a
EO = AC = √2 a

במשולש EKO
tg ∠EKO = EO : OK = √2 a : 0.5a
tg ∠EKO  = √2 a : 0.5a = 2.82
EKO = 70.47∠

סעיף ג
שטח המעטפת הוא 36.75 סמ”ר.
פירמידה ישרה מורכבת מ 4 משולשים חופפים ושווה שטח.
נחשב את השטח של אחד מהמשולשים הללו.

על מנת לחשב את השטח באמצעות a עלינו למצוא את הגובה EK.
EO = √2 a
EKO = 70.47∠

במשולש EKO
sin ∠EKO = EO : EK
EK = EO : sin ∠ EKO
EK = √2 a : sin 70.47 = 1.5a

שטח משולש EBC הוא:
S_EBC = 0.5EK * BC = 0.5 * 1.5a * a= 0.75a²
השטח של ארבעת המשולשים המרכיבים את המעטפת:
0.75a²*4 = 3a² = 36.75
a² = 12.25
a = 3.5
תשובה: a = 3.5 סנטימטר.

קיץ 2017

א. נסתכל על משולש ADB.
AB=2A נתון.
BD=0.5BC=a הישר AD הוא גובה ותיכון במשולש שווה צלעות ADB.
על פי משפט פיתגורס:
AD² = AB² – BD² = 4a²-a²=3a²
AD= √3*a (תשובה).

ב. נפח פירמידה  הוא שטח הבסיס כפול גובה הפירמידה לחלק ב 3.
שטח הבסיס היא:
S = (BC*AD) /2 = 2a * √3*a :2 = √3 a²
נפח הפירמידה הוא:
V =0.33 * √3 a² * SO = √3 a³
SO=3a

ג. בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות גובה הפירמידה נוגע בבסיס (הנקודה O) במרכז המעגל החוסם את המשולש.
מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת מפגש של האנכים האמצעים.
במשולש שווה צלעות התיכונים הם אנכים אמצעים.
3 התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המחלקת את התיכון ביחס של  2:1.
לכן:
AO=0.66AD=0.66 * √3 * a= 1.154a

SO הוא גובה לבסיס ולכן מאונך לכל ישר במישור הבסיס ולכן AOS=90∠
כך נראה משולש AOS.
הזווית שאנו מחפשים היא SAO∠. (משום שזו זווית בין מקצוע צדדי (SA) לבין היטל של מקצוע זה (AO)).

 

tan x = 3a / 1.154a = 2.6
x= 68.962
תשובה: הזווית שבין בסיס הפירמידה למקצוע צדדי היא 68.962.

חורף 2017

סעיף א
נגדיר את אורך צלע בסיס הריבוע כ AB=X.
על פי משפט פיתגורס במשולש ישר זוויות ABC:
AC²=X²+X²
AC²=2X²
AC=√2 X
SO = 1.25 AC= 1.25 √2 X
נפח הפירמידה הוא:

xᶟ=610
x=8.48
AC=√2 X =√2 8.48=12
תשובה: אורך האלכסון הראשי הוא 12 ס”מ.

סעיף ב
הזווית המבוקשת היא SAO=a
AO= AC:2=6
SO=1.25 12=15
tg a =15:6=2.5
a=68.198
תשובה: הזוויות היא 68.198 מעלות.

סעיף ג.
נמצא את SA תוך שימוש במשולש SAO
Sin 68.198=15: SA
SA=15 : Sin 68.198 = 16.155
SA=SB – זו פירמידה ישרה.
הזוויות המבוקשת היא SBA=b . נחשב אותה על פי משפט הקוסינוסים במשולש SBA
SA²=SB² + AB² – 2*SB*AB*COS b

תשובה: זווית הבסיס של פאה צדדית היא 73.620 מעלות (יתכן שיצא לכם מספר מעט שונה בגלל עיגולים לאורך הדרך).

קיץ 2016

סעיף א
משולש ASC הוא משולש שווה שוקיים. לכן
CAS=(180-70):2=55

סעיף ב
עלינו למצוא את צלעות המלבן וגובה הפירמידה.
במשולש ABC

Cb= 6* tg 50=7.15
(צלע המלבן)

AO =AC:2 = 9.33:2=4.65
במשולש AOS

SO=tg 55 * 4.65=6.64
(גובה הפירמידה).

נפח הפירמידה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.

תשובה: נפח הפירמידה הוא 94.952.

סעיף ג
במשולש ASO

אנו יודעים את שלושת הצלעות במשולש ASO אז ניתן להשתמש במשפט הקוסינוסים על מנת למצוא את הזווית או להוריד גובה שהוא גם תיכון ולהשתמש בפונקציית ה sin.
אשתמש במשפט הקוסינוסים:

תשובה: זווית ASB שווה ל 46.55 מעלות.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.