טריגונומטריה במרחב שאלון 482, 4 יחידות

בדף זה נסכם את החומר בנושא טריגונומטריה במרחב עבור תלמידי 4 יחידות.

חלקי הסיכום הם:

  1. סיכום וידאו.
  2. נפח תיבה ונפח פירמידה.
  3. זווית בין ישר למישור.
  4. זיהוי זווית בין ישר למישור.
    א.בתיבה.
    ב.בפירמידה.
  5. שימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורך אלכסון.
  6. ארבע דברים בסיסיים שאתם צריכים לדעת על פירמידה.
  7. תרגילי חישוב זוויות
    א.בתיבה.
    ב. בפירמידה.
  8. תרגילים
    א.בתיבה.
    ב.בפירמידה.
לחצו לקישורים המלמדים את החומר בהדרגתיות

1. נושאים בגיאומטריה

  1. שיעור 1: טריגונומטריה במשולש ישר זווית.
  2. שיעור 2 משפט הסינוסים.
  3. שיעור 3: משפט הקוסינוסים.
  4. שיעור 4: חישוב שטח משולש בעזרת שתי צלעות וזווית.
  5. טריגונומטריה 481 : פתרון שאלות מהבגרות.

נושאים בטריגונומטריה של המרחב

  1. מבוא: תיבה, פירמידה. חזרה על בעיות בסיסיות וחישוב נפחים.
  2. שיעור 1: זווית בין ישר למישור.
  3. שיעור 2: זיהוי משולשים ישרי זווית ושימוש בפיתגורס בתיבה.
  4. שיעור 3: זוויות בין ישר למישור בתיבה.
  5. שיעור 4: זוויות בין ישר למישור בפירמידה (חשוב במיוחד).
  6. שיעור 5: טריגונומטריה של המרחב 381. כולל 6 שאלות מסכמות קצת יותר קלות משאלות בגרות.

1.סיכום וידאו

הערה
עקב תקלה במחשבון בחלק מחישובי הזוויות שיש בסרטונים יש סטייה מספרית של מספר מעלות (דרך הפתרון  המופיעה נכונה).
בתרגילים הכתובים התקלה כבר תוקנה ושם תמצאו את הזוויות המדויקת.

2.נפח תיבה ונפח פירמידה

לגופים סימטריים, גופים שבהם החלק התחתון זהה לחלק העליון הנפח שווה ל :
שטח בסיס * גובה.

אלו הם: תיבה, מנסרה משולשת, גליל.

לגופים שהצורה שלהם מסתיימת בשפיץ הנפח שווה ל:
3 : (שטח בסיס * גובה)

אלו הם: פירמידה וחרוט.

נפח תיבה.

 

נפח פירמידה.

נוסחה לחישוב נפח פירמידה ודוגמה לחישוב נפח פירמידה
נוסחה לחישוב נפח פירמידה ודוגמה לחישוב נפח פירמידה

3.זווית בין ישר למישור

הערה: הנושא של זווית בין ישר למישור הוא דבר ויזואלי שמוסבר טוב יותר בוידאו שלמעלה מבטקסט שלמטה.

הגדרה: זווית בין ישר למישור היא הזווית שבין הישר לבין היטלו של הישר על המישור.

בשרטוט שלמטה AB הוא הישר שמחפשים את הזווית שלו עם מישור GDEF.
ו AC הוא ההיטל של AB על המישור.

מה זה היטל?
על מנת למצוא היטל של ישר (AB) על מישור נוריד מקצה הישר גובה אל המישור (BC) ונחבר את הקצה השני של הישר (A) עם הגובה.
ההיטל של הישר AB הוא הישר AC. (הסבר מפורט וטוב יותר בוידאו).

הזוויות בין הישר למישור מסומנת בחץ אדום
הזוויות בין הישר למישור מסומנת בחץ אדום

4.זיהוי זווית בין ישר למישור

א.זיהוי זווית בין ישר למישור בתיבה

 

זהו את הזווית בין הישר למישור בשלושת השרטוטים הבאים

דוגמה 1
זהו את הזווית בין הישר C’A לבין המישור ABCD.

 

לחצו לצפייה בפתרון תרגיל 1

הזווית היא: C’AC
C’C זה הגובה.
AC הוא ההיטל של C’A על המישור

דוגמה 2
זהו את הזווית בין הישר C’B לבין המישור ABCD.

לחצו לצפייה בפתרון תרגיל 2

הזווית היא: C’BC
C’C זה הגובה.
BC הוא ההיטל של C’C על המישור

 

3.זהו את הזווית בין הישר D’O לבין המישור ABCD.

לחצו לצפייה בפתרון תרגיל 3

הזווית היא: D’OD
D’D זה הגובה.
DO הוא ההיטל של D’O על המישור

 

 

ב.זווית בין ישר למשור בפירמידה

בשאלון 482 לומדים על פירמידה ישרה בלבד – פירמידה שכל המקצועות הצדדיים שלה שווים.

כל הפירמידות המופיעות הדף הן פירמידות ישרות.

דבר בסיסי שעליכם לדעת על פירמידה ישרה
בפירמידה ישרה שבסיסה מלבן או ריבוע  גובה הפירמידה EO מגיע את נקודת מפגש האלכסונים של הבסיס.

תזכורת: תכונות האלכסונים במלבן וריבוע
האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה.

תכונות האלכסונים במלבן וריבוע. משורטט מלבן אבל כל התכונות נכונות גם לריבוע

 

תרגיל 1
נתונה פירמידה ישרה ומלבנית.
זהו את הזווית שבין הישר EC לבין המישור ABCD.
(צריך להעביר בניית עזר)

פתרון

פתרון תרגיל 1

זו הזוויות ECO (מסומנת באדום).

תרגיל 2
נתונה פירמידה ישרה ומלבנית.
זהו את הזווית שבין הישר EF לבין המישור ABCD.
(צריך להעביר בניית עזר)

פתרון

פתרון תרגיל 2

זווית EFO (מסומנת באדום)

 

זיהו נכון של זווית בין ישר למישור בפירמידה ישרה מרובעת ומשולשת.

5.שימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורך אלכסון

 

6. ארבע דברים בסיסיים שאתם צריכים לדעת על פירמידה ישרה

1.מה היא פירמידה ישרה.
פירמידה ישרה היא פירמידה שכל המקצועות הצדדיים שלה שווים.

2. להיכן מגיע הגובה הפירמידה ישרה?
2. בפירמידה משוכללת הגובה מגיע
אל מרכז המעגל החוסם את הבסיס.

במלבן או ריבוע מרכז המעגל החוסם הוא נקודת מפגש האלכסונים. לכן גובה הפירמידה מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים.

בפירמידה שבסיסה משולש מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת המפגש של האנכים האמצעים.

במשולש שווה צלעות זו גם נקודת המפגש של התיכונים / חוצי זווית / גבהים.
במשולש שווה שוקיים נקודה זו נמצאת על הגובה לבסיס.
במשולש ישר זווית נקודה זו נמצאת על אמצע היתר.

בפירמידה שבסיסה מלבן גובה הפירמידה מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים
בפירמידה שבסיסה מלבן גובה הפירמידה מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים

3. כיצד לחשב את הקטע OF שבשרטוט

נתון לנו כי

  • הפירמידה היא פירמידה ישרה שבסיסה מלבן (או ריבוע).
  • EF הוא גובה במשולש  ECD.
  • O היא נקודת מפגש האלכסונים.
  • BC = x.
  • כיצד נחשב את גודלו של OF?

פתרון

  1. f היא אמצע DC כי המשולש ECD הוא משולש שווה שוקיים וגובה במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון.
  2. O היא אמצע BD כי במלבן האלכסונים חוצים זה את זה.
  3. OF הוא קטע אמצעים במשולש DBC כי ישר היוצא מאמצע צלע ומגיע אל אמצע צלע אחרת הוא קטע אמצעים.
  4. OF = 0.5BC = 0.5x  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

וזו התשובה: OF = 0.5x

4. העברת תיכון / גובה באחת מפאות הפירמידה הישרה זו בניית עזר בסיסית
הפאות של הפירמידה הן משולשים שווי שוקיים.
לפעמים נוח להעביר תיכון / גובה / חוצה זווית לבסיס על מנת לפתור את השאלה.

למשל

  • ידוע כי EB= y,  BC = x (כאשר x,y הם מספרים).
  • מבקשים מאיתנו למצוא את זווית B.

פתרון
אפשרות אחת: להשתמש במשפט הקוסינוסים כי אנו יודעים את הגודל של שלושת הצלעות.

אפשרות שנייה: להעביר גובה EF ואז נוצר לנו משולש ישר זווית בו ניתן להשתמש בפונקציית הקוסינוס על מנת למצוא את הזווית.

7.תרגילי חישוב

א. תרגילי חישוב בתיבה

תרגיל 1

חשבו את הזווית שבין ‘CD לבין מישור ABCD על פי הנתונים שבשרטוט.
CD = 4,  CD’ = 6

לחצו לצפייה בפתרון

ההיטל של ‘CD על המישור הוא CD.

לכן הזווית המבוקשת היא D’CD.

במשולש D’CD נוכל לחשב:

cos D’CD = 4/6 = 0.66
∠D’CD = 48.7

הזווית המבוקשת באדום, המשולש שבו מחשבים בשחור
הזווית המבוקשת באדום, המשולש שבו מחשבים בשחור

תרגיל 2

חשבו את הזווית שבין ‘BD לבין מישור ABCD על פי הנתונים שבשרטוט.
AB = 4,  DD’ = 2,  AD = 3

לחצו לצפייה בפתרון

ההיטל של ‘BD על המישור הוא BD.

לכן הזווית המבוקשת היא D’BD.

נחשב את BD על פי משפט פיתגורס במשולש ABD.

BD² = 3² + 4² = 25
BD = 5 או   BD = -5
מכוון ש BD הוא גודל של צלע הפתרון המתאים הוא
BD = 5.

נחשב את זווית D’BD במשולש D’BD.

tg D’BD = 2/5 = 0.4
∠D’BD = 21.8

הזוויות המבוקשת מסומנת באדום, המשולש שבו נעשה החישוב מסומן בשחור
הזוויות המבוקשת מסומנת באדום, המשולש שבו נעשה החישוב מסומן בשחור

תרגיל 3

חשבו את הזווית שבין ‘OD לבין מישור ABCD על פי הנתונים שבשרטוט.
BC = 4,  D’O = 6,  AB = 6

 

לחצו לצפייה בפתרון

הזווית המבוקשת היא זווית D’OD.
על מנת לחשב אותה עלינו להשיג נתון נוסף במשולש D’OD.

שלב א: חישוב מקדים
בשלב זה נחשב את OD.

AD = BC = 4   צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

במשולש ABD  על פי משפט פיתגורס:

BD² = 4² + 6² = 52
BD = 7.211  או  BD = -7.211

מכוון ש BD היא צלע התשובה המתאימה לשאלה היא
BD = 7.211

OD = 0.5BD = 3.65  מכוון שאלכסוני המלבן חוצים זה את זה.

שלב ב: חישוב הזווית

במשולש D’OD

cos D’OD = 3.65 / 6 = 0.608
∠D’OD = 58.39

תשובה: הזווית היא 58.39.

ב.תרגילי חישוב של זווית בפירמידה

בכל התרגילים אנו מדברים על פירמידה ישרה – פירמידה שהמקצועות הצדדיים שלה שווים.

החישובים בפירמידה קשים יותר.
הם דורשים לרוב העברת אלכסונים בבסיס התיבה והורדת גובה מהקודקוד.

תכונות אלכסונים בולטות בהם אנו משתמשים הם:

  1. אלכסוני המלבן (והריבוע) שווים זה לזה.
  2. אלכסוני המלבן (והריבוע) חוצים זה את זה.
  3. הגובה של הפירמידה מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים (במלבן וריבוע).

לפעמים הם דורשים העברת גובה בפיאה הצדדית – ומכוון שהפאה היא משולש שווה שוקיים הגובה הוא גם תיכון וחוצה זווית.

תרגיל 1 (זווית בין מקצוע לבסיס)
נתונה פירמידה ישרה ומלבנית.
על פי הנתונים שבשרטוט חשבו את הזווית שבין המקצוע ED לבסיס ABCD.
ED = 4,  AB = 3,  BC = 6.

פתרון

לחצו לצפייה בפתרון

דרך הפתרון

נרצה לבצע חישוב במשולש EDO.

על מנת לעשות זאת עלינו למצוא צלע נוספת במשולש EOD וזו הצלע DO.

נחשב את אלכסון BD

הפתרון
CD = AB = 3 צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

במשולש BDC על פי משפט פיתגורס.

BD² = 6² + 3² = 45
BD = √45 = 6.708

DO = 0.5BD = 0.5*6.708
DO = 3.354
כי אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.

במשולש BDC נוכל לחשב את זווית EDO הזווית המבוקשת:

cos EDO = DO / ED
cos EDO = 3.354 / 4 = 0.835

∠EDO = 33.01

תשובה: הזווית שבין המקצוע ED לבסיס ABCD היא 33.01.

זיהוי הזווית
נעביר את האלכסונים וגובה מהקודקוד.

הזווית המבוקשת היא EDO.

 

תרגיל 2 (חישוב אורך גובה)
נתון:
נתונה פירמידה ישרה ומלבנית.
EF ⊥ DC.
EC = 5,   CD = 3,  BC = 6
חשבו את EF.

פתרון

לחצו לצפייה בפתרון

מקצועות פירמידה ישרה שווים זה לזו.
לכן:
EC = ED
לכן:
EF הוא גם תיכון ל DC (במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא תיכון לבסיס).

לכן:
CF = 0.5CD = 1.5

במשולש CEF על פי משפט פיתגורס:
EF² = 5² – 1.5² = 22.75
EF = 4.77

תרגיל 3 (המשך לתרגיל 2)
בעזרת הנתונים שהתקבלו בתרגיל הקודם.
חשבו את הזווית שבין EF למישור ABCD.

לחצו לצפייה בפתרון

הזווית המבוקשת היא זווית EFO.

על מנת לחשב אותה צריך למצוא את FO.

תלמידי 4-5 יחידות
יכולים להגיד ש FO הוא קטע אמצעים במשולש DCB.
(כי FO יוצא מאמצע צלע ומגיע לאמצע צלע).

לכן:
FO = 0.5BC = 3

הזווית המבוקשת מסומנת באדום. על מנת לחשבה צריך למצוא את FO.
הזווית המבוקשת מסומנת באדום.
על מנת לחשבה צריך למצוא את FO.

תלמידי 3 יחידות.
צריכים לחשב את AC בעזרת פיתגורס
AC = 7.35

CO = 0.5 AC = 3.675

עכשיו ניתן בעזרת פיתגורס לחשב את FO במשולש FOC.

FO² = 3.675² – 1.5² = 9
FO = 3

חישוב הזווית
EFO היא הזווית המבוקשת.

במשולש EFO ניתן לחשב:

cos EFO = FO / FE

cos EFO = 3 / 4.77 = 0.629

∠EFO = 51.028

תשובה: הזווית שבין EF למישור ABCD שווה ל 51.028.

8.תרגילים

הערה
עקב תקלה במחשבון בחלק מחישובי הזוויות שיש בסרטונים יש סטייה מספרית של מספר מעלות (דרך הפתרון  המופיעה נכונה).
בתרגילים הכתובים התקלה כבר תוקנה ושם תמצאו את הזוויות המדויקת.

תרגיל 1 (שאלה המתמקדת באלכסון הראשי)
בתיבה ‘ABCDA’B’C’D שבסיסה מלבן נתון כי AB= 5, BC = 7, CC’ = 4.

  1. חשבו את BD
  2. חשבו את ‘BD
  3. חשבו את הזווית שבין ‘BD לבין מישור הבסיס ABCD.

שרטוט התרגיל

לחצו לצפייה בפתרון התרגיל

פתרון

חישוב BD
משולש BAD הוא משולש ישר זווית, נשתמש במשפט פיתגורס.
BD² = AD² + AB²
BD² = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
BD = √74 = 8.6

חישוב ‘BD
משולש BD’D הוא משולש ישר זווית, נשתמש במשפט פיתגורס.
BD’² = BD² + DD’² = 74 + 16 = 90
BD’ = √90 = 9.48

חישוב זווית בין אלכסון התיבה לבסיס
זו הזווית D’BD.

sin D’BD = DD’ / BD’
sin D’BD = 4 / 9.48
sin D’BD = 0.42
∠D’BD = 24.957

פתרון וידאו

תרגיל 2 (שאלה המתמקדת באלכסון פאה)
בתיבה ‘ABCDA’B’C’D שבסיסה מלבן נתון AB = 9,  BC = 6  ס”מ.
C’CB = 30∠.

  1. חשבו את גובה התיבה ‘CC.
  2. חשבו את הזוויות שבין האלכסון ‘BA לבין המישור ABCD.
  3. חשבו את נפח התיבה.

שרטוט התרגיל

לחצו לצפייה בפתרון התרגיל

פתרון

חישוב גובה התיבה
משולש BC’C הוא משולש ישר זווית.
tg 30 = CC’ / BC
CC’ = tg 30 * BC
CC’ = 0.577 * 6 = 3.46

חישוב הזווית שבין ‘BA לבין בסיס הפירמידה
זו הזווית A’BA.
משולש A’BA הוא משולש ישר זווית.

tg A’BA = A’A / AB =
tg A’BA = 3.46 / 9 = 0.38
∠A’BA = 21.029

חישוב נפח התיבה
נפח תיבה שווה למכפלה של שלושת ממדי התיבה (אורך, רוחב, גובה).
V = 9 * 6 * 3.46 = 186.84

פתרון וידאו

תרגיל 3 (שאלה על תיבה ריבועית)
(שאלת מהמאגר)
בתיבה שבסיסה ריבוע אורך האלכסון של פאה צדדית הוא 10 ס”מ (AD’ = 10).
הזווית שבין אלכסוני הפאות הצדדיות היא 48 מעלות (B’AD’ = 48).
חשבו את אורך האלכסון של הבסיס העליון ‘B’D.
חשבו את שטח הבסיס של התיבה.

שרטוט התרגיל

לחצו לצפייה בפתרון התרגיל

פתרון
המלבנים AA’D’D ו AA’B’B הם מלבנים זהים ולכן:
AB’ = AD’ = 10

משולש ‘AB’D הוא משולש שווה שוקיים.
נעבר את AE גובה במשולש והוא גם חוצה זווית ותיכון.

D’AE = 24∠
sin 24 = ED’ / 10
ED’ = sin 24 * 10 = 4.06
B’D’ = 2 * 4.06 = 8.12

חישוב שטח בסיס התיבה
שטח ריבוע ניתן לחשב בשתי צורות:
S = a²  כאשר a זו צלע הריבוע.
או:
שטח ריבוע שווה למכפלת האלכסונים לחלק ב 2.
אלכסוני הריבוע שווים באורכם ולכן:

S = 8.12² / 2
S = 65.9 / 2 = 32.95

 

ב.תרגילים בנושא פירמידה

תרגיל 1 (שאלה על המשולש הנוצר בין המקצוע לגובה הפירמידה)
בפירמידה מלבנית וישרה אורכי צלעות הבסיס הן AB = 8,  AD =4 ס”מ.
והזווית EBO = 70∠.
חשבו את:

  1. אורך אלכסון בסיס הפירמידה BD.
  2. אורך מקצוע הפירמידה BE.
  3. אורך גובה הפירמידה EO.
  4. נפח הפירמידה

שרטוט התרגיל

לחצו לצפייה בפתרון התרגיל

פתרון

חישוב BD
משולש DAB הוא משולש ישר זווית.
נשתמש במשפט פיתגורס.

BD² = AD² + AB² =
BD² = 4² + 8² = 80
BD = √80 = 8.944

חישוב BE.
BO = 0.5BD = 4.47  אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.

cos 70 = BO / BE

BE = BO / cos70 =
BE = 4.47 / 0.34 = 13.15

חישוב EO.
ניתן לעשות זאת בעזרת פונקציה טריגונומטרית
או משפט פיתגורס. נשתמש בפיתגורס.

EO² = BE² – BO² =
EO² = 173 – 19.44 = 153.57
EO = 12.39

חישוב נפח הפירמידה
132.185 = 3 / 4 * 8 * 12.39
נפח הפירמידה 132.185 סמ”ק

פתרון וידאו

תרגיל 2 (שאלה על המשולש הנוצר על ידי גובה הפאה וגובה הפירמידה)
בפירמידה מלבנית וישרה אורך צלעות הבסיס הן AB= 10,  AD = 4 ס”מ.
אורך הגובה EO = 8 ס”מ.
EF הוא הגובה אל BC.
חשבו את:

  1. חשבו את EF.
  2. חשבו את הזווית שבין EF לבין המישור ABCD.

שרטוט התרגיל

לחצו לצפייה בפתרון התרגיל

פתרון

חישוב EF
OF = 0.5AB = 5
על פי משפט פיתגורס במשולש EFO

EF² = EO² + OF² =
EF² = 8² + 5² = 89
EF = √89 = 9.43

חישוב זווית בין ישר למישור
הזווית המבוקשת היא זווית EFO.

sin EFO = EO / EF =
sin EFO = 8 / 9.43 = 0.85
∠EFO = 58.033

פתרון וידאו

תרגיל 3 (תרגיל המתמקד בזוויות הראש של הפירמידה)
בפירמידה מלבנית וישרה אורך צלעות הבסיס הוא BC = 5,  CD = 7 ס”מ.
זווית DAC = 40∠
EF, EG הם גבהים בפאות.

  1. חשבו את גובה הפאה EF.
  2. חשבו את זווית CEB∠

שרטוט התרגיל

לחצו לצפייה בפתרון התרגיל

פתרון

חישוב EF
הגובה EF הוא גם חוצה זווית ותיכון. לכן:
FEC = 20∠
FC = 0.5 CD = 3.5

משולש EFC הוא משולש ישר זווית.
tg 20 = 3.5 / EF
EF = 3.5 / tg 20 = 9.616

חישוב זווית CEB
EG = EF = 9.616 בפירמידה ישרה כל הפאות זהות זו לזו ולכן גם הגבהים שווים זה לזה.

משולש CEG הוא משולש ישר זווית.
GC = 0.5CB = 2.5 הגובה EG הוא גם תיכון.

tg CEG = GC / EG =
tg CEG =  2.5 / 9.616 = 0.26
∠CEG = 14.5

∠CEB = 2∠CEG = 29
הישר EG הוא חוצה זווית.

פתרון וידאו

עוד באתר:

9.פתרונות לשאלות מהבגרות

מצורפים הצעות לפתרון בחינות הבגרות. את שאלוני הבחינה תוכלו למצוא על ידי חיפוש באינטרנט.

קיץ 2018

שרטוט התרגיל

סעיף א
EO הוא גובה הפירמידה.
הזווית שבן מקצוע הפירמידה EA לבין בסיס הפירמידה ABCD היא הזווית EAB∠. נחשב אותה.

  1. AO = 0.5AC  גובה בפירמידה ריבועית מגיע אל נקודת מפגש אלכסוני הריבוע. ואלכסוני הריבוע חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.
  2. EA = AC נתון שמקצוע הצד שווה לאלכסון הבסיס.
  3. cos ∠EAO  = AO : EA = 0.5AC : AC = 0.5
    EAO = 30∠

סעיף ב
עלינו לחשב את הזווית EKO.
כי KO הוא ההיטל של הישר EK על הבסיס ABCD והישר EO הוא הגובה.

שרטוט הסעיף

נחשב את האורך של OK.

  1. EK הוא גובה ותיכון במשולש שווה שוקיים BEC. (במשולש שווה שוקיים הגובה והתיכון מתלכדים).
  2. AO = OC אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה והגובה בפירמידה ריבועית מגיע אל נקודת מפגש האלכסונים.
  3. OK קטע אמצעים במשולש ACB – ישר היוצא מאמצע צלע אחת במשולש ומגיע אל אמצע הצלע השנייה הוא קטע אמצעים.
  4. OK = 0.5a  קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל.

נחשב את האורך של EO = AC.
במשולש ABC על פי משפט פיתגורס.
AC² = AB² + BC²
AC² = a² + a² = 2a²
AC = √2 a
EO = AC = √2 a

במשולש EKO
tg ∠EKO = EO : OK = √2 a : 0.5a
tg ∠EKO  = √2 a : 0.5a = 2.82
EKO = 70.47∠

סעיף ג
שטח המעטפת הוא 36.75 סמ”ר.
פירמידה ישרה מורכבת מ 4 משולשים חופפים ושווה שטח.
נחשב את השטח של אחד מהמשולשים הללו.

על מנת לחשב את השטח באמצעות a עלינו למצוא את הגובה EK.
EO = √2 a
EKO = 70.47∠

במשולש EKO
sin ∠EKO = EO : EK
EK = EO : sin ∠ EKO
EK = √2 a : sin 70.47 = 1.5a

שטח משולש EBC הוא:
SEBC = 0.5EK * BC = 0.5 * 1.5a * a= 0.75a²
השטח של ארבעת המשולשים המרכיבים את המעטפת:
0.75a²*4 = 3a² = 36.75
a² = 12.25
a = 3.5
תשובה: a = 3.5 סנטימטר.

קיץ 2017

שרטוט התרגיל קיץ 2017 482 טריגונומטריה במרחב

א. נסתכל על משולש ADB.
AB=2A נתון.
BD=0.5BC=a הישר AD הוא גובה ותיכון במשולש שווה צלעות ADB.
על פי משפט פיתגורס:
AD² = AB² – BD² = 4a²-a²=3a²
AD= √3*a (תשובה).

ב. נפח פירמידה  הוא שטח הבסיס כפול גובה הפירמידה לחלק ב 3.
שטח הבסיס היא:
S = (BC*AD) /2 = 2a * √3*a :2 = √3 a²
נפח הפירמידה הוא:
V =0.33 * √3 a² * SO = √3 a³
SO=3a

ג. בפירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות גובה הפירמידה נוגע בבסיס (הנקודה O) במרכז המעגל החוסם את המשולש.
מרכז המעגל החוסם את המשולש הוא נקודת מפגש של האנכים האמצעים.
במשולש שווה צלעות התיכונים הם אנכים אמצעים.
3 התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המחלקת את התיכון ביחס של  2:1.
לכן:
AO=0.66AD=0.66 * √3 * a= 1.154a

SO הוא גובה לבסיס ולכן מאונך לכל ישר במישור הבסיס ולכן AOS=90∠
כך נראה משולש AOS.
הזווית שאנו מחפשים היא SAO∠. (משום שזו זווית בין מקצוע צדדי (SA) לבין היטל של מקצוע זה (AO)).

 

שרטוט משולש AOS

tan x = 3a / 1.154a = 2.6
x= 68.962
תשובה: הזווית שבין בסיס הפירמידה למקצוע צדדי היא 68.962.

חורף 2017

שרטוט תרגיל 2 חורף 2017 הנדסת המרחב

סעיף א
נגדיר את אורך צלע בסיס הריבוע כ AB=X.
על פי משפט פיתגורס במשולש ישר זוויות ABC:
AC²=X²+X²
AC²=2X²
AC=√2 X
SO = 1.25 AC= 1.25 √2 X
נפח הפירמידה הוא:

xᶟ=610
x=8.48
AC=√2 X =√2 8.48=12
תשובה: אורך האלכסון הראשי הוא 12 ס”מ.

סעיף ב
הזווית המבוקשת היא SAO=a
AO= AC:2=6
SO=1.25 12=15
tg a =15:6=2.5
a=68.198
תשובה: הזוויות היא 68.198 מעלות.

סעיף ג.
נמצא את SA תוך שימוש במשולש SAO
Sin 68.198=15: SA
SA=15 : Sin 68.198 = 16.155
SA=SB – זו פירמידה ישרה.
הזוויות המבוקשת היא SBA=b . נחשב אותה על פי משפט הקוסינוסים במשולש SBA
SA²=SB² + AB² – 2*SB*AB*COS b
המשך הפתרון

תשובה: זווית הבסיס של פאה צדדית היא 73.620 מעלות (יתכן שיצא לכם מספר מעט שונה בגלל עיגולים לאורך הדרך).

קיץ 2016

סעיף א
משולש ASC הוא משולש שווה שוקיים. לכן
CAS=(180-70):2=55

סעיף ב
עלינו למצוא את צלעות המלבן וגובה הפירמידה.
במשולש ABC

Cb= 6* tg 50=7.15
(צלע המלבן)

AO =AC:2 = 9.33:2=4.65
במשולש AOS

SO=tg 55 * 4.65=6.64
(גובה הפירמידה).

נפח הפירמידה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.

תשובה: נפח הפירמידה הוא 94.952.

סעיף ג
במשולש ASO

אנו יודעים את שלושת הצלעות במשולש ASO אז ניתן להשתמש במשפט הקוסינוסים על מנת למצוא את הזווית או להוריד גובה שהוא גם תיכון ולהשתמש בפונקציית ה sin.
אשתמש במשפט הקוסינוסים:

תשובה: זווית ASB שווה ל 46.55 מעלות.

עוד באתר:

12 מחשבות על “טריגונומטריה במרחב שאלון 482, 4 יחידות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אולי זו שאלה ממש מטומטמת אבל בתרגיל 3 למה הסקת ש ef הוא גם חוצה זווית ותיכון כי בפירמידה לא יכול להיות מצב שהפאות של הפירמידה יהיה לא שווי שוקים ?
    וגם ניראלי שיש טעות בהקלדה של הזווית
    היה כתוב זווית DAC וניראלי שהיה אמור להיות DEC

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בתיכון ברמת 4 יחידות נלמדות פירמידות ישרות – אלו פירמידות שהמקצועות שלהם שווים זה לזה ולכן המשולשים של הפאות הן משולשים שווה שוקיים.
      אני יוסיף את המידע הזה בשאלה עצמה.
      תודה.