זוויות במקבילית

לדף זה 4 חלקים:

  1. זוויות נגדיות, זוויות סמוכות והתכונות שלהם.
  2. שתי תכונות חשובות של זוויות בין ישרים מקבילים.
  3. שלושת הדברים השימושיים ביותר להשלמת זוויות במקבילית.
  4. תרגילים.

1.זוויות נגדיות, זוויות סמוכות והתכונות שלהם

במקבילית יש שתי סוגי זוויות:

1.זוויות נגדיות – אלו הן זוויות הנמצאות אחת מול השנייה במקבילית.
A, C אלו זוויות נגדיות.
B,D אלו זוויות נגדיות.
התכונה שלהם:
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
זה משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

2.זוויות סמוכות – אלו זוויות
לכל זוויות במקבילית יש שתי זוויות במוכות.
הזוויות הסמוכות של A הן D ו B.
הזוויות הסמוכות של D הן A ו C.

התכונה שלהם
זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות.
וזה בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
אם A = 110
אז D = 70
וגם B = 70

התכונה של זוויות נגדית לא דורשת הוכחה. את התכונה של זוויות סמוכות יש לנמק / להוכיח

התכונה של זוויות נגדית לא דורשת הוכחה.
את התכונה של זוויות סמוכות יש לנמק / להוכיח

הוכחה שזוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות

נוכיח את התכונה שסכום זוויות סמוכות במקבילית שווה ל 180 מעלות.

נשרטט מקבילית ואת הצלע DA נאריך מעט יותר עד לנקודה E.

נגדיר
D = x∠
לכן:
BAE =  x  אלו זוויות מתאימות בין ישרים ולכן שוות זו לזו.

BAD = 180 -x זו זווית צמודה ל זווית BAE.
לכן
זווית D וזווית BAE סכומן 180 מעלות.
את ההוכחה הזו ניתן לעשות עבור כל שתי זוויות סמוכות במקבילית.

2.שתי תכונות חשובות של זוויות בין ישרים מקבילים

1.כל פעם שמעבירים חותך בין שני ישרים מקבילים נוצרות זוויות מתחלפות שוות.

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

2.כל פעם שמעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים.

כלומר אם AE הוא חוצה זווית אז:
AD = AE.

חוצה זווית במקבילית יוצר משולש שווה שוקיים

חוצה זווית במקבילית יוצר משולש שווה שוקיים

הוכחה

  1. מכוון AE הוא חוצה זווית ניתן להגדיר כל אחת מהזוויות שהוא יוצר כ x.
  2. הזווית האדומה (זווית AED) שווה לזווית EAB כי אלו זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. לכן במשולש AED יש שתי זוויות שגודלן x.
  4. משולש AED הוא משולש שווה שוקיים כי אם במשולש יש שתי זוויות שוות אז המשולש הוא שווה שוקיים.
    (משפט נכון יותר: מול זוויות שוות במשולש נמצאות צלעות שוות).

3.שלושת הדברים השימושיים ביותר להשלמת זוויות במקבילית

  1. זוויות שלמות (זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו).
  2. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
  3. ישר חותך שני ישרים מקבילים ויוצר זוויות מתחלפות שוות.

1.זוויות שלמות
אם יודעים זוויות אחת במקבילית ניתן לדעת את כל 4 הזוויות במקבילית.
בעזרת "זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו" (משפט שלא צריך להוכיח) ובעזרת סכום זוויות סמוכות הוא 180 מעלות (משפט שצריך להוכיח).

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

ניתן להשלים את כל הזוויות; הזווית B = 60. וגם A = C = 120

ניתן להשלים את כל הזוויות; הזווית B = 60. וגם A = C = 120

2.סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות
תמיד לחפש משולשים הנוצרים.
ואם יודעים שתי זוויות במשולש ניתן להשלים את השלישית

במשולש ADC ניתן להשלים את זווית D. ולאחר מיכן את כל זוויות המקבילית.

במשולש ADC ניתן להשלים את זווית D.
ולאחר מיכן את כל זוויות המקבילית.

3.ישר חותך היוצר זוויות מתחלפות שוות
בכל מקרה שבו יש ישר חותך בין ישרים מקבילים נוצרות זוויות מתחלפות שוות.
חפשו את הזוויות הללו.
ברוב המקרים הן הכרחיות על מנת לפתור את התרגיל.

כמו כן שימו לב שזוויות מתחלפות שוות נוצרות רק בין ישרים מקבילים.
למשל בשרטוט מימין הזוויות הירוקות נוצרות על ידי הישרים AD, DC והם לא ישרים מקבילים ולכן אלו לא זוויות מתחלפות שוות.

4.תרגילים

נחזור על שלושת המשפטים העיקריים בעזרתם תפתרו תרגילים בנושא זוויות במקבילית.

  1. במקבילית שני זוגות של זוויות נגדיות שוות זו לזו.
  2. בין ישרים מקבילים זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות.
  3. בין ישרים מקבילים הזוויות המתחלפות שוות.

תרגיל 1
בשרטוטים הבאים ידוע כי המרובע ABCD הוא מקבילית.
השלימו זוויות רבות ככל האפשר.
(לתרגיל זה יש גם פתרון וידאו, לאחר הפתרון הכתוב).

פתרון
בשרטוט 1

  1. D=60 כי זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. C = A =120 כי זוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות.

בשרטוט 2

  1. B = 60 משלימה ל 180 מעלות במשולש ABC.
  2. D = 60 זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. CAD = 50 זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  4. ACD = 70  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

בשרטוט 3

  1. A = 100 זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. BDA = 180 – 110 – 40 = 30  סכום הזוויות במשולש BDA הוא 180 מעלות.
  3. DBC = 30 זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  4. BDC = 40  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

תרגיל 2
האם במרובעים ניתן להוכיח כי המרובע הוא מקבילית?
שימו לב שאתם לא יודעים שום דבר על המרובע הזה מלבד גדלי הזוויות המצויים בו.
תזכורת: המשפט באמצעותו מוכיחים שמרובע הוא מקבילית הוא:
"אם במרובע שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות אז המרובע הוא מקבילית".

פתרון
שרטוט 1
לא מקבילית – כי הזוויות הנגדיות לא שוות זו לזו (110 לעומת 100).

שרטוט 2
יש זוג אחד של זוויות נגדיות שוות.
נבדוק אם הזוג השני שווה גם.

  1. ABC = 70  זוויות צמודות משלימות ל 180 מעלות.
  2. D = 360 – 110 – 110 – 70 = 70  סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות.
  3. המרובע מקבילית. מצאנו כי במרובע יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות, לכן המרובע הוא מקבילית.

שרטוט 3
לא מקבילית.
הוכחה אחת היא להגיד כי הזוויות CAD, ACB הן זוויות מתחלפות לא שוות ולכן AD לא מקביל ל BC ולכן המרובע אינו מקבילית.

הוכחה בדרך שנייה היא להשלים זוויות.

  1. DCA = 180 – 70 – 50 = 60
  2. CAB = 180 – 70 – 60 = 50
  3. קיבלנו שזווית C = 120 ו  A = 100. אלו זוויות נגדיות לא שוות ולכן המרובע הוא לא מקבילית.

שרטוט 4
זוג הזווית הנגדיות B,D שווה. נבדוק אם הזוג השני שווה.

  1. ACB = 180 – 70 – 60 = 50  סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
  2. ACD = 180 – 70 – 50 = 60 סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
  3. A = C = 110 גם זוג הזוויות הנוסף במרובע שווה.
    קיבלנו שני זוגות של זוויות נגדיות שוות ולכן המרובע הוא מקבילית.

תרגיל 3
האם המרובע המשורטט הוא מקבילית.

פתרון
לא ניתן לדעת.
יש זוג אחד של זוויות נגדיות שוות.
אבל על מנת להוכיח מקבילית דרושים שני זוגות.
אנו לא יודעים דבר על הזוג השני, לכן לא ניתן לקבוע אם המרובע הוא מקבילית או לא.

תרגיל 4
המרובע ABCD הוא מקבילית.
השלימו את הגדלים המסומנים בסימן שאלה בשרטוט.

פתרון

  1. A = 100 זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. AEB = EBC = 60  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ABE = 180 – 60 – 100 = 20   סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות
  4. D = B = 80  זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

תרגיל 5
המרובע ABCD הוא מקבילית.
CE הוא חוצה הזווית C.
השלימו את הגדלים המסומנים בסימן שאלה בשרטוט.
דגש, מצאו את:
הזווית B, הצלע BC.

פתרון

  1. ECB = CED = 70 זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. ECD = ECB = 70 כי CE הוא חוצה זווית.
  3. D = 180 – 70 – 70 = 40 סכום זוויות במשולש ECD הוא 180 מעלות.
  4. B = D = 40  זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  5. ED = CD במשולש DEC יש שתי זוויות שוות לכן הוא משולש שווה שוקיים.
  6. AD = AE + ED 
    AD = 5 + 10 = 15
  7. BC = AD = 15 צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  8. A = C = 140

תרגיל 6
במקבילית שבשרטוט ידוע כי זווית A גדולה ב 40 מעלות מזווית B.
חשבו את ארבעת זוויות המקבילית.

פתרון
נגדיר:
B = x
לכן
A = x + 40

נשתמש בתכונה שזוויות נגדיות במקבילת שוות זו לזו ונקבע:
C = A = x + 40
D = B = x

סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות ולכן נקבע:
A + B + C + D = 360
x + 40 + x + x+ 40 + x = 360
4x + 80 = 360  / -80
4x = 280
x = 70

לכן:
D = B = x = 70
C = A = x + 40
C = A = 70 + 40 = 110

כך נראות זוויות המקבילית כאשר הן מסומנות באמצעות x.
המשוואה נובעת מכך שסכומן 360 מעלות.

תרגיל 7
במקבילית ידוע כי זוויות
A = 3x
C = 5x -80
מצאו את כל זוויות המקבילית.

פתרון
במקבילית זוויות נגדיות שוות.
לכן
C = A
והמשוואה היא
5x -80 = 3x
5x -80 = 3x  / -3x + 80
2x = 80  / :2
x = 40

זווית A:
3x = 3 *40 = 120

זווית C שווה לזווית A ולכן גודלה 120 מעלות.

זוויות D,B הן זוויות חד צדדיות לזווית A ולכן משלימות אותה ל 180 מעלות
D = 180 – 120 = 60
גדולן של זוויות B,D הוא 60 מעלות.

תרגיל 8
במקבילית ידוע כי:
B = 3x – 20
C = 4x -10
חשבו את כל זוויות המקבילית.

פתרון
זוויות B,C הן זוויות סמוכות במקבילית.
במקבילית זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות כי הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.

לכן המשוואה היא:
B + C = 180
3x – 20 + 4x – 10 = 180
7x – 30 = 180   / +30
7x = 210  / :7
x = 30

זוויות B
3x – 20 = 3*30 – 20
70 = 20 – 90

זוויות D
זוויות נגדית לזוויות B ולכן גם גודלה 70 מעלות.

זווית A, זווית C
זוויות סמוכות לזווית B ולכן משלימות אותה ל 180 מעלות.
110 = 70 – 180
גודל זוויות A,C הוא 110 מעלות.

תרגיל 9
במקבילית שבשרטוט ידוע כי זווית A גדולה ב 40 מעלות מזווית B.
חשבו את ארבעת זוויות המקבילית.

פתרון
נגדיר:
B = x
לכן
A = x + 40

נשתמש בתכונה שזוויות נגדיות במקבילת שוות זו לזו ונקבע:
C = A = x + 40
D = B = x

סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות ולכן נקבע:
A + B + C + D = 360
x + 40 + x + x+ 40 + x = 360
4x + 80 = 360  / -80
4x = 280
x = 70

לכן:
D = B = x = 70
C = A = x + 40
C = A = 70 + 40 = 110

כך נראות זוויות המקבילית כאשר הן מסומנות באמצעות x.
המשוואה נובעת מכך שסכומן 360 מעלות.

תרגיל 10
במקבילית ABCD מעבירים את חוצה הזוויות AE.
AE = AD
הוכיחו כי משולש ABE הוא משולש שווה צלעות.

פתרון
נגדיר:
D = x∠  (משוואה 1).
לכן
AED = x∠  כי זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
(משוואה 2).

AED = ∠EAB = x∠  כי אלו זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.

EAD = ∠EAB = x∠  כי AE חוצה זווית.
(משוואה 3)

מצאנו בשלושת המשוואות שלנו ששלושת זוויות משולש AED גודלן x.
כלומר שלושת זוויות משולש AED שוות זו לזו.
לכן:
משולש AED הוא משולש שווה צלעות כי משולש ששלושת זוויותיו שוות הוא משולש שווה צלעות.

בשרטוט הנימוקים למציאת הזוויות והמספרים מסמנים את סדר הפעולות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.