מקבילית

מקבילית היא אחת הצורות היותר חשובות בהנדסת המישור משום שמלבן, ריבוע ומעוין הם סוגים של מקבילית וכדי להבין אותם צריך להבין מקבילית.

בדף זה נלמד:

1. סרטונים מסכמים.
2. הגדרת המקבילית.
3. זוויות במקבילית.
4. איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית (5 משפטים).
5. טיפים לזכירת משפטי המקבילית.
6. שטח מקבילית.
7. מקביליות מיוחדות.
8. וידאו: 6 הדרכים המרכזיות לפתרון שאלות בנושא מקבילית.
9. וידאו: 6 מצבים במקבילית שכדאי לכם להכיר.
10. תרגילים עם פתרונות מלאים.

באתר תוכלו ללמוד גם על הצורות הבאות:

1. דלתון.
2. טרפז.
3. מלבן.
4. מעוין.
5. ריבוע.

בנוסף, הנושאים הבאים של אלגברה לכיתה ט:
טרינום, פירוק לגורמים, נוסחאות הכפל המקוצר ועוד בדף מתמטיקה לכיתה ט.

1.סרטונים מסכמים

בשני הסרטונים הבאים נסכם את החומר.

הסרטון הראשון מסכם את היסודות והסרטון השני דברים יותר מתקדמים.

ניתן ללמוד את החומר מהסרטונים הללו או מהחומר שרשום בהמשך הדף.

2.הגדרת מקבילית

נהוג להגדיר מקבילית כמרובע שבו יש שני זוגות של צלעות מקבילות.

אבל זה לא ממש חשוב. יש 5 דרכים להוכיח שמרובע הוא מקבילית וכל אחת מהדרכים שימושית ויכולה לשמש כהגדרת המקבילית.

3.זוויות במקבילית

זוויות נגדיות – אלו הן זוויות שאין להן צלע משותפת.
במקבילית אלו זוויות הנמצאות אחת מול השנייה.
A, C אלו זוויות נגדיות.
B,D אלו זוויות נגדיות.
התכונה שלהם:
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
זה משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

זוויות סמוכות – אלו זוויות הנמצאות ליד אותה צלע.
לכל זוויות במקבילית יש שתי זוויות סמוכות.
הזוויות הסמוכות של A הן D ו B.
הזוויות הסמוכות של D הן A ו C.

התכונה שלהם
זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות.
וזה בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
אם A = 110
אז D = 70
וגם B = 70

• זוויות במקבילית תרגילים.

4.איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית?

אלו הם חמשת המשפטים להוכחה שמרובע הוא מקבילית:
1) מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.

 

2)  מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.

הסבר למשפט הזה: המשפט הזה דורש שלזוג צלעות במקבילית יהיו שתי תכונות גם שוות וגם מקבילות.
לעומת שני המשפטים הקודמים הדורשים תכונה אחת בלבד, שוות או מקבילות, משני זוגות של צלעות במקבילית.

 

3) מרובע שבו זוג אחד של צלעות שוות מקבילות הוא מקבילית.

 

4) מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

5) מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

המשפטים הללו הם סופר חשובים משום שגם על מנת להוכיח שמרובע הוא מלבן / מעוין / ריבוע הרבה פעמים מוכיחים קודם שהמרובע הוא מקבילית ואז צריך להשתמש במשפטים הללו.

סיכום משפטי המקבילית

משפטים בהם משתמשים אם נתונה מקבילית:

1. במקבילית כל שתי צלעות מקבילות זו לזו.
2. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
3. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
4. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.

בנוסף:
שתי זוויות סמוכות על אותה צלע משלימות ל 180 מעלות.
כדוגמה: אם בשרטוט שלמעלה זווית D = 60 אז  A = 120.
זו תכונה שיש לדעת אך צריך להוכיח אותה אם משתמשים בה.
ההוכחה מתבצעת בעזרת זוויות מתאימות / חד צדדיות בין ישרים מקבילים.

משפטים בהם משתמשים אם צריך להוכיח שצורה היא מקבילית:

1. מרובע שבו שני זוגות זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
2. מרובע שבו שני זוגות צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
3. מרובע שבו שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות זו לזו הוא מקבילית.
4. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
5. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

משפטים הקשורים לישרים מקבילים בהם ניתן להשתמש ללא הוכחה:

• כיצד מוכיחים ששני קווים הם מקבילים?
  – אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי ונוצרות זוויות מתאימות ו/או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
• המשפט ההפוך:
  אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז הזוויות המתאימות שוות זו לזו והזוויות המתחלפות שוות זו לזו.

תרגילים ומידע נוסף בדף תכונות ישרים מקבילים.

סיכום תכונות המקבילית:

תכונה נוספת שקיימת היא שכאשר מעבירים אלכסונים בתוך המקבילית מקבלים שני זוגות של משולשים חופפים.
בבחינה עליכם להוכיח תכונה זו ולא ניתן להישען עליה כמשפט. ניתן להוכיח זאת בקלות על פי צ.צ.צ.
AOB ≅ COD
AOD ≅ COB
מידע על תכונות מקבילית נוספות כולל תכונות אלכסונים תמצאו דף מקבילית תכונות.

 

5.טיפים לזכירת משפטי המקבילית

בסרטון הבא טיפים שיעזרו לכם ליצור קשר בין משפטי המקבילית ולזכור אותם בקלות.

6.דרכי מחשבה להוכיח שמרובע הוא מקבילית

7.שטח והיקף מקבילית

1. שטח מקבילית (s) נתון על ידי מכפלת צלע מקבילית (a) כפול הגובה לצלע. s=a*h
2. היקף מקבילית שווה לסכום שתי צלעות סמוכות כפול שתיים. (p=2(a+b.
3. תרגילים בנושא שטח מקבילית יש בקישור.

8. מקביליות מיוחדות

מקביליות זו לא רק צורה אחת אלא קבוצה של צורות שלכולם יש את התכונות שכתבנו כאן + תכונות המיוחדות רק להן.

1. מעוין – מקבילית בה שתי צלעות סמוכות שוות. ו/ או אלכסונים מאונכים ו/ או אלכסונים חוצי זווית.
2. מלבן – מקבילית שבה הזוויות שוות ל- 90 ו/או אלכסונים שווים באורכם.
3. ריבוע – מקבילית הכוללת את תכונות המקבילית, מעוין ומלבן.

9. 6 מצבים במקבילית שכדאי לכם להכיר

10. טיפים בסיסיים לתרגילים במקבילית

11.תרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילים פשוטים לתרגול תכונות המקבילית.
תרגילים 4-7 הם תרגילי הוכחת מקבילית. תרגילים נוספים באותו נושא  תמצאו בדף הוכחת מקבילית.
תרגילים 8-15 הם תרגילים המשתמשים בתכונות המקבילית וצורות אחרות.

תרגיל 1
במקבילית ABCD זוויות:

∠A=5X
∠D = 4X

חשבו את זוויות המקבילית.

 

תרגיל 2
במקבילית ABCD ידוע כי:
D = Y+20∠
B = 2Y-20∠
AB = 2X
CD = 3X-10
DA = X
חשבו את זוויות וצלעות המקבילית.

 

תרגיל 3
האם יתכן שבמקבילית אורכי האלכסונים יהיו 20 סנטימטר ו 10 סנטימטר
ואילו צלע המקבילית תהיה באורך 15 סנטימטר?

תרגיל 4
במקבילית ABCD אורכי הצלעות הן:
BC = 3,  CD = 10
ידוע כי הגובה לצלע BC גדול ב 4.666 סנטימטר מהגובה AE לצלע CD.
מצאו את אורכי הגבהים AE, AF.

 

תרגיל 5
במקבילית ABCD נקודת מפגש האלכסונים היא O.
הישר AE חוצה את זווית DAO∠ וגם AE⊥DO.
BC= 5,  AE = 3 ס"מ.
חשבו את אורכי האלכסונים במקבילית.