מקבילית

תרגילים פתורים באתר מתוך בחינות בגרות בנושא מקבילית


תרגילים מתוך בחינת הבגרות ברמת 4-5 יחידות

פתרון תרגיל בנושא מקבילית שאלון 005 קייץ 2010 (תכונות מקבילית, דמיון משולשים, חישוב שטחים)

פתרון גיאומטריה חורף תש"ע (2010) (שאלה 3, תכונות מקבילית, מעוין, זוויות היקפיות במעגל)


מכאן ובהמשך הדף מידע על תכונות המקבילית והמשפטים המרכזיים שיש לדעת עליה.

נושאי הדף

1 תכונות מקבילית / הגדרת מקבילית

2 שטח והיקף מקבילית

3 תרגילים פתורים
  3.1 תרגילים בסיסיים
  3.2 תרגילים מורכבים יותר
  3.3 רמזים לפתרון תרגילים

נושאים משלימים
מלבן
מעוין

מקבילית היא אחת הצורות היותר חשובות בהנדסת המישור משום שמלבן, ריבוע ומעוין הם סוגים של מקבילית וכדי להבין אותם צריך להבין מקבילית.

הגדרת מקבילית / תכונות מקבילית

נהוג להגדיר מקבילית כמרובע שבו יש שתי זוגות של צלעות מקבילות. אבל זה לא ממש חשוב. יש 5 דרכים להוכיח שמרובע הוא מקבילית וכל אחת מהדרכים שימושית ויכולה לשמש כהגדרת המקבילית.

איך להוכיח שמרובע הוא מקבילית ?
1) מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
2) מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות שוות בגודלן הוא מקבילית  (כל זוג צלעות שווה ולא כל הארבעה).
3) מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות הוא מקבילית.
4) מרובע שבו האלכסונים שווים.
5) מרובע שבו יש שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

המשפטים הללו הם סופר חשובים משום שגם על מנת להוכיח שמרובע הוא מלבן / מעוין / ריבוע הרבה פעמים מוכיחים קודם שהמרובע הוא מקבילית ואז צריך להשתמש במשפטים הללו.
אני נוהג לזכור שיש שלושה משפטים שמדברים על צלעות, אחד על זוויות ואחד על האלכסונים.

כל אחד מהמשפטים הללו גם מייצג בצורתו ההפוכה את תכונות המקבילית.
 כלומר אם נתון שמרובע הוא מקבילית אז :
1) שתי זוגות של הצלעות הנגדיות מקבילות.
2) שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות באורכן.
4) אלכסוני המרובע שווים זה לזה.
5) הזוויות הנגדייות שוות.

את משפט 3 אין צורך להפוך משום שהוא כלול במשפטים 1 ו 2.

תכונה נוספת שקיימת היא שכאשר מעבירים אלכסונים בתוך המקבילית מקבלים שתי זוגות של משולשים חופפים.

עדיף להבין לפחות את תכונת הזוויות מתוך תכונות זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים ולא לשנן על מנת לזכור.

סיכום תכונות המקבילית בשרטוט



שטח והיקף מקבילית
שטח מקבילית נתון על ידי מכפלת צלע מקבילית כפול הגובה לצלע. s=a*h
היקף מקבילית שווה לסכום שתי צלעות סמוכות כפול שתיים. p=2*(a+b).

תרגילים פתורים

כל התרגילים למעט התרגיל הראשון לקוחים מתוך ספרו של בני גורן הנדסה חלק ב.

אם לאחר לחיצה על קובץ הפתרון הוא לא נראה לכם מספיק גדול עליכם ללחוץ על התמונה עצמה.

תרגילים בסיסיים

 פתרון שאלה העוסקת בזוויות המקבילית

עמוד 81 פתרון תרגיל 9 (הוכחה שמרובע הוא מקבילית)

תרגילים מורכבים יותר

עמוד 78 פתרון תרגיל 11 (תכונות מקבילית).

עמוד 83 פתרון תרגיל 21 (זוויות במקבילית).

עמוד 83 פתרון תרגיל 22  (תכונות אלכסוני המקבילית, תכונות המשולש).

רמזים לפתרון תרגילים

מצורפים רמזים לפתרון תרגילים נוספים, הרמזים כתובים על פי הסדר בו נפתרת השאלה. אני ממליץ לקחת כל פעם רמז אחד ולנסות לפתור.

תרגיל 13 בעמוד 60
1 הגדירו את זוויות A ו D על ידי שני משתנים (או אחד). (למשל A=a ו D=180-a).
2 הסתכלו על המשולש ADE.
3 חשבו את גודל הזוויות במשולש זה.

תרגיל 15 בעמוד 61
1 בחרו זווית כלשהיא במשולש והגדירו אותה כמשתנה. (למשל F=x).
2 העיזרו בתכונות משולש שווה שוקיים ובתכונות קווים מקבילים והשלימו את כל הזוויות במשולשים השונים. אם לא הצלחתם אז שכחתם תכונות של משולשים שווה שוקיים או קווים מקבילים.
3 בנו משוואה - סכום הזוויות במשולש הוא 180.

תרגיל 37 עמוד 64
1 הוכיחו חפיפה בין משולש DOF למשולש BOE. וגם בין משולש EOA ל FOC.
2 החפיפה היא על פי ז.צ.ז . צריך להשתמש בזוויות קודקודיות, זוויות מתחלפות, ובמשפט "אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה".
3 בעזרת צ.מ.ב.ח תוכלו למצוא את האורך של הצלע DC.
4 משולש BCD הוא משולש הזהב ותוכלו למצוא את גודל הצלע BC.

תרגיל 18 עמוד 67
1 נמשיך את OF לצלע CD. נוצר מלבן AFKE.
2 משולש OFB חופף למשולש OKD על פי ז.צ.ז.
3 וגם משולש OFA חופף למשולש OKC על פי ז.צ.ז. הדבר נותן לנו את הגודל של DC, והיקף המקבילית.