פונקציה קווית, משוואת ישר

דף זה הוא סיכום החומר הנלמד בנושא פונקציה קווית ומשוואת הישר.
הדף כולל הסברים על נושאים שצריך לדעת וליד כמעט כל נושא יש קישור לדף הכולל הסבר מורחב יותר + תרגילים עם פתרונות מלאים + סרטון וידאו.

את הנושאים ניתן לחלק ל 2:

  1. גרף הפונקציה הקווית.
  2. מציאת משוואת הישר על פי נתונים שונים שנותנים לנו.

שני הנושאים חשובים אך הנושא של מציאת משוואת הישר קשה קצת יותר ודורש יותר תרגול.
בסוף הדף תרגילים מסכמים.

לאחר שתכירו את החומר בדף זה ואם אתם תלמידי 4-5 יחידות תוכלו למצוא שאלות קשות יותר בדף מציאת משוואת ישר עם הגדרת משתנים.

הערה: הביטויים משוואת ישר ופונקציה קווית הם שני שמות לאותו דבר.

גרף הפונקציה הקווית

המשמעות של m במשוואת הישר

משוואת ישר נראית כך: y=mx +n כאשר m ו n הם מספרים. (בבתי ספר מסוימים נוהגים לכתוב y=ax+b).
m מייצג את שיפוע הישר.

אנו צריכים להתייחס לשני דברים במספר m:

  1. האם m חיובי או שלילי. אם הוא חיובי הפונקציה הקווית עולה ואם שלילי הפונקציה יורדת.
  2. מה הערך המספרי של m. ככול ש m גדול יותר בערכו המוחלט כך השיפוע של הישר גדול יותר והוא נראה לנו כ "תלול" יותר.
כל הקווים הכחולים עולים ולכן ערך ה m שלהם חיובי. כל הישרים האדומים יורדים לכן ערך ה m שלהם שלילי. ליד כל ישר מופיע ערך ה m שלו.

כל הקווים הכחולים עולים ולכן ערך ה m שלהם חיובי.
כל הישרים האדומים יורדים לכן ערך ה m שלהם שלילי.
ליד כל ישר מופיע ערך ה m שלו.

תרגיל.

זהו מי מבין הישרים הללו עולה ומי יורד.
מבין היורדים כתבו למי יש את ה m השלילי הגדול ביותר ולכן יורד בצורה החדה ביותר. מבין העולים ציינו למי יש m גדול יותר ולכן עולה בצורה חדה יותר.
למי לדעתכם יש את ה m בערך המוחלט הגדול יותר?

שרטוט ישרים עם ערכי m שונים

  1. זה הישר היחידי שיורד.
  2. ישר עולה.
  3. ישר עולה.
  4. לישר ערך y קבוע לכול אורכו. לכן הוא לא עולה ולא יורד.

הישר B עולה צורה תלולה יותר מהישר C ולכן ערך ה m של ישר B גדול יותר.
השיפוע של A הוא החד ביותר ולכן הערך המוחלט של m שלו הוא הגדול ביותר.

המשמעות של n במשוואת הישר

במשוואה y=mx +n המספר n מייצג את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
מדוע זה כך?
משום שאם נציב x=0 במשוואה y=mx +n שזו הדרך למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y נקבל:
y=m * 0  + n
y=n

על פי נקודת החיתוך עם ציר ה y ניתן לדעת את ערך ה m במשוואת הישר

על פי נקודת החיתוך עם ציר ה y ניתן לדעת את ערך ה m במשוואת הישר

תרגיל.
מצאו את ערכי ה n של הישרים הבאים:

שרטוט ישרים עם ערכי n שונים

פתרון
נמצא את נקודת החיתוך של הישרים עם ציר ה Y וזה יהיה ערך ה n של הישר.

ערך n של ישר הוא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה y.

 

התאמה בין גרף למשוואת ישר

נתונות משוואות הישר הבאות:

  1. y=5x-2
  2. y=x-2
  3. y=-3x +1
  4. y=-3x-4

בהסתמך על מה שלמדנו על m ו n זהו לאיזו משוואה מתאים כל גרף?

גרף משוואת הישר

פתרון

שרטוט ההתאמה בין גרף למשוואה

הסבר לפתרון:
גרפים 3-4 שונים מ 1-2 בכך שהם עולים.
לגרף 4 שיפוע חד יותר ביחס ל 3 לכן גרף 4 מתאים ל m=5 לעומת m=1 בגרף 3.
למשוואת 1-2 אותו שיפוע יורד. אך הם חותכים בנקודות שונות את ציר ה y. גרף 2 חותך ה y=1 ולכן מתאים ל n=1.

דף נוסחאות משוואת הישר כולל תרגילים נוספים הקשורים למשמעות הפרמטרים m,n.

מציאת נקודת חיתוך של משוואת הישר עם ציר ה X

מוצאים את נקודת החיתוך עם ציר ה x על ידי הצבה y=0 במשוואת הישר.
אם הישר שלנו הוא y=2x-4. נציב y=0 ונקבל:
2x-4=0  / +4
2x=4  /:2
x=2.
נקודת החיתוך עם ציר ה x היא (0, 2).

מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה x.

מציאת נקודת החיתוך עם ציר ה x.

תרגיל
מצאו את נקודת החיתוך של הישר y = -x+1 עם ציר ה x.

פתרון
נציב y=0.
x+1 = 0-
x=1
נקודת החיתוך היא (1,0).

משוואת הישר y = -x+1

וידאו: מציאת נקודת חיתוך עם הצירים

תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית

פונקציה קווית חיובית כאשר ערכי ה Y שלה גדולים מ 0 וזה קורה כאשר היא מעל לציר ה X.
פונקציה קווית שלילית כאשר ערכי ה Y שלה קטנים מ 0 וזה קורה כאשר היא מתחת לציר ה X.

מציאת תחומי חיוביות שליליות נעשית בשני שלבים:

  1. מוצאים את נקודת החיתוך של הפונקציה הקווית עם ציר ה X.
  2. מזהים אם הפונקציה עולה או יורדת על פי ה m.
    אם הפונקציה עולה היא חיובית מימין לנקודת החיתוך.
    אם הפונקציה יורדת אז היא חיובית משמאל לנקודת החיתוך.
    (מומלץ לשרטט סקיצה מהירה כאשר אתם עונים על סעיף זה).

למשל: y= – x+4.
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה X על ידי הצבה y=0.
x+4=0  / +x-
x=4
מכוון ש m=-1 משוואת הישר יורדת ותחום החיוביות הוא x<4.

שרטוט הגרף y= - x+4.

האם נקודה נמצאת על הישר?

מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הישר ואם יוצא משהוא שהוא תמיד נכון כמו 4=4,  0=0 אז הנקודה נמצאת על הישר.
אם יוצא משהוא שהוא תמיד לא נכון כמו 6=4, 0=5 אז הנקודה לא נמצאת על הישר.

תרגיל לדוגמה: האם הנקודה (1,3)  או (1,0-) נמצאות על הישר y=2x+2?
נציב את ערכי הנקודה (1,3) במשוואת הישר.
2+ 2*2 =3
6=3    – זה תמיד לא נכון לכן הנקודה (1,3) לא נמצאת על הישר.
נציב את ערכי הנקודה (1,0-) במשוואת הישר.
0 = 2*(-1) +2
0 = 2-2
0=0    – זה תמיד נכון לכן הנקודה  (1,0-) נמצאת על הישר.

בדיקה האם נקודות נמצאות על הישר y=2x+2

בדיקה האם נקודות נמצאות על הישר y=2x+2

נושאים נוספים הקשורים לגרף משוואת הישר

נושאים אלו מפורטים בקישורים:

  1. שרטוט גרף משוואת ישר.
  2. מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים.
  3. פתרון אי שוויון בדרך גרפית.

נעבור עכשיו לנושא הגדול השני – והוא מציאת משוואת ישר.

2. מציאת משוואת ישר

על מנת למצוא משוואת ישר אנו צריכים לדעת שני דברים:

  1. השיפוע של הישר (m).
  2. ונקודה אחת דרכה הישר עובר (X1,Y1).

נציב את הערכים הללו במשוואה (y-y1=m(x-x1 ונקבל את משוואת ישר.

תרגיל לדוגמה: מה היא משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,2) ושיפועו הוא 3?
(y-2=3(x-3
y-2=3x-9
y=3x-7  – זו משוואת הישר.

משוואת הישר y=3x-7 והנקודה הנמצאת עליו (3,2)

משוואת הישר y=3x-7 והנקודה הנמצאת עליו (3,2)

בשאלות מסוימות לא יגידו ישירות את הנקודה דרכה עובר הישר אלא יסבכו קצת את התרגיל, למשל:

  1. יגידו שהישר עובר דרך "ראשית הצירים" ואז הכוונה היא לנקודה 0,0.
  2. יגידו שהישר עובר דרך נקודת המפגש של ישר אחר עם ציר ה X או ציר Y. במקרה זה עליכם למצוא את נקודת החיתוך ואז את משוואת הישר.

תרגילים:

  1. מצאו את משוואת הישר ששיפועו 3- ועובר דרך ראשית הצירים.
  2. מצאו את משוואת הישר ששיפועו 0.5 ועובר דרך נקודת המפגש של הישר y=2x-6 עם ציר ה x.

פתרונות

תרגיל 1.
ראשית הצירים היא הנקודה 0,0.
נציב במשוואת הישר:
(y-y1=m(x-x1
(y-0 = -3 (x-0
y= -3x  זו משוואת הישר.

y= -3x

y= -3x

תרגיל 2
נקודת החיתוך של הישר y=2x-6 עם ציר ה x מתקבלת כאשר y=0.
0=2x-6
2x=6
x=3.
הנקודה היא 3,0.
עלינו למצוא את משוואת הישר ששיפועו 0.5 ועובר בנקודה 0, 3.
(y – 0 = 0.5 (x-3
y = 0.5x -1.5 זו משוואת הישר.

y = 0.5x -1.5

הקו הכחול הוא הקו שאת נקודת החיתוך שלו עם ציר ה X חיפשנו.
הקו האדום הוא הקו שאת משוואתו חיפשנו.

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

דרכים למציאת שיפוע

פעמים רבות לא יגידו מה שיפוע הישר אלא נצטרך למצוא אותו בעזרת נתונים אחרים.
יש בסך הכול 3 סוגי נתונים בהם ניתן להשתמש.
בכול שלושת המקרים לאחר שנמצא את השיפוע נמשיך את מציאת משוואת הישר על ידי הצבת השיפוע והנקודה בנוסחה: (y-y1=m(x-x1.

1.מציאת שיפוע בעזרת שתי נקודות

כאשר נותנים לנו שתי נקודות (x1, y1) ו (x2, y2) אנו מציבים אותם בנוסחה המופיעה מטה ומקבלים את השיפוע.

m= Y1-Y2:(X1-X2)).

נוסחה לשיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות

(m = (y1-y2) / (x1 – x2

תרגיל לדוגמה: מצאו את השיפוע ומשוואת הישר העובר דרך הנקודות (5,2) ו (7,8).
(m= (8-2) : (7-5
m=6:2=3

מציבים את השיפוע וערכי אחת מהנקודות (לא חשוב איזו נקודה) בנוסחה למציאת משוואת הישר (y-y1=m(x-x1.
(y-2=3(x-5
y-2=3x-15
y=3x-13

משוואת הישר y=3x-13 ושתי נקודות שעליו (5,2) ו (7,8).

משוואת הישר y=3x-13 ושתי נקודות שעליו (5,2) ו (7,8).

תרגילים:
(לאחר התרגילים יש וידאו המסביר כיצד לפתור תרגילים דומים).

  1. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2,4) (8,0).
  2. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (0.5, 2-)  (0, 1).
  3. ידוע כי ישר עובר דרך שתי הנקודות (5,4) (6,8). מצאו את הנקודה (x, 10) אם ידוע כי הנקודה נמצאת על הישר.

פתרונות

תרגיל 1

הנקודות (2,4) (8,0).
השיפוע:
m = (4-0) / (2-8) = 4 / -6 = -0.66

משוואת הישר (y-y1=m(x-x1
y-0 = -0.66(x-8) = y = -0.66x +5.33

משוואת הישר y = -0.66x +5.33

משוואת הישר y = -0.66x +5.33

תרגיל 2

הנקודות (0.5, 3-)  (0, 1)
השיפוע:
m = (0.5 – 0)  / (-3-1) = 0.5 / -4 = -0.125

משוואת הישר (y-y1=m(x-x1
y-0 = -0.125(x-1) = y = -0.125x + 0.125

משוואת הישר y = -0.125x + 0.125

משוואת הישר y = -0.125x + 0.125

תרגיל 3

אם שתי הנקודות (5,4) (6,8) נמצאות על הישר זה אומר שכאשר x עולה ב 1 אז y עולה ב 4. (m=4).
ערך ה y בנקודה (x, 10) עולה ב 2 ביחס ל (6,8) לכן ערך ה x צריך לעלות ב 0.5 והנקודה המבוקשת היא (6.5,10).

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות

הוידאו כולל הסבר ותרגילים.

2. מציאת שיפוע בעזרת קווים מקבילים

לקווים מקבילים שיפועים שווים.
תרגיל לדוגמה:
מצאו את משוואת הישר של הישר המקביל לישר y=8x-1 ועובר דרך הנקודה (4-,1-)

פתרון
שיפוע הישר המבוקש הוא 8. נציב את הנתונים במשוואה (y-y1=m(x-x1.
(y+4 = 8(x+1
y+4 = 8x +8 /-4
y=8x+4 – משוואת הישר המבוקש.

משוואת הישר המבוקש y=8x+4 נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל אליו.

משוואת הישר המבוקש y=8x+4 נקודה דרכה הוא עובר והישר המקביל אליו.

תרגילים:

  1. מצאו את משוואת הישר המקביל לישר y = 6x ועובר דרך הנקודה (5,3).
  2. מצאו את משוואת הישר המקביל לישר y-3x=0 ועובר דרך הנקודה (4,1).

פתרונות

תרגיל 1
שיפוע הישר המבוקש הוא 6.
y-3 = 6(x-5)= 6x-30
y=6x-27

תרגיל 2
נשים לב שמשוואת הישר אינה בצורה "המפורשת". לכן נבצע בה שינויים:
y-3x=0  / +3x
y=3x
שיפוע ישר זה הוא 3.
y – 4 = 3(x-1) = 3x-3
y=3x+1

3. מציאת שיפוע בעזרת קווים מאונכים

מכפלת השיפועים של קווים מאונכים היא 1-.

תרגיל לדוגמה:
מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=4x+2 ועובר דרך הנקודה (1,1-).

פתרון
נניח כי שיפוע הישר המבוקש הוא m. אז מתקיים:
1- = 4 * m.
m = – 0.25.
נציב את השיפוע והנקודה במשוואת הישר (y-y1=m(x-x1.
(y-1 = -0.25 (x+1
y-1 = -0.25x – 0.25 /+1
y=-0.25x +0.75   – משוואת הישר המבוקש.

משוואת הישר y=-0.25x +0.75, נקודה דרכה הוא עובר והישר המאונך אליו

משוואת הישר y=-0.25x +0.75, נקודה דרכה הוא עובר והישר המאונך אליו

תרגילים

  1. מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y = -0.2x+2 ועובר דרך הנקודה (1,8).
  2. מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=x ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y=2x+3 עם ציר ה y.

פתרונות

תרגיל 1
אם שיפוע הישר המבוקש הוא m אז מתקיים:
m * -0.2 = -1 / *5
m= -5

נציב במשוואת הישר:
y – 8 = -5 (x- 1) = -5x +5
y = -5x+13

משוואת הישר המבוקש באדום והישר המאונך לו בכחול.

משוואת הישר המבוקש באדום והישר המאונך לו בכחול.

תרגיל 2

אם שיפוע הישר המבוקש הוא m אז מתקיים:
m * 1 = -1
m= -1

נמצא את נקודת החיתוך של הישר y=2x+3 עם ציר ה y על ידי הצבה x=0.
y = 2*0+3=3
הנקודה היא (0,3).

נציב במשוואת הישר:
y – 3 = -1(x-0) = -x  / +3
y= – x +3

משוואת הישר המבוקש באדום והישר המאונך לו בכחול.

משוואת הישר המבוקש באדום והישר המאונך לו בכחול.

וידאו: מציאת משוואת ישר על פי קווים מקבילים ומאונכים

סיכום שלושת הדרכים למציאת שיפוע:

  1. שיפוע ניתן למצוא בעזרת שתי נקודות על פי הנוסחה: (m = (y1-y2) / (x1 – x2
  2. לישרים מקבילים שיפוע שווה.
  3. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
  • דוגמאות נוספות והסברים על כל הדרכים למציאת שיפוע תמצאו בקישור.

מציאת משוואת ישר המקביל לצירים

ישרים מקבילים לצירים הם מהצורה y=k ואז הישר מקביל לציר ה x.
או x=k ואז הישר מקביל לציר ה y.
k יכול להיות כל מספר (0,100, 8, 10- …..).

כאשר הישר הוא מהצורה y=k ניתן להשתמש כול השיטות אותם למדנו כדי למצוא את משוואת הישר שלו.

כאשר הישר הוא מהצורה x=k זה ישר מיוחד משום שהשיפוע אינו מוגדר ולכן גם לא ניתן למצוא את השיפוע.
במקרה זה עלינו לזהות כי מדובר בישר המקביל לציר ה y על פי הנקודות שנותנים לנו.

איך מזהים ומוצאים משוואת ישר המקביל לציר ה y?

(נזכיר, זאת משוואה מהסוג x=k).

1.כאשר אומרים לנו שישר עובר דרך שתי נקודות שיש להם את אותו ערך X אז הישר מקביל לציר ה Y.
משוואת הישר תהיה ערך ה x של הנקודות למשל:
(5,2)   (10, 5).  משוואת הישר המתאימה x=5.
(4-, 6-)    (6, 6-). משוואת הישר המתאימה x= -6.
(0,3)  (1-, 0)  משוואת הישר הישר היא x=0.

שרטוט הישרים על פי הנקודות שצוינו למעלה

2. כאשר אומרים לנו שישר מקביל לציר ה y או שהישר מקביל לישר אחר המקביל לציר ה y.

למשל מצאו את משוואת הישר המקביל לציר ה y ועובר דרך הנקודה (4,2-).

או מצאו את משוואת הישר המקביל לישר x=6 ועובר דרך הנקודה (4,2-).

פתרון
שתי השאלות הללו הן עצם אותה שאלה שהפתרון שלה הוא x = -4.

שרטוט הישר x = -4.

3. כאשר אומרים לנו שישר מאונך לישר המקביל לציר ה X.

למשל, מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y=2 ועובר דרך הנקודה (4,1).

פתרון
יש אינסוף ישרים המאונכים לישר y=2, ואלו כל הישרים המקבילים לציר ה y. אבל יש רק ישר אחד שהוא גם מאונך וגם עובר בנקודה (4,1) והוא x=4.

שרטוט הישר x=4

תרגילים ובעיות מילוליות בנושא פונקציה קווית

התרגילים המופיעים כאן הם תרגילים מסכמים וקשים יחסית. הם מיועדים למי שיודע כיצד מוצאים משוואת ישר. למי שרוצה חזרה הנושא יש תרגילים נספים בדף מציאת משוואת ישר.

תרגיל 1

במשולש ישר זווית ABC הניצבים הם AB⊥BC.
הנקודה (D(5,4 נמצאת על AB.
(A (6,6)  , C(8,0

  1. מצאו את משוואת הישר AB.
  2. האם הנקודה (E (0,0 נמצאת על הישר AB?
  3. מצאו את משוואת BC.
  4. מצאו את הנקודה B.

שרטוט התרגיל

פתרון

חלק 1.
משוואת הישר AB היא משוואת הישר AD (כי D נמצאת על AB).
(A (6,6)  , D(5,4
m = (6-4) / (6-5) = 2 /1=2
נציב במשוואת הישר:
y – 6 = 2(x-6) = 2x-12
y = 2x-6 זו משוואת AB.

חלק 2.
נציב (E (0,0 במשוואת AB.
0 = 6- 2*0
0= 6-
זה לא נכון לכן (E (0,0 לא נמצאת על AB.

חלק 3.
(C(8,0.
BC מאונך ל AB לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
m * 2 = -1
m = -0.5
נציב במשוואת הישר:
y – 0 = -0.5(x-8) = -0.5x +4
y = -0.5x +4 זו משוואת הישר BC.

חלק 4.
הנקודה B היא נקודת המפגש של AB ו BC.
y = -0.5x +4 הישר BC.
y = 2x-6 הישר AB.
2x-6 = -0.5x + 4  / +0.5x + 6
2.5x = 10 / :2.5
x=4

נציב את x=4 במשוואת אחד הישרים (לא משנה איזה).
y=2*4-6=2
(B(4,2

תרגיל 2

מלבן ABCD עובר דרך 3 נקודות
(A(2,8
(B(1-, 2
(C(1,1

  1. מצאו את משוואת הצלע AD.
  2. מצאו את משוואת הצלע CD.
  3. מצאו את הנקודה D.

שרטוט גרף התרגיל

פתרון

1. מציאת משוואת הישר AD.
הצלע AD מקבילה לצלע BC ולכן יש להם את אותו שיפוע.
נמצא את השיפוע של BC.
m = (2-1) : (-1-1) = 1:-2= – 0.5

נמצא את משוואת AD על פי השיפוע  0.5 – והנקודה (A(2,8.
(y-y1=m(x-x1
(y-8= – 0.5 (x-2
y-8= -0.5x+1  / +8
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.

2. מציאת משוואת הישר CD.
הישר CD מאונך לישר AD לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
m * -0.5= -1
m=2
נמצא את משוואת CD על פי השיפוע 2 והנקודה (C(1,1.
(y-1=2(x-1
y-1=2x-2  /+1
y=2x-1 – זו משוואת הישר CD.

3. מציאת הנקודה D.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של
y=2x-1 – הישר CD.
y= – 0.5x +9 – הישר AD.
2x-1= – 0.5x+9 / +0.5x +1
2.5x=10 /:2.5
x=4
נמצא את ערך ה Y של הנקודה D על ידי הצבה במשוואת CD.
y=2*4-1=7
(D(4,7  – זו נקודה D.

תרגיל 3

יום אחד כאשר פטר הלך ביער הוא פגש 2 אנשים קוטפים פטריות. מנקודת זמן זו פטר עקב אחרי כמות הפטריות שיש להם בסלסלה ורשם אותה בגרף. פטר המשיך לרשום עד שהסלסלה התמלאה.
ידוע כי הקוטפים קוטפים פטריות בקצב קבוע.

אלו הפונקציות הקוויות ששרטט פטר:

הגרפים שפטר שרטט

 

  1. האם לשני הקוטפים היו סלסלות ריקות כאשר פגש אותם פטר?
  2. מי מהקוטפים קוטף מהר יותר.
  3. מתי לשני הקוטפים הייתה אותה כמות של פטריות בסלסלה?
  4. נסו לחשב בעזרת הגרף כמה פטריות בשעה קוטף כל אחד מהקוטפים?
  5. כתבו פונקציות קוויות מתאימות לכל אחד מהקוטפים.
  6. כעבור כמה זמן מילאו הקוטפים את הסלסלות?

פתרון

  1. לא. לקוטף א היו 6 פטריות בסלסלה כאשר פטר פגש אותו.
  2. רואים שהגרף של קוטף ב עולה מהר יותר ולכן הוא קוטף מהר יותר.
  3. על פי הגרף זה נראה כעבור 1.5 שעות.
  4. ניתן לראות כי קוטף ב התחיל עם 0 פטריות וכעבור שעה היו לו 6 פטריות.
    לכן קוטף נ קוטף 6 פטריות בשעה.
    קוטף א התחיל עם 6 פטריות וכעבור שעה הגיע ל- 8 פטריות.
    לכן קוטף ב קוטף 2 פטריות בשעה.
  5. מצאנו עבור קוטף א כי n=6 ו m=2 לכן המשוואה היא y=2x+6.
    מצאנו עבור קוטף ב כי n=0 ו m=6 לכן המשוואה היא y=6x.
  6. קוטף ב מילא את הסלסלה כעבור 3 שעות.
    קוטף  מילא את הסלסלה כעבור קצת יותר מ- 6 שעות.

תרגיל 4 – קשה מהרגיל

בגינה יש ערוגה מלאה בצמחי סתיו וערוגה עם צמחי אביב (שהתחילה כערוגה ריקה). עם תחילת האביב עוקרים את צמחי הסתיו ושותלים את צמחי האביב. קצב השתילה והעקירה הוא קבוע (אך לא זהה).
העובדים התחילו לעקור ולשתול באותו זמן.
לאחר 4 שעות עבודה נמצאו בערוגת האביב 30 צמחים.
בערוגת הסתיו לאחר 4 שעות היו 150 צמחים ולאחר 10 שעות 78 צמחים.

  1. רשמו את הפונקציה הקווית המייצגת את תהליך השתילה בערוגת האביב.
  2. רשמו את הפונקציה הקווית המייצגת את תהליך העקירה בערוגת הסתיו.
  3. כמה שתילים היו בערוגת הסתיו לפני תחילת העקירה?
  4. תוך כמה זמן ימלאו את ערוגת האביב באותו מספר פרחים כמו שהיה בערוגת הסתיו לפני העקירה.
  5. מתי היו בערוגת הסתיו וערוגת האביב אותו מספר פרחים.
  6. במידה ונשרטט גרף של כמות השתילים כפונקציה של הזמן.. איך נזהה את הנקודה שמצאנו בסעיף 5. איך נזהה את הנקודה שמצאנו סעיף 3.

פתרון

  1. ידוע כי ערוגת האביב התחילה עם 0 צמחים. (מספר זה מייצג את ה- n במשוואת הישר).
    לאחר 4 שעות היו בגינה 30 צמחים. כלומר קצב השתילה הוא 30:4=7.5 שתילים בשעה. m=7.5.
    לכן הפונקציה הקווית היא y=7.5x.
  2. ידוע כי בערוגת הסתיו לאחר 4 שעות היו 150 צמחים ולאחר 10 שעות 78 צמחים. כלומר תוך 6 שעות נעקרו 72 צמחים.
    קצב העקירה הוא 72:6=12. (מספר זה מייצג את ה m במשוואת הישר. במשוואה עצמה נציב 12- (מינוס 12) משום שמדובר בעקירת צמחים ולא שתילה).
    "לאחר 4 שעות היו 150 צמחים". במהלך 4 השעות הראשונות נעקרו 4*12=48 צמחים. לכן בתחילת העקירה היו 150+48=198 צמחים בערוגת הסתיו.
    משוואת הישר המתארת את תהליך העקירה היא y=-12x+198.
  3. כפי שמצאנו בסעיף 2 – 198 צמחים.
  4. על ערוגת האביב להגיע למספר 198. ונשתלים בערוגה 7.5 שתילים בשעה.
    אם X הוא מספר השעות עד שהדבר קורה אז:
    7.5X=198 / :7.5
    x=26.4 שעות.
  5. "אותו מספר פרחים" זה אומר המשוואות הישר שוות.
    7.5x=12x+198
    19.5x=198
    x=10.15  שעות.
  6. הנקודה שמצאנו בסעיף מספר 5 היא נקודת המפגש של  שני משוואות הישר.
    הנקודה שמצאנו בסעיף מספר 3 הוא נקודת המפגש עם ציר ה- Y של פונקציית העקירה.

עוד באתר:

17 תגובות בנושא “פונקציה קווית, משוואת ישר

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      יש דף נוסף באתר על פונקציה קווית שכולל נושאים שצריך לדעת אותם לפני שמגיעים לדף זה:

      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/linear-function-8th-grade/

      אם אחרי שתקרא אותו עדיין יהיו שאלות אתה מוזמן להסביר כאן בדיוק איזו סוג שאלות אינן ברורות לך ואנסה לענות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.