פונקציה קווית, משוואת ישר

דף זה הוא סיכום החומר הנלמד בנושא פונקציה קווית ומשוואת הישר.
הדף כולל הסברים על נושאים שצריך לדעת וליד כמעט כל נושא יש קישור לדף הכולל הסבר מורחב יותר + תרגילים עם פתרונות מלאים.

את הנושאים ניתן לחלק ל 2:

  1. גרף הפונקציה הקווית.
  2. מציאת משוואת הישר על פי נתונים שונים שנותנים לנו.

שני הנושאים חשובים אך הנושא של מציאת משוואת הישר קשה קצת יותר ודורש יותר תרגול.

בסוף הדף תרגילים מסכמים.

הערה: הביטויים משוואת ישר ופונקציה קווית הם שני שמות לאותו דבר.

גרף הפונקציה הקווית

המשמעות של m במשוואת הישר

משוואת ישר נראית כך: y=mx +n כאשר m ו n הם מספרים. (בבתי ספר מסוימים נוהגים לכתוב y=ax+b).
m מייצג את שיפוע הישר. אנו צריכים להתייחס לשני דברים במספר m:

  1. האם m חיובי או שלילי. אם הוא חיובי הפונקציה הקווית עולה ואם שלילי הפונקציה יורדת.
  2. מה הערך המספרי של m. ככול ש m גדול יותר בערכו המוחלט כך השיפוע של הישר גדול יותר והוא נראה לנו כ "תלול" יותר.

המשמעות של n במשוואת הישר

במשוואה y=mx +n המספר n מייצג את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
מדוע זה כך?
משום שאם נציב x=0 – שזו הדרך למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y נקבל:
y=m * 0  + n
y=n

התאמה בין גרף למשוואת ישר

נתונות משוואות הישר הבאות:

  1. y=5x-2
  2. y=x-2
  3. y=-3x +1
  4. y=-3x-4

בהסתמך על מה שלמדנו על m ו n זהו לאיזו משוואה מתאים כל גרף?

גרף משוואת הישר

פתרון

שרטוט ההתאמה בין גרף למשוואה

הסבר לפתרון:
גרפים 3-4 שונים מ 1-2 בכך שהם עולים.
לגרף 4 שיפוע חד יותר ביחס ל 3 לכן גרף 4 מתאים ל m=5 לעומת m=1 בגרף 3.
למשוואת 1-2 אותו שיפוע יורד. אך הם חותכים בנקודות שונות את ציר ה y. גרף 2 חותך ה y=1 ולכן מתאים ל n=1.

מציאת נקודת חיתוך עם ציר ה X

מוצאים את נקודת החיתוך עם ציר ה x על ידי הצבה y=0 במשוואת הישר.
אם הישר שלנו הוא y=2x-4. נציב y=0 ונקבל:
2x-4=0  / +4
2x=4  /:2
x=2.
נקודת החיתוך עם ציר ה x היא (0, 2).

תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית

פונקציה קווית חיובית כאשר ערכי ה Y שלה גדולים מ 0 וזה קורה כאשר היא מעל לציר ה X.
פונקציה קווית שלילית כאשר ערכי ה Y שלה קטנים מ 0 וזה קורה כאשר היא מתחת לציר ה X.

מציאת תחומי חיוביות שליליות נעשית בשני שלבים:

  1. מוצאים את נקודת החיתוך של הפונקציה הקווית עם ציר ה X.
  2. מזהים אם הפונקציה עולה או יורדת על פי ה m.
    אם הפונקציה עולה היא חיובית מימין לנקודת החיתוך.
    אם הפונקציה יורדת אז היא חיובית משמאל לנקודת החיתוך.
    (מומלץ לשרטט סקיצה מהירה כאשר אתם עונים על סעיף זה).

למשל: y= – x+4.
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה X על ידי הצבה y=0.
x+4=0  / +x-
x=4
מכוון ש m=-1 משוואת הישר יורדת ותחום החיוביות הוא x<4.

שרטוט הגרף y= - x+4.

האם נקודה נמצאת על הישר?

מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הישר ואם יוצא משהוא שהוא תמיד נכון כמו 4=4,  0=0 אז הנקודה נמצאת על הישר.
אם יוצא משהוא שהוא תמיד לא נכון כמו 6=4, 0=5 אז הנקודה לא נמצאת על הישר.
למשל: האם הנקודה (1,3) נמצאת על הישר y=2x+2?
נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר.
2+ 2*2 =3
6=3  – זה תמיד לא נכון לכן הנקודה לא נמצאת על הישר.

נושאים נוספים הקשורים לגרף משוואת הישר

נושאים אלו מפורטים בקישורים:

  1. שרטוט גרף משוואת ישר.
  2. מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים.
  3. פתרון אי שוויון בדרך גרפית.

נעבור עכשיו לנושא הגדול השני – והוא מציאת משוואת ישר.

מציאת משוואת ישר

על מנת למצוא משוואת ישר אנו צריכים לדעת שני דברים:

  1. השיפוע של הישר (m).
  2. ונקודה אחת דרכה הישר עובר (X1,Y1).

נציב את הערכים הללו במשוואה (y-y1=m(x-x1 ונקבל את משוואת ישר.

למשל: מה היא משוואת הישר העובר דרך הנקודה (3,2) ושיפועו הוא 3?
(y-2=3(x-3
y-2=3x-9
y=3x-7  – זו משוואת הישר.

דרכים למציאת שיפוע

פעמים רבות לא יגידו מה השיפוע של הישר אלא נצטרך למצוא אותו בעזרת נתונים אחרים.
יש בסך הכול 3 סוגי נתונים בהם ניתן להשתמש.

בכול המקרים לאחר שמצאנו את השיפוע אנו מוצאים את משוואת הישר על ידי הצבת השיפוע והנקודה בנוסחה: (y-y1=m(x-x1.

1.מציאת שיפוע בעזרת שתי נקודות

כאשר נותנים לנו שתי נקודות (x1, y1) ו (x2, y2) אנו מציבים אותם בנוסחה המופיעה מטה ומקבלים את השיפוע.

m= Y1-Y2:(X1-X2)).

נוסחה לשיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות

למשל: מצאו את השיפוע ומשוואת הישר העובר דרך הנקודות (5,2) ו (7,8).
(m= (8-2) : (7-5
m=6:2=3
מציבים את השיפוע וערכי אחת מהנקודות (לא חשוב איזו נקודה) בנוסחה למציאת משוואת הישר.
(y-y1=m(x-x1
(y-2=3(x-5
y-2=3x-15
y=3x-13

2. מציאת שיפוע בעזרת קווים מקבילים

לקווים מקבילים שיפועים שווים.
מצאו את השיפוע של הישר המקביל לישר y=8x-1.
תשובה: השיפוע הוא 8.

3. מציאת שיפוע בעזרת קווים מאונכים

מכפלת השיפועים של קווים מאונכים היא 1-.
מצאו את שיפוע הישר המאונך לישר y=4x+2.
1- = 4 * m.
m = – 0.25.

  • דוגמאות נוספות והסברים על כל הדרכים למציאת שיפוע תמצאו בקישור.

גרף של ישרים מקבילים וישרים מאונכים

 

תרגילים בנושא פונקציה קווית ומשוואת ישר

התרגילים המופיעים כאן הם תרגילים מסכמים וקשים יחסית. תרגילים קלים יותר תוכלו למצוא בקישורים שהופיעו במעלה הדף.

תרגיל 1

מלבן ABCD עובר דרך 3 נקודות
(A(2,8
(B(1-, 2
(C(1,1

  1. מצאו את משוואת הצלע AD.
  2. מצאו את משוואת הצלע CD.
  3. מצאו את הנקודה D.

שרטוט גרף התרגיל

פתרון

1. מציאת משוואת הישר AD.
הצלע AD מקבילה לצלע BC ולכן יש להם את אותו שיפוע.
נמצא את השיפוע של BC.
m = (2-1) : (-1-1) = 1:-2= – 0.5

נמצא את משוואת AD על פי השיפוע  0.5 – והנקודה (A(2,8.
(y-y1=m(x-x1
(y-8= – 0.5 (x-2
y-8= -0.5x+1  / +8
y= – 0.5x +9 – זו משוואת הישר AD.

2. מציאת משוואת הישר CD.
הישר CD מאונך לישר AD לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
m * -0.5= -1
m=2
נמצא את משוואת CD על פי השיפוע 2 והנקודה (C(1,1.
(y-1=2(x-1
y-1=2x-2  /+1
y=2x-1 – זו משוואת הישר CD.

3. מציאת הנקודה D.
הנקודה D היא נקודת החיתוך של
y=2x-1 – הישר CD.
y= – 0.5x +9 – הישר AD.
2x-1= – 0.5x+9 / +0.5x +1
2.5x=10 /:2.5
x=4
נמצא את ערך ה Y של הנקודה D על ידי הצבה במשוואת CD.
y=2*4-1=7
(D(4,7  – זו נקודה D.

תרגיל 2

יום אחד כאשר פטר הלך ביער הוא פגש 2 אנשים קוטפים פטריות. מנקודת זמן זו פטר עקב אחרי כמות הפטריות שיש להם בסלסלה ורשם אותה בגרף. פטר המשיך לרשום עד שהסלסלה התמלאה.
ידוע כי הקוטפים קוטפים פטריות בקצב קבוע.

אלו הפונקציות הקוויות ששרטט פטר:

הגרפים שפטר שרטט

 

  1. האם לשני הקוטפים היו סלסלות ריקות כאשר פגש אותם פטר?
  2. מי מהקוטפים קוטף מהר יותר.
  3. מתי לשני הקוטפים הייתה אותה כמות של פטריות בסלסלה?
  4. נסו לחשב בעזרת הגרף כמה פטריות בשעה קוטף כל אחד מהקוטפים?
  5. כתבו פונקציות קוויות מתאימות לכל אחד מהקוטפים.
  6. כעבור כמה זמן מילאו הקוטפים את הסלסלות?

פתרון

  1. לא. לקוטף א היו 6 פטריות בסלסלה כאשר פטר פגש אותו.
  2. רואים שהגרף של קוטף ב עולה מהר יותר ולכן הוא קוטף מהר יותר.
  3. על פי הגרף זה נראה כעבור 1.5 שעות.
  4. ניתן לראות כי קוטף ב התחיל עם 0 פטריות וכעבור שעה היו לו 6 פטריות.
    לכן קוטף נ קוטף 6 פטריות בשעה.
    קוטף א התחיל עם 6 פטריות וכעבור שעה הגיע ל- 8 פטריות.
    לכן קוטף ב קוטף 2 פטריות בשעה.
  5. מצאנו עבור קוטף א כי n=6 ו m=2 לכן המשוואה היא y=2x+6.
    מצאנו עבור קוטף ב כי n=0 ו m=6 לכן המשוואה היא y=6x.
  6. קוטף ב מילא את הסלסלה כעבור 3 שעות.
    קוטף  מילא את הסלסלה כעבור קצת יותר מ- 6 שעות.

תרגיל 3 – קשה מהרגיל

בגינה יש ערוגה מלאה בצמחי סתיו וערוגה עם צמחי אביב (שהתחילה כערוגה ריקה). עם תחילת האביב עוקרים את צמחי הסתיו ושותלים את צמחי האביב. קצב השתילה והעקירה הוא קבוע (אך לא זהה).
העובדים התחילו לעקור ולשתול באותו זמן.
לאחר 4 שעות עבודה נמצאו בערוגת האביב 30 צמחים.
בערוגת הסתיו לאחר 4 שעות היו 150 צמחים ולאחר 10 שעות 78 צמחים.

  1. רשמו את הפונקציה הקווית המייצגת את תהליך השתילה בערוגת האביב.
  2. רשמו את הפונקציה הקווית המייצגת את תהליך העקירה בערוגת הסתיו.
  3. כמה שתילים היו בערוגת הסתיו לפני תחילת העקירה?
  4. תוך כמה זמן ימלאו את ערוגת האביב באותו מספר פרחים כמו שהיה בערוגת הסתיו לפני העקירה.
  5. מתי היו בערוגת הסתיו וערוגת האביב אותו מספר פרחים.
  6. במידה ונשרטט גרף של כמות השתילים כפונקציה של הזמן.. איך נזהה את הנקודה שמצאנו בסעיף 5. איך נזהה את הנקודה שמצאנו סעיף 3.

פתרון

  1. ידוע כי ערוגת האביב התחילה עם 0 צמחים. (מספר זה מייצג את ה- n במשוואת הישר).
    לאחר 4 שעות היו בגינה 30 צמחים. כלומר קצב השתילה הוא 30:4=7.5 שתילים בשעה. m=7.5.
    לכן הפונקציה הקווית היא y=7.5x.
  2. ידוע כי בערוגת הסתיו לאחר 4 שעות היו 150 צמחים ולאחר 10 שעות 78 צמחים. כלומר תוך 6 שעות נעקרו 72 צמחים.
    קצב העקירה הוא 72:6=12. (מספר זה מייצג את ה m במשוואת הישר. במשוואה עצמה נציב 12- (מינוס 12) משום שמדובר בעקירת צמחים ולא שתילה).
    "לאחר 4 שעות היו 150 צמחים". במהלך 4 השעות הראשונות נעקרו 4*12=48 צמחים. לכן בתחילת העקירה היו 150+48=198 צמחים בערוגת הסתיו.
    משוואת הישר המתארת את תהליך העקירה היא y=-12x+198.
  3. כפי שמצאנו בסעיף 2 – 198 צמחים.
  4. על ערוגת האביב להגיע למספר 198. ונשתלים בערוגה 7.5 שתילים בשעה.
    אם X הוא מספר השעות עד שהדבר קורה אז:
    7.5X=198 / :7.5
    x=26.4 שעות.
  5. "אותו מספר פרחים" זה אומר המשוואות הישר שוות.
    7.5x=12x+198
    19.5x=198
    x=10.15  שעות.
  6. הנקודה שמצאנו בסעיף מספר 5 היא נקודת המפגש של  שני משוואות הישר.
    הנקודה שמצאנו בסעיף מספר 3 הוא נקודת המפגש עם ציר ה- Y של פונקציית העקירה.

עוד באתר:

  • פרבולה – סיכום החומר שצריך לדעת.

7 תגובות בנושא “פונקציה קווית, משוואת ישר

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      יש דף נוסף באתר על פונקציה קווית שכולל נושאים שצריך לדעת אותם לפני שמגיעים לדף זה:

      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/linear-function-8th-grade/

      אם אחרי שתקרא אותו עדיין יהיו שאלות אתה מוזמן להסביר כאן בדיוק איזו סוג שאלות אינן ברורות לך ואנסה לענות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *