פרבולה היכרות

בדף זה נעשה היכרות עם הפרבולה.

1. הסבר וידאו.
2. פרבולה היא פונקציה.
3. זיהוי פרמטרים במשוואת הפרבולה.
4. נכיר את גרף הפרבולה.
5. נלמד לענות על שאלות בסיסיות (לא חובה).

1.הסבר וידאו

 

2.פרבולה היא פונקציה

פרבולה היא פונקציה שהמשוואה שלה היא משוואה ריבועית.
הנוסחה של פרבולה נראית כך:
f(x) = ax² + bx + c
למשל:
f(x) = 2x² + x + 8
f(x) = x² – 6x -10

b,c יכולים להיות כל מספר.
a יכול כל מספר אך הוא אינו יכול להיות 0.
כי כאשר a = 0 הפונקציה מאבדת את החזקה שלה והפכת להיות משוואת ישר.
f(x) = 0*x² + bx + c
f(x) =  bx + c (זו משוואת ישר).

דוגמאות לפרבולה כאשר b או c שווים ל 0.
b = 0
f(x) = x² + 4
f(x) = -2x² – 10

c = 0
f(x) = -x² + 3x
f(x) = x² – x

3.זיהוי בפרמטרים במשוואת הפרבולה

המשוואה הכללית של הפרבולה היא:
f(x) = ax² + bx + c
וחשוב שנדע לזהות את הפרמטרים השונים במשוואת פרבולה הכוללת מספרים, עלינו לעשות על מנת להציב מספרים בנוסחאות שונות.

מצאו את הערכים של a,b,c במשוואות של הפרבולות הבאות:

1.   f(x) = 4x² – 2x + 3
2.    f(x) = x² + 6x
3.   f(x) = -3x²  – 1

פתרונות
f(x) = 4x² – 2x + 3
a = 4,  b = -2,  c = 3

 f(x) = x² + 6x 
a = 1, b = 6, c = 0

f(x) = -3x²  – 1
a = -3,  b = 0,  c = -1

4.גרף הפרבולה

לגרף הפרבולה יש נקודה הנקראת קודקוד וממנה יוצאים שני קווים באותו כיוון (או ששניהם יוצאים למעלה או ששניהם יוצאים למטה).

כאשר הקודקוד נמצא למטה הפרבולה נקראת פרבולת מינימום, בגלל שהקודקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר בפרבולה (יש הקוראים לזה פרבולה “מחייכת”).
כאשר הקודקוד נמצא למעלה קוראים לזה פרבולת מקסימום, בגלל שהקודקוד היא הנקודה הגבוהה ביותר בפרבולה (יש הקוראים לזה פרבולה “בוכה”).

בפרבולת מינימום ניתן לראות שהיא יורדת על הקודקוד ולאחר מיכן עולה.

פרבולת מקסימום עולה עד הקודקוד ולאחר מיכן יורדת.

5.שאלות נפוצות על פרבולה

את פתרון השאלות הנפוצות נדגים על משוואת הפרבולה:
f(x) = x² – 2x – 8

1.מציאת הקודקוד

את הקודקוד מוצאים על ידי הנוסחה:

עבור משוואת הפרבולה
f(x) = x² – 2x – 8
נקבל:

לאחר שמצאנו את ערך ה x של הקודקוד נציב x = 1 במשוואת הפרבולה ונמצא את ערך ה y.
f(1) = 1² – 2*1 – 8
f(1) = 1 – 2 – 8 = -9
נקודת הקודקוד היא:
(9- , 1).

2.האם זו פרבולת מינימום או מקסימום

קובעים את זה אך ורק על פי הערך של המקדם של x².
אם הוא חיובי זו פרבולת מינימום.
אם הוא שלילי זו פרבולת מקסימום.

בפרבולה  f(x) = x² – 2x – 8.
המקדם של x² הוא 1 והוא חיובי.
לכן זו פרבולת מינימום.

3.נקודות חיתוך עם הצירים

על מנת למצוא חיתוך עם ציר ה y נציב x = 0 במשוואת הפרבולה.
f(x) = x² – 2x – 8.
y = 0² – 2*0 – 8.
y = -8
נקודת החיתוך היא:
(8-, 0)

חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה y=0
נקבל:
x² – 2x – 8 = 0
נפתור בעזרת טרינום
x² + 2x – 4x – 8 = 0
x(x + 2) – 4 (x + 2) = 0
x – 4) (x + 2) = 0)
הפתרון הם:
x = 4  או  x = -2.
הנקודות הן:
(0, 4)
(0, 2-)

4.שרטוט גרף הפרבולה

לאחר שאנו יודעים שזו פרבולת מינימום, את נקודות החיתוך עם הצירים ואת נקודות הקודקוד.
אנו יכולים לשרטט את הנקודות על מערכת צירים.

להעביר בניהם ישר ולקבל את משוואת הפרבולה:

באתר מדריך מקיף לנושא פרבולה ותוכלו דף המסביר כמעט כל סוג שאלה:

1. קודקוד פרבולה.
2. ציר הסימטריה.
3. נקודות חיתוך עם ציר ה- Y וה X
4. פרבולה ישרה (מחייכת) הפוכה (בוכה) – מינימום מקסימום.
5. פרבולה חיובית או שלילית.
6. פרבולה עולה או יורדת.
7. שרטוט גרף פרבולה.

דפים מתקדמים יותר:

1. מציאת נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
2. שתי פרבולות חיתוך ואי שוויונות.
3. מציאת נקודות סימטריות.
4. הזזה של פרבולה.
5. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה.
6. בעיות בנייה של פרבולה
7. פרבולה עם פרמטרים חסרים.

עוד באתר:

• פרבולה סיכום – סיכום תאורטי.
• מתמטיקה לכיתה ט.