משפט הסינוסים: איך יודעים אם יש פתרון יחיד או שני פתרונות?

ממשפט הסינוסים אנו יכולים לקבל משוואה טריגונומטרית.
למשוואה זו יכול להיות פתרון יחיד או שני פתרונות.
בדף זה נלמד מתי הפתרון הוא יחיד ומתי יש שני פתרונות.

חלקי הדף הם:

  1. תיאור הבעיה.
  2. תכונת המשולש שפותרת את הבעיה.
  3. המסקנה.

החלק השני של הדף הוא החלק החשוב ביותר.

1.תיאור הבעיה

מה שרשום למעלה הוא משפט הסינוסים.

משפט הסינוסים יכול להוביל אותנו למשוואה טריגונומטרית כמו זו:
sin x = 0.5
למשוואה זו יש שני פתרונות.
x = 30  או x = 150.
כיצד נדע אם שני הפתרונות נכונים או רק אחד מיהם מתאים למשולש?

2.תכונת המשולש שפותרת את הבעיה

למשולש יש תכונה:
מול צלע קטנה יותר במשולש נמצאת זווית קטנה יוצר.

במילים אחרות
אם במשולש יש צלעות שגודלן 10,20,30 סנטימטר.
וזוויות שהן:
40,60,80
אז.
מול הצלע שגודלה 30 סנטימטר חייבת להיות הצלע שגודלה 80 מעלות.
מול הצלע שגודלה 20 סנטימטר חייבת להיות הצלע שגודל 60 מעלות.
מול הצלע שגודלה 10 סנטימטר חייבת להיות הצלע שגודל 40 מעלות.

תכונה תאפשר לנו לדעת אם למשוואה יש פתרון יחיד או שני פתרונות.

דוגמה 1
נסתכל על השרטוט הבא.
מה המגבלה שיש על הזווית C?

זווית C נמצאת מול צלע הקטנה מ 7.
לכן הזווית C חייבת להיות קטנה מ 60.
C < 60
זו המגבלה שכאשר נפתור את התרגיל על פי משפט הסינוסים הזווית C צריכה לעמוד בה.

sin c = 0.612
למשוואה טריגונומטרית זו יש שני פתרונות בתחום 0-180 (שהוא התחום של זוויות במשולש).
c = 38.2
או
c = 180 – 38.2 = 141.8

המגבלה שמצאנו בהתחלה היא C < 60.
לכן הפתרון c  = 141.8 נפסל.
והפתרון היחיד הוא:
c = 38.2

דוגמה 2
נסתכל על השרטוט הזה.
מה המגבלה שיש על הזווית C?

זווית c חייבת להיות גדולה מ 30 כי היא נמצאת מול צלע הגדולה יותר מ 5.
c > 30

אם נבנה משוואה בעזרת משפט הסינוסים נקבל:

sin c = 0.8
למשוואה טריגונומטרית זו יש שני פתרונות.
c = 53.1
או
c = 180 – 53.1 = 126.9

המגבלה שמצאנו בהתחלה היא c > 30
שני הפתרונות מתאימים למגבלה זו.
לכן שני הפתרונות נשארים כתשובה סופית.
c = 53.1  או   c = 126.9

3.המסקנה 

המסקנה היא:
כאשר זווית המשולש החסרה נמצאת מול הצלע הקטנה יותר מהצלע השנייה אז למשוואה sin x = a יש פתרון יחיד.
כאשר הזווית החסרה נמצאת מול הצלע הגדולה מבין השתיים את למשוואה sin x = a יש שני פתרונות.

אני באופן אישי לא זוכר את המסקנה הזו :).
היא ארוכה ומסורבלת מידי לטעמי.

מה שאני כן זוכר ואני ממליץ גם לכם היא להבין את ההיגיון:
"מול צלע קטנה יותר במשולש נמצאת זווית קטנה יותר".
וכאשר אני יודע ומבין את זה אני גם יודע להגביל את הפתרונות הנובעים ממשפט הסינוסים.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.