בדף זה נלמד מתי שבר חיובי ומתי שלילי.
חלקי הדף הם:
- מתי שבר חיובי ומתי שלילי?
- דברים שכדאי לזכור.
- תרגילים.
1.מתי שבר חיובי ומתי שלילי?
לפעמים עלינו לקבוע האם שבר הוא חיובי או שלילי.
זה קורה הרבה בחקירת פונקציות כאשר עלינו לקבוע תחומי עליה וירידה ואז עלינו לקבוע האם הנגזרת, שהיא שבר, חיובית או שלילית.
אז אנו יודעים שקו השבר הוא למעשה קו חילוק.
כלומר:
ומתי פעולת חילוק / שבר הם חיוביים?
- כאשר המונה והמכנה חיוביים.
- או כאשר המונה והמכנה שליליים.
ומתי פעולת חילוק / שבר שליליים?
- כאשר המונה חיובי והמכנה שלילי.
- או שהמונה שלילי והמכנה חיובי.
מתי שבר שווה ל 0?
שבר שווה ל 0 כאשר המונה שלו שווה ל 0.
למכנה אין השפעה במקרה זה.
אבל צריך לבדוק שכאשר המכנה שווה ל 0 השבר / פונקציה מוגדרים.
למשל עבור השבר:
השבר הוא חיובי כאשר
x > 0 וגם y > 0
או
x < 0 וגם y < 0
השבר הוא שלילי כאשר
x > 0 וגם y < 0
או
x < 0 וגם y > 0.
השבר שווה ל 0 כאשר:
x = 0 וגם y ≠ 0.
2.דברים שכדאי לזכור
יש איברים שהם חיוביים או שווים 0 תמיד.
ויש איברים שהם שליליים או שווים 0 תמיד.
שימוש בתכונה זו מקל על מציאת התחום שבו השבר חיובי / שלילי.
למשל:
x² הוא ביטוי החיובי תמיד מלבד x = 0.
x²- הוא ביטוי שלילי תמיד מלבד x = 0.
x√ הוא ביטוי החיובי תמיד או שווה ל 0.
3.תרגילים
בתרגילים 1-2 צריך למצוא מתי השבר חיובי, מתי שלילי ומתי שווה ל 0.
בתרגיל 3 צירך למצוא מתי השבר חיובי.
פתרונות
תרגיל 1
פתרון
השבר מוגדר לכל x מלב ד x = 2.
המכנה חיובי לכל x בתחום ההגדרה.
לכן בתחום ההגדרה סימן השבר תלוי אך ורק במונה.
השבר חיובי עבור x > 0 אך x ≠ 2.
השבר שלילי עבר x < 0
השבר שווה 0 כאשר x = 0.
תרגיל 2
פתרון
תחום ההגדרה
הביטוי שבתוך השורש מוגדר כאשר:
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2
המכנה מוגדר כאשר x ≠ -5.
לכן תחום ההגדרה הוא x ≥ -2.
ביטוי הנמצא בתוך שורש חיובי או שווה ל 0 בכול תחום ההגדרה שלו.
לכן:
כאשר x = -2 ערך השבר הוא 0.
כאשר x > -2 הסימן של השבר תלוי במכנה בלבד.
נבדוק את הסימן של המכנה.
המכנה חיובי כאשר:
x > -5
ובנוסף תחום ההגדרה צריך להתקיים x ≥ -2
לכן השבר כולו חיובי כאשר x > -2
המכנה שלילי כאשר
x < -5
ובנוסף תחום ההגדרה צריך להתקיים x ≥ -2
שני האי שוויונות לא מתקיימים ביחד ולכן השבר כולו אף פעם לא שלילי.
תרגיל 3
פתרון
- כיצד פותרים שבר מסוג זה נלמד בהרחבה בדף אי שוויונות רציונליים.
תחום ההגדרה של השבר הזה הוא x ≠ 4.
השבר חיובי כאשר המונה והמכנה חיוביים.
2x + 1 > 0
x > -0.5
וגם
x – 4 > 0
x > 4
קיבלנו x > -0.5 וגם x > 4
וזה קורה כאשר x > 4
השבר חיובי גם כאשר המונה והמכנה שליליים.
2x + 1 < 0
x < -0.5
וגם
x – 4 < 0
x < 4
קיבלנו x < -0.5 וגם x < 4.
זה קורה כאשר x < -0.5
עוד באתר: