אי שוויונים

בדף זה דוגמאות והסברים לאי שוויונים מסוגים שונים. אם אתם בכיתה ח או ט יש דפים מפורטים במיוחד עבור הכיתה שלכם:

  1. אי שוויונים כיתה ח (כולל אי שווינים בסיסיים).
  2. מערכת אי שוויונים או.
  3. מערכת אי שוויונים וגם.
  4. אי שוויונים בעיות מילוליות.
  5. אי שוויונים ריבועיים כיתה ט.
  6. אי שוויונים עם שברים.
  7. שיטת הנחש – אי שיוויונים ממעלה שלישית ויותר.
  8. אי שוויונים מעריכיים.

בהמשך הדף סיכום סוגי האי שוויונים מהפשוט לקשה.

1. אי שיוויונים פשוטים – לכיתה ח

מה הקושי / ההבדל אי שוויון לשוויון?

קיים הבדל יחיד : כאשר כופלים או מחלקים את האי שוויון במספר שלילי יש להפוך את הסימן של האי שוויון. למשל :
2-<5
כאשר נכפול בצורה נכונה את שני אגפי האי שוויון ב 4- נקבל :
8>-20
שימו לב שכיוון אי השוויון השתנה.
דוגמה נוספת:
2- :/  2x<6-
X>-3

2. אי שוויונים מערכת או

מערכת או כוללת שני אי שוויונים כאשר מספיק ש X מקיים את אחד מיהם הוא נכנס לתשובה הסופית והנכונה.

לדוגמה:
x>4 או x<-2

כך האי שוויונים נראים על גרף

כך האי שוויונים נראים על גרף

תשובה סופית: x>4 או x<-2

במקרים אחרים האי שוויונים אינם הולכים בכיוונים מנוגדים, למשל:

x>2 או x>-1

כך האי שוויונים נראים על מערכת צירים

כך האי שוויונים נראים על מערכת צירים

3. אי שוויונים מערכת וגם

מערכת של אי שוויונים וגם מורכבת משני אי שוויונים בסיסיים שאנו מכירים ואנו צריכים למצוא את התחום המשותף לשני אי השוויונים. למשל:

x<2 וגם x> -4

כך נראים האי שוויונים על מערכת הצירים

כך נראים האי שוויונים על מערכת הצירים

החלק המשותף הוא:
x<2 וגם x<-4.

דוגמה נוספת:
3x+5>x+1 וגם x<-4
3x+5>x+1 /-x-5
2x>-4 /:2
x>-2

כך נראים האי שוויונים על מערכת הצירים

כך נראים האי שוויונים על מערכת הצירים

4. בעיות מילוליות עם אי שוויונים

נתונות 3 משוואות ישר:

  1. f(x) = 2x+5
  2. y(x) = 4x
  3. g(x) = -4x+10

מצאו מתי מתקיים (f(x) <y(x) <g(x.

פתרון
עלינו לפתור את האי שוויון הזה:
(f(x) <y(x) <g(x
2x+5>4x>-4x+10
נפרק את האי שוויון ל 2 אי שוויונות ונפתור כל אחד מיהם בנפרד:

  1. 2x+5>4x
  2. 4x>-4x+10

2x+5>4x / -2x
2x<5  / :2
x<2.5
האי שוויון השני:
4x>-4x+10 / +4x
8x>10
x>1.25
תשובה: שתי האי שוויונות מתקיימים כאשר x>1.25 וגם x<2.5.

כך שני האי שוויונות נראים על ציר המספרים:

כך נראים אי השוויונות על מערכת הצירים

עלינו למצוא את התחום המשותף של x>1.25 וגם x<2.5.

וכך נראים הגרפים של שלושת הפונקציות:

שרטוט שלושת הגרפים

שרטוט שלושת הגרפים

5. אי שוויונים עם שברים

בתרגילים מסוג זה יש משתנה במכנה.
על מנת לפתור את התרגיל עלינו "להיפתר" מהמכנה על ידי הכפלה במכנה עצמו.
מכוון שהמכנה כולל משתנה אנו לא יודעים אם אנו מכפילים בביטוי חיובי או שלילי והאם עלינו להשאיר את סימן האי שוויון באותו כיוון.
בפועל אנו ניקח בחשבון את שתי האפשרויות ונקבל מערכת אי שוויונים של וגם משולבת במערכת אי שוויונים של ואו.

6. אי שיוויונים ריבועיים

זה אי שוויון מורכב יותר. הפתרון כולל יצרת גרף לאי שוויון, הבנת הגרף ורישום התשובה.
שלבים בפתרון :

  1. מוצאים את שורשי המשוואה הריבועית.
  2. מסמנים את השורשים על ציר ה X ובונים פרבולה עם נקודת מינימום אם המקדם של X² חיובי או פרבולה עם נקודת מקסימום אם המקדם של X² שלילי.
  3. קובעים על ידי נתוני הגרף את התחום בהם הפרבולה חיובית או שלילית (הפרבולה מייצגת את האי שוויון ומה שנכון לפרבולה נכון לאי שוויון).

לדוגמה פתרו את האי שוויון:
x²+10x+9<0
שלב 1: עלינו למצוא את הפתרונות של המשוואה הריבועית x²+10x+9=0.
ניתן לעשות זאת בעזרת נוסחת השורשים או פירוק הטרינום. אראה כאן את הדרך של פירוק הטרינום.
x²+10x+9<0
x+9)(x+1)<0)
x=-9,  x=-1
מכוןן שהמקדם של x² הוא חיובי (1) זו פרבולת מינימום.

שלב 2: שרטוט סקיצה של הפרבולה.

סקיצה של הפרובלה המייצגת את האי שוויון

סקיצה של הפרובלה המייצגת את האי שוויון

שלב 3: רישום התוצאה על פי הגרף.
אנו רואים שערכי ה Y של הפרבולה חיוביים כאשר X>-1 או X<-9.
ערכי ה Y של הפרבולה שליליים כאשר X<-1 וגם X>-9. בשאלה ביקשו מאיתנו למצוא את הערכים השליליים לכן X<-1 וגם X>-9 זו התשובה.

דוגמה נוספת בקצרה:
x²+5x-6<0-
הפתרונות:
x=2,  x=3
שלב 2: סקיצה של הפרבולה

סקיצה של הפרובלה המייצגת את האי שוויון

סקיצה של הפרובלה המייצגת את האי שוויון

שלב 3: ניתן לראות שערכי ה Y של הפרבולה שליליים כאשר x<2 או x>3.

7. שיטת הנחש: אי שוויונים ממעלה שלישית ויותר

הרעיון של האי שוויונים הריבועים המופיעים סעיף אחד למעלה הוא שהאי שוויון משני את סימנו כאשר הגרף המייצג אותו עובר ממעל ציר ה X למתחת וליהפך.
לכן מה שחשוב לנו זה לזהות את נקודות החיתוך עם ציר ה X ולדעת לפחות מיקום מדויק אחד של גרף הפונקציה. משם קל לצייר סקיצה של "נחש" המתאר סקיצה של הפונקציה. איך צורך בגרף מדויק.

תרגיל לדוגמה:
x) (x+6) (x+1) (x-4) <0)
זו משוואה ממעלה רביעית.
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה X:
נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X הן:
x=0, x=4, x=-6, x=-1

שלב 2: מציאה של סימן הפונקציה בנקודה אחת + שרטוט הנקודות.
נבחר נקודה כלשהי ונמצא בה את סימן הפונקציה. ניתן לבחור כל נקודה אבל לרוב נוח לבחור נקודה בקצוות כי בה כל הסימנים חיוביים או שליליים.
x) (x+6) (x+1) (x-4) <0)
ניתן לראות שעבור x=10 כל הסימנים שבתוך הביטויים בסוגריים חיוביים ולכן הפונקציה חיובית.
דוגמה אחרת, אם היינו בוחרים x=3 היינו מקבלים שכל הביטויים שבתוך הסוגריים חיוביים למעט (x-4) שהיה שלילי ולכן כל הפונקציה שלילית.
נסמן את הנקודה x=10 ואת נקודות החיתוך על ציר המספרים:

נסמן את הנקודה x=10 ואת נקודות החיתוך על ציר המספרים

ועכשיו ניתן רק בצורה אחת להעביר קו העובר מנקודת ההתחלה דרך נקודות החיתוך עם ציר ה X (ובכול פעם שהוא נוגע בציר ה X הוא צריך לעבור מחיובי לשלילי ולהפך).

שרטוט "הנחש" בין הנקודות

שרטוט "הנחש" בין הנקודות

על פי האי שוויון x) (x+6) (x+1) (x-4) <0) עלינו למצוא את הנקודות בהם ערכו קטן מ 0. בגרף אנו יכולים לראות כי אלו הנקודות הללו:
x<4 וגם x>0 או x<-1 וגם x<-6.

8. אי שוויונים מעריכיים

באי שוויונים מערכיים המשתנה נמצא במעריך החזקה.
לרוב על מנת לפתור אי שוויונים מערכייים נשווה את בסיס בחזקה.
כיוון האי שוויון יכול להשתנות בהתאם למקרה שבו בסיס החזקה גדול או קטן מ 1.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.