אי שוויונות ריבועיים סיכום

יש שתי שיטות לפתור אי שוויונות ריבועיים שיטה גרפית ושיטה אלגברית.
בדף זה נסביר את שתי השיטות.

הנושאים של דף זה הם:

  1. הרעיון מאחורי הפתרון בשתי השיטות.
  2. תכלס איך פותרים.
  3. אי שוויונות ריבועיים המתקיימים תמיד או אף פעם.
  4. אי שוויונות ריבועיים עם פתרון יחיד.
  5. אי שוויון בין פרבולה וישר או שתי פרבולות.
  6. סיכום של הסיכום.
  7. קישורים.

לשני הנושאים הראשונים יש הסבר גם בוידאו, הסרטונים נמצאים בסוף הנושא השני.

1.הרעיון מאחורי שתי השיטות

השיטה הגרפית

השיטה הגרפית אומרת שאת הפונקציה הריבועית הנמצאת באי שוויון ניתן לתאר בגרף של פרבולה, כלומר ערכי ה y של הפרבולה אלו הם הערכים של הפונקציה y = ax² + bx + c

לכן:
וכאשר ערכי ה y של הפרבולה חיוביים אז האי שוויון ax² + bx + c > 0 מתקיים.
וכאשר ערכי ה y של הפרבולה שליליים אז האי שוויון  ax² + bx + c < 0.

דוגמה:
האי שוויון x²  + 6x + 8 > 0
נראה כך בגרף:

הגרף חיובי (מעל ציר ה x) כאשר
x > -2  או x < -4
וזה הפתרון של האי שוויון.

השיטה האלגברית

השיטה האלגברית אומרת שפונקציה ריבועית נראית כך:
ax² + bx + c
וכל אי שוויון ריבועי שיש לו נקודות חיתוך עם ציר ה x ניתן להביא לצורה:
x – a) (x -b) > 0)
או
x – a) (x -b) < 0)

ואם נסתכל כדוגמה על האי שוויון
x – a) (x -b) > 0)
אז יש לנו מכפלת שני מספרים שצריכה להיות גדולה מ 0.
ומתי מכפלת שני מספרים גדולה מ 0?
כאשר שניהם חיוביים או כאשר שניהם שליליים.

אז נפתור את האי שוויונות:
x – a > 0  וגם   x – b > 0
(שני הביטויים חיוביים).

x – a < 0  וגם   x – b < 0
(שני הביטויים שליליים).
ונקבל את התשובה.

סרטוני וידאו
הסרטון הראשון הוא בנושא פתרון גרפי והסרטון השני בנושא פתרון אלגברי.
שניהם מסבירים את הרעיון וכיצד לפתור כל אי שוויון ריבועי.

2.תכלס איך פותרים

השיטה הגרפית

  1. מוצאים את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
  2. בודקים אם זו פרבולת מינימום או מקסימום ולפי זה ונקודות החיתוך משרטטים סקיצה של הפרבולה.
  3. מסתכלים על הפרבולה ולפי זה קובעים מתי האי שוויון מתקיים.

למשל עבור האי שוויון
x² -4x +3 > 0
נמצא בעזרת נוסחת השורשים או טרינום כי נקודות החיתוך עם ציר ה x הם:
x = 3,  x =1
נבין מהמשוואה כי זו פרבולת מינימום ולכן סקיצה של הגרף תראה כך:

אנו מחפשים את התחום החיובי של הפרבולה והוא נמצא כאשר
x > 3  או   x < 1

דוגמה 2
פתרו את האי שוויון
x² – x + 6x >  0-

פתרון
ניתן להכפיל את כל האי שוויון ב 1- , להפוך סימן ולקבל את:
x² + x -6x < 0

זו דרך פתרון מקובלת אבל אנחנו לא נעשה אותה על מנת לראות כיצד נראה פתרון עם פרבולת מקסימום.
זה האי שוויון שלנו:
x² – x + 6x > 0-
נקודות החיתוך שלו עם ציר ה x הם:
x = -3,  x = 2

זו פרבולת מקסימום וסקיצה של הגרף נראית כך:

x² – x + 6x > 0-
אנו מחפשים את התחום בו הפרבולה חיובית וזה קורה כאשר

וזה הפתרון של האי שוויון.

השיטה האלגברית

כאשר האי שוויון הוא מהצורה:
x – a) (x -b) > 0)
זה אומר שיש לנו מכפלה של שני ביטויים שצריכה להיות חיובית.

אפשרות אחת: שניהם חיוביים.
x – a > 0  וגם   x – b > 0
אפשרות שנייה: שני האיברים שליליים
x – a < 0  וגם   x – b < 0

כאשר האי שוויון הוא מהצורה
x – a) (x -b) < 0)
זה אומר שיש לנו מכפלה של שני ביטויים שצריכה להיות שלילית.

אפשרות אחת: הראשון שלילי והשני חיובי.
x – a < 0  וגם   x – b > 0
אפשרות שנייה: הראשון חיובי והשני שלילי
x – a > 0  וגם   x – b < 0

דוגמה
פתרו את האי שוויון
x² – 6x + 8 > 0

פתרון
שלב א: נשנה את הצגת האי שוויון בעזרת טרינום (אפשר גם נוסחת השורשים)
x² – 6x + 8 > 0
x² -2x – 4x + 8 > 0
x (x -2) -4 (x -2) > 0
x – 2) (x -4) >0)

שלב ב: פתרון אי שוויון ריבועי בשיטה האלגברית
האי שוויון הזה מתקיים כאשר:
x – 2 > 0  וגם x – 4> 0
x > 2  וגם   x >4
החיתוך הוא:
x > 4.

האי שוויון מתקיים גם כאשר:
x – 2 < 0  וגם x – 4< 0
x < 2  וגם   x <4
החיתוך הוא:
x < 2

תשובה: האי שוויון מתקיים כאשר:
x > 4  או  x < 2

3.מקרים בהם אין חיתוך עם ציר ה x 

שיטה גרפית

במקרים מסוימים יש פרבולות ופונקציות ריבועיות שאין להם נקודות חיתוך עם ציר ה x.
למשל:

הפרבולה השמאלית משוואתה
y = x^2 + 6x + 10
ומכוון שהיא מעל ציר ה x תמיד אנו יכולים לומר כי:
x^2 + 6x + 10  > 0
זה אי שוויון שמתקיים תמיד.

x^2 + 6x + 10  < 0
זה אי שוויון שלא מתקיים אף פעם.

בצורה דומה נוכל לומר על הפרבולה מימין (השחורה) שמשוואתה:
y = -(x – 2)² – 1
כי
x – 2)² – 1 > 0)-    לא מתקיים אף פעם.
x – 2)² – 1 < 0)-   מתקיים תמיד.

שיטה אלגברית

השיטה האלגברית התבססה על כך שנכתוב את האי שוויון בצורה הזו:
x – a) (x -b) > 0)
כאשר x= a,  x = b הם נקודות החיתוך עם ציר ה x.

וכאשר אין נקודות חיתוך אין את a או b ולא ניתן לכתוב את האי שוויון בצורה הזו.
למשל, נסו (ולא תצליחו) לכתוב בצורה של מכפלה את האי שוויון:
x² + 3x + 4 > 0
אי אפשר.

במקרה כזה מה שעושים הוא:
בודקים שאכן אין למשוואה הריבועית פתרונות על ידי
b² – 4ac < 0
0 > 4*4 – 3²

ולאחר מיכן מציבים ערך x כלשהו בפונקציה הריבועית, למשל x = 0
0 < 4 + 0*3 + 0²

אם הפונקציה הריבועית חיובית בנקודה אחת היא חייבת להיות חיובית תמיד כי במקרה ש
b² – 4ac < 0
הפונקציה הריבועית לא חותכת את ציר ה x והמשוואה חיובית תמיד או שלילית תמיד.

במקרה זה קיבלנו כי ב x = 0 הפונקציה הריבועית y = x² + 3x + 4 היא חיובית.
כמו כן מצאנו כי לפונקציה הזו אין פתרונות ולכן האי שוויון
x² + 3x + 4 > 0
מתקיים תמיד.

אם הפתרון הזה מסובך מידי עבורכם אז פתרו אי שוויונות כאלו בשיטה הגרפית.
מידע נוסף על פתרון הגרפי בקישור הבא.

4.אי שוויונות המשיקים לציר ה x

פתרון גרפי

לדוגמה:
x² – 6x + 9 > 0
זה אי שוויון היכול להיכתב גם כך:
x – 3)² > 0)

הגרף של הפרבולה y = x² – 6x + 9
נראה כך.

אנו רואים שזו פרבולה חיובית עבור כל x מלבד x =0.
וזה גם הפתרון של האי שוויון: כל x מלבד x =0.

אם האי שוויון היה:
x² – 6x + 9 < 0
אז הפתרון היה אף x (ללא פתרון).

אם האי שוויון היה:
x² – 6x + 9 ≥ 0
אז הפתרון היה כל x.

אם האי שוויון היה:
x² – 6x + 9 ≤ 0
אז הפתרון היה x = 0.

פתרון אלגברי

כאשר ננסה להביא את האי שוויון.
x² – 6x + 9 > 0
כאשר נעבור להצגה של הפתרון האלגברי נקבל:
x – 3) (x – 3)² > 0)
x – 3)² > 0)

אנו יודעים כי חזקת 2 של כל מספר השונה מ 0 היא מספר חיובי ולכן התשובה תהיה כל x מלבד x = 0.

בצורה דומה נוכל לפתור את האי שוויונות הבאים:
x – 3)² ≥ 0)  (הפתרון: כל x).
x – 3)² ≤ 0) (הפתרון x = 0).
x – 3)² < 0) (הפתרון: אף x).

5.אי שוויון בין ישר ופרבולה או שתי פרבולות

דוגמה: אי שוויון בין פרבולה לישר
f (x) = x² + 2x – 3
g (x) = -2x +2
מצאו מתי:
(f (x) > g (x

פתרון
נציב במקום (f (x) > g (x את המשוואות המתאימות להם ונקבל:
x² + 2x – 3 > -2x +2
נכנס איברים לצד אחד של המשוואה:
x² + 4x – 5 > 0
ומכאן נפתור כמו אי שוויון רגיל.

דוגמה: אי שוויון בין שתי פרבולות
f (x) = 2x² + 5x + 1
g (x) = x² +2x -9
מצאו מתי:
(f (x) < g (x

גם כאן נציב את המשוואות באי שוויון (f (x) < g (x ולאחר מיכן נכנס איברים.
2x² + 5x + 1 < x² +2x -9
x² + 3x + 10 < 0
ומכאן ממשיכים כרגיל.

6.סיכום של הסיכום (אי שוויונות גרפיים)

נסכם בקצרה את הנושא של האי שוויונות הגרפיים. את האי שוויונות האלגבריים קשה לסכם מעבר למה שסוכם כבר למעלה.

על מנת לפתור אי שוויון נשרטט את הפרבולה המתאימה לפונקציה הריבועית ועל פי התבוננות בגרף נקבע מתי האי שוויון מתקיים ומתי לא.

כמו כן יש פרבולות שהן חיוביות תמיד או שליליות תמיד.
פרבולה ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x (ללא פתרונות) ובעלת קודקוד מינימום היא חיובית תמיד.

  •  b² – 4ac < 0
  • a > 0

ופרבולה ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x וקודקוד מקסימום היא שלילית תמיד.

  •  b² – 4ac < 0
  • a < 0

7.קישורים

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.