אי שוויונים

בדף זה דוגמאות והסברים לאי שוויונות מסוגים שונים.
עבור כל נושא יש גם דף מיוחד.

  1. אי שוויונים כיתה ח (כולל אי שווינים בסיסיים).
  2. כיצד משרטטים אי שוויונות על מערכת צירים.
  3. בניית אי שוויון המתאים לבעיה מילולית.
  4. מערכת אי שוויונים או.
  5. מערכת אי שוויונים וגם.
  6. אי שוויונים בעיות מילוליות.
  7. אי שוויונים ריבועיים כיתה ט.
  8. אי שוויונים עם שברים.
  9. שיטת הנחש – אי שיוויונים ממעלה שלישית ויותר.
  10. אי שוויונות עם שורש.
  11. אי שוויונים מעריכיים.
  12. אי שוויונים עם ערך מוחלט (ל- 5 יחידות בלבד).

בהמשך הדף סיכום סוגי האי שוויונות מהפשוט לקשה.

1. אי שוויונות פשוטים – לכיתה ח

מה הקושי / ההבדל אי שוויון לשוויון?

קיים הבדל יחיד : כאשר כופלים או מחלקים את האי שוויון במספר שלילי יש להפוך את הסימן של האי שוויון. למשל :
2-<5
כאשר נכפול בצורה נכונה את שני אגפי האי שוויון ב 4- נקבל :
8>-20
שימו לב שכיוון אי השוויון השתנה.
דוגמה נוספת:
2- :/  2x<6-
X>-3

2. אי שוויונות מערכת או

מערכת או כוללת שני אי שוויונות כאשר מספיק ש x מקיים את אחד מהאי שוויונות והוא נכנס לתשובה הסופית והנכונה.

לדוגמה:
x>4 או x<-2

כך האי שוויונים נראים על גרף

כך האי שוויונים נראים על גרף

תשובה סופית: x>4 או x<-2

במקרים אחרים האי שוויונות אינם הולכים בכיוונים מנוגדים, למשל:

x>2 או x>-1

כך האי שוויונים נראים על מערכת צירים

כך האי שוויונים נראים על מערכת צירים

במקרה זה התשובה הסופית תהיה:
x > -1

3. אי שוויונות מערכת וגם

מערכת של אי שוויונות וגם מורכבת משני אי שוויונות בסיסיים שאנו מכירים ואנו צריכים למצוא את התחום המשותף לשני אי השוויונות למשל:

x<2 וגם x> -4

כך נראים האי שוויונים על מערכת הצירים

כך נראים האי שוויונים על מערכת הצירים

החלק המשותף הוא:

דוגמה נוספת:
3x+5>x+1   וגם    x<-4
3x+5>x+1 /-x-5
2x>-4 /:2
x>-2

כך נראים האי שוויונים על מערכת הצירים

כך נראים האי שוויונים על מערכת הצירים

כפי שאנו רואים בשרטוט עבור שני האי שוויונות
x>-2
x<-4
אין חיתוך, אין מספרים המקיימים את שתי התנאים ביחד.
לכן לתרגיל זה אין פתרון, קבוצה ריקה.

4. בעיות מילוליות עם אי שוויונות

נתונות 3 משוואות ישר:

  1. f(x) = 2x+5
  2. y(x) = 4x
  3. g(x) = -4x+10

מצאו מתי מתקיים (f(x) > y(x) > g(x.

פתרון
עלינו לפתור את האי שוויון הזה:
(f(x) > y(x) > g(x.
2x+5 > 4x > -4x+10
נפרק את האי שוויון ל 2 אי שוויונות ונפתור כל אחד מיהם בנפרד:

  1. 2x+5 >4 x
  2. 4x > -4x+10

2x+5 >4x / -2x
2x<5  / :2
x<2.5
האי שוויון השני:
4x>-4x+10 / +4x
8x>10
x>1.25

קיבלנו את מערכת ה "וגם":
x<2.5  וגם x>1.25

כך שני האי שוויונות נראים על ציר המספרים:

כך נראים אי השוויונות על מערכת הצירים

עלינו למצוא את התחום המשותף של x>1.25 וגם x<2.5.

והתשובה היא:

וכך נראים הגרפים של שלושת הפונקציות:

שרטוט שלושת הגרפים

שרטוט שלושת הגרפים

5. אי שוויונות עם שברים

בתרגילים מסוג זה יש משתנה במכנה.
על מנת לפתור את התרגיל עלינו "להיפתר" מהמכנה על ידי הכפלה במכנה עצמו.
מכוון שהמכנה כולל משתנה אנו לא יודעים אם אנו מכפילים בביטוי חיובי או שלילי והאם עלינו להשאיר את סימן האי שוויון באותו כיוון.

6. אי שוויונות ריבועיים

זה אי שוויון מורכב יותר. הפתרון כולל יצרת גרף לאי שוויון, הבנת הגרף ורישום התשובה.
שלבים בפתרון :

  1. מוצאים את שורשי המשוואה הריבועית.
  2. מסמנים את השורשים על ציר ה X ובונים פרבולה עם נקודת מינימום אם המקדם של X² חיובי או פרבולה עם נקודת מקסימום אם המקדם של X² שלילי.
  3. קובעים על ידי נתוני הגרף את התחום בהם הפרבולה חיובית או שלילית (הפרבולה מייצגת את האי שוויון ומה שנכון לפרבולה נכון לאי שוויון).

לדוגמה פתרו את האי שוויון:
x²+10x+9<0
שלב 1: עלינו למצוא את הפתרונות של המשוואה הריבועית x²+10x+9=0.
ניתן לעשות זאת בעזרת נוסחת השורשים או פירוק הטרינום. אראה כאן את הדרך של פירוק הטרינום.
x²+10x+9<0
x+9)(x+1)<0)
x=-9,  x=-1
מכוןן שהמקדם של x² הוא חיובי (1) זו פרבולת מינימום.

שלב 2: שרטוט סקיצה של הפרבולה.

סקיצה של הפרובלה המייצגת את האי שוויון

סקיצה של הפרובלה המייצגת את האי שוויון

שלב 3: רישום התוצאה על פי הגרף.
אנו רואים שערכי ה Y של הפרבולה חיוביים כאשר X>-1 או X<-9.
ערכי ה Y של הפרבולה שליליים כאשר X<-1 וגם X>-9. בשאלה ביקשו מאיתנו למצוא את הערכים השליליים לכן X<-1 וגם X>-9 זו התשובה.

דוגמה נוספת בקצרה:
x²+5x-6<0-
הפתרונות:
x=2,  x=3
שלב 2: סקיצה של הפרבולה

סקיצה של הפרובלה המייצגת את האי שוויון

סקיצה של הפרובלה המייצגת את האי שוויון

שלב 3: ניתן לראות שערכי ה Y של הפרבולה שליליים כאשר x<2 או x>3.

7. שיטת הנחש: אי שוויונות ממעלה שלישית ויותר

הרעיון של האי שוויונות הריבועים המופיעים סעיף אחד למעלה הוא שהאי שוויון משני את סימנו כאשר הגרף המייצג אותו עובר ממעל ציר ה X למתחת וליהפך.
לכן מה שחשוב לנו זה לזהות את נקודות החיתוך עם ציר ה X ולדעת לפחות מיקום מדויק אחד של גרף הפונקציה. משם קל לצייר סקיצה של "נחש" המתאר סקיצה של הפונקציה. איך צורך בגרף מדויק.

תרגיל לדוגמה:
x) (x+6) (x+1) (x-4) <0)
זו משוואה ממעלה רביעית.
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה X:
נקודות החיתוך שלה עם ציר ה X הן:
x=0, x=4, x=-6, x=-1

שלב 2: מציאה של סימן הפונקציה בנקודה אחת + שרטוט הנקודות.
נבחר נקודה כלשהי ונמצא בה את סימן הפונקציה. ניתן לבחור כל נקודה אבל לרוב נוח לבחור נקודה בקצוות כי בה כל הסימנים חיוביים או שליליים.
x) (x+6) (x+1) (x-4) <0)
ניתן לראות שעבור x=10 כל הסימנים שבתוך הביטויים בסוגריים חיוביים ולכן הפונקציה חיובית.
דוגמה אחרת, אם היינו בוחרים x=3 היינו מקבלים שכל הביטויים שבתוך הסוגריים חיוביים למעט (x-4) שהיה שלילי ולכן כל הפונקציה שלילית.
נסמן את הנקודה x=10 ואת נקודות החיתוך על ציר המספרים:

נסמן את הנקודה x=10 ואת נקודות החיתוך על ציר המספרים

ועכשיו ניתן רק בצורה אחת להעביר קו העובר מנקודת ההתחלה דרך נקודות החיתוך עם ציר ה X (ובכול פעם שהוא נוגע בציר ה X הוא צריך לעבור מחיובי לשלילי ולהפך).

שרטוט "הנחש" בין הנקודות

שרטוט "הנחש" בין הנקודות

על פי האי שוויון x) (x+6) (x+1) (x-4) <0) עלינו למצוא את הנקודות בהם ערכו קטן מ 0. בגרף אנו יכולים לראות כי אלו הנקודות הללו:
x<4 וגם x>0 או x<-1 וגם x<-6.

8. אי שוויונות מעריכיים

באי שוויונות מערכיים המשתנה נמצא במעריך החזקה.
לרוב על מנת לפתור אי שוויונות מערכיים נשווה את בסיס בחזקה.
כיוון האי שוויון יכול להשתנות בהתאם למקרה שבו בסיס החזקה גדול או קטן מ 1.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? כתבו לי ואתקן

6 thoughts on “אי שוויונים

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      כאשר כותבים תוצאה כותבים אותה עבור x חיובי.
      על מנת לעבור מ x שלילי לחיובי מכפילים את האי שוויון ב 1-. לא לשכוח שכאשר עושים זאת צריך להפוך את כיוון האי שוויון.
      לכן התשובה היא לא.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      אני מניח שאתה מתכוון לנוסחת השורשים.
      אם השורש שלילי זה אומר שאין פתרונות למשוואה הריבועית.
      מידע נוסף בשני הדפים הבאים:
      נוסחת השורשים
      http://www.m-math.co.il/algebra/equations/roots-of-a-quadratic-equation/
      מספר הפתרונות של משוואה ריבועית
      http://www.m-math.co.il/algebra/roots-number-quartic-equation/
      מקווה שעזרתי

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום כהן
      פותחים את הסוגריים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר הזו
      a-b)²= a²-2ab+b²)
      תעביר אגפים ואז תישאר עם משוואה רגילה עם נעלם אחד.
      אם זה לא מסתדר חזור אלי.
      שים לב שזה לא הנושא של הדף.
      את נוסחאות הכפל המקוצר ומשוואות דומות (וקשות יותר) תוכל לראות כאן
      http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/short-multiple-equation/

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.