משולש זהב 30 60 90

1. X=10
2. X=60 – הזווית שמול היא 30 והזווית המבוקשת משלימה ל 180 מעלות.
3. X=24
4. X=0.5Y

1. ABC=180-120-30=30∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
2. AD=BD=5 – מול זוויות שוות במשולש ΔADB מונחות צלעות שוות.
3. CD=2AD=10 – במשולש ישר זווית ΔDAC שבו זווית של 30 מעלות היתר גדול פי 2 מהצלע שמול זווית ה 30 מעלות.
4. BC=BD+DC=15 ס”מ.

1. B = 30∠ במשולש ישר זווית (ABC) שבו ניצב שווה למחצית היתר הזווית שמול הניצב בגודל 30 מעלות.
2. A = 60∠ משלימה ל 180 מעלות במשולש ABC.
3. CAD = ∠DAB = 30∠ נתון כי AD חוצה את זווית A∠.
4. DAB = ∠B = 30∠ נובע מ 1,3.
5. AD=DB משולש שבו זוויות הבסיס שוות הוא משולש שווה שוקיים.
6. CD = 0.5AD = 0.5DB משולש ישר זווית (ACD) שבו זווית של 30 מעלות הניצב שמול הזווית שווה למחצית היתר (וגם AD=DB). (מש”ל).

הפתרון מתבסס על המשפט האומר כי במשולש ישר זווית שבו ניצב שווה למחצית היתר הזווית שמול הניצב שווה ל 30 מעלות.

1. B=90∠ – זווית היקפית הנשענת על קוטר (AC) שווה ל 90 מעלות.
2. BCO=30∠ – במשולש ישר זווית שבו ניצב (AB=R) שווה למחצית היתר (AC=2R) הזווית שמול הניצב שווה ל 30 מעלות.
3. A=60∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
4. D=∠A=60∠ – זווית היקפיות הנשענות על אותה קשת (BC) שוות זו לזו.

נשתמש במשפט
“במשולש ישר זווית שבו זווית של 30 מעלות הצלע שמול הזווית שווה למחצית היתר”.

לכן נגדיר:
AC = x
מהמשפט הרשום למעלה ניתן להסיק:
AB = 2x

מכאן ניתן לפתור בשתי דרכים.

דרך ראשונה: בעזרת פיתגורס
על פי משפט פיתגורס נבנה את המשוואה:
BC² = (2x)² – x² = 3x²
BC = √3 x

שטח משולש ישר זווית הוא מכפלת הניצבים חלקי 2:
S = 0.5AC * BC = 8 * √3
0.5x * √3 x = 8 * √3
0.5x² = 8
x² = 16
x = 4  או  x = -4
מכוון שגודל צלע הוא מספר חיובי x = 4 זו התשובה.

AC = x = 4
AB = 2x = 8
BC = √3 x = 6.928

דרך שנייה לפתרון: בעזרת הנוסחה הטריגונומטרית לשטח משולש
(שטח משולש טריגונומטריה נלמד לרוב בכיתה י).
על פי נוסחת שטח משולש נכתוב:
0.5x * 2x * sin 60 = √3 * 8

(נשתמש בכך ש   sin 60 = 0.5*√3)
x² * 0.5*√3 = 8 * √3
x² = 16
x = 4  או   x = -4.

מכוון שגודל צלע הוא דבר חיובי התשובה היחידה שאפשרית היא x = 4.

לכן:
AC = x = 4
AB = 2x = 8

ועל פי משפט פיתגורס:
BC² = 8² – 4²
BC² = 64 – 16 = 48
BC = √48   או  BC = -√48
מכוון ש BC הוא צלע התשובה היחידה האפשרית היא:
BC = √48